（滿分160分，120分鐘完成.答案一律寫在答題紙上.）
考試說明：試卷最后的挑戰(zhàn)題為非必答題，分值10分
一、填空題（本大題滿分54分，前6題每題4分，后6題每題5分，填錯(cuò)或不填在正確的位置一律得零分）
1. 在等差數(shù)列中，已知，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得公差，進(jìn)而求得.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
依題意，，
則，，
即，
所以.
故答案為：
2. 不等式解集為____________．
【答案】；
【解析】
【分析】根據(jù)絕對值的定義分類討論解一元一次不等式組得出結(jié)果.
【詳解】或，
即或，所以不等式的解集為或，
故答案為：.
3. 已知，則__________．
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】利用余弦的二倍角公式求解.
【詳解】已知，則.
故答案為：.
4. 曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率.
【詳解】由，求導(dǎo)得，則，
所以所求切線的斜率為2.
故答案為：2.
5. 已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則______．
【答案】
【解析】
【分析】將代入方程，化簡后利用實(shí)部與虛部等于零，列方程組求解即可.
【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，
所以，整理得，
所以，解得，故，
故答案為：．
6. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)得出，求出的值，再結(jié)合奇函數(shù)的定義檢驗(yàn)即可.
【詳解】對任意的，，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，則，解得，
此時(shí)，，則,
故函數(shù)為奇函數(shù)，故.
故答案為：.
7. 若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求得正確答案.
【詳解】由于，
所以.
故答案為：
8. 若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行列式，由此求得.
【詳解】由于，所以，
解得.
故答案為：
9. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】拋物線的定義列方程，由此求得.
【詳解】根據(jù)拋物線的定義可知①，
將代入拋物線方程，得②，
由①②解得.
故答案為：
10. 定義：已知一個(gè)點(diǎn)集及一點(diǎn)P，任取點(diǎn)集中一點(diǎn)Q，線段PQ長度的最小值稱為點(diǎn)P到點(diǎn)集的距離，記作現(xiàn)已知空間中一點(diǎn)P，平面上一個(gè)長為2、寬為1的矩形及其內(nèi)部的所有點(diǎn)構(gòu)成點(diǎn)集則點(diǎn)的集合所表示幾何體的體積為_________.
【答案】
【解析】
【分析】由定義得幾所構(gòu)成的幾何體，進(jìn)而求得幾何體的體積.
【詳解】P點(diǎn)構(gòu)成的幾何體由下列幾何體構(gòu)成：
①如圖，為已知矩形，其長
則以矩形為公共面的兩個(gè)長方體，其長，寬，高分別為1，2，1，
此時(shí)兩個(gè)長方體內(nèi)的點(diǎn)到矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)的距離的最小值不大于1，兩長方體體積和為；
②分別以為軸，底面圓半徑為1的兩個(gè)半圓柱分別在的外側(cè)
此時(shí)兩個(gè)半圓柱表面及內(nèi)部的點(diǎn)到矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)的距離的最小值不大于1，
合成一個(gè)以底面圓半徑為1，高為2的圓柱，體積為；
③分別以為軸，底面圓半徑為1的兩個(gè)半圓柱分別在的外側(cè)
此時(shí)兩個(gè)圓柱表面及內(nèi)部的點(diǎn)到矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)的距離的最小值不大于1，
合成一個(gè)以底面圓半徑為1，高為1的圓柱，體積為；
④分別以為球心，半徑為1的球的四分之一，
此時(shí)四個(gè)四分之一球表面及球內(nèi)的點(diǎn)到矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)的距離的最小值不大于1，
合成一個(gè)以1為半徑的球，體積為;
由①②③④點(diǎn)的集合所表示幾何體的體積為
故答案為：
11. 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動，將筒車抽象為一個(gè)半徑為的圓，如圖2建立平面直角坐標(biāo)系，已知筒車按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，當(dāng)時(shí)，某盛水筒位于點(diǎn)，經(jīng)過秒后運(yùn)動到點(diǎn)，則當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)40秒時(shí)，此盛水筒對應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用角速度得出40秒盛水筒旋轉(zhuǎn)角度，結(jié)合初始位置即可得最終位置.
【詳解】因，則，,
每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，則筒車旋轉(zhuǎn)40秒時(shí)共旋轉(zhuǎn)，
則此時(shí)點(diǎn)所在角的終邊為，
則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
故答案為： .
12. 平面向量為兩個(gè)相互垂直的單位向量．，滿足，，則在方向上的數(shù)量投影的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)平面向量，在分別在坐標(biāo)軸上，設(shè)，，由雙曲線和圓的定義得到點(diǎn)，的軌跡方程，由投影的定義作出圖像，然后由雙曲線漸近線求得最值.
【詳解】∵平面向量，為兩個(gè)相互垂直的單位向量，
∴設(shè)平面向量，在直角坐標(biāo)系的軸和軸上，且起點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn).
則設(shè)，，即，
，
∵，，
∴，
由雙曲線的定義可知，點(diǎn)在以雙曲線上，
，即，
由圓的定義可知，點(diǎn)在圓上，
如圖：
顯然當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為或，點(diǎn)坐標(biāo)為或時(shí)，
在方向上的數(shù)量投影為0.
由對稱性，我們?nèi)↑c(diǎn)在一象限.
過點(diǎn)分別作的垂線，分別垂直于點(diǎn).
即為在方向上的數(shù)量投影，
顯然當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最大，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)最小時(shí)，最大，
又因?yàn)殡p曲線的漸近線為，設(shè)，則，即，
所以.
∴.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛，本題的關(guān)鍵需要將向量問題通過模長轉(zhuǎn)變?yōu)殡p曲線上的點(diǎn)和圓上的點(diǎn)，然后利用雙曲線的漸近線來求得最值.
二、選擇題（本大題滿分18分，前2題每題4分，后2題每題5分，每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)）
13. 關(guān)于直線以及平面，下列命題中正確的是（ ）
A 若，則B. 若，則
C. 若，且，則D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】
觀察四個(gè)選項(xiàng)，分別涉及線面垂直、線線平行、面面垂直，由相關(guān)的條件對四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可得出正確選項(xiàng).
【詳解】A選項(xiàng)不正確，可能相交、平行、異面；
B選項(xiàng)不正確，的關(guān)系可以是平行、相交或在面內(nèi)；
C選項(xiàng)不正確，由線面垂直的判定定理知，本命題中缺少兩條直線相交的條件，故不能依據(jù)線面垂直的判定定理得出線面垂直；
D選項(xiàng)正確，由知，可在面N內(nèi)找到一條直線與a平行，且可以由a⊥M證得這條線與M垂直，則可得出面面垂直的判定定理成立的條件，所以D選項(xiàng)是正確的.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是有較好的空間想象能力以及根據(jù)所學(xué)的定義、定理對相關(guān)的命題進(jìn)行推理論證的能力.
14. 若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的（ ）
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充分必要條件D. 既非充分又非必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)異面直線的概念結(jié)合充分必要條件求解
【詳解】若空間中有兩條直線，若“這兩條直線為異面直線”，則“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”；若 “這兩條直線沒有公共點(diǎn)”，則 “這兩條直線可能平行，可能為異面直線”；
∴ “這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的充分非必要條件，
故選：A.
15. 正整數(shù)數(shù)列滿足，使得的不同個(gè)數(shù)為（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)遞推公式依次計(jì)算即可.
【詳解】由題意知，，則或，
（1）當(dāng)時(shí)，，則或，
若，則；若，則；
若，則或；
若，則或；
（2）當(dāng)時(shí)，，得，則或；
若，得；
若，得.
綜上，的值共有6個(gè).
故選：C
16. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線l上，線段與y軸交于點(diǎn)A，與拋物線C交于點(diǎn)B，若，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由題知點(diǎn)A為的中點(diǎn)，結(jié)合已知得，過點(diǎn)B作，由拋物線的定義即可求解.
【詳解】設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為H，由O為中點(diǎn)，知點(diǎn)A為的中點(diǎn)，
因?yàn)?，所以?br>過點(diǎn)B作，垂足為Q，則由拋物線的定義可知，
所以，則，所以．
故選：C
三、解答題（本大題滿分78分）解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要步驟.
17. 如圖，已知圓柱的高為2，直三棱柱的頂點(diǎn)在圓柱上底面的圓周上，頂點(diǎn)在圓柱下底面的圓周上，已知，為的中點(diǎn)．
（1）求二面角的余弦值；
（2）求到平面的距離．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）先證明平面，得，從而即二面角的平面角，計(jì)算邊長，利用三角函數(shù)即可求得；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化即可求得點(diǎn)面距離.
【小問1詳解】
如圖，連接，
因平面，平面，則，
又平面，
故平面，
又平面，故，
則即二面角的平面角.
在中，
，
由圖知二面角是銳二面角，
故二面角的余弦值為.
【小問2詳解】
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則由，可得：，
解得：，
即到平面的距離為.
18. 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由等差數(shù)列的通項(xiàng)整理等式，可得的通項(xiàng)，利用前項(xiàng)和與末項(xiàng)的關(guān)系，結(jié)合累乘法，再驗(yàn)首項(xiàng)，可得的通項(xiàng)；
（2）利用錯(cuò)位相減法可得答案.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，則，
化簡可得，由，則，所以；
由，則（），兩式相減可得，
所以（），當(dāng)時(shí)，，
可得，則（），顯然可使上式成立，
所以.
【小問2詳解】
由題意可得，
則，
兩式相減可得，
則，
所以.
19. 如圖，有一塊扇形草地，已知半徑為，，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場地作為兒童樂園使用，其中點(diǎn)在弧上，且線段平行于線段
（1）若點(diǎn)為弧的一個(gè)三等分點(diǎn)，求矩形的面積；
（2）當(dāng)弧長為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大值為多少？
【答案】（1）;
（2）,.
【解析】
【分析】（1）由題意表示出矩形的邊長，即可得其面積的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)二倍角公式化簡求值，即可求得答案；
（2）設(shè)，表示出矩形的邊長，即可得其面積的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)二倍角公式以及輔助角公式化簡，根據(jù)角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.
【小問1詳解】
如圖，作于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，連接、，
，
，
小問2詳解】
設(shè) 則
，


，
，即時(shí)， ，
此時(shí)，弧長為.
答：當(dāng)弧長為時(shí)，矩形的面積最大，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)表示出矩形的邊長，從而表示面積的表達(dá)式，再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解答案.
20. 已知橢圓（）的離心率為，，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn).過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn).的周長為8.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l的斜率為1，求線段AB的長；
（3）若點(diǎn)P在橢圓上，且，試問是否存在直線l，使得的重心在y軸上？若存在，請求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用橢圓定義，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可；
（2）直曲聯(lián)立，運(yùn)用弦長公式計(jì)算即可；
（3）設(shè)直線l的方程為.直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到,根據(jù)重心坐標(biāo)公式，求得，進(jìn)而得，求出，代入橢圓方程，解得，得到直線即可.
【小問1詳解】
因?yàn)榈闹荛L為8，所以，得.
因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
由題意，，，所以直線的方程是，
設(shè)，.由得，
所以，，
所以.
【小問3詳解】
設(shè)直線l的方程為.
由得，.
設(shè)，，，線段AB的中點(diǎn)為H，
則，，.
若△ABP的重心在y軸上，則，即，所以.
由，得，
解得，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，
解得或.故存在直線l，使得△ABP的重心在y軸上，
其方程為或或.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是考查的重點(diǎn)，一般難度較大，計(jì)算較復(fù)雜，考查較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力.求定值問題常見的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.解題時(shí)，要將問題合理的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成易于計(jì)算的方向.
21. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，非空集合．若對任意，任意且，都有恒成立，就稱函數(shù)具有性質(zhì)．
（1）當(dāng)時(shí)，判斷下列函數(shù)是否具備性質(zhì)．
①
②
（2）當(dāng)，函數(shù)，若具有性質(zhì)，求的取值范圍．
（3）當(dāng)，若且具有性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，求所有符合條件的的值．
【答案】（1）函數(shù)具有性質(zhì)；函數(shù)不具有性質(zhì)
（2）
（3）為奇數(shù)
【解析】
【分析】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性即可解決；反證法，找特值；
(2)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用分類討論思想，將和分別放在同一單調(diào)區(qū)間和不同單調(diào)區(qū)間即可；
(3)特殊值法，將代入，利用常函數(shù)且任意性得出函數(shù)的周期為，而一個(gè)周期內(nèi)的整數(shù)可分為奇數(shù)和偶數(shù)，在分奇偶的條件下結(jié)合常函數(shù)的特性即可得出.
【小問1詳解】
①因在上單調(diào)遞增，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，故函數(shù)具有性質(zhì)；
②假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，則對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，而當(dāng)時(shí)，，與假設(shè)矛盾，故函數(shù)不具有性質(zhì)；
【小問2詳解】
為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
①若，因 ，則恒成立，滿足題意；
②若，對于任意，有，則，
若，則，矛盾；
若，欲使函數(shù)具有性質(zhì)，只需即可，
得，則，即，
綜上，的取值范圍為.
【小問3詳解】
因?yàn)榍揖哂行再|(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，則的周期為，
設(shè)，，
因常函數(shù)，故，，
當(dāng)時(shí)，，則
當(dāng)時(shí)，，則
綜上，為奇數(shù).
【點(diǎn)睛】本題以新定義為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，考查了邏輯推理能力及對新知識的快速把握，關(guān)鍵在于對新定義的理解.
【挑戰(zhàn)題】
22. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且對任意的，有且．若，求的值?br>【答案】
【解析】
【分析】利用賦值法與夾逼法，結(jié)合已知條件推得，進(jìn)而得到，從而利用累加法求得即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>用替換，得，①
用替換，得，②
又，即，③
①②③三式相加得，
所以，
結(jié)合，
可得，則，
所以
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查對抽象函數(shù)不等式的理解和運(yùn)用.題中有一個(gè)明顯的特征那就是題設(shè)條件沒有恒等式，且要求的函數(shù)值自變量與已知函數(shù)值的自變量差值較大，不可能通過恒等式變形直接求出.解題的方向是通過賦值法和夾逼法將不等式轉(zhuǎn)化為恒等式，這是本題解題的關(guān)鍵也是難點(diǎn)，最后再結(jié)合累加法求得函數(shù)值.

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