2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想：體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難轉(zhuǎn)簡(jiǎn)，把不熟轉(zhuǎn)熟，把未知轉(zhuǎn)為已知的問(wèn)題。
第28講 與圓有關(guān)的計(jì)算
目 錄
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc157454092" \l "_Tc157028086" 一、考情分析
二、知識(shí)建構(gòu)
\l "_Tc157454093" 考點(diǎn)一 正多邊形與圓
\l "_Tc157454094" 題型01 求正多邊形中心角
\l "_Tc157454095" 題型02 求正多邊的邊數(shù)
\l "_Tc157454096" 題型03 正多邊形與圓中求角度
\l "_Tc157454097" 題型04 正多邊形與圓中求面積
\l "_Tc157454098" 題型05 正多邊形與圓中求周長(zhǎng)
\l "_Tc157454099" 題型06 正多邊形與圓中求邊心距、邊長(zhǎng)
\l "_Tc157454100" 題型07 正多邊形與圓中求線段長(zhǎng)
\l "_Tc157454101" 題型08 正多邊形與圓中求最值
\l "_Tc157454102" 題型09 尺規(guī)作圖-正多邊形
\l "_Tc157454103" 題型10 正多邊形與圓的規(guī)律問(wèn)題
\l "_Tc157454104" 考點(diǎn)二 弧長(zhǎng)、扇形面積、圓錐的有關(guān)計(jì)算
\l "_Tc157454105" 題型01 求弧長(zhǎng)
\l "_Tc157454106" 題型02 利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求半徑
\l "_Tc157454107" 題型03 利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求圓心角
\l "_Tc157454108" 題型04 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度
\l "_Tc157454109" 題型05 求扇形面積
\l "_Tc157454110" 題型06 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的面積
\l "_Tc157454111" 題型07 求圓錐側(cè)面積
\l "_Tc157454112" 題型08 求圓錐側(cè)面積
\l "_Tc157454113" 題型09 求圓錐底面半徑
\l "_Tc157454114" 題型10求圓錐的高
\l "_Tc157454115" 題型11 求圓錐側(cè)面積展開(kāi)圖的圓心角
\l "_Tc157454116" 題型12 圓錐的實(shí)際問(wèn)題
\l "_Tc157454117" 題型13 圓錐側(cè)面上的最短路徑問(wèn)題
\l "_Tc157454118" 考點(diǎn)三 不規(guī)則面積的有關(guān)計(jì)算
\l "_Tc157454119" 題型01 直接公式法
\l "_Tc157454120" 題型02 直接和差法
\l "_Tc157454121" 題型03 構(gòu)造和差法
\l "_Tc157454122" 題型04 等面積法
\l "_Tc157454123" 題型05 旋轉(zhuǎn)法
\l "_Tc157454124" 題型06 對(duì)稱法
\l "_Tc157454125" 題型07 全等法
考點(diǎn)一 正多邊形與圓
1. 正多邊形的相關(guān)概念
2. 正多邊形的常用公式
【解題思路】正多邊形與圓的計(jì)算問(wèn)題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形，而每個(gè)直角三角形都集中地反映了這個(gè)正n邊形各元素間的關(guān)系，故可以把正n邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計(jì)算．
3. 正多邊形常見(jiàn)邊心距與邊長(zhǎng)的比值
【備注】正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.
題型01 求正多邊形中心角
【例1】（2021·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則這個(gè)正六邊形的中心角和邊心距分別是（ ）
A．30°,1B．45°,2C．60°,3D．120°,2
【答案】C
【分析】由正六邊形的性質(zhì)得∠COD＝60°，再證△OCD是等邊三角形，得BC＝CD＝OC＝2，再由垂徑定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OG即可．
【詳解】解：在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，∠COD＝360°÷6＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等邊三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，
∴CG＝12BC＝1，
∵∠COG＝12∠COD＝30°，
∴OG＝3CG＝3，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2022·四川廣安·統(tǒng)考二模）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角∠COD的度數(shù)是（ ）
A．72°B．60°C．48°D．36°
【答案】A
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計(jì)算公式：360°n計(jì)算即可．
【詳解】解：∵五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，
∴五邊形ABCDE的中心角∠COD的度數(shù)為360°5=72°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式： 360°n是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2020·上海金山·統(tǒng)考一模）正十邊形的中心角等于 度．
【答案】36
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的定義即可求解．
【詳解】正十邊形的中心角等于360°÷10=36°
故答案為：36．
【點(diǎn)睛】此題主要考查中心角，解題的關(guān)鍵是熟知正n邊形的中心角等于360°n．
題型02 求正多邊的邊數(shù)
【例2】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，一個(gè)正多邊形紙片被一塊矩形擋板遮住一部分，則這個(gè)正多邊形紙片的邊數(shù)是（ ）

A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】先根據(jù)正多邊形的定義把圖形補(bǔ)充完整，再求解．
【詳解】解：根據(jù)正多邊形的定義把多邊形補(bǔ)充完整如下圖；

有圖形得：這個(gè)正多邊形紙片是六邊形，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，掌握正多邊形的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023·廣東陽(yáng)江·統(tǒng)考二模）如果一個(gè)正多邊形的中心角是45°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)=周角÷中心角，計(jì)算即可得解．
【詳解】解：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是360°÷45°=8，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的中心角的有關(guān)計(jì)算；熟記正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023·湖南長(zhǎng)沙·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心．若∠ADB=20°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】連接OA，OB，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=2∠ADB=40°，進(jìn)一步即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接OA，OB，
∵A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，
∴點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的同一個(gè)圓上，
∵∠ADB=20°，
∴∠AOB=2∠ADB=40°，
∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)=360°40°=9，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2021·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，連接DF．若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正多邊形的一邊，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為 ．
【答案】12
【分析】連接OA、OD、OF，如圖，利用正多邊形與圓，分別計(jì)算⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，則∠DOF=30°，然后計(jì)算360°30°即可得到n的值．
【詳解】解：連接OA、OD、OF，如圖，設(shè)這個(gè)正多邊形為n邊形，
∵AD，AF分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊，
∴∠AOD=360°4=90°，∠AOF=360°3=120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n=360°30°=12，即DF恰好是同圓內(nèi)接一個(gè)正十二邊形的一邊．
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓：把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念．
題型03 正多邊形與圓中求角度
【例3】（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在AB上，則∠CME的度數(shù)為（ ）

A．30°B．36°C．45°D．60°
【答案】D
【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可．
【詳解】解：連接OC、OD、OE，如圖所示：

∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，
∴∠COD= 3606=60°，則∠COE=120°，
∴∠CME= 12∠COE=60°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正n多邊形的中心角為360n是解答的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2022·廣西南寧·校聯(lián)考一模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE,CD相切于A,C兩點(diǎn)，則∠AOC的度數(shù)是（ ）
A．144°B．130°C．129°D．108°
【答案】A
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，結(jié)合正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108°，即可求解．
【詳解】解： ∵AE、CD切⊙O于點(diǎn)A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五邊形ABCDE的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：5?2×180°5=108° ，
∴∠AOC＝540°?90°?90°?108°?108°＝144°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，以及切線的性質(zhì)定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2022·福建福州·福建省福州延安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則∠OCD的度數(shù)為 °．
【答案】54
【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵多邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠COD=360°5=72°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=12×（180°-72°）=54°，
故答案為：54．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角與外角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是求出正五邊形中心角的度數(shù)．
題型04 正多邊形與圓中求面積
【例4】（2022·山西大同·校聯(lián)考一模）如圖，是一張邊長(zhǎng)為2的正六邊形紙版，連接對(duì)角線，則陰影部分的面積是（ ）

A．33B．63C．6D．12
【答案】A
【分析】由正六邊形從性質(zhì)可得陰影部分的面積等于正六邊形面積的一半，可得△ABC為等邊三角形，再計(jì)算正六邊形的面積即可得到答案.
【詳解】解：如圖，∵正六邊形，

∴圖形①，②，③，④，⑤，⑥與上半部分的陰影部分的圖形分別對(duì)應(yīng)相等，
∴整個(gè)陰影部分的面積為正六邊形的面積的一半，
∵正六邊形，
∴正六邊形的面積等于6S△ABC,△ABC為等邊三角形，AD⊥BC,
∴AB=BC=AC=2,BD=DC=1，
∴AD=3，
∴正六邊形的面積為：6S△ABC=6×12×2×3=63，
∴陰影部分的面積為：33.
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正六邊形的性質(zhì)，熟記正六邊形是軸對(duì)稱圖形是解本題的關(guān)鍵.
【變式4-1】（2023·海南海口·海師附中?？既＃┤鐖D，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為4，以頂點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積是 ．
【答案】245π
【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用扇形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵正五邊形的外角和為360°，
∴每一個(gè)外角的度數(shù)為360°÷5=72°，
∴正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°?72°=108°，
∵正五邊形的邊長(zhǎng)為4，
∴S陰影=108?π×42360=245π，
故答案為：245π．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓及扇形的面積的計(jì)算的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求得正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)并牢記扇形的面積計(jì)算公式，難度不大．
【變式4-2】（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）劉徽是中國(guó)古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積．設(shè)⊙O的半徑為2，若用⊙O的內(nèi)接正六邊形的面積來(lái)近似估計(jì)⊙O的面積，則⊙O的面積約為 ．
【答案】63
【分析】連接OA、OB，根據(jù)正多邊形和圓的關(guān)系可判斷出△OAB為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，再利用勾股定理即可求出OM長(zhǎng)，進(jìn)而可求出△AOB的面積，最后利用⊙O的面積約為6S△AOB即可計(jì)算出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，連接OA、OB

由題意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB為等邊三角形，
∴AB=2
過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，則AM=BM=1
在Rt△AOM中，OM=22?12=3
∴S△AOB=12×2×3=3
∴⊙O的面積約為6S△AOB=63
故答案為：63．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓、勾股定理等，正確應(yīng)用正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式4-3】．（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考二模）如圖，已知正六邊形ABCDEF，⊙O是此正六邊形的外接圓，若AB=2，則陰影部分的面積是 ．

【答案】23+43π
【分析】如圖，連接OA,OB,OF,OD，OA交BF于G，由正六邊形的性質(zhì)可得出△AOB是等邊三角形，△OFB?△ODB，進(jìn)而可得陰影部分的面積=三角形OBF的面積×2+扇形OFED的面積，然后根據(jù)三角形的面積和扇形的面積公式解答即可．
【詳解】解：如圖，連接OA,OB,OF,OD，OA交BF于G，
∵⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，
∴OA=OB=OF=OD,∠BOF=∠BOD=∠DOF=120°,∠AOB=60°，OG⊥BF，
∴△AOB是等邊三角形，△OFB?△ODB，
∴OA=OB=AB=2，
∴陰影部分的面積=三角形OBF的面積×2+扇形OFED的面積，
在直角三角形OBG中，OG=OB?cs60°=1,BG=OB?sin60°=3，
∴陰影部分的面積=12×1×3×2×2+120π×22360=23+4π3；
故答案為：23+43π

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓以及不規(guī)則圖形面積的計(jì)算，正確添加輔助線、熟練掌握正多邊形和圓的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
題型05 正多邊形與圓中求周長(zhǎng)
【例5】（2023·廣西欽州·統(tǒng)考一模）如圖，若一個(gè)正六邊形的對(duì)角線AB的長(zhǎng)為10，則正六邊形的周長(zhǎng)（ ）

A．5B．6C．30D．36
【答案】C
【分析】連接CD、EF，交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是正六邊形ACEBDF的中心，先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得∠AOC=60°，OC=OA=12AB=5，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得AC=OA=5，由此即可得．
【詳解】解：如圖，連接CD、EF，交于點(diǎn)O，

則點(diǎn)O是正六邊形ACEBDF的中心，
∵六邊形ACEBDF是正六邊形，AB=10，
∴∠AOC=360°6=60°，OC=OA=12AB=5，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AC=OA=5，
∴正六邊形ACEBDF的周長(zhǎng)為5×6=30，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）如圖，已知圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為24，則圖中陰影部分圖形的周長(zhǎng)是 （結(jié)果保留π）．

【答案】43π+4
【分析】連接OA，OB，根據(jù)正六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接六邊形得出AB=BC=CD=DE=EF=AF，求出圓心角∠AOB的度數(shù)，再求出弧AB的長(zhǎng)度，最后求出答案即可．
【詳解】解：連接OA、OB，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為24，
∴AB=BC=CD=DE=EF=AF，
∴正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，
∴AB=4，
∴∠AOB=16×360°=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA=OB=AB=4，
∴陰影部分的周長(zhǎng)是60π×4180+4=43π+4．
故答案為：43π+4．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，扇形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，能求出圓心角∠AOB的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG等于33，則⊙O的周長(zhǎng)等于 ．
【答案】12π
【分析】連接OC、OD，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到∠COD=60°，OC=OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CG=DG，∠COG=12∠COD=30°，利用三角函數(shù)解直角三角形得到求出半徑，再根圓的周長(zhǎng)計(jì)算即可解題．
【詳解】解：如圖，連接OC、OD，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠COD=60°，OC=OD，
∵OG⊥CD，
∴CG=DG，∠COG=12∠COD=30°，
∵OG=33，
∴OC=OGcs∠COG=33÷cs30°=6，
∴⊙O的周長(zhǎng)2×6π=12π．
故答案為：12π．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、圓的周長(zhǎng)計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023·江蘇南京·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=4，順次連接AB、BC、CD、DE、EF、FA的中點(diǎn)A1、B1、C1、D1、E1、F1，則六邊形A1B1C1D1E1F1的周長(zhǎng)是 ．
【答案】123
【分析】連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥A1B1于點(diǎn)M，先說(shuō)明六邊形A1B1C1D1E1F1為正六邊形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)求出A1B1=23，即可得出周長(zhǎng)．
【詳解】解：連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥A1B1于點(diǎn)M，如圖所示：
∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴BC=CD=DE=EF=FA=AB=4，∠ABC=180°?360°6=120°，
∵A1、B1為AB、BC的中點(diǎn)，
∴A1B1=12AC，
同理可得：B1C1=12BD，C1D1=12CE，D1E1=12DF，E1F1=12AE，F(xiàn)1A1=12FB，
∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴AC=BD=CE=DF=EA=FB，
∴A1B1=B1C1=C1D1=D1E1=E1F1=F1A1，
∵A1B=12AB=2，B1B=12BC=2，
∴A1B=B1B，
∵BM⊥A1B1，
∴∠A1BM=12∠A1BB1=60°，A1M=12A1B1，
∴A1M=A1B×sin60°=2×32=3，
∴A1B1=23，
∴六邊形A1B1C1D1E1F1的周長(zhǎng)是6×23=123．
故答案為：123．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出A1B1=23．
題型06 正多邊形與圓中求邊心距、邊長(zhǎng)
【例6】（2023·河北衡水·衡水桃城中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，這個(gè)正五邊形的邊長(zhǎng)為a，半徑為R，邊心距為r，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（ ）
A．r=Rcs36°B．a(chǎn)=2Rsin36°C．a(chǎn)=2rtan36°D．a(chǎn)=rsin36°
【答案】D
【分析】先根據(jù)正多邊形的性質(zhì)求出∠BOC=72°，進(jìn)而求出∠1=36°，BF=12a，再解直角三角形即可得到答案．
【詳解】解：∵⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，
∴∠BOC=15×360°=72°，
∵OB=OC，OF⊥BC，
∴∠1=12∠BOC=12×72°=36°，BF=12BC=12a，
∴12a=Rsin36°，即a=2Rsin36°，故B不符合題意；D符合題意；
12a=rtan36°，即a=2rtan36°，故C不符合題意；
cs36°=rR，即r=Rcs36°，故A不符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正五邊形、解直角三角形的知識(shí)，掌握?qǐng)A內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)，并求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？家荒＃┮阎袿的半徑為1，則它的內(nèi)接正三角形邊心距為 ．
【答案】12/0.5
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：如圖，△ABC是等邊三角形，⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，連接OB，OC，OB=1，
∵∠BOC=2∠A=120°，OB=OC，
∴∠OBD=30°，
在Rt△OBD中，OD=12OB=12，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，已知⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OM是3，則正六邊形的邊長(zhǎng)為 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)可求出∠DOE=60°，進(jìn)而得出△DOE是正三角形，由圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系可求出邊長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖，連接OD、OE，
∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，
∴∠DOE=360°6=60°，
∵OD=OE，
∴△DOE是正三角形，
∵⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OM是3，
∴OD=OM3×2=2=DE，
即正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，勾股定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023·湖南衡陽(yáng)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓的半徑為R，那么它的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)是 ．
【答案】3R
【分析】根據(jù)正三角形外心的性質(zhì)得AD⊥BC，OC=R，∠BCE=30°，BC=2CD，再根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求出邊長(zhǎng)即可．
【詳解】解：如圖所示，O為正三角形△ABC外接圓的圓心，
∴AD⊥BC，OC=R，∠BCE=12∠BCA=30°，BC=2CD，
在Rt△ODC中，
∵∠BCE=30°，OC=R，
∴OD=12OC=12R，CD=OC2?OD2=32R，
∴BC=3R
故答案為：3R
【點(diǎn)睛】本題考查圓與正多邊形的相關(guān)計(jì)算，解題關(guān)鍵掌握正三角形外心的性質(zhì)．
【變式6-4】（2022·陜西西安·高新一中校考模擬預(yù)測(cè)）半徑為4的正六邊形的邊心距為 ．
【答案】23
【分析】首先根據(jù)題意作出圖形，由正六邊形的性質(zhì)，易得△BOC是等邊三角形，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，可求得OH的值，繼而可求得答案．
【詳解】解：如圖所示，連接OB、OC，作OH⊥BC與H，

∵此六邊形是正六邊形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，OB=OC，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠OBC=60°，
∵正六邊形的半徑為4，
∵OB=4，
∵OH⊥BC，
∴在Rt△OBH中，
sin60°=OHOB=32，
OH=4×32=23，
即這個(gè)正六邊形的邊心距為23．
故答案為：23．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓的知識(shí)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線；由正六邊形的性質(zhì)判斷出△BOC的形狀是解答此題的關(guān)鍵．
題型07 正多邊形與圓中求線段長(zhǎng)
【例7】（2023·安徽六安·統(tǒng)考三模）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是其中心，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且AP:BP=1:2，連接OP，則OP=（ ）

A．2B．27C．4D．6
【答案】B
【分析】如圖，連接OA，作OG⊥AB，垂足為G，構(gòu)造直角三角形；
Rt△OAG中，OG=OAsin∠OAG=33，由勾股定理，OP=OG2+PG2=27．
【詳解】如圖，連接OA，作OG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，則OA=6，AG=12AB=3
Rt△OAG中，OG=OAsin∠OAG=6×sin60°=33，PG=AG?AP=3?13×6=1
∴OP=OG2+PG2=12+(33)2=27
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，解直角三角形；通過(guò)添設(shè)輔助線將正多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為63的正六邊形ABCDEF中，連接BE，CF，相交于點(diǎn)O，若點(diǎn)M，N分別為OB，OF的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（ ）

A．6B．63C．8D．9
【答案】D
【分析】連接BF，利用BCF是含30°角的直角三角形，再利用MN是三角形BOF的中位線求MN即可.
【詳解】解：連接BF，

∵在正六邊形ABCDEF中，∠A=∠ABC=120°，AB=AF，
∴∠ABF=30°
∴∠CBF=∠ABC?∠ABF=90°，
∴在正六邊形ABCDEF中，∠BOC=60°，OB=OC
∴BOC是等邊三角形，
∴∠BCF=90°，
∴BCF是含30°角的直角三角形
又∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為63，即BC=63
∴CF=123，
∴BF=CF2?BC2=1232?632=18
∵點(diǎn)M，N分別為OB，OF的中點(diǎn)，
∴MN是三角形BOF的中位線，
∴MN=12BF=9
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和中心角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形三邊關(guān)系，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
【變式7-2】（2023·浙江·統(tǒng)考二模）如圖，要擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六邊形螺帽，則扳手張開(kāi)的開(kāi)口b至少為（ ）

A．2aB．3aC．32aD．32a
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍．構(gòu)造一個(gè)由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，且其半邊所對(duì)的角是30°，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識(shí)求解．
【詳解】設(shè)正多邊形的中心是O，其一邊是AB，

∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四邊形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴ cs∠BAC=AMAB，
∴AM= 32a，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC= 12 AC，
∴AC=2AM= 3a．
扳手張開(kāi)的開(kāi)口b至少為3a .
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD和等邊三角形AEF均內(nèi)接于⊙O，則ABAE的值為（ ）
A．62B．32C．23D．63
【答案】D
【分析】如圖所示，連接AC，CE，由正方形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，∠ACB=45°，則AC是直徑，即可得到∠AEC=90°，解Rt△ABC得到AB=22AC，再由等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到∠ACE=∠AFE=60°，解Rt△AEC得到AE=32AC，由此即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，連接AC，CE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴AC是直徑，
∴∠AEC=90°，
在Rt△ABC中，AB=AC?sinACB=22AC，
∵△AEF是等邊三角形，
∴∠ACE=∠AFE=60°
在Rt△AEC中，AE=AC?sinACE=32AC，
∴ABAE=2232=63，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，解直角三角形，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
題型08 正多邊形與圓中求最值
【例8】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一個(gè)正n邊形繞其中心O旋轉(zhuǎn)45°或60°都能和其本身重合，則n的最小值是（ ）

A．6B．8C．12D．24
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得出正n邊形的中心角最大為15°，然后由圓周角除以中心角即可得出結(jié)果．
【詳解】解：正n邊形繞其中心O旋轉(zhuǎn)45°或60°都能和其本身重合，
∵45°和60°最大公約數(shù)為15°，
∴正n邊形的中心角最大為15°，
∴360°÷15°=24，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，解答此題的關(guān)鍵是要明確繞其中心O旋轉(zhuǎn)45°或60°都能和其本身重合得出正n邊形的中心角最大為15°．
【變式8-1】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形紙片ABCDEF上剪一個(gè)正方形GHIJ，若GH∥AB，則得到的正方形邊長(zhǎng)最大為( )

A．6B．23C．3?3D．6?23
【答案】D
【分析】當(dāng)正方形頂點(diǎn)落在正六邊形邊上時(shí)，正方形面積最大，由此畫出圖形求解即可．
【詳解】解析：當(dāng)正方形頂點(diǎn)落在正六邊形邊上時(shí)，正方形面積最大．
如圖，取正六邊形的中心O，連接OA，OF，OG，OF交GJ于點(diǎn)M，

此時(shí)，OF垂直平分GJ，正方形的中心也是O，△AFO是等邊三角形，
∴∠GFO=60°，∠GOF=45°，OF=AF=2．
設(shè)FM=x，則MO=MG=3FM=3x，
∴x+3x=2，解得x=3?1，
∴MG=3?3，
∴正方形的邊長(zhǎng)為：2MG= 6?23，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系，正六邊形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意畫出符合條件的正方形是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=4，O為AD的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，3為半徑作⊙O，M為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M到正六邊形上的點(diǎn)的距離為d．
（1）OA= ．
（2）當(dāng)△BCM面積最小時(shí)，點(diǎn)M到BC的距離為 ，d的最大值為 ．
【答案】 4 3 4+3/3+4
【分析】（1）連接OB，可得△AOB是等邊三角形，即可；
（2）當(dāng)OM垂直平分BC時(shí)，△BCM面積最小，設(shè)OM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)N，連接OB，根據(jù)勾股定理求出ON的長(zhǎng)，即可；根據(jù)題意得當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，d最大，即可．
【詳解】解：（1）連接OB，
在正六邊形ABCDEF中，∠AOB=360°6=60°，OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OB=AB=4；
故答案為：4
（2）如圖1，當(dāng)OM垂直平分BC時(shí)，△BCM面積最小，設(shè)OM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)N，連接OB．
∴∠BON=12×60°=30°，OB=OA=AB=4，BN=12BC=12AB=2，
∴ON=OB2?BN2=23，
∴MN=ON?OM=23?3=3，
即此時(shí)M到BC的距離為3．
如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，d最大，d=OM+OD=OM+OA=4+3．
故答案為：3；4+3
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形與圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2022·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)P為⊙O上一點(diǎn)，連接OP，且OP=4，點(diǎn)A為OP上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接AB，以線段AB為邊在⊙O內(nèi)構(gòu)造矩形ABCD，且點(diǎn)C在⊙O上，則矩形ABCD面積的最大值為 ．
【答案】32
【分析】根據(jù)當(dāng)圓的半徑確定以后，圓內(nèi)接正方形是圓內(nèi)接矩形中面積最大的，進(jìn)而求得圓內(nèi)接正方形的面積，則矩形ABCD面積的最大值為圓內(nèi)接正方形面積，據(jù)此求解即可．
【詳解】如圖，四邊形BCEF是圓O的內(nèi)接正方形，當(dāng)圓的半徑確定以后，圓內(nèi)接正方形是圓內(nèi)接矩形中面積最大的；
點(diǎn)A，D分別是正方形的對(duì)邊BF，CE的中點(diǎn)，
此時(shí)矩形ABCD的面積恰好是正方形BCEF的面積，
圓O的直徑PQ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D，
連接BE ，
∵四邊形BCEF是圓O的內(nèi)接正方形，OP=4，
∴BE = PQ = 2OP =8，BC = CE，
∵∠C= 90°，
∴BC2 + CE2 = 2BO2 = BE2 = 82，
∴BC2=32，即S正方形BCEF=32，
如圖，當(dāng)P,A重合時(shí)，當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)都在圓上時(shí)，四邊形ABCD是正方形
矩形ABCD面積的最大值為32．
故答案為：32．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵．
題型09 尺規(guī)作圖-正多邊形
【例9】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知⊙O，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作⊙O的一個(gè)內(nèi)接正方形（保留作圖痕跡，不寫作法）．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】先作直徑AC，再作AC的垂直平分線交O于點(diǎn)B，D，則四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正方形．
【詳解】解：如圖，正方形ABCD即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖：首先要理解題意，弄清問(wèn)題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作出圖，同時(shí)此題也考查了正多邊形和圓．
【變式9-1】（2019·江西南昌·校聯(lián)考三模）已知正八邊形ABCDEFGH，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，分別按下列要求作圖．
（1）在圖①中，作一個(gè)正方形；
（2）在圖②中，作一個(gè)與原圖形不相同的正八邊形．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.
【分析】（1）連接BD，DF，F(xiàn)H，HB，由原圖形為正八邊形，得到各邊相等，各內(nèi)角相等，可得三角形BCD，三角形DEF，三角形FGH，三角形HAB全等，進(jìn)而得到四邊形BDFH四邊相等，利用等邊對(duì)等角以及正八邊形的內(nèi)角，確定出四邊形BDFH四個(gè)角都為直角，可得出四邊形BDFH即為所求正方形；
（2）連接AE、DH，相交于點(diǎn)O，由正八邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)O為正八邊形的中心點(diǎn)，且OD=OE，再延長(zhǎng)CD、FE，相交于點(diǎn)N，由補(bǔ)角的定義和等角對(duì)等邊可得ND=NE，連接ON，與DE相交于點(diǎn)M，則ON為DE的垂直平分線，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，同理可得其他各邊的中點(diǎn)，依次連接原正八邊形ABCDEFGH的各邊中點(diǎn)，依次得到四周小三角形全等，得到紅線部分八邊形各邊相等，再利用等邊對(duì)等角以及正八邊形的內(nèi)角，確定出紅線部分八邊形八個(gè)角都相等，可得所求正八邊形．
【詳解】（1）如圖1，連接BD，DF，F(xiàn)H，HB，四邊形BDFH即為所求正方形；
（2）如圖2，連接AE、DH，相交于點(diǎn)O，由正八邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)O為正八邊形的中心點(diǎn)，且OD=OE，再延長(zhǎng)CD、FE，相交于點(diǎn)N，由補(bǔ)角的定義和等角對(duì)等邊可得ND=NE，連接ON，與DE相交于點(diǎn)M，則ON為DE的垂直平分線，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，同理可得其他各邊的中點(diǎn)，依次連接原正八邊形ABCDEFGH的各邊中點(diǎn)，可得所求正八邊形．
【點(diǎn)睛】此題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，正方形的判定與性質(zhì)，以及正多邊形和圓，熟練掌握正多邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2022·江西九江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O為正五邊形ABCDE的外接圓，已知CF=13BC，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．
(1)在圖1中的邊DE上求作點(diǎn)G，使DG=CF；
(2)在圖2中的邊DE上求作點(diǎn)H，使EH=CF．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）連接AO并延長(zhǎng) 與CD相交，連接EF交AO延長(zhǎng)線于M，連接BM與DE的交點(diǎn)即為所求作；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長(zhǎng)與DE相交，連接AG交BO延長(zhǎng)線于N，連接CN并延長(zhǎng)即可．
【詳解】（1）連接AO并延長(zhǎng) 與CD相交，連接EF交AO延長(zhǎng)線于M，連接BM交DE于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為所求作，如圖1所示；
理由：
∵⊙O為正五邊形的外接圓，
∴直線AO是正五邊形ABCDE的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)D分別是一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)．
∵點(diǎn)M在直線AO上，
∴射線BM與射線EF關(guān)于直線AO對(duì)稱，從而點(diǎn)F與點(diǎn)G關(guān)于直線AO對(duì)稱，
∴CF與DG關(guān)于直線AO對(duì)稱．
∴DG=CF．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長(zhǎng)與DE相交，連接AG交BO延長(zhǎng)線于N，連接CN，如圖2所示；

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖：無(wú)刻度直尺作圖，考查了正五邊形的對(duì)稱性質(zhì)，掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型10 正多邊形與圓的規(guī)律問(wèn)題
【例10】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正八邊形ABCDEFGH的中心與原點(diǎn)O 重合，頂點(diǎn)A，E在y軸上，頂點(diǎn)G，C在x軸上，連接OB，過(guò)點(diǎn)A作OB 的垂線，垂足為P，將△APB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45°，已知OA=3，則第82次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）

A．32,?32B．?32,32C．0,32D．32,0
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，結(jié)合正八邊形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)通過(guò)探索將△APB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45°，則每旋轉(zhuǎn)8次回到初始位置，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵多邊形ABCDEFGH是正八邊形，
∴∠AOB=360°÷8=45°，
在Rt△APO中，OP=OA =3cs45°=3×22=322，
如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，

在Rt△OPQ中，OP=OQ=322cs45°=322×22=32
∵∠BOC=∠AOB=45°
∴PQ=OQ=32
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為32,32
將△APB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45°，則每旋轉(zhuǎn)8次回到初始位置，
∴第80次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，△APB回到初始位置，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為32,32
連接OD，82次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)點(diǎn)P'位于OD上，
∴OP'=OP，∠P'OQ=∠POQ=45°
∴.點(diǎn)P'與點(diǎn)P關(guān)于x 軸對(duì)稱，
∴P'32,?32
∵第82次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為32,?32
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓、坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，準(zhǔn)確識(shí)圖探索規(guī)律是解題關(guān)鍵．
【變式10-1】（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形ABCDEF的邊AB在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，AB=2．將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）

A．?3,?23B．?2,?23C．?3,?3D．?2,?3
【答案】A
【分析】連接AD、BD，首先確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)6次一個(gè)循環(huán)，由2025÷6=337……3，推出經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的D3的坐標(biāo)相同即可解答．
【詳解】解：如圖，連接AD，BD．
在正六邊形ABCDEF中，AB=2，AD=4，∠ABD=90°，
∴BD=2，
在Rt△AOF中，AF=2，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
∴OA=12AF=1，
∴OB=OA+AB=3，
∴D3,23，
∵將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，6次一個(gè)循環(huán)，

∵2025÷6=337?3，
∴經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與第3次旋轉(zhuǎn)得到的D3的坐標(biāo)相同，
∵D與D3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴D3?3,?23，
∴經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)?3,?23，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，規(guī)律型問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，學(xué)會(huì)探究規(guī)律方法是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)P．將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ）
A．3,?1B．?1,?3C．?3,?1D．1,3
【答案】B
【分析】首先確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)4次一個(gè)循環(huán)，推出經(jīng)過(guò)第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A的坐標(biāo)即可．
【詳解】解：正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為2，中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝AO2?AP2＝3，
∴A（1，3），
第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，-1）；
第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，?3）；
第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（?3，1）；
第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）；
∵將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，
∴4次一個(gè)循環(huán)，
∵2022÷4＝505……2，
∴經(jīng)過(guò)第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，?3），
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，規(guī)律型問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．
【變式10-3】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長(zhǎng)為2，正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切……按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A10B10C10D10E10F10的邊長(zhǎng)為 ．
【答案】813256
【分析】連接OE1，OD1，OD2，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得∠E1OD1=60°，則△E1OD1為等邊三角形，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=32E1D1=32×2，利用正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑可得正六邊形A2B2C2D2E2F2的邊長(zhǎng)=32×2，同理可得正六邊形A3B3C3D3E3F3的邊長(zhǎng)=322×2，依此規(guī)律求解即可．
【詳解】解：連接OE1，OD1，OD2，如圖所示，
∵六邊形A1B1C1D1E1F1為正六邊形，
∴∠E1OD1=60°，
∴△E1OD1為等邊三角形，
∵正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，
∴OD2⊥E1D1，
∴OD2=32E1D1=32×2，
∴正六邊形A2B2C2D2E2F2的邊長(zhǎng)=32×2，
同理可得正六邊形A3B3C3D3E3F3的邊長(zhǎng)=322×2，
∴正六邊形A10B10C10D10E10F10的邊長(zhǎng)=329×2=813256．
故答案為：813256．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于利用正六形邊的一邊與圓的兩條半徑可構(gòu)成特殊的三角形——等邊三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)．
考點(diǎn)二 弧長(zhǎng)、扇形面積、圓錐的有關(guān)計(jì)算
設(shè)⊙O QUOTE 的半徑為R，n° QUOTE 圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則

1） 利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)先確定弧所對(duì)的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結(jié)果．在弧長(zhǎng)公式l=nπR180 中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量．
2）在利用扇形面積公式求面積時(shí)，關(guān)鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長(zhǎng)，然后直接代入公式S扇形= nπR2 360或 S扇形 = 12lR中求解即可．
3）扇形面積公式S扇形= 12lR 與三角形面積公式十分類似為了便于記憶，只要把扇形看成一個(gè)曲邊三角形、把弧長(zhǎng)l看成底，R看成底邊上的高即可.
4）根據(jù)扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式，已知S扇形，l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出另外兩個(gè)量．
5）在解決有關(guān)圓錐及其側(cè)面展開(kāi)圖的計(jì)算題時(shí)，常借助圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)，即
2πr=nπR180，來(lái)建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線R和側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角n°之間的關(guān)系，有時(shí)也根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式來(lái)解決問(wèn)題．
6）求弧長(zhǎng)或扇形的面積問(wèn)題常結(jié)合圓錐考查，解這類問(wèn)題只要抓住圓錐側(cè)面展開(kāi)即為扇形，而這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于原圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于原圓錐的母線長(zhǎng)．注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開(kāi)后的扇形半徑兩個(gè)概念．
題型01 求弧長(zhǎng)
【例1】（2023·河北滄州·校考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點(diǎn)C為圓心，CA的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，則弧AD的長(zhǎng)為（ ）
A．πB．43 πC．53 πD．2π
【答案】B
【分析】連接CD，根據(jù)∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度數(shù)，再根據(jù)AC=CD以及∠A的度數(shù)即可得到∠ACD的度數(shù)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．
【詳解】解：連接CD，如圖所示：
∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°-30°=60°，AC=12AB=4，
由題意得：AC=CD，
∴△ACD為等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
∴AD的長(zhǎng)為：60π×4180＝43π，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是：求出弧所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)以及弧所在扇形的半徑．
【變式1-1】（2023·廣東汕頭·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，若∠B=30°．則AC的長(zhǎng)為 （結(jié)果用含有π的式子表示）
【答案】23π/2π3
【分析】利用同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍得到∠AOC=60°，再利用弧長(zhǎng)公式求解即可．
【詳解】∵∠AOC=2∠B，∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
∵⊙O的半徑為2，
∴l(xiāng)AC?=60π×2180=23π，
故答案為：23π．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和弧長(zhǎng)公式，即l=nπr180，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，則AB的長(zhǎng)是 （結(jié)果保留π）
【答案】2π
【分析】連接OA、OB，可證∠AOB＝90°，根據(jù)勾股定理求出AO，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可．
【詳解】解：連接OA、OB．
∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO，
∴AB=BC=CD=AD，
∴∠AOB＝14×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO2＋BO2＝2AO2＝42＝16，
解得：AO＝22，
∴AB的長(zhǎng)＝90π×22180=2π，
故答案為：2π．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式和正方形的性質(zhì)，能求出∠AOB的度數(shù)和OA的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市第十一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，弦AE的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，∠CAD=35°，連接BC．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）若AB=2，求EC的長(zhǎng)．
【答案】（1）55°；（2）7π18．
【分析】（1）連接OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，則判斷OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度數(shù)，即可求解；
（2）利用（1）的結(jié)論先求得∠AEO=∠EAO=70°，再平行線的性質(zhì)求得∠COE=70°，然后利用弧長(zhǎng)公式求解即可．
【詳解】解：（1）連接OC，如圖，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，∠CAD=35°，
∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠OAC=55°；
（2）連接OE，OC，如圖，
由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAO=70°，
∵OC∥AE，
∴∠COE=∠AEO=70°，
∴AB=2，則OC=OE=1，
∴EC的長(zhǎng)為nπr180=70π180=7π18．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線．
【變式1-4】（2023·湖北孝感·統(tǒng)考二模）如圖，分別以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，作半徑均為1的三個(gè)圓，三圓兩兩不相交，那么三個(gè)圓落在△ABC內(nèi)的三段弧長(zhǎng)度之和為（ ）

A．3πB．2πC．πD．12π
【答案】C
【分析】由圖示可得在△ABC內(nèi)的三段弧長(zhǎng)度之和為一個(gè)半圓的弧長(zhǎng)．
【詳解】解：根據(jù)圖示可得：在△ABC內(nèi)的三段弧長(zhǎng)度之和為：180π×1180=π，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，解答此題的關(guān)鍵是明確三角形內(nèi)角與扇形的圓心角的關(guān)系．
題型02 利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求半徑
【例2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)扇形的圓心角為120°，扇形的弧長(zhǎng)12π，則扇形半徑是 ．
【答案】18
【分析】利用弧長(zhǎng)公式l=nπr180進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：弧長(zhǎng)=nπr180=120π?r180=12π，
解得r=18．
故答案為：18
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)．
【變式2-1】（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)扇形的圓心角為36°，面積為π10cm2，則該扇形的半徑為 cm．
【答案】1
【分析】根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)該扇形的半徑為Rcm，則36πR2360=π10，
解得R=1（負(fù)值舍去）．
即該扇形的半徑為1cm．
故答案是：1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積公式，掌握計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．即S扇形=nπR2360（其中n是圓心角的度數(shù)，R是扇形的半徑）．
【變式2-2】（2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A，B，C，D為⊙O上的點(diǎn)，且直線AB與CD夾角為45°．若AB，AC，CD的長(zhǎng)分別為π，π和3π，則⊙O的半徑是（ ）

A．4B．4.5C．5D．5.5
【答案】A
【分析】延長(zhǎng)BA，與直線CD交于E，連接BD，設(shè)弧長(zhǎng)為π所對(duì)的圓周角為α，根據(jù)題意得出∠BDC=2α，∠ABD=4α，利用三角形內(nèi)角和定理求得α=135°6，即可求得弧長(zhǎng)為π所對(duì)的圓心角為135°6×2=45°，代入弧長(zhǎng)公式即可求得⊙O的半徑．
【詳解】解：延長(zhǎng)BA，與直線CD交于E，連接BD，⊙O的半徑為R，
∵AB，AC，CD的長(zhǎng)分別為π，π和3π，
∴BC的長(zhǎng)為2π，AD的長(zhǎng)為4π，
∴設(shè)弧長(zhǎng)為π所對(duì)的圓周角為α，則∠BDC=2α，∠ABD=4α，
∵∠BDC+∠ABD+∠E=180°，∠E=45°，
∴2α+4α+45°=180°，
∴α=135°6，
∴弧長(zhǎng)為π所對(duì)的圓心角為135°6×2=45°，
∴45π×R180=π，
∴R=4，
故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓周角定理，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理，求得弧長(zhǎng)為π所對(duì)的圓心角是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2020·甘肅酒泉·統(tǒng)考二模）已知一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為2π，扇形的面積是4π，則它的半徑為 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)扇形面積公式和扇形的弧長(zhǎng)公式之間的關(guān)系S=12lr即可求解．
【詳解】解：由扇形的面積公式S=12lr可得：
4π=12×2π×r，解得r=4，
故答案為4．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，解此類題目的關(guān)鍵是注意觀察已知所給的條件：如果已知扇形半徑和圓心角，則利用公式S=nπr2360，如圖已知扇形半徑和弧長(zhǎng)則利用公式S=12lr．
題型03 利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求圓心角
【例3】（2021·山東德州·統(tǒng)考二模）一個(gè)滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的半徑是10cm，當(dāng)重物上升10cm時(shí)，滑輪的一條半徑OA繞軸心O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角度約為（ ）
A．120°B．60°C．180°D．450°
【答案】B
【分析】設(shè)OA旋轉(zhuǎn)的角度為n，由于重物上升10 cm，則點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)為10 cm，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出．
【詳解】解：設(shè)OA旋轉(zhuǎn)的角度為n，
由于重物上升10 cm，則點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)為10 cm，
由弧長(zhǎng)公式l=nπR180，得10=nπ×10180，
∴n≈60.
故旋轉(zhuǎn)角度為60°
故選：B.
【點(diǎn)睛】此題考查了弧長(zhǎng)公式，正確理解重物上升的10cm就是弧長(zhǎng)，所求的度數(shù)就是圓心角是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）已知一條弧的半徑為9，弧長(zhǎng)為8π，那么這條弧所對(duì)的圓心角為 ．
【答案】160°/160度
【分析】把弧長(zhǎng)公式nπr180進(jìn)行變形，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：∵l=nπr180，
∴n=180lπr=180×8π9π=160°，
故答案為：160°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，正確掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式及其變形是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2021·浙江金華·統(tǒng)考一模）一個(gè)圓被三條半徑分成面積比為2：3：4的三個(gè)扇形，則最小扇形的圓心角為 ．
【答案】80°/80度
【分析】因?yàn)橐粋€(gè)圓被三條半徑分成面積比為2：3：4的三個(gè)扇形，所以其圓心角之比也為2：3：4，則最小扇形的圓心角度數(shù)可求．
【詳解】解：由題意可得，三個(gè)圓心角的和為360°，
又因?yàn)槿齻€(gè)圓心角的度數(shù)比為2：3：4，
所以最小的圓心角度數(shù)為：360°×29=80°．
故答案為：80°．
【點(diǎn)睛】此題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖及相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角的度數(shù)=360°×該部分占總體的百分比．
題型04 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度
【例4】（2022·河北·校聯(lián)考一模）如圖，已知AB的半徑為5，所對(duì)的弦AB長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到AB'，則在該旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是（ ）

A．52πB．5πC．25πD．2π
【答案】B
【分析】根據(jù)已知AB的半徑為5，所對(duì)的弦AB長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，利用垂徑定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根據(jù)勾股定理可得AP的長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式即可求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．
【詳解】如圖，設(shè)AB的圓心為O，連接OP交AB于C，連接OA,AP, AB′, AP′,

∵圓O半徑為5，所對(duì)的弦AB長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，
根據(jù)垂徑定理，得
AC＝12AB＝4，PO⊥AB，
OC＝OA2?AC2＝3，
∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，
∴AP＝AC2+PC2＝25，
∵將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到AB'，
∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，
∴LPP′＝90π×25180＝5π．
則在該旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是5π．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算，熟練掌握垂徑定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2021·貴州遵義·校考二模）如圖，扇形OAB的圓心角為30°，半徑為1，將它在水平直線上向右無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)到O'A'B'的位置時(shí)，則點(diǎn)O到點(diǎn)O'所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 ．
【答案】7π6
【分析】點(diǎn)O到點(diǎn)O′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)分三段，先以A為圓心，1為半徑，圓心角為90度的弧長(zhǎng)，再平移了AB弧的長(zhǎng)，最后以B為圓心，1為半徑，圓心角為90度的弧長(zhǎng)．根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵扇形OAB的圓心角為30°，半徑為1，
∴AB弧長(zhǎng)＝30×π×1180＝π6，
∴點(diǎn)O到點(diǎn)O′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)＝90×π×1180×2+π6=7π6，
故答案為：7π6.
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，理解點(diǎn)O到點(diǎn)O′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)分三段是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在活動(dòng)課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設(shè)計(jì)風(fēng)車．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點(diǎn)通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 ．（結(jié)果保留π）

【答案】4π3
【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑是圓弧，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，易知AB=4，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圓弧的長(zhǎng)度即可．
【詳解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B點(diǎn)通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為60π·4180=4π3，
故答案為：4π3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及圓弧的求法，熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A2,4，B1,1，C4,3．
(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A1B1C1；
(2)請(qǐng)畫出△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2，求點(diǎn)A到A2所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析，102π
【分析】（1）分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．
（2）分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可，再利用弧長(zhǎng)公式求解即可．
【詳解】（1）如圖所示△A1B1C1即為所求；
（2）如圖所示△A2B2C2即為所求，
∵ AB=12+32=10，
∴點(diǎn)A到A2經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)l=90π?10180=102π．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖——旋轉(zhuǎn)變換，中心對(duì)稱，勾股定理和弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置．
題型05 求扇形面積
【例5】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，得EC，連接AC，AE，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．2πB．4πC．33πD．233π
【答案】A
【分析】利用等六邊形的性質(zhì)計(jì)算出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)扇形面積計(jì)算公式計(jì)算即可．
【詳解】解：過(guò)B點(diǎn)作AC垂線，垂足為G，
根據(jù)正六邊形性質(zhì)可知，∠CAB=∠BCA=30°，
∴AC=2AG=2×AB2?GH2=2×22?12=23，
∴S扇形=60×(23)2×π360=2π，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積的計(jì)算，根據(jù)正六邊形性質(zhì)計(jì)算出扇形的半徑是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023·廣東梅州·校考模擬預(yù)測(cè)）扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積（結(jié)果保留π）為 ．
【答案】π
【分析】根據(jù)扇形面積公式可直接進(jìn)行求解．
【詳解】解：由題意得：該扇形的面積為90×22×π360=π；
故答案為π．
【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積公式，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023·廣西百色·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)課上，老師將如圖邊長(zhǎng)為1的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，AB為半徑的扇形（鐵絲的粗細(xì)忽略不計(jì)），則所得扇形DAB的面積是 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象得出AB=AD=1，lBD=CD+CB=2，利用扇形面積與弧長(zhǎng)的關(guān)系式進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：根據(jù)圖象可得：AB=AD=1，
lBD?=CD+CB=2，
∴S扇形ABD=12lBD?×r=12×2×1=1，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)及扇形面積公式，熟練掌握弧長(zhǎng)及面積公式是解題關(guān)鍵．
題型06 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的面積
【例6】（2023·湖南株洲·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，將Rt△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△A'B'C'．在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中Rt△ABC所掃過(guò)的面積為( )

A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理定理求出AB，然后根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式求解．
【詳解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∴Rt△ABC所掃過(guò)的面積為90?π?102360+12×6×8=25π+24．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，勾股定理，熟練掌握扇形的面積公式是解答的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2020·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在ΔAOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，將△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到ΔBOD，則AC邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的圖形的面積為（ ）cm2．
A．π2B．2πC．178πD．198π
【答案】B
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到陰影部分的面積＝扇形OAB的面積﹣扇形OCD的面積，利用扇形的面積公式即可求解．
【詳解】解：∵ΔAOC≌ΔBOD，
∴陰影部分的面積＝扇形OAB的面積﹣扇形OCD的面積=90?π×32360?90?π×12360=2π
故選B．
【點(diǎn)睛】考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積公式，正確理解：陰影部分的面積＝扇形OAB的面積﹣扇形OCD的面積是解題關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023·山東東營(yíng)·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)B'處，線段AB掃過(guò)的面積為 ．
【答案】π3/13π
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB'=AB=2,由銳角三角函數(shù)可求∠DAB'=60°,從而得出∠BAB'=30°,由扇形面積公式即可求解．
【詳解】解：∵AB=2BC=2,
∴BC=1,
∵矩形ABCD中，
∴AD=BC=1,∠D=∠DAB=90°,
由旋轉(zhuǎn)可知AB=AB'，
∵AB=2BC=2，
∴AB'=AB=2,
∵cs∠DAB'=ADAB'=12,
∴∠DAB'=60°,
∴∠BAB'=30°,
∴線段AB掃過(guò)的面積=30°×π×22360°=π3.
故答案為：π3.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，扇形面積公式，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解此題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2021·山東淄博·統(tǒng)考一模）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，如圖所示，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AB′C′．則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】π2?32
【分析】利用勾股定理求出AC及AB的長(zhǎng)，根據(jù)陰影面積等于S扇形CAC'?S扇形DAB'?S△AB'C'求出答案．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得AB'=AB,AC'=AC，∠CAC'=90°，∠B'AC'=∠BAC＝30°，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AC=2BC=2，AB=AC2?BC2=3，∠CAB'=60°，
∴陰影部分的面積=S扇形CAC'?S扇形DAB'?S△AB'C'
=90π×22360?60π×32360?12×1×3
=π2?32,
故答案為：π2?32．
．
【點(diǎn)睛】此題考查了求不規(guī)則圖形的面積，正確掌握勾股定理、30度角直角三角形的性質(zhì)、扇形面積計(jì)算公式及分析出陰影面積的構(gòu)成特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-4】（2023·黑龍江雞西·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知A2,0，B3,1，C1,3；

(1)將△ABC沿x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位至△A1B1C1，畫圖并寫出C1的坐標(biāo)____________；
(2)以A1點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將△A1B1C1逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得△A1B2C2，畫圖并寫出C2的坐標(biāo)_____；
(3)在平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段BC掃過(guò)的面積為_(kāi)__________．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，?1,3
(2)作圖見(jiàn)解析，?3,?1
(3)2π+4
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)而得出線段BC掃過(guò)的面積．
【詳解】（1）解：如圖所示：△A1B1C1即為所求，C1?1,3，
故答案為：?1,3；
（2）如圖所示：△A2B2C2即為所求，C2?3,?1，
故答案為：?3,?1；
（3）根據(jù)題意，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，
∴A1B1=12+12=2，
A1C1=12+32=10，
∵將△ABC沿x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位至△A1B1C1，
∴BC∥B1C1，BC=B1C1，
∴四邊形BCC1B1是平行四邊形，
∴在平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段BC掃過(guò)的面積為： 2×2+90π×102360?90π×22360=2π+4，
故答案為：2π+4．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖—平移變換、旋轉(zhuǎn)變換，平行四邊形和扇形面積公式等知識(shí)，根據(jù)題意得出平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段BC掃過(guò)的面積是解題關(guān)鍵．
題型07 求圓錐側(cè)面積
【例7】（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過(guò)9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（ ）
A．23π?32B．23π?3C．43π?23D．43π?3
【答案】B
【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)OC作OD⊥AB于點(diǎn)D，
∵∠AOB=2×360°12=60°，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=12AB=1，
∴OD=AO2?AD2=3，
∴陰影部分的面積為60?π×22360?12×2×3=23π?3，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計(jì)算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2022·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，若⊙O的半徑為43，∠CDF=15°， 則陰影部分的面積為（ ）
A．16π?123B．16π?243
C．20π?123D．20π?243
【答案】A
【分析】連接AD，連接OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，過(guò)O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=23，AH=6，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接AD，連接OE，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠DAC=∠CDF=15°，
∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，
∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=120°，
過(guò)O作OH⊥AE于H，
∵AO=43，
∴OH=12AO=23，
∴AH=3OH=6，
∴AE=2AH=12，
∴S陰影=S扇形AOE-S△AOE=120π×432360?12×12×23
=16π?123．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023·云南昆明·昆明八中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=6，則陰影部分的面積是 ．
【答案】9π?18
【分析】利用扇形的面積減去三角形的面積，即可得解．
【詳解】∵OA=OB=6，∠AOB=90°，
∴S陰=S扇形OAB?S△AOB=90π×62360?12×6×6=9π?18．
故答案為：9π?18．
【點(diǎn)睛】本題考查求陰影部分的面積．熟練掌握割補(bǔ)法求面積，是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，BD⊥CE于點(diǎn)D，BC平分∠ABD．
(1)求證：直線CE是⊙O的切線；
(2)若∠ABC=30°,⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)43π?3
【分析】（1）連接OC，根據(jù)OB=OC，以及BC平分∠ABD推導(dǎo)出∠OCB=∠DCB，即可得出BD∥OC，從而推出OC⊥DE，即證明得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CB于F，利用S陰影=S扇形OBC?S△OBC即可得出答案．
【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DCB，
∴∠OCB=∠DCB，
∴BD∥OC，
∵BD⊥CE于點(diǎn)D，
∴OC⊥DE，
∴直線CE是⊙O的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CB于F，如圖，
∵∠ABC=30°，OB=2，
∴OF=1，BF=OB?cs30°=3，
∴BC=2BF=23，
∴S△OBC=12BC?OF=12×23×1=3，
∵∠BOF=90°?30°=60°，
∴∠BOC=2∠BOF=120°，
∴S扇形OBC=120°360°×π×22=43π，
∴S陰影=S扇形OBC?S△OBC=43π?3．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，包括垂徑定理，圓的切線，扇形的面積公式等，熟練掌握以上性質(zhì)并正確作出輔助線是本題的關(guān)鍵．
【變式7-4】（2021·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)（與點(diǎn)A，B不重合），過(guò)點(diǎn)C作直線PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．
（1）求證：直線PQ是⊙O的切線．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥PQ于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為2，sin∠DAC＝12，求圖中陰影部分的面積．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2π3﹣3．
【分析】（1）連接OC，由直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性質(zhì)及已知條件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切線的判定定理可得結(jié)論．
（2）由sin∠DAC＝12，可得∠DAC＝30°，從而可得∠ACD的 度數(shù)，進(jìn)而判定△AEO為等邊三角形，則∠AOE的度數(shù)可得；利用S陰影＝S扇形﹣S△AEO，可求得答案．
【詳解】解：（1）證明：如圖，連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO．
∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，
∴直線PQ是⊙O的切線．
（2）連接OE，
∵sin∠DAC＝12，AD⊥PQ，
∴∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，
又∵OA＝OE，
∴△AEO為等邊三角形，
∴∠AOE＝60°．
∴S陰影＝S扇形﹣S△AEO
＝S扇形﹣12OA?OE?sin60°
＝60π360×22?12×2×2×32
＝2π3?3．
∴圖中陰影部分的面積為2π3﹣3．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，求弓形的面積和扇形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解題．
題型08 求圓錐側(cè)面積
【例8】（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長(zhǎng)為6cm，則圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．36πcm2B．24πcm2C．16πcm2D．12πcm2
【答案】B
【分析】利用圓錐側(cè)面積計(jì)算公式計(jì)算即可：S側(cè)=πrl；
【詳解】S側(cè)=πrl=π×4×6=24π cm2 ，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面積的計(jì)算公式，比較簡(jiǎn)單，直接代入公式計(jì)算即可．
【變式8-1】（2023·浙江金華·?？家荒＃┰赗t△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．12πB．15πC．20πD．24π
【答案】C
【分析】先利用勾股定理計(jì)算出AB，再利用扇形的面積公式即可計(jì)算出圓錐的側(cè)面積．
【詳解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=32+42=5，
以直線AC為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的側(cè)面積=12×2π×4×5
=20π．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
【變式8-2】（2021·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖是一個(gè)幾體何的三視圖（圖中尺寸單位：cm），則這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（ ）
A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2
【答案】B
【分析】先判斷這個(gè)幾何體為圓錐，同時(shí)得到圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面圓的直徑為6，然后利用扇形的面積公式計(jì)算這個(gè)圓錐的側(cè)面積．
【詳解】解：由三視圖得這個(gè)幾何體為圓錐，圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面圓的直徑為6，
所以這個(gè)幾何體的側(cè)面積＝12×π×6×8＝24π（cm2）．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．也考查了三視圖．
【變式8-3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知：M=a+b2a2b?2ab2÷a2?b2a2?2ab+b2
(1)化簡(jiǎn)M；
(2)如圖，a、b分別為圓錐的底面半徑和母線的長(zhǎng)度，若圓錐側(cè)面積為24π，求M的值．
【答案】(1)12ab
(2)148
【分析】（1）根據(jù)分式的除法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得；
（2）根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得ab的值，代入計(jì)算即可得．
【詳解】（1）解：M=a+b2a2b?2ab2÷a2?b2a2?2ab+b2
=a+b2aba?b÷a+ba?ba?b2
=a+b2aba?b?a?b2a+ba?b
=12ab．
（2）解：∵圓錐側(cè)面積為24π，
∴12×2πab=24π，
解得ab=24，
則M=12×24=148．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值、圓錐的側(cè)面積，熟練掌握分式的運(yùn)算法則和圓錐的側(cè)面積公式是解題關(guān)鍵．
題型09 求圓錐底面半徑
【例9】（2021·福建福州·福州三牧中學(xué)校考二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫圓弧DE得到扇形DAE（陰影部分，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上）．若扇形DAE正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（ ）

A．2B．1C．22D．12
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，扇形ADE中弧DE的長(zhǎng)即為圓錐底面圓的周長(zhǎng)，即通過(guò)計(jì)算弧DE的長(zhǎng)，再結(jié)合圓的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4
∴AD=AE=4
∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線
∴∠EAD=45°
∴l(xiāng)DE?=45°×π×4180°=π
∴圓錐底面周長(zhǎng)為C=2πr=π，解得r=12
∴該圓錐的底面圓的半徑是12，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的弧長(zhǎng)公式，圓的周長(zhǎng)公式，正方形的性質(zhì)以及圓錐的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式及圓的周長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（2020·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，從一張腰長(zhǎng)為90cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個(gè)最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（不計(jì)損耗），則該圓錐的底面半徑為（ ）
A．15cmB．12cmC．10cmD．20cm
【答案】A
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE的長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算出弧CD的長(zhǎng)，設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)可得到r．
【詳解】過(guò)O作OE⊥AB于E，
∵OA＝OB＝90cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝12OA＝45cm，
∴弧CD的長(zhǎng)=120π×45180=30π，
設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則2πr＝30π，解得r＝15．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
【變式9-2】（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為3cm，側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為120°，則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．32cm
【答案】A
【分析】設(shè)圓錐底面半徑為rcm，則圓錐底面圓周長(zhǎng)為2πrcm，再求出側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)，根據(jù)兩者相等，即可得到圓錐的底面圓半徑．
【詳解】解：設(shè)圓錐底面半徑為rcm，
那么圓錐底面圓周長(zhǎng)為2πrcm，
所以側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為120π×3180=2πcm，
則2πr=2π，
解得：r=1cm，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了弧長(zhǎng)公式、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖等知識(shí)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．
【變式9-3】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，在紙上剪一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型，若圓的半徑r＝1，扇形的半徑為R，扇形的圓心角等于90°，則R的值是（ ）
A．R＝2B．R＝3C．R＝4D．R＝5
【答案】C
【分析】利用圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算．
【詳解】解：扇形的弧長(zhǎng)是：90πR180＝πR2，
圓的半徑r＝1，則底面圓的周長(zhǎng)是2π，
圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)則得到：πR2＝2π，
∴R2＝2，
即：R＝4，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐底面周長(zhǎng)與展開(kāi)扇形弧長(zhǎng)關(guān)系,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握?qǐng)A錐底面周長(zhǎng)與展開(kāi)扇形之間關(guān)系.
題型10求圓錐的高
【例10】（2022·廣東珠海·?？家荒＃┤鐖D，圓錐的左視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則此圓錐的高是（ ）
A．2B．3C．2D．3
【答案】D
【分析】如圖所示，等邊三角形ABC，BC邊上的高AD即為所求．
【詳解】解：如圖所示等邊三角形ABC，AD是BC邊上的高，
由題意可知AD的長(zhǎng)即為所求，AB=2，∠B=60°，
∴AD=ABsinB=3，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三視圖，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．
【變式10-1】（2022·云南昆明·統(tǒng)考三模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABO=∠ACO=22.5°,BC=8，若扇形OBC（圖中陰影部分）正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的高為（ ）
A．6B．26C．15D．30
【答案】D
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，勾股定理求出圓的半徑OB，再根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式即可求解；
【詳解】解：根據(jù)圓的性質(zhì)，∠BOC=2∠A
∵∠A+∠ABO+∠OBC+∠ACO+∠OCB=180°，∠OBC+∠BOC+∠OCB=180°
∴∠A+∠ABO+∠ACO=∠BOC
∵∠BOC=2∠A，∠ABO=∠ACO=22.5°
∴∠BOC=90°
∵OB=OC，BC=8
∴OB=OC=12BC2=42
∴BC?=14?2π?42=22π
∴圓錐底面圓的半徑為：r=22π2π=2
∴圓錐的高?=OB2?r2=422?22=30
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)、勾股定理、弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】（2021·云南曲靖·統(tǒng)考一模）如圖，圓錐側(cè)面展開(kāi)得到扇形，此扇形半徑CA=6，圓心角∠ACB=120°，則此圓錐高OC的長(zhǎng)度是（ ）
A．2B．210C．42D．43
【答案】C
【分析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖求出圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，進(jìn)而求得OA，最后用勾股定理求出CA即可．
【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r
∵AC=6，∠ACB=120°
∴l(xiāng)AB=120π×6180=2πr，即：r=OA=2
在Rt△AOC中，OA=2，AC=6，
由勾股定理得，OC=AC2?OA2=42．
故填：42．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的弧長(zhǎng)公式、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)公式求得OA是解答本題的關(guān)鍵．
題型11 求圓錐側(cè)面積展開(kāi)圖的圓心角
【例11】（2023·湖北黃岡·校考一模）如圖，用一個(gè)圓心角為θ的扇形紙片圍成一個(gè)底面半徑為2，側(cè)面積為8π的圓錐體，則該扇形的圓心角θ得大小為（ ）
A．90°B．120°C．150°D．180°
【答案】D
【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，
∴π?θ?l180°=4π，
∴l(xiāng)=720°θ，
∵π?2l=8π，
∴720°×2πθ=8π，
∴θ=180°，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形圓心角度數(shù)，熟知圓錐側(cè)面積公式和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
【變式11-1】（2022·福建福州·福州華倫中學(xué)校考一模）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖圓心角的度數(shù)為（ ）
A．214°B．215°C．216°D．217°
【答案】C
【分析】由已知求得圓錐母線長(zhǎng)及圓錐側(cè)面展開(kāi)圖所對(duì)的弧長(zhǎng)，再由弧長(zhǎng)公式求解圓心角的度數(shù)．
【詳解】解：由圓錐的高為4，底面直徑為6，
可得母線長(zhǎng)l=42+32=5，
圓錐的底面周長(zhǎng)為：π×6=6π，
設(shè)圓心角的度數(shù)為n，
則nπ×5180=6π，
解得：n=216，
故圓心角度數(shù)為：216°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
【變式11-2】（2019·內(nèi)蒙古呼和浩特·校聯(lián)考一模）若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角為 （ ）
A．120°B．180°C．240°D．300°
【答案】B
【詳解】試題分析：設(shè)母線長(zhǎng)為R，底面半徑為r，
∴底面周長(zhǎng)=2πr，底面面積=πr2，側(cè)面面積=πrR，
∵側(cè)面積是底面積的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
設(shè)圓心角為n，有nπR180=2πr=πR，
∴n=180°．
故選B．
題型12 圓錐的實(shí)際問(wèn)題
【例12】（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開(kāi)始倒轉(zhuǎn)“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm；圓柱體底面半徑是3cm，液體高是7cm．計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】B
【分析】由圓錐的圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根據(jù)園錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．
【詳解】解：如圖，作圓錐的高AC，在BC上取點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作DE⊥AC于點(diǎn)D，則AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圓柱體內(nèi)液體的體積為：π×32×7=63πcm3
圓錐的體積為13π×62×6=72πcm3，
設(shè)此時(shí)“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，
∴13π?(6?x)2?(6?x)=72π?63π，
∴(6?x)3=27，
解得：x=3，
即此時(shí)“沙漏”中液體的高度3cm．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體、圓錐體體積問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決問(wèn)題．
【變式12-1】（2021·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）如圖，蒙古包可以近似地看作是由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個(gè)底面半徑為5米，圓柱高3米，圓錐高2米的蒙古包，則需要毛氈的面積為（ ）
A．(30+529)π米2B．40π米2
C．(30+521)π米2D．55π米2
【答案】A
【分析】由底面圓的半徑＝5米，根據(jù)勾股定理求出母線長(zhǎng)，利用圓錐的側(cè)面面積公式，以及利用矩形的面積公式求得圓柱的側(cè)面面積，最后求和．
【詳解】解：∵底面半徑=5米，圓錐高為2米，圓柱高為3米，
∴圓錐的母線長(zhǎng)=52+22=29米，
∴圓錐的側(cè)面積=π×5×29=529π，
圓柱的側(cè)面積=底面圓周長(zhǎng)×圓柱高，
即2π×5×3=30π，
故需要的毛氈：(30+529)π米2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理，圓周長(zhǎng)公式，圓錐側(cè)面積，圓柱側(cè)面積等，分別得出圓錐與圓柱側(cè)面積是解題關(guān)鍵．
【變式12-2】（2020·浙江·一模）某班設(shè)計(jì)小組想制作如圖紙帽，使紙帽的高為24cm，底面半徑為10cm，若小李用漂亮的彩紙做一頂這樣的紙帽，則紙帽的外部面積為 ．

【答案】260πcm2．
【分析】紙帽的外部面積就是圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積，所以計(jì)算側(cè)面展開(kāi)圖的面積，問(wèn)題即可求解．
【詳解】解：紙帽底面圓的周長(zhǎng)為：2π?10=20πcm
∴側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的弧長(zhǎng)為20πcm
∵圓錐的母線長(zhǎng)為：102+242=26（cm）
∴圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為：12×20π×26=260πcm2
故答案為：260πcm2．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
【變式12-3】（2021·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的底面和側(cè)面，則圓錐的表面積為（ ）
A．4πcm2B．5πcm2C．6πcm2D．8πcm2
【答案】B
【分析】設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)得到90π×6?2r180=2πr，解方程求出r，然后求得直徑即可．
【詳解】解：設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則AE=BF=6-2r
根據(jù)題意得90π×6?2r180=2 πr，
解得r＝1，
側(cè)面積=12·2πr·4=4π ，
底面積=πr2=π
所以圓錐的表面積=5πcm2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問(wèn)題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：
（1）圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形半徑；
（2）圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)．正確對(duì)這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．
題型13 圓錐側(cè)面上的最短路徑問(wèn)題
【例13】（2020·山東青島·山東省青島第二十六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，如果一只螞蟻從這個(gè)幾何體的點(diǎn)B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點(diǎn)D處，則最短路線長(zhǎng)為 ．

【答案】33
【分析】將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，設(shè)頂點(diǎn)為B'，連接BB'，AE．線段AC與BB'的交點(diǎn)為F，線段BF是最短路程．
【詳解】如圖將圓錐側(cè)面展開(kāi)，得到扇形ABB′，則線段BF為所求的最短路程．
設(shè)∠BAB′＝n°．
∵nπ?6180＝4π，
∴n＝120即∠BAB′＝120°．
∵E為弧BB′中點(diǎn)，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
∴BF＝AB?sin∠BAF＝6×32＝33，
∴最短路線長(zhǎng)為33．
故答案為：33．

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，解題時(shí)注意把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的思維．
【變式13-1】（2023·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是圓錐底面的直徑，AB=6cm，母線PB=9cm．點(diǎn)C為PB的中點(diǎn)，若一只螞蟻從A點(diǎn)處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到C點(diǎn)處，則螞蟻爬行的最短路程為 ．
【答案】932/923
【分析】先畫出圓錐側(cè)面展開(kāi)圖（見(jiàn)解析），再利用弧長(zhǎng)公式求出圓心角∠APA'的度數(shù)，然后利用等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理可得AC=932，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得．
【詳解】畫出圓錐側(cè)面展開(kāi)圖如下：
如圖，連接AB、AC，
設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角∠APA'的度數(shù)為n°，
因?yàn)閳A錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于母線長(zhǎng)，
所以nπ×9180=2π×3，
解得n=120，
則∠APB=12APA'=60°，
又∵AP=BP=9，
∴△ABP是等邊三角形，
∵點(diǎn)C為PB的中點(diǎn)，
∴AC⊥BP，CP=12BP=92，
在Rt△ACP中，AC=AP2?CP2=932，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻爬行的最短路程為AC=932，
故答案為：932．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開(kāi)圖、弧長(zhǎng)公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開(kāi)圖是解題關(guān)鍵．
【變式13-2】（2023·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考一模）如圖1，等腰三角形ABC中，當(dāng)頂角∠A的大小確定時(shí)，它的對(duì)邊（即底邊BC）與鄰邊（即腰AB或AC）的比值也就確定了，我們把這個(gè)比值記作TA，即TA=∠A的對(duì)邊(底邊)∠A的鄰邊(腰)=BCAC ，當(dāng)∠A=60°時(shí)，如T60°=1．
(1)T90°= ，T120°= ，TA的取值范圍是 ；
(2)如圖2，圓錐的母線長(zhǎng)為18，底面直徑PQ=14，一只螞蟻從點(diǎn)P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)Q，求螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：T140°≈0.53，T70°≈0.87，T35°≈1.66）
【答案】(1)22;33;T(A)>12
(2)20.7
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的知識(shí)和扇形的弧長(zhǎng)公式計(jì)算，可求扇形的圓心角；再根據(jù)TA的定義即可解答．
【詳解】（1）解：如圖1，
∠A=90°，AB=AC，則BCAB=2，
∴F(90°)=ABBC=22，
如圖2，
∠A=120°，AB=AC，作AD⊥BC于D，則∠BAD=60°，
∴BD=32AB，
∴BC=3AB，
∴T(120°)=ABBC=33；
∵2AB＞BC，
∴ABBC>12，
∴T（A）＞12．
故答案為：22;33;T(A)>12．
（2）解：∵圓錐的底面直徑PQ=14，
∴圓錐的底面周長(zhǎng)為14π，即側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為14π，
設(shè)扇形的圓心角為n°，
則n?π×18180=14π，解得n＝140，
∵T70°≈0.87，
∴螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為180.87≈20.7．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理和TA的定義是解本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)三 不規(guī)則面積的有關(guān)計(jì)算
求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時(shí)，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：
1）直接用公式求解．
2）和差法：所求面積的圖形是一個(gè)不規(guī)則圖形，可將其轉(zhuǎn)化變成多個(gè)規(guī)則圖形面積的和或差，進(jìn)行求解．
①直接和差法.（陰影部分是幾個(gè)常見(jiàn)圖形組合而成，即S陰影=S常見(jiàn)圖形±S常見(jiàn)圖形）
②構(gòu)造和差法
3）割補(bǔ)法：直接求面積較復(fù)雜或無(wú)法計(jì)算時(shí)，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移、割補(bǔ)等方法，對(duì)圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為利用公式法或和差法創(chuàng)造條件，從而求解．
①全等法
②等面積法
③平移法
④旋轉(zhuǎn)法
⑤對(duì)稱法
題型01 直接公式法
【例1】（2021·河北石家莊·校考一模）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正六邊形鐵絲框ABCDEF（面積記為S1）變形為以點(diǎn)D為圓心，CD為半徑的扇形（面積記為S2），則S1與S2的關(guān)系為（ ）
A．S1>S2B．S1=S2C．S1S2
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、扇形面積公式；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，求出弧長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2020·浙江舟山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在半徑為2的圓形紙片中，剪一個(gè)圓心角為90°的最大扇形（陰影部分），則這個(gè)扇形的面積為 ；若將此扇形圍成一個(gè)無(wú)底的圓錐（不計(jì)接頭），則圓錐底面半徑為 ．
【答案】 π 12
【分析】由勾股定理求扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式求值；根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)求得底面半徑即可．
【詳解】解：連接BC，
由∠BAC＝90°得BC為⊙O的直徑，
∴BC＝22，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，
∴S扇形ABC＝90π×4360＝π；
∴扇形的弧長(zhǎng)為：90π×2180＝π，
設(shè)底面半徑為r，則2πr＝π，
解得：r＝12，
故答案為：π，12．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
【變式1-1】（2021·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，以E為圓心，BE長(zhǎng)為半徑畫弧交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若∠BAC=60°，∠ABC=100°，BC=4，則扇形BEF的面積為 ．
【答案】4π9
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和、三角形的外角以及等腰三角形性質(zhì)求出∠BEF，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算．
【詳解】解：∵∠BAC=60°，∠ABC=100°，
∴∠ACB=20°，
∵E為BC的中點(diǎn)，EB、EF為半徑，
∴∠EFC=∠ECF=20°，
∴∠BEF=40°，
∵BC=4，
∴BE=2，
∴扇形BEF的面積=40π×22360=4π9．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是扇形面積計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形性質(zhì)，掌握扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2021·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，把△ABC繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△AB'C'．
（1）求∠BAC的正切值．
（2）求扇形CAC'的面積．
【答案】（1）tan∠BAC=13；（2）S扇形CAC'=10π．
【分析】(1)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于D，如圖,根據(jù)正切的定義求解；
(2)連接CC′，如圖，先利用勾股定理的逆定理證明△ACC為直角三角形，則∠CAC=90°，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算．
【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于D，
則CD=2，AD=6，
∴在Rt△ACD中，tan∠BAC=CDAD=26=13．
（2）連接CC'，
C'C2=42+82=80，C'A2=CA2=22+62=40，
∵C'A2+CA2=C'C2=80，
∴△ACC'為直角三角形，∠CAC'=90°，
∴S扇形CAC'=90π?AC2360=90π×40360=10π．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．
題型02 直接和差法
【例2】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，有一個(gè)半徑為5cm的圓形鐵皮，要從中剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形ABC，其中A、B、C都在圓O上，則被剪掉陰影部分的面積是 ．

【答案】25π2cm2
【分析】根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑得出BC為⊙O的直徑，則△ABC是等腰直角三角形，即可求出半徑AB的長(zhǎng)，利用扇形面積公式即可求出扇形BAC的面積，最后求出圓O的面積與扇形BAC的面積之差即可得出陰影部分的面積．
【詳解】解：如圖，連接BC，

∵∠BAC=90°，
∴BC為⊙O的直徑，
∵⊙O的半徑為5cm，
∴BC=10cm，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
由勾股定理得AB2+AC2=BC2，
即2AB2=102，
解得AB=52，
∴S扇形BAC=90π×(52)2360=25π2cm2，
又∵S圓O=π×52=25π，
∴S陰影=S圓O?S扇形BAC
=25π?25π2
=25π2cm2，
故答案為：25π2cm2．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，熟記扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠A=80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB，OC，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．52πcm2B．132πcm2C．134πcm2D．2πcm2
【答案】C
【分析】先求解∠DOE=180°?12∠ABC+∠ACB=180°?12180°?∠A=130°，再利用扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵∠A=80°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DOE=180°?12∠ABC+∠ACB=180°?12180°?∠A=130°，
∴S扇形DOE=130π×32360=134πcm2，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，求解扇形的面積，熟記三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，以點(diǎn)C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積是 ．

【答案】1?π4
【分析】連接CD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得扇形的半徑，再利用圖中陰影部分的面積=S△ABC?S扇形CEF即可解答．
【詳解】解：連接CD，如圖，

∵以點(diǎn)C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點(diǎn)D，
∴CD⊥AB，
∵△ACB為等腰直角三角形，
∴CD=AD=BD=12AB．
∵AB=2AC=2?2=2，
∴CD=1，
∴陰影部分的面積=S△ABC?S扇形CEF
=12BC?AC?90π×12360
=12×2×2?π4
=1?π4．
故答案為：1?π4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)定理、扇形、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線．
【變式2-3】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？既＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，∠B=30°，以AC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是 ．

【答案】73?43π
【分析】連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD，垂足為F，根據(jù)S陰影=S△ACB?S△AOD+S扇形DOC求解．
【詳解】解：連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD，垂足為F，

∵∠ACB=90°，AC=4，∠B=30°，
∴∠A=60°，BC=43，
∴OA=2，
∴OF=3，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=60°，
∴∠COD=120°，
∴S陰影=S△ACB?S△AOD+S扇形DOC
=12×4×43?12×2×3?120π×22360
=73?4π3．
故答案為：73?43π．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式2-4】（2018·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分別以點(diǎn)A、C為圓心，AD、CB為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A．4?2πB．8?2πC．8?π2D．8?4π
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，陰影部分的面積是長(zhǎng)方形的面積減去兩個(gè)14圓的面積，由此即可求解．
【詳解】解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，
∴AB=CD=4,AD=BC=2，S矩形ABCD=AB·AD=4×2=8，
以點(diǎn)A、C為圓心，AD、CB為半徑畫弧，
∴S扇形ADE=14π·AD2=14π×22=π，S扇形BCF=14π·BC2=14π×22=π，
∴陰影部分的面積為8?π?π=8?2π，
故答案為：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與幾何的綜合，求不規(guī)則圖形的面積，掌握矩形的性質(zhì)，圓面積的計(jì)算方法，圖形結(jié)合求不規(guī)則圖形的面積的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式2-5】（2021·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外離，它們的半徑都是2，順次連接五個(gè)圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和是（ ）
A．6πB．5πC．4πD．3π
【答案】A
【分析】求出五個(gè)扇形的圓心角之和，利用扇形面積公式求解即可．
【詳解】∵(5?2)×180°=540°
∴ S=540360π×22=6π
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和，扇形面積公式，理解題意是解題的關(guān)鍵．
題型03 構(gòu)造和差法
【例3】（2020·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，作OF⊥AB交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，EM經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且∠ACE+∠AFO=180°．
(1)求證：EM是⊙O的切線；
(2)若∠A=∠E，⊙O的半徑為1，求陰影部分的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)33?π6
【分析】本題考查了切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積計(jì)算．
（1）連接OC，根據(jù)垂直的定義得到∠AOF=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACE=90°+∠A，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCM=90°，得到OC⊥CE，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知推出∠E=30°，得到OE，利用勾股定理求出CE，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：證明：連接OC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=90°，
∴∠A+∠AFO=90°，
∵∠ACE+∠AFO=180°,∠ACE+∠ACM=180°，
∴∠AFO=∠ACM，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACO+∠ACM=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥ME，
∴EM是⊙O的切線；
（2）解：∵∠EOC=2∠A=2∠E，∠EOC+∠E=∠OCM=90°，
∴2∠E+∠E=90°，
∴∠E=30°，
∴ ∠COE=90°?∠E=60°，
∵∠OCE=90°,OC=1，
在Rt△OCE中，
∴OE=2OC=2
∴CE=OE2?OC2=3，
∴S陰影部分=S△OCE?S扇形BOC=12×3×1?60π×12360=33?π6．
【變式3-1】（2021·廣東江門·校考三模）如圖，AB是半圓O的直徑，以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑的半圓交AB于C，D兩點(diǎn)，弦AF切小半圓于點(diǎn)E．已知AB=4，∠BAF=30°，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A．32+π3B．33+π2C．32+π2D．33+π3
【答案】A
【分析】連接OE、OF，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥AF，再利用勾股定理計(jì)算出EF=3，計(jì)算出∠FOE=60°，∠BOF=60°，則∠DOE=120°，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積=S扇形BOF+S△OEF?S扇形DOE進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】連接OE、OF，如圖，

∵弦AF切小半圓于點(diǎn)E，
∴OE⊥AF，
∵AB=4，∠BAF=30°，
∴OA=OB=OF=2，OE=1，
在Rt△OEF中，EF=22?12=3，
∵∠BAF=30°，
∴∠OFE=30°，
∴∠FOE=60°，∠OAF=30°，
∴∠BOF=60°，
∴∠DOE=120°，
圖中陰影部分的面積=S扇形BOF+S△OEF?S扇形DOE
=60×π×22360+12×1×3?120×π×12360
=π3+32．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積公式，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023·河南鄭州·?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點(diǎn)P為DC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ADP沿AP折疊得到△AEP，DE為點(diǎn)D關(guān)于AP對(duì)稱時(shí)對(duì)稱點(diǎn)E的軌跡， 當(dāng)線段EC的長(zhǎng)度最短時(shí)，則圖中陰影部分的面積是 ．

【答案】33?π6
【分析】先確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，可知當(dāng)點(diǎn)A，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，EC的長(zhǎng)最短，再求出AC，進(jìn)而求出∠DCA，∠DAC，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可求PD，最后根據(jù)S陰影=2S△ADP?S扇形ADE得出答案．
【詳解】由折疊的性質(zhì)知，點(diǎn)P從點(diǎn)D對(duì)稱到點(diǎn)E的過(guò)程中，AE=AD，
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓弧，
∴當(dāng)點(diǎn)A，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，EC的長(zhǎng)最短，

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，可知BC=AD=1，AB=3=CD，
∴AC=AB2+BC2=2，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠DCA=30°，
∴∠DAC=60°．
由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可知PE=PD，∠PEC=90°，
∴PC=2PE，
∴CD=3PD，
∴PD=33．
則S陰影=2S△ADP?S扇形ADE=2×12×1×33?60π×12360=33?π6．
故答案為：33?π6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問(wèn)題，求陰影部分的面積，求扇形面積，勾股定理等，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和（差）是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于圓中．若AB=3cm,BC=1cm，則陰影部分圖形的面積是 cm2（結(jié)果保留π）．

【答案】23π?32
【分析】如圖，連接AC，BD，交點(diǎn)為O，過(guò)O作OE⊥AB，由題意知O為圓的圓心，則AE=BE=12AB，則tan∠CAB=BCAB=13=33，∠CAB=30°，AC=2BC=2，OE=AE?tan∠CAB=12，∠AOB=120°，AO=CO=12AC=1，根據(jù)S陰影=2S扇形AOB?S△AOB，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：如圖，連接AC，BD，交點(diǎn)為O，過(guò)O作OE⊥AB，由題意知O為圓的圓心，則AE=BE=12AB，

∵AB=3cm,BC=1cm，
∴tan∠CAB=BCAB=13=33，
∴∠CAB=30°，
∴AC=2BC=2，OE=AE?tan∠CAB=12，∠AOB=120°，
∴AO=CO=12AC=1，
由題意知S陰影=2S扇形AOB?S△AOB =2120π×12360?12×3×12 =2π3?32，
故答案為：23π?32．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，扇形的面積，正切，含30°的直角三角形．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
【變式3-4】（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，將扇形AOB翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開(kāi)后折痕所在直線l與弧AB交于點(diǎn)C，連接AC．若OA=2，則圖中陰影部分的面積是 （結(jié)果保留根號(hào)和π）．

【答案】23π?3
【分析】連接OC，由翻折的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得△OCA是等邊三角形，則扇形面積減去等邊三角形的面積即為所求的陰影部分的面積．
【詳解】解：如圖，連接OC，設(shè)l交OA于點(diǎn)D，

由翻折的性質(zhì)得：AC=OC，AD=OD=12OA=1，CD⊥OA，
∵OC=OA=2，
∴OA=OC=AC=2，
即△OCA是等邊三角形，
∴∠AOC=60°，由勾股定理得CD=OC2?OD2=3，
∴S陰影=S扇形AOC?S△AOB
=60π×22360?12×2×3
=23π?3，
故答案為：23π?3．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求扇形面積等知識(shí)，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式3-5】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，點(diǎn)E在OC的延長(zhǎng)線上，且∠EAC=∠CAB．
(1)求證：直線AE是⊙O的切線；
(2)若OE=6,sin∠E=12，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)S陰影=3π2
【分析】（1）連接OA．根據(jù)半徑相等可得∠OAC=∠OCA，根據(jù)∠OCA+∠CAB=90°，∠EAC=∠CAB，等量代換可得∠OAC+∠EAC=90°，即可得證；
（2）連接OB，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出∠E=30°,OA=12OE=3，進(jìn)而可得△OAC是等邊三角形．再結(jié)合垂徑定理，根據(jù)S陰影=S扇形BOC，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，連接OA．
∵OA=OC．
∴∠OAC=∠OCA
∵OC⊥AB，
∴∠ADC=90°
∴∠OCA+∠CAB=90°．
又∵∠EAC=∠CAB,∠OAC=∠OCA．
∴∠OAC+∠EAC=90°，
∴∠OAE=90°．
∴AE⊥OA
又∵OA是⊙O的半徑，
∴直線AE是⊙O的切線．
（2）如圖，連接OB．
∵在Rt△OAE中，sin∠E=OAOE=12，OE=6．
∴∠E=30°,OA=12OE=3
∴∠AOC=60°．
又∵OA=OC
∴△OAC是等邊三角形．
又∵弦AB垂直于半徑OC．
∴OD=DC,AD=BD,AC=BC
∴S△OBD=S△CAD,∠BOC=∠AOC=60°．
∴S陰影=S扇形BOC=60π×32360=3π2．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，垂徑定理，求扇形面積，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
題型04 等面積法
【例4】（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連接AD，且AD平分∠BAC
(1)求證：BC是⊙O的切線；
(2)若∠BAC=60°，OA=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)23π
【分析】（1）連接OD，利用角平分線和半徑之間關(guān)系推出AC∥OD，結(jié)合∠ACD=90°得OD⊥BC，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）連接DE、OE，由題干得△OAE為等邊三角形，利用半徑相等得四邊形AEDO是菱形，得出陰影部分的面積=扇形EOD的面積，求出扇形的面積即可．
【詳解】（1）證明：連接OD，如圖
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴AC∥OD，
∵∠ACD=90°，即OD⊥BC
∴∠ODB=90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：如圖，連接ED，OE，OE交AD于點(diǎn)M，

∵∠BAC=60°，OE=OA，
∴△OAE為等邊三角形，
∴AE=OA，∠AOE=60°，
∴AE=AO=OD，
又由（1）知，AC∥OD，即AE∥OD，
∴四邊形AEDO為平行四邊形，
∵OA=OD，
∴四邊形AEDO是菱形，
∠EOD=∠EOD=60°，
∴S△AEM=S△DOM，
∴S陰影=S扇形DOE=60×π×4360=23π
【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的結(jié)合，利用等角對(duì)等邊、角平分線、圓的切線、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形以及菱形的判定和性質(zhì)，并熟練掌握扇形面積公式．
【變式4-1】（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，射線AC交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)E為劣弧BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC,垂足為F,連接AE．

(1)求證：EF是⊙O的切線；
(2)若AF=3,EF=3，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)23π
【分析】（1）連接OE，BD交于點(diǎn)G，根據(jù)圓周角定理及垂徑定理可得∠GDF=90°，然后根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得∠GEF=90°，最后由切線的判定方法可得結(jié)論；
（2）連接OD、DE，根據(jù)解直角三角形及圓周角定理可得∠BOE=∠DOE=60°，由等邊三角形的判定與性質(zhì)可得S△ADE=S△ODE，最后由扇形面積公式可得答案．
【詳解】（1）證明：連接OE，BD交于點(diǎn)G，如圖所示：

∵E為劣弧BD的中點(diǎn)，
∴OE⊥BD，
∴∠DGE=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠GDF=90°，
∵EF⊥AD，
∴∠DFE=90°，
∴四邊形DGEF是矩形，
∴∠GEF=90°，
∴OE⊥EF，
∵OE為圓的半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：連接OD、DE，如圖所示：

在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AF=3，EF=3，
∴tan∠EAF=EFAF=33，
∴∠EAF=30°，
∴∠DOE=60°，
∵點(diǎn)E為劣弧BD的中點(diǎn)，
∴ ED=BE，
∴∠BOE=∠DOE=60°，
∵OD=OE，
∴△ODE是等邊三角形，
∴∠DEO=60°，
∴DE∥AB，
∴S△ADE=S△ODE，
∵DG=EF=3，
∴OD=2，
∴S陰影ODE=60π×22360=2π3，
∴陰影部分的面積為2π3．
【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理、扇形面積的計(jì)算等知識(shí)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E．

(1)求證：AC平分∠DAB；
(2)若⊙O的半徑4，DE=2，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)8π3
【分析】（1）連接OC，切線的性質(zhì)，推出OC∥AD，得到∠DAC=∠OCA，等邊對(duì)等角得到∠OAC=∠OCA，進(jìn)而得到∠DAC=∠OAC，即可；
（2）連接BE，交OC于點(diǎn)F，連接OE，交AC于點(diǎn)G，分割法求陰影部分面積即可．
【詳解】（1）證明：連接OC，則：OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）連接BE，交OC于點(diǎn)F，連接OE，交AC于點(diǎn)G，

∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEB=90°，
∵OC⊥CD，AD⊥CD，
∴四邊形CDEF為矩形，
∴OC⊥BE，CF=DE=2，
∴BF=EF，
∵⊙O的半徑為4，
∴OA=OE=OC=OB=4，
∴OF=OC?CF=2，
∴AE=2OF=4，sinB=OFOB=12，
∴∠B=30°，
∴∠DAB=60°，∠COB=60°
∴△AOE為等邊三角形，
∴∠EOA=60°，
∴∠EOC=60°，
∴OE⊥AC，
∴OG=12OA=2，AG=OA2?OG2=23，
∴AC=2AG=43；
∴S陰影=S扇形COE+S△AOE?S△AOC=60π360×42+12×4×23?12×43×2=8π3．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求陰影部分的面積．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加常見(jiàn)的輔助線，構(gòu)造特殊圖形，是解題的關(guān)鍵．
題型05 旋轉(zhuǎn)法
【例5】（2015·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知A(23，2)，B(23，1)，將△AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′(－2，23)的位置，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】34π
【詳解】試題分析：∵A（23，2）、B（23，1），∴OA=4，OB=13，∵由A（23，2）使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′（﹣2，23），∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，SΔOB'C'=SΔOBC，∴陰影部分的面積等于S扇形A'OA﹣S扇形C'OC=14π×42?14π×(13)2=34π，故答案為34π．
考點(diǎn)：1．扇形面積的計(jì)算；2．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)．
【變式5-1】（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將四邊形ABCD繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至四邊形AB'C'D'的位置，若AB=4cm，則圖中陰影部分的面積為 cm2．
【答案】2π
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠BAB'=45°，四邊形AB'C'D'≌四邊形ABCD，圖中陰影部分的面積=四邊形ABCD的面積+扇形ABB'的面積-四邊形AB'C'D'的面積=扇形ABB'的面積，代入扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠BAB'=45°，四邊形AB'C'D'≌四邊形ABCD，
則圖中陰影部分的面積=四邊形ABCD的面積+扇形ABB'的面積-四邊形AB'C'D'的面積
=扇形ABB'的面積
=45π×42360
=2π；
故答案為：2π．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形面積公式；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出陰影部分的面積=扇形ABB'的面積是解題的關(guān)鍵．
題型06 對(duì)稱法
【例6】（2017·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，以AB為直徑，點(diǎn)O為圓心的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，若AC=BC= 2，則圖中陰影部分的面積是
【答案】π4
【分析】本題考查了扇形面積的計(jì)算．求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．先利用圓周角定理的推論得到∠ACB=90°，則可判斷△ACB為等腰直角三角形，接著判斷△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算圖中陰影部分的面積．
【詳解】解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=2，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC，OA=22AC=1，
∴S陰影部分=S扇形AOC=90·π·12360=π4．
故答案為π4．
【變式6-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，直角邊AB是半圓O1的直徑，半圓O2過(guò)C點(diǎn)且與半圓O1相切，則圖中陰影部分的面積( )

A．7?π9B．5?π9C．79D．59
【答案】D
【分析】利用等弦所對(duì)的弧相等，先把陰影部分變化成一個(gè)直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圓的半徑，從而求陰影部分的面積．
【詳解】解：連接O1O2，設(shè)O2的半徑為x．

∵O1O22?AO12=AO22，
∴2+x2?22=2?x2，
解得：x=23
設(shè)⊙O1交BC于D，⊙O2交BC于E．
∴CE=PE=2x=223，BC=2AB，CD=22AB=2
∴S陰影=S△ADC?S△CEP=12CD?AD?12CE?PE=12×2?2?12×223?223=59
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，以及三角形的面積的計(jì)算，正確理解陰影部分的面積等于梯形PEDA的面積是關(guān)鍵．
【變式6-2】（2018·吉林·統(tǒng)考一模）如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O'，B'，連接BB'，則圖中陰影部分的面積是 ．

【答案】23?2π3
【分析】連接OO'，BO'，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠OAO'=60°，推出△OAO'是等邊三角形，得到∠AOO'=60°，推出△OO'B是等邊三角形，得到∠AO'B=120°，得到∠O'B'B=∠O'BB'=30°，根據(jù)圖形的面積公式即可得到答案．
【詳解】解：連接OO'，BO'，

∵將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，
∴∠OAO'=60°，
∴△OAO'是等邊三角形，
∴∠AOO'=60°，OO'=OA，
∴當(dāng)O'中⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O'OB=60°，
∴△OO'B是等邊三角形，
∴∠AO'B=120°，
∵∠AO'B'=120°，
∴∠B'O'B=120°，
∴∠O'B'B=∠O'BB'=30°，
∴圖中陰影部分的面積=S△B'O'B?（S扇形O'OB?S△OO'B）
=12×1×23?（60?π×22360?12×2×3）
=23?2π3，
故答案為：23?2π3．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）如圖，AB為半圓O的直徑，CD垂直平分半徑OA，EF垂直平分半徑OB，若AB=4，則圖中陰影部分的面積等于（ ）

A．4π3B．2π3C．16π3D．8π3
【答案】B
【分析】連接OC,OE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AC=OC,BE=OE，繼而證明△OAC,△OBE是等邊三角形，進(jìn)而得出S扇形CAO?S△OAC=S扇形COA?S△OAC,S扇形EBO?S△OBE=S扇形EOB?S△OBE，最后利用扇形的面積公式求解即可．
【詳解】解：連接OC,OE，

∵CD垂直平分半徑OA，EF垂直平分半徑OB，
∴AC=OC,BE=OE，
∴∠CAO=∠COA,∠EBO=∠EOB，
∵OC=OA,OE=OB，S扇形CAO=S扇形COA,S扇形EBO=S扇形EOB，
∴OC=OA=AC,OE=OB=BE，
∴△OAC,△OBE是等邊三角形，
∴S扇形CAO?S△OAC=S扇形COA?S△OAC,S扇形EBO?S△OBE=S扇形EOB?S△OBE，
∵∠AOC=∠BOE=60°，
∴∠COE=60°，
∵AB=4，
∴OC=2，
∴圖中陰影部分的面積=S扇形COE=60360π×22=23π，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積公式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式6-4】（2023·廣東汕頭·校考二模）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=12，點(diǎn)C為半圓上的一點(diǎn)．將此半圓沿BC所在的直線折疊，若圓弧BC恰好過(guò)圓心O，則圖中陰影部分的面積是

【答案】6π
【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則可判斷點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得OD=12OE=12R=3，在RtΔOBD中求出∠OBD=30°，繼而得出∠AOC，求出扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接OC，
則點(diǎn)E是BEC的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)O為BOC的中點(diǎn)，
∴S弓形BO=S弓形CO，
在RtΔBOD中，OD=DE=12R=3，OB=R=6，
∴∠OBD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴S陰影=S扇形AOC=60π×62360=6π．
故答案為6π．

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點(diǎn)O是BOC的中點(diǎn)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積．
【變式6-5】．（2015·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=AC=4，AB⊥AC，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若⊙O過(guò)A、C兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積之和為 ．
【答案】4
【詳解】解∶∵∠AOB=∠COD，
∴S陰影=S△AOB．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=12AC=12×4=2．
∵AB⊥AC，
∴S陰影=S△AOB=12OA?AB=12×2×4=4．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判斷出陰影部分的面積等于△AOB的面積．
題型07 全等法
【例7】（2019·廣東廣州·校聯(lián)考一模）如圖，扇形OAB的圓心角為直角，邊長(zhǎng)為1的正方形OCDE的頂點(diǎn)C、D、E分別在OA、AB、OB上，AF⊥ED，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．則圖中陰影部分面積是 ．
【答案】2?1
【分析】本題要把不規(guī)則的圖形通過(guò)幾何變換轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積求解．通過(guò)觀察可知陰影部分的面積正好等于長(zhǎng)方形ACDF的面積，直接根據(jù)相關(guān)條件求長(zhǎng)方形ACDF的面積即可．
【詳解】解：連接OD，
∵正方形的邊長(zhǎng)為1，即OC=DE=CD=OE=1，
∴OD=OC2+CD2=2，∠DOE=∠DOC=45°，
∴AC=BE=OA?OC=2?1，BD?=AD?，
∴圖形ACD是面積等于圖形BED的面積，
∴S陰=長(zhǎng)方形ACDF的面積=AC?CD=2?1．
故答案為：2?1
【變式7-1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，扇形POQ可以繞著正六邊形ABCDEF的中心O旋轉(zhuǎn)，若∠POQ=120°，OP等于正六邊形ABCDEF的邊心距的2倍，AB=2，則陰影部分的面積為（ ）
A．43π?23B．4π?23C．4π?3D．163π?43
【答案】B
【分析】由正六邊形的性質(zhì)得∠CDE=120°，連接OE，OC，可得OC=OE=DE=CD，得∠COE=120°，從而得∠MOE=∠NOC，根據(jù)ASA證明ΔMOE?ΔNOC得S五邊形MONDE=S菱形OCDE，結(jié)合S陰影=S扇形OQP?S菱形OCDE即可求解．
【詳解】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形
∴∠CDE=120°
連接OE，OC，則∠OCN=∠OEM=60°
∴OC=OE=CD=DE
∴四邊形OCDE是菱形，
∴∠COE=∠CDE=120°
∵∠POQ=120°
∴∠MOE=∠CON
在ΔMOE和ΔNOC中
∠MOE=∠CONOC=OE∠OEM=∠OCN
∴ΔMOE?ΔCON
∴S五邊形MONDE=S菱形OCDE
∵AB=2
∴CD=DE=2
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H
∴∠CDH=60°
∴∠DCH=30°
∴DH=1
∴CH=3
∴扇形半徑長(zhǎng)為23
∴S五邊形MONDE=S菱形OCDE=DE·CH=23
∴S扇形OQP=120360×π×(23)2=4π
∴S陰影=S扇形OQP?S菱形OCDE=4π?23
故選：B
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正六邊形的性質(zhì)，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．
【變式7-2】（2020·湖北黃岡·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的平分線，經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)的圓的圓心O恰好落在AB上，⊙O分別與AB、AC相交于點(diǎn)E、F．若圓半徑為2．則陰影部分面積（ ）．
A．13πB．43πC．23πD．923?3
【答案】C
【分析】連接OD，OF．首先證明OD∥AC，推出S陰＝S扇形OFA，再證明△AOF是等邊三角形即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：連接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S陰＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等邊三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S陰＝S扇形OFA＝60π·22360=2π3.
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．
考點(diǎn)要求
新課標(biāo)要求
命題預(yù)測(cè)
正多邊形與圓
了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系.
該板塊內(nèi)容以考查綜合題為主，也是考查重點(diǎn)，除了填空題和選擇題外，年年都會(huì)考查綜合題，對(duì)多數(shù)考生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，2024年各地中考肯定還是會(huì)考查.
弧長(zhǎng)、扇形面積、圓錐的有關(guān)計(jì)算
會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積.
不規(guī)則面積的有關(guān)計(jì)算
正多邊形概念
各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.
正多邊形的中心
正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.
正多邊形的半徑
正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.
正多邊形的中心角
正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.
正多邊形的邊心距
中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.
邊長(zhǎng)
an=2Rn?sin1800n （Rn為正多邊形外接圓的半徑）
周長(zhǎng)
Pn=n?an
外角/中心角度數(shù)
360°n
面積
Sn=12an?rn?n
對(duì)角線條數(shù)
n(n?3)2
邊心距
rn=Rn?cs1800n
內(nèi)角和
（ n-2 ）×180°.
內(nèi)角度數(shù)
（n?2）×180°n
n邊形的邊數(shù)
（內(nèi)角和÷180°）＋2
an、Rn、rn的關(guān)系
Rn2=rn2+an24 （an 、Rn、rn為構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)，已知其中兩個(gè)值，第三個(gè)值可以借助勾股定理求解.）
圖形
OA:AB:OB
內(nèi)切圓與外接圓半徑的比
等邊三角形
1: 3 : 2
1:2
正方形
1:1: 2
1: 2
正六邊形
3 : 1: 2
3 : 2
扇形弧長(zhǎng)公式
l=nπR180 （弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)，且n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．）
扇形面積公式
S扇形= nπR2 360 = 12lR
圓錐側(cè)面積公式
S圓錐側(cè)=πrl （其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑）
圓錐全面積公式
S圓錐全=πrl+πr2 （圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）
圓錐的高h(yuǎn)，圓錐的底面半徑r
r2+?2=l2
圖形
公式
S陰影 = S扇形ABC
S陰影 = S△ABC
S陰影 = S四邊形ABCD = ab
圖形
面積計(jì)算方法
圖形
面積計(jì)算方法
S陰影=S△ACB?S扇形CAD
S陰影=S扇形BAB′+S半圓AB′?S半圓AB
S陰影=S△AOB?S扇形COD
S陰影=S半圓AC+S半圓BC?S△ACB
S陰影=S半圓AB?S△AOB
S陰影= S扇形BAD?S半圓AB
S陰影=S扇形EAF?S△ADE
S陰影=S扇形之和=nπR2 360=πR2 2
圖形
公式
S陰影=S扇形AOC+S△BOC
S陰影=S△ODC-S扇形DOE
S陰影=S扇形AOB-S△AOB
S陰影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD
圖形
公式
S陰影= S△AOB
S陰影= S扇形BOC
S陰影=S矩形ACDF

S陰影= S正方形PCQE
圖形
公式
S陰影= S扇形COD
圖形
公式
S陰影=S正方形BCFE
S陰影=S矩形ABHG
圖形
公式
S陰影=S扇形BOE
S陰影= S扇形BOD
S陰影= S扇形ABE-S扇形MBN
圖形
公式
S陰影=S△ACD
S陰影= S扇形CDE
S陰影= S△OBC=14 S正方形ABCD
S陰影= S扇形ACB- S△ACD

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