構(gòu)建知識(shí)體系
考點(diǎn)梳理
1. 線段和直線
(1)兩個(gè)基本事實(shí)：①直線的基本事實(shí)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線；②線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短
(2)線段的中點(diǎn)：如圖①，若有AM＝① ＝② AB，則M是線段AB的中點(diǎn)
圖①
(3)線段的和與差：如圖②，在線段AC上取一點(diǎn)B，則有：③ ＋BC＝AC；AB＝④ －BC；BC＝AC－⑤
圖②
2. 角及角平分線(6年4考，常在幾何題中涉及考查)
(1)度、分、秒的換算：1°＝60'，1'＝60″，角的度、分、秒是60進(jìn)制
(2)余角：①定義：如果兩個(gè)角的和為90°，那么這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱互余；
②性質(zhì)：同角(或等角)的余角⑥
(3)補(bǔ)角：①定義：如果兩個(gè)角的和等于⑦ ，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；
②性質(zhì)：同角(等角)的補(bǔ)角⑧
(4)角平分線：①定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等；
②逆定理：角的內(nèi)部到角兩邊⑨ 的點(diǎn)在角的平分線上
3. 相交線
(1)對(duì)頂角：①舉例：∠1與∠3，∠2與⑩ ，∠5與∠7，∠6與?
②性質(zhì)：對(duì)頂角?
圖③
(2)鄰補(bǔ)角：
①舉例：∠1與∠4，∠2與∠3，∠5與∠8，∠6與∠7等
②性質(zhì)：鄰補(bǔ)角之和等于?
(3)三線八角：①同位角：∠1與∠5，∠2與? ，∠3與∠7，∠4與?
②內(nèi)錯(cuò)角：∠2與∠8，∠3與?
③同旁內(nèi)角：∠2與∠5，∠3與∠8
(4)垂線的性質(zhì)：
①在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有? 條直線垂直于已知直線(基本事實(shí))
②在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的線段中，? 最短
③點(diǎn)到直線的距離即直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度
(5)線段垂直平分線：
①定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等
②逆定理：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在該線段的垂直平分線上
4. 平行線(6年9考)
(1)平行公理及推論：
①公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有? 條直線平行于這條直線(基本事實(shí))
②推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線?
(2)平行線的判定和性質(zhì)：
①同位角? 兩直線平行
②內(nèi)錯(cuò)角? 兩直線平行
③同旁內(nèi)角? 兩直線平行
【滿分技法】1.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；
2.兩條平行線之間的距離處處相等
5. 命題
教材改編題練考點(diǎn)
如圖，從A地到B地的四條路線中，路程最短的是 ，理由為 .
第1題圖
2. 如圖，D是線段AB的中點(diǎn)，C是線段AD的中點(diǎn)，若AB＝4 cm，則線段CD長(zhǎng)為 .
第2題圖
3. 若一個(gè)角是38°，則它的余角為 ，補(bǔ)角為 .
4. 如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，若∠EOD＝55°，則∠BOD的度數(shù)為 °.
第4題圖
5. 下列圖形中，由AB∥CD能得到∠1＝∠2的是( )
6. 下列命題中，是真命題的是( )
A. 兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
B. 鄰補(bǔ)角之和等于180°
C. 兩個(gè)銳角的和是直角
D. 垂直于同一直線的兩條直線互相垂直
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1 角及角平分線 (6年4考，常在幾何題中涉及考查)
例1 (人教七上習(xí)題改編)如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，OD平分∠AOC，點(diǎn)E在OD上，EF⊥OA.
(1)若∠COD＝35°，則∠AOD＝ ，∠AOD的余角＝ ；
(2)若EF＝3，則點(diǎn)E到OC的距離為 ，其依據(jù)是 .
例1題圖
變式1 如圖，∠AOB余角的度數(shù)為( )
變式1題圖
A. 20° B. 30° C. 60° D. 80°
變式2 如圖，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于點(diǎn)D，PC＝4，則PD＝ .
變式2題圖
考點(diǎn)2 平行線的性質(zhì)及判定 (6年7考)
例2 如圖，直線AB與CD分別交EF于點(diǎn)G，H.
例2題圖
(1)添加一個(gè)條件：若 ，則AB∥CD(判定依據(jù)：同位角相等)；
(2)添加一個(gè)條件：若 ，則AB∥CD(判定依據(jù)：內(nèi)錯(cuò)角相等)；
(3)添加一個(gè)條件：若 ，則AB∥CD(判定依據(jù)：同旁內(nèi)角互補(bǔ)).
例3 已知直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點(diǎn)H，G，∠DGH＝60°.
(1)如圖①，與∠BHE相等的角有 ，∠BHG＝ ；
(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥AB交AB于點(diǎn)Q，則∠QGH＝ ，∠CGH＝ ；
(3)如圖③，若GM平分∠HGD，交直線AB于點(diǎn)M，則∠HMG＝ ，∠BMG＝ .
例3題圖
真題及變式
命題點(diǎn) 平行線性質(zhì)求角度 (6年4考)
1. (2024廣東4題3分)如圖，一把直尺，兩個(gè)含30°的三角尺拼接在一起，則∠ACE的度數(shù)為( )
A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°

第1題圖
2. (2023廣東4題3分·人教七下習(xí)題改編)如圖，街道AB與CD平行，拐角∠ABC＝137°，則拐角∠BCD＝( )
第2題圖
A. 43° B. 53° C. 107° D. 137°
3. (2022廣東4題3分·北師八上例題改編)如圖，直線a∥b，∠1＝40°，則∠2＝( )
第3題圖
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
4. (2019廣東12題4分)如圖，已知a∥b，∠1＝75°，則∠2＝ °.
第4題圖
拓展訓(xùn)練
5. (2024珠海斗門區(qū)一模)如圖，直線l1∥l2，分別與直線l交于點(diǎn)A，B，把一塊含30°角的三角尺按如圖所示的位置擺放.若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是( )
A. 130° B. 100° C. 90° D. 70°
第5題圖
6. (2024德陽(yáng))如圖是某機(jī)械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，則∠EDC等于( )
第6題圖
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
7. (2023金華)如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4的度數(shù)是( )
第7題圖
A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°
新考法
8. [跨物理學(xué)科](2024山西)一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行.若斜面的坡角α＝25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為( )
第8題圖
A. 155° B. 125° C. 115° D. 65°
考點(diǎn)精講
①BM ②12 ③AB ④AC ⑤AB ⑥相等 ⑦180°
⑧相等 ⑨距離相等 ⑩∠4 ?∠8 ?相等
?180° ?∠6 ?∠8 ?∠5 ?一 ?垂線段 ?一
?互相平行 ?相等 ?相等 ?互補(bǔ)
練考點(diǎn)
1. 3，兩點(diǎn)之間線段最短
2. 1 cm
3. 52°，142°
4. 70
5. D
6. B
高頻考點(diǎn)
例1 (1)35°，55°；
(2)3，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
變式1 B 【解析】由題圖可知∠AOB＝60°，∴∠AOB余角的度數(shù)為90°－60°＝30°.
變式2 2 【解析】如解圖，作PE⊥OB于點(diǎn)E，∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD，∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OA，∴∠BCP＝∠AOB＝30°，∴在Rt△PCE中，PE＝12PC＝12×4＝2，∴PD＝PE＝2.
變式2題解圖
例2 (1)∠EGB＝∠EHD(答案不唯一)
(2)∠BGF＝∠CHE(答案不唯一)
(3)∠BGF＋∠DHE＝180°(答案不唯一)
例3 (1)∠AHG，∠CGF，∠HGD；120°
(2)30°，120° 【解析】∵GQ⊥AB，∴∠GQH＝90°，∵AB∥CD，∴∠QGD＝90°，∵∠DGH＝60°，∴∠QGH＝∠QGD－∠DGH＝30°，∠CGH＝180°－∠DGH＝120°.
(3)30°，150° 【解析】∵∠DGH＝60°，GM平分∠HGD，∴∠MGD＝12∠DGH＝30°，∵AB∥CD，∴∠HMG＝∠MGD＝30°，∴∠BMG＝180°－∠HMG＝150°.
真題及變式
1. C 【解析】由題意，得∠A＝90°－30°＝60°，AB∥CE，∴∠ACE＝∠A＝60°.
2. D 【解析】∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝137°.
3. B 【解析】∵直線a∥b，∴∠2＝∠1＝40°.
4. 105
5. B 【解析】如解圖，∵l1∥l2，∴∠1＝∠3＝50°，又∵∠4＝30°，∴∠2＝180°－∠3－∠4＝180°－50°－30°＝100°.
第5題解圖
6. B 【解析】∵AB∥CD，∠ABC＝70°，∴∠BCD＝∠ABC＝70°，∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°，∴∠EDC＝90°－70°＝20°.
7. C 【解析】如解圖，∵∠1＝∠3＝50°，∴a∥b，∵∠2＝50°，∴∠2＝∠5＝50°，∴∠4＝180°－∠5＝130°.
第7題解圖
8. C 【解析】如解圖，∵重力G的方向豎直向下，∴∠3＝90°，∴∠α＋∠1＝90°，∴∠2＝∠1＝90°－25°＝65°，∵摩擦力F2的方向與斜面平行，∴∠β＋∠2＝180°，∴∠β＝180°－∠2＝180°－65°＝115°.
第8題解圖
命題
判斷一件事情的語(yǔ)句叫做命題，命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成
真命題
如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題
假命題
如果題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題
互逆
命題
在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的題設(shè)是另一個(gè)命題的結(jié)論，且這個(gè)命題的結(jié)論是另一個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題

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