（完卷時間120分鐘 滿分150分）2025.3
一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）
1. 已知全集，集合，則______．
【答案】
【解析】
【分析】求解即可得集合A，進(jìn)而得.
【詳解】解得，
所以的解集為，即，
所以.
故答案為：.
2. 若x>0，y>0，且x＋4y＝1，則xy的最大值為________.
【答案】
【解析】
【分析】由基本不等式求解即可.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
故答案為：
3. 設(shè)i是虛數(shù)單位，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)虛數(shù)的性質(zhì)即可求得代數(shù)式的值.
【詳解】.
故答案為：.
4. 已知一個隨機變量的分布列為，若是，的等差中項，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及等差中項即可求.
【詳解】由題可知，，解得，
故答案為:.
5. 已知向量，，且，則.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示求得結(jié)果.
【詳解】因為向量，，且，
所以，所以.
故答案為：.
6. 已知隨機變量服從二項分布，若，，則的值為_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由二項分布的期望方差公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為隨機變量服從二項分布，
則，，
解得.
故答案為：
7. 若等比數(shù)列的前n項和為，，則首項的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意得等比數(shù)列公比的取值范圍，根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列前n項和為，得，從而得，求解出范圍.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
因為，當(dāng)時，，
所以，即，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】求解等比數(shù)列極限相關(guān)問題，注意若等比數(shù)列有極限，則該數(shù)列為無窮遞縮等比數(shù)列.
8. 已知兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述數(shù)據(jù)可得關(guān)于的回歸直線方程，則實數(shù)__________.
【答案】20
【解析】
【分析】由回歸直線經(jīng)過點即可計算.
【詳解】由題中數(shù)據(jù)可知，因為回歸直線一定經(jīng)過點，所以.
故答案為：20.
9. 已知圓錐底面半徑與球的半徑都是，如果圓錐的體積恰好也與球的體積相等，那么這個圓錐的母線長為_________
【答案】
【解析】
【分析】求出球的體積，由圓錐的體積恰好也與球的體積相等，可得圓錐的高，計算可得圓錐的母線長.
【詳解】解：由題意得：球的體積為：，
圓錐的體積：，其中h為圓錐的高，
因為圓錐的體積恰好也與球的體積相等，可得，，
故圓錐的母線長：，
故答案為：.
【點睛】本題主要考查空間幾何體簡單的體積運算，屬于基礎(chǔ)題.
10. 已知函數(shù)的值域為，若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可得，然后求出不等式的解，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的方程，進(jìn)而可求得的值.
【詳解】由題意知，
因為函數(shù)的值域為，所以，，可得，
由可知，且有，解得，
所以，，，
所以，，解得.
故答案為：.
【點睛】利用一元二次不等式的解集求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為解集的端點值為對應(yīng)的一元二次方程的根，可以利用韋達(dá)定理或者利用代入法求解.
11. 函數(shù)的部分圖象如圖，下列結(jié)論正確的序號是______．
①的最小正周期為6；
②；
③的圖象的對稱中心為；
④的一個單調(diào)遞減區(qū)間為．
【答案】②③
【解析】
【分析】由判斷①；由和點在的圖象上求解判斷②正確；令求解判斷③；令求解判斷④.
【詳解】解：由圖可得，所以①錯誤；
因為，所以．
因為點在的圖象上，
所以，即．
因為，所以，所以，所以②正確；
令得，所以的圖象的對稱中心為，所以③正確；
令，得，
令得，令得，所以，所以④錯誤．
故答案為：②③．
12. 函數(shù)的表達(dá)式為，如果且，則abc的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出函數(shù)的大致圖象，令，可得的范圍，則的三個根為，從而可得，右邊去括號即可得解.
【詳解】，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
則函數(shù)的極大值為，極小值為，
作出函數(shù)的大致圖象，若且，
令，則，
即的三個根為，
即，
又，
所以.
故答案為：.
二、單選題（本大題共4題，滿分20分）
13. “且”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分、必要條件結(jié)合不等式性質(zhì)理解判斷.
【詳解】若且，例如滿足條件，但不滿足
若，則，且
∴“且”是“”的必要不充分條件
故選：B
14. 如圖，在正方體中，，分別為，的中點，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 與垂直B. 與平面垂直
C. 與平行D. 與平面平行
【答案】C
【解析】
【分析】以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法逐一判斷即可.
【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則
，
對于A，，
則，所以，故A正確；
對于B，，則，所以，
又平面，
所以平面，故B正確；
對于C，，
若與平行，則存在唯一實數(shù)使得，
所以，無解，
所以與不平行，故C錯誤；
對于D，，
設(shè)平面的法向量，
則有，可取，
因為，且平面，
所以平面，故D正確.
故選：C
15. 李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結(jié)果正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性和性質(zhì)，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，隨機變量服從正態(tài)分布，且，
可得隨機變量的方差為，即，所以A錯誤；
對于B中，根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線圖像，可得隨機變量，
所以，所以B錯誤；
對于C中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得時，隨機變量對應(yīng)的曲線與圍成的面積小于時隨機變量對應(yīng)的曲線與圍成的面積，
所以，所以C正確；
對于D中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得，，
即，所以D錯誤.
故選：C.
16. 已知，集合，若集合恰有8個子集，則的可能值有幾個（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)子集個數(shù)可得集合元素個數(shù)，再由正弦函數(shù)性質(zhì)即可確定n的取值.
【詳解】由題意易知，，均是集合中的元素，
又集合恰有8個子集，故集合只有三個元素，
有，則結(jié)合誘導(dǎo)公式易知，
可取的值是4或5.
故選：B
三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）
17. 設(shè)在直三棱柱中，,,依次為,的中點．
（1）求異面直線所成角的大小（用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求點到平面的距離．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求異面直線所成的角.
（2）先求出平面的法向量，利用空間向量求點到面的距離.
【小問1詳解】
以為原點建立如圖空間坐標(biāo)系，
則 ,
， ，

.
【小問2詳解】
設(shè)平面的一個法向量為，
， ，
解得：
令可得，
∵

∴點到平面的距離為﹒
18. 已知向量，其中，若函數(shù)的最小正周期為.
（1）求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在中，若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由輔助角公式將函數(shù)化簡，再由函數(shù)周期即可求得，再根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由（1）中函數(shù)的解析式可得，再由正弦定理可得，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義代入計算，即可得到結(jié)果.
小問1詳解】
的最小正周期為.
故，
令，解得，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
小問2詳解】
設(shè)中角所對的邊分別是.
，即，解得.
，
，
.
19. 為了提高我市的教育教學(xué)水平，市教育局打算從紅塔區(qū)某學(xué)校推薦的10名教師中任選3人去參加支教活動．這10名教師中，語文教師3人，數(shù)學(xué)教師4人，英語教師3人．求：
（1）選出的語文教師人數(shù)多于數(shù)學(xué)教師人數(shù)的概率；
（2）選出的3人中，語文教師人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）分別求出“恰好選出1名語文教師和2名英語教師”、“恰好選出2名語文教師”、“恰好取出3名語文教師”的概率，應(yīng)用互斥事件加法求概率；
（2）首先的所有可能取值，然后分別計算出每一個取值的概率，即得的分布列，再利用數(shù)學(xué)期望公式求其數(shù)學(xué)期望．
【小問1詳解】
設(shè)“選出的3名教師中語文教師人數(shù)多于數(shù)學(xué)教師人數(shù)”為事件，
“恰好選出1名語文教師和2名英語教師”為事件，“恰好選出2名語文教師”為事件，
“恰好取出3名語文教師”為事件，
由事件彼此互斥，且，
而，，，
所以選出的3名教師中語文教師人數(shù)多于數(shù)學(xué)教師人數(shù)的概率為.
【小問2詳解】
由于從10名教師中任選3人的結(jié)果為，
從10名教師中任取3人，其中恰有k名語文教師的結(jié)果數(shù)為，
那么從10人任選3人，其中恰有k名語文教師的概率為且．
所以隨機變量的分布列是

的數(shù)學(xué)期望.
20. 已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，焦距是.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：與橢圓C交于兩個不同點D，E，以線段為直徑的圓經(jīng)過原點，求實數(shù)的值；
（3）設(shè)A，B為橢圓C的左?右頂點，為橢圓C上除A，B外任意一點，線段的垂直平分線分別交直線和直線于點P和點Q，分別過點P和Q作軸的垂線，垂足分別為M和N，求證：線段MN的長為定值.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見詳解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，求得的值，即可得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求解；
（3）設(shè)，由此得到，利用分別表示出直線和的方程，聯(lián)立兩直線方程，求出點橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求出線段的長，得出結(jié)論成立.
【小問1詳解】
解：由題意，橢圓的長軸長是短軸長的2倍，焦距是，
可得，解得，
因此橢圓的方程為.
【小問2詳解】
解：設(shè)，，
聯(lián)立方程組 ，整理得，
由，解得，
則，
因為以線段為直徑圓經(jīng)過原點，所以，則，
可得，即，
代入得，整理得滿足，
所以.
【小問3詳解】
解：因為，為橢圓的左?右頂點，可得，，
設(shè)，則，所以，則，
因為線段的垂直平分線分別交直線和直線于點和點，
則為中點，所以，
又因為直線的斜率為，所以其垂直平分線的斜率為，
則的方程為，
即；
又由直線的斜率為，所以直線的方程為，
由，可得，則，
解得，即，
又因為、分別為、在軸的垂足，
則，，
所以為定值.
21. 已知函數(shù).
（1），求實數(shù)的值；
（2）若，且不等式對任意恒成立，求的取值范圍；
（3）設(shè)，試?yán)媒Y(jié)論，證明：若，其中，則.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求得，根據(jù)題意得到方程組，即可求解；
（2）把轉(zhuǎn)化為即對任意恒成立，設(shè)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在單調(diào)性，結(jié)合，即可求解；
（3）解法1：由不等式，推得，進(jìn)而利用累加法，即可得證；解法2：由，得到，結(jié)合累加法，即可得證.
【小問1詳解】
由函數(shù)，可得，所以，.
又由，所以，解得.
【小問2詳解】
若，可得，
則，則不等式可化為，
即對任意恒成立，
令，則，設(shè)函數(shù)，可得，
因為，所以恒成立，所以函數(shù)在上嚴(yán)格遞增，
所以，故，即實數(shù)的取值范圍為.
【小問3詳解】
解法1：由，
因為，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
因此有，
，
，
以上個式子相加得：
.
解法2：由，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號同時成立.
故，
，
，
以上個式子相加得：
.
【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
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