（完卷時間120分鐘 滿分150分）
一、填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）
1. 已知兩點，所在直線的斜率為，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩點的斜率公式計算可得.
【詳解】因為兩點，所在直線的斜率為，
所以，解得.
故答案為：
2. 若橢圓的一個焦點為，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)計算可得.
【詳解】因為橢圓的一個焦點為，，
所以，解得.
故答案為：
3. 若一個圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，則這個圓錐的側(cè)面積為___________
【答案】
【解析】
【分析】
利用圓錐性質(zhì)求出底面半徑與母線長，再利用圓錐的側(cè)面積計算公式即可得出．
【詳解】軸截面是邊長為4等邊三角形，
所以圓錐底面半徑，
圓錐母線．
圓錐的側(cè)面積．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查圓錐側(cè)面積的求解，熟練掌握圓錐的性質(zhì)及圓錐的側(cè)面積的計算公式是解題的關(guān)鍵．
4. 在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線BD1與AC所成角的度數(shù)為 ．
【答案】90°
【解析】
【詳解】解：如圖
連接BD交AC與點O，∵D1D⊥面ABCD，AC?面ABCD
∴D1D⊥AC，而AC⊥BD，D1D∩BD=D
∴AC⊥面D1DB
又∵D1B?面D1DB
∴AC⊥D1B，即異面直線BD1與AC所成角為90°．
故答案為：90°．
【點評】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．
5. 已知無窮數(shù)列滿足（為正整數(shù)），且，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可知數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，首項為，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計算即可.
【詳解】因為窮數(shù)列滿足（為正整數(shù)），且，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，首項為，
所以.
故答案為：
6. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_________________________ .
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)法則得到結(jié)果.
【詳解】∵，∴.
故答案為.
【點睛】本題考查的是函數(shù)的求導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.
7. 已知函數(shù)，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可得結(jié)果.
【詳解】由得，，
∴.
故答案為：.
8. 等比數(shù)列中，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出公比，求出，然后求，最后求即可.
【詳解】設(shè)公比為，則有，所以，所以，
所以，
所以，
故答案為：.
9. 設(shè)點是曲線上一點，則點到直線最小的距離為_________________.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，利用點到直線距離公式表示出點P到直線距離，根據(jù)函數(shù)最值即可求解.
【詳解】點P在曲線上，設(shè)，
則點P到直線l的距離為，
當(dāng)時，.
故答案為：.
10. 曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1（-1，0）和F2（1，0）的距離的積等于常數(shù) a2 (a >1)的點的軌跡.給出下列三個結(jié)論：
① 曲線C過坐標(biāo)原點；
② 曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；
③若點P在曲線C上，則△FPF的面積不大于a．
其中，所有正確結(jié)論的序號是 _________ ．
【答案】②③
【解析】
【分析】
【詳解】試題分析：設(shè)，依題意，則，化簡可得：
，由，則曲線C不過坐標(biāo)原點，①錯誤；把曲線方程中的，原方程不變，所以曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱正確；又方程原型
則，，令，可得或，可知當(dāng)時，取得最大值，此時，△F1PF2的面積不大于
考點：1.直接法求軌跡方程；2.對稱的判斷方法；3.面積的最大值；
11. 已知曲線：，要使直線與曲線有四個不同交點，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意知曲線為當(dāng)時；當(dāng)；由此即可畫出曲線的圖像，借助圖像由直線與曲線有四個不同的交點即可求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由曲線：及題意，知．
如圖所示，曲線表示的是一個圓與雙曲線的一部分，
由，解得，
要使直線與曲線有四個不同的交點，結(jié)合圖象，可得．
故答案為：.
12. 已知，若僅有3個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.
【詳解】，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，因此，且，
如下圖所示：
，
當(dāng)時，，所以不等式的解集為：或，
因為，所以無整數(shù)解，因此，要想僅有3個整數(shù)解，
只需；
當(dāng)時，，不等式化為：，顯然成立，有無數(shù)多個整數(shù)解，不符合題意，
當(dāng)時，，所以不等式的解集為：或，
顯然有無數(shù)個整數(shù)解，
綜上所述：，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，結(jié)合分類討論和數(shù)形結(jié)合思想進行求解是解題的關(guān)鍵.
二、選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）
13. 有一組樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)為：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，則該樣本中（ ）
A. 中位數(shù)與平均數(shù)的值不同B. 第70百分位數(shù)與眾數(shù)的值不同
C. 方差與極差的值相同D. 方差與標(biāo)準(zhǔn)差的值相同
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定的樣本數(shù)據(jù)，分別求出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、第70百分位數(shù)，再逐項判斷作答..
【詳解】依題意，樣本平均數(shù)，中位數(shù)為3，A不正確；
因，于是得第70百分位數(shù)是，眾數(shù)為4，B不正確；
樣本方差，極差為，C不正確，
樣本標(biāo)準(zhǔn)差，D正確.
故選：D
14. 函數(shù)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是（ ）

A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和割線的斜率可得三者之間的大小關(guān)系.
【詳解】
設(shè)，由圖可得，
而，
故，
故選：C.
15. 已知定義域均為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】運用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運算構(gòu)造新,，則用新函數(shù)的單調(diào)性解題即可.
【詳解】令，則，所以單調(diào)遞減．
由，
得，所以．
故選：B.
16. 如圖，體積為V的大球內(nèi)有4個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個公共點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點，為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，為大球內(nèi)?小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知小球半徑是大球的一半，建立大球體積、小球體積和陰影部分的體積的關(guān)系，可推出的大小關(guān)系.
【詳解】設(shè)大球的半徑為，則小球的半徑為，
可知，，
所以，因為，所以，
所以，又因為四個小球的體積和為，
所以，故B正確.
故選：B
三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）
17. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由兩函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)公式求解即可；
（2）由三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，求解即可.
【小問1詳解】
解：因為，
所以
【小問2詳解】
解：因為，
所以
.
18. 某果園為了更好地銷售沃柑，需對其質(zhì)量進行分析，以便做出合理的促銷方案.現(xiàn)從果園內(nèi)隨機采摘200個沃柑進行稱重，其質(zhì)量（單位：克）分別在中，其頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求的值；
（2）該果園準(zhǔn)備將質(zhì)量較大的的沃柑選為特級果，單獨包裝售賣，求被選為特級果的沃柑的質(zhì)量至少為多少克.
【答案】（1）
（2）140克.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1，結(jié)合頻率分布直方圖列出等式求解即可；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖第百分位數(shù)求法求解即可.
【小問1詳解】
根據(jù)題意得，
解得.
【小問2詳解】
設(shè)選為特級果的沃柑的質(zhì)量至少為克.
最后一組的面積為，
最后兩組的面積之和為.
因為，所以位于倒數(shù)第2組，
則，解得，
所以被選為特級果的沃柑的質(zhì)量至少為140克.
19. 如圖1，在等腰梯形中，，，，為的中點.將沿翻折，得到四棱錐（如圖2）.

（1）若的中點為，點在棱上，且平面，求的長度；
（2）若四棱錐的體積等于2，求二面角的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明面面平行，利用面面平行的性質(zhì)得到線線平行，進而得出的長度；
（2）利用四棱錐的體積求出高，找到二面角的平面角，結(jié)合直角三角形的知識可得答案.
【小問1詳解】
取的中點,連接,
因為分別為的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面；
因為平面，，平面，
所以平面平面；
因為平面平面,平面平面,
所以，即為的中點，所以.
【小問2詳解】
由圖1可知，等腰梯形高為，所以四邊形的面積為；
因為四棱錐的體積等于2，所以四棱錐的高等于，
因為三角形的高為，所以平面平面；
取的中點,連接,
由圖1可知，均為等邊三角形，所以,，且;
因為,所以平面，
因為平面，所以；
由圖1可知，所以是二面角的平面角，
因為平面平面，平面平面，，
所以平面，所以為直角三角形；
在中，，所以，即二面角為.

20. 已知橢圓的左焦點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設(shè)是橢圓上一動點，由原點向圓引兩條切線，分別交橢圓于點，若直線的斜率存在，并記為，求證：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）定值18；
【解析】
【分析】（1）由即可求解；
（2）設(shè)出直線方程，通過直線與圓相切，得到是方程的兩根，即可求解；
（3）設(shè)，由（2），再結(jié)合點在橢圓上即可求解.
【小問1詳解】
由題意可知：，
易得：，所以，
所以橢圓方程為：；
【小問2詳解】
證明：由題意設(shè)：與圓相切，
所以，
化簡可得：，
：與圓相切，可得：，
可得：，
所以是方程的兩根，
，，
所以，
又因為在橢圓上，所以，即，
所以，為定值；
【小問3詳解】
是定值，定值為18，理由如下：
設(shè)，
因為，
所以，
因為設(shè)，在橢圓上，
所以，即，
所以，
整理得：，
所以，
所以，定值；
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問：由直線與圓相切，得到是方程的兩根；
21. 已知函數(shù)，.
（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）當(dāng)時，，求取值范圍.
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)斜率之積為求解即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，解不等式即可得出單調(diào)性區(qū)間；
（3）利用導(dǎo)數(shù)確定，分離參數(shù)后，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值即可得解.
【小問1詳解】
因為，所以，
所以，
又在處的切線與直線垂直，所以，
即，所以.
【小問2詳解】
，.
①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)時，令，得，又，所以.
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
由，得在上恒成立.
令，，則，令，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，即，
則在上恒成立.
令，，
則
.
因為，所以，則，
令，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，
所以，即的取值范圍是.

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