一、填空題（本大題共12小題）
1．在等差數(shù)列中，已知，則 ．
2．不等式的解集為 ．
3．已知，則 ．
4．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為 ．
5．已知是關(guān)于的方程的一個根，則 ．
6．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 ．
7．若，則 ．
8．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù) ．
9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若，則 ．
10．定義：已知一個點(diǎn)集及一點(diǎn)P，任取點(diǎn)集中一點(diǎn)Q，線段PQ長度的最小值稱為點(diǎn)P到點(diǎn)集的距離，記作現(xiàn)已知空間中一點(diǎn)P，平面上一個長為2、寬為1的矩形及其內(nèi)部的所有點(diǎn)構(gòu)成點(diǎn)集則點(diǎn)的集合所表示幾何體的體積為 .
11．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動，將筒車抽象為一個半徑為的圓，如圖2建立平面直角坐標(biāo)系，已知筒車按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，當(dāng)時，某盛水筒位于點(diǎn)，經(jīng)過秒后運(yùn)動到點(diǎn)，則當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)40秒時，此盛水筒對應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ．
12．平面向量為兩個相互垂直的單位向量．，滿足，，則在方向上的數(shù)量投影的取值范圍是 ．
二、單選題（本大題共4小題）
13．關(guān)于直線以及平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，且，則D．若，則
14．若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充分必要條件D．既非充分又非必要條件
15．正整數(shù)數(shù)列滿足，使得的不同個數(shù)為（ ）
A．8B．7C．6D．5
16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線l上，線段與y軸交于點(diǎn)A，與拋物線C交于點(diǎn)B，若，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
三、解答題（本大題共6小題）
17．如圖，已知圓柱的高為2，直三棱柱的頂點(diǎn)在圓柱上底面的圓周上，頂點(diǎn)在圓柱下底面的圓周上，已知，為的中點(diǎn)．
(1)求二面角的余弦值；
(2)求到平面的距離．
18．已知等差數(shù)列的首項為1，，數(shù)列的前項和為，，.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
19．如圖，有一塊扇形草地，已知半徑為，，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場地作為兒童樂園使用，其中點(diǎn)在弧上，且線段平行于線段
(1)若點(diǎn)為弧的一個三等分點(diǎn)，求矩形的面積；
(2)當(dāng)弧長為多少時，矩形的面積最大？最大值為多少？
20．已知橢圓（）的離心率為，，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn).過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn).的周長為8.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l的斜率為1，求線段AB的長；
(3)若點(diǎn)P在橢圓上，且，試問是否存在直線l，使得的重心在y軸上？若存在，請求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
21．已知函數(shù)的定義域為，非空集合．若對任意，任意且，都有恒成立，就稱函數(shù)具有性質(zhì)．
(1)當(dāng)時，判斷下列函數(shù)是否具備性質(zhì)．
①
②
(2)當(dāng)，函數(shù)，若具有性質(zhì)，求的取值范圍．
(3)當(dāng)，若且具有性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，求所有符合條件的的值．
22．已知函數(shù)的定義域為，且對任意的，有且．若，求的值．
參考答案
1．【答案】
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
依題意，，
則，，
即，
所以.
故答案為：
2．【答案】；
【詳解】或，
即或，所以不等式的解集為或，
故答案為：.
3．【答案】/-0.5
【詳解】已知，則.
故答案為：.
4．【答案】
【詳解】由，求導(dǎo)得，則，
所以所求切線的斜率為2.
故答案為：2.
5．【答案】
【詳解】因為是關(guān)于的方程的一個根，
所以，整理得，
所以，解得，故，
故答案為：．
6．【答案】
【詳解】對任意的，，即函數(shù)的定義域為，
因為函數(shù)是奇函數(shù)，則，解得，
此時，，則,
故函數(shù)為奇函數(shù)，故.
故答案為：.
7．【答案】
【詳解】由于，
所以.
故答案為：
8．【答案】
【詳解】由于，所以，
解得.
故答案為：
9．【答案】
【詳解】根據(jù)拋物線的定義可知①，
將代入拋物線方程，得②，
由①②解得.
故答案為：
10．【答案】
【詳解】P點(diǎn)構(gòu)成的幾何體由下列幾何體構(gòu)成：
①如圖，為已知矩形，其長
則以矩形為公共面的兩個長方體，其長，寬，高分別為1，2，1，
此時兩個長方體內(nèi)的點(diǎn)到矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)的距離的最小值不大于1，兩長方體體積和為；
②分別以為軸，底面圓半徑為1的兩個半圓柱分別在的外側(cè)
此時兩個半圓柱表面及內(nèi)部的點(diǎn)到矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)的距離的最小值不大于1，
合成一個以底面圓半徑為1，高為2的圓柱，體積為；
③分別以為軸，底面圓半徑為1的兩個半圓柱分別在的外側(cè)
此時兩個圓柱表面及內(nèi)部的點(diǎn)到矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)的距離的最小值不大于1，
合成一個以底面圓半徑為1，高為1的圓柱，體積為；
④分別以為球心，半徑為1的球的四分之一，
此時四個四分之一球表面及球內(nèi)的點(diǎn)到矩形及其內(nèi)部的點(diǎn)的距離的最小值不大于1，
合成一個以1為半徑的球，體積為;
由①②③④點(diǎn)的集合所表示幾何體的體積為
故答案為：
11．【答案】
【詳解】因，則，,
每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，則筒車旋轉(zhuǎn)40秒時共旋轉(zhuǎn)，
則此時點(diǎn)所在角的終邊為，
則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
故答案為： .
12．【答案】
【詳解】∵平面向量，為兩個相互垂直的單位向量，
∴設(shè)平面向量，在直角坐標(biāo)系的軸和軸上，且起點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn).
則設(shè)，，即，
，
∵，，
∴，
由雙曲線的定義可知，點(diǎn)在以雙曲線上，
，即，
由圓的定義可知，點(diǎn)在圓上，
如圖：
顯然當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為或，點(diǎn)坐標(biāo)為或時，
在方向上的數(shù)量投影為0.
由對稱性，我們?nèi)↑c(diǎn)在一象限.
過點(diǎn)分別作的垂線，分別垂直于點(diǎn).
即為在方向上的數(shù)量投影，
顯然當(dāng)時，，此時最大，
因為，，
所以當(dāng)最小時，最大，
又因為雙曲線的漸近線為，設(shè)，則，即，
所以.
∴.
故答案為：
13．【答案】D
【解析】觀察四個選項，分別涉及線面垂直、線線平行、面面垂直，由相關(guān)的條件對四個選項逐一判斷即可得出正確選項.
【詳解】A選項不正確，可能相交、平行、異面；
B選項不正確，的關(guān)系可以是平行、相交或在面內(nèi)；
C選項不正確，由線面垂直的判定定理知，本命題中缺少兩條直線相交的條件，故不能依據(jù)線面垂直的判定定理得出線面垂直；
D選項正確，由知，可在面N內(nèi)找到一條直線與a平行，且可以由a⊥M證得這條線與M垂直，則可得出面面垂直的判定定理成立的條件，所以D選項是正確的.
故選：D.
14．【答案】A
【詳解】
若空間中有兩條直線，若“這兩條直線為異面直線”，則“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”；若 “這兩條直線沒有公共點(diǎn)”，則 “這兩條直線可能平行，可能為異面直線”；
∴ “這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的充分非必要條件，
故選：A.
15．【答案】C
【詳解】由題意知，，則或，
（1）當(dāng)時，，則或，
若，則；若，則；
若，則或；
若，則或；
（2）當(dāng)時，，得，則或；
若，得；
若，得.
綜上，的值共有6個.
故選：C
16．【答案】C
【分析】由題知點(diǎn)A為的中點(diǎn)，結(jié)合已知得，過點(diǎn)B作，由拋物線的定義即可求解.
【詳解】設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為H，由O為中點(diǎn)，知點(diǎn)A為的中點(diǎn)，
因為，所以．
過點(diǎn)B作，垂足為Q，則由拋物線的定義可知，
所以，則，所以．
故選：C
17．【答案】(1);
(2).
【詳解】（1）
如圖，連接，
因平面，平面，則，
又平面，
故平面，
又平面，故，
則即二面角的平面角.
在中，
，
由圖知二面角是銳二面角，
故二面角的余弦值為.
（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則由，可得：，
解得：，
即到平面的距離為.
18．【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，則，
化簡可得，由，則，所以；
由，則（），兩式相減可得，
所以（），當(dāng)時，，
可得，則（），顯然可使上式成立，
所以.
（2）由題意可得，
則，
兩式相減可得，
則，
所以.
19．【答案】(1);
(2),.
【詳解】（1）如圖，作于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，連接、，
，
，
（2）設(shè) 則
，


，
，即時， ，
此時，弧長為.
答：當(dāng)弧長為時，矩形的面積最大，
20．【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或或.
【分析】（1）運(yùn)用橢圓定義，結(jié)合離心率公式計算即可；
（2）直曲聯(lián)立，運(yùn)用弦長公式計算即可；
（3）設(shè)直線l的方程為.直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到,根據(jù)重心坐標(biāo)公式，求得，進(jìn)而得，求出，代入橢圓方程，解得，得到直線即可.
【詳解】（1）因為的周長為8，所以，得.
因為橢圓的離心率為，所以，，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，，，所以直線的方程是，
設(shè)，.由得，
所以，，
所以.
（3）設(shè)直線l的方程為.
由得，.
設(shè)，，，線段AB的中點(diǎn)為H，
則，，.
若△ABP的重心在y軸上，則，即，所以.
由，得，
解得，所以，
因為點(diǎn)P在橢圓上，所以，
解得或.故存在直線l，使得△ABP的重心在y軸上，
其方程為或或.
21．【答案】(1)函數(shù)具有性質(zhì)；函數(shù)不具有性質(zhì)
(2)
(3)為奇數(shù)
【詳解】（1）①因在上單調(diào)遞增，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，故函數(shù)具有性質(zhì)；
②假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，則對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，而當(dāng)時，，與假設(shè)矛盾，故函數(shù)不具有性質(zhì)；
（2）為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
①若，因 ，則恒成立，滿足題意；
②若，對于任意，有，則，
若，則，矛盾；
若，欲使函數(shù)具有性質(zhì)，只需即可，
得，則，即，
綜上，的取值范圍為.
（3）因為且具有性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，
所以當(dāng)時，恒成立，則的周期為，
設(shè)，，
因為常函數(shù)，故，，
當(dāng)時，，則
當(dāng)時，，則
綜上，為奇數(shù).
22．【答案】
【詳解】因為，
用替換，得，①
用替換，得，②
又，即，③
①②③三式相加得，
所以，
結(jié)合，
可得，則，
所以
.
故答案為：.

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