1. 項(xiàng)目式學(xué)習(xí)項(xiàng)目主題：優(yōu)化大豆種植密度項(xiàng)目背景：大豆，通稱(chēng)黃豆，屬一年生草本，是我國(guó)重要糧食作物之一，已有五千年栽培歷史，古稱(chēng)“菽”，某校綜合實(shí)踐小組以探究“大豆種植密度優(yōu)化方案”為主題展開(kāi)項(xiàng)目學(xué)習(xí).驅(qū)動(dòng)任務(wù)：探究大豆產(chǎn)量與種植密度的關(guān)系研究步驟：(1)在勞動(dòng)實(shí)踐基地中選定6塊單位面積(1平方米)的地塊作為試驗(yàn)田，并選定適宜的大豆品種；
類(lèi)型一　項(xiàng)目式學(xué)習(xí)(山西、廣西等考查)
(2)在不同試驗(yàn)田中種植株數(shù)不同的大豆，嚴(yán)格控制影響大豆生長(zhǎng)的其他變量，在大豆成熟期，對(duì)每株大豆的產(chǎn)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)；(3)數(shù)據(jù)分析，形成結(jié)論.試驗(yàn)數(shù)據(jù)：
問(wèn)題解決：請(qǐng)根據(jù)此項(xiàng)目實(shí)施的相關(guān)材料完成下列任務(wù)：
(1)根據(jù)表中信息可知，單位面積試驗(yàn)田中大豆單株的平均產(chǎn)量y(粒)是種植株數(shù)x(株)的　　　　函數(shù)(選填“一次”“二次”“反比例”)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為　　 　　(30≤x≤80)；(2)若要使單位面積試驗(yàn)田中大豆的總產(chǎn)量(單位：粒)最大，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明單位面積試驗(yàn)田中大豆植株種植數(shù)量的方案.
(2)設(shè)單位面積試驗(yàn)田中大豆總產(chǎn)量為w粒，根據(jù)題意得，w＝xy，由(1)得，y＝－0.5x＋66，∴w與x的函數(shù)關(guān)系式為w＝x(－0.5x＋66)＝－0.5x2＋66x＝－0.5(x－66)2＋2 178.
∵－0.5＜0，且30≤x≤80，∴當(dāng)x＝66時(shí)，w最大，∴當(dāng)單位面積試驗(yàn)田中大豆植株種植數(shù)量為66株時(shí)，可使單位面積試驗(yàn)田中大豆的總產(chǎn)量最大.
2. 問(wèn)題背景：如圖①，是一款專(zhuān)為提升閱讀舒適度與效率而精心設(shè)計(jì)的產(chǎn)品——鋁合金閱讀支架.這款閱讀支架采用人體工學(xué)設(shè)計(jì)，可自由調(diào)節(jié)角度與高度，完美適應(yīng)各種閱讀場(chǎng)景，無(wú)論是伏案工作、學(xué)習(xí)閱讀，都能有效減輕頸部和肩部的壓力，對(duì)預(yù)防青少年近視也能起到很大的作用.項(xiàng)目主題：某校實(shí)踐小組準(zhǔn)備以這款閱讀支架構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，探究哪一種情形時(shí)閱讀最舒適.研究步驟：
步驟1：選擇身高中等的小張坐在桌子前，通過(guò)調(diào)節(jié)支架桿與底座、閱讀面板與支架桿的角度，讓小張反饋哪一種情形時(shí)閱讀最舒適；步驟2：抽象數(shù)學(xué)模型如圖②是為了解決問(wèn)題他們畫(huà)出的從側(cè)面看的數(shù)學(xué)圖形，AB表示底座，BC表示支架桿，CD表示面板；步驟3：測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，解決實(shí)際問(wèn)題通過(guò)測(cè)量得到：AB＝22 cm，BC＝15 cm，DC＝24 cm，底座AB的厚度為0.5 cm，未調(diào)節(jié)支架各部分前支架桿BC與底座AB的夾角∠ABC＝37°，支架桿BC與面板CD的夾角∠BCD＝112°.
問(wèn)題探究：(1)求未調(diào)節(jié)支架前上方邊緣D距離桌面的高度；(結(jié)果精確到0.1 cm；參考數(shù)據(jù)：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 75°≈0.97，cs 75°≈0.26，tan 75°≈3.73)
解：(1)如解圖①，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥前述平行線于點(diǎn)F，在Rt△CBE中，∠ABC＝37°，BC＝15 cm，∴CE＝BC·sin∠ABC＝15·sin 37°≈15×0.60＝9 cm，∵CF∥AB，∴∠FCB＝∠ABC＝37°，
在Rt△CBE中，∠DCF＝∠DCB－∠FCB＝112°－37°＝75°，∵DC＝24 cm，∴DF＝CD·sin∠DCF＝24·sin 75°≈24×0.97＝23.28 cm，∴頂部邊緣D處離桌面的高度為CE＋DF＋0.5＝9＋23.28＋0.5≈32.8 cm，答：頂部邊緣D距離桌面的高度約為32.8 cm；
問(wèn)題解決：(2)如圖③，小張不斷調(diào)整支架的各部分角度，確定了最舒適的情形，測(cè)量發(fā)現(xiàn)此時(shí)支架桿BC與面板CD的夾角∠BCD并未發(fā)生變化，支架桿BC與底座AB的夾角為∠ABC＝30°，則調(diào)節(jié)后支架上方邊緣D距離桌面的高度發(fā)生了怎樣的變化？(結(jié)果精確到0.1 cm；參考數(shù)據(jù)：sin 82°≈0.99，cs 82°≈0.14，tan 82°≈7.12)
(2)如解圖②，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥前述平行線于點(diǎn)H，在Rt△CBG中，∠ABC＝30°，BC＝15 cm，∴CG＝BC·sin∠ABC＝15·sin30°＝15×0.5＝7.5 cm，
∵CH∥AB，∴∠HCB＝∠ABC＝30°，在Rt△CDH中，∠DCH＝∠DCB－∠HCB＝112°－30°＝82°，∴DH＝CD·sin∠DCH＝24·sin82°≈24×0.99＝23.76 cm，∴此時(shí)頂部邊緣D距桌面的高度為CG＋DH＋0.5＝7.5＋23.76＋0.5≈31.8 cm，由(1)知，調(diào)節(jié)前支架上方邊緣D距離桌面的高度約為32.8 cm，∵32.8－31.8＝1.0 cm，∴調(diào)節(jié)后支架上方邊緣D距離桌面的高度下降了1.0 cm.答：調(diào)節(jié)后產(chǎn)生的變化為支架上方邊緣D距離桌面的高度下降了1.0 cm.
3. (2024廣東省卷)綜合與實(shí)踐【主題】濾紙與漏斗【素材】如圖①所示：①一張直徑為10 cm的圓形濾紙；②一只漏斗口直徑與母線均為7 cm的圓錐形過(guò)濾漏斗.
類(lèi)型二　跨學(xué)科實(shí)踐(廣東省卷、貴州、甘肅等考查)
【實(shí)踐操作】步驟1：取一張濾紙；步驟2：按如圖②所示步驟折疊好濾紙；步驟3：將其中一層撐開(kāi)，圍成圓錐形；步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖①所示漏斗中.
【實(shí)踐探索】(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁(忽略漏斗管口處)？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明.
(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積.(結(jié)果保留π)
4. (2024貴州)綜合與實(shí)踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識(shí)后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性學(xué)習(xí).【實(shí)驗(yàn)操作】第一步：將長(zhǎng)方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁AC 的夾角為∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點(diǎn)E處時(shí)，停止注水.(直線NN'為法線，AO為入射光線，OD為折射光線.)
【測(cè)量數(shù)據(jù)】如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，N'在同一平面內(nèi)，測(cè)得AC＝20 cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°.【問(wèn)題解決】根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)操作和測(cè)量的數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：(1)求BC的長(zhǎng)；
解：(1)∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝20 cm，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴BC＝AC＝20 cm；
(2)求B，D之間的距離(結(jié)果精確到0.1 cm).(參考數(shù)據(jù)：sin 32°≈0.53，cs 32°≈0.85，tan 32°≈0.62)
(2)∵E是AC的中點(diǎn)，∴EC＝10 cm，∵AC＝20 cm，∠A＝45°，∴OE＝AE＝AC－EC＝10 cm，∵四邊形EONC是矩形，∴ON＝EC＝10 cm，CN＝OE＝10 cm，∵∠OND＝90°，∴DN＝ON·tan∠DON＝10×tan 32°≈6.2 cm，∴BD＝BC－CN－DN＝20－10－6.2＝3.8 cm.答：B，D之間的距離約為3.8 cm.
5. (2023衢州)視力表中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)知識(shí)，如：每個(gè)“ ”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“ ”是全等圖形且對(duì)應(yīng)著同一個(gè)視力值，不同的檢測(cè)距離需要不同的視力表.
素材1　國(guó)際通用的視力表以5米為檢測(cè)距離，任選視力表中7個(gè)視力值n，測(cè)得對(duì)應(yīng)行的“ ”形圖邊長(zhǎng)b(mm)，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)如圖①.探究1　檢測(cè)距離為5米時(shí)，歸納n與b的關(guān)系式，并求視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“ ”形圖邊長(zhǎng).
素材3　如圖③，當(dāng)θ確定時(shí)，在A處用邊長(zhǎng)為b1的Ⅰ號(hào)“ ”測(cè)得的視力與在B處用邊長(zhǎng)為b2的Ⅱ號(hào)“ ”測(cè)得的視力相同.探究3　若檢測(cè)距離為3米，求視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“ ”形圖邊長(zhǎng).
6. (2023廣西)【綜合與實(shí)踐】有言道：“桿秤一頭稱(chēng)起人間生計(jì)，一頭稱(chēng)起天地良心”.某興趣小組將利用物理學(xué)中杠桿原理制作簡(jiǎn)易桿秤，小組先設(shè)計(jì)方案，然后動(dòng)手制作，再結(jié)合實(shí)際進(jìn)行調(diào)試，請(qǐng)完成下列方案設(shè)計(jì)中的任務(wù).
類(lèi)型三　文化主題實(shí)踐探究(浙江、廣西等考查)
【知識(shí)背景】如圖，稱(chēng)重物時(shí)，移動(dòng)秤砣可使桿秤平衡，根據(jù)杠桿原理推導(dǎo)得：(m0＋m)·l＝M·(a＋y).其中秤盤(pán)質(zhì)量m0克，重物質(zhì)量m克，秤砣質(zhì)量M克，秤紐與秤盤(pán)的水平距離為l厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米.
【方案設(shè)計(jì)】目標(biāo)：設(shè)計(jì)簡(jiǎn)易桿秤.設(shè)定m0＝10，M＝50，最大可稱(chēng)重物質(zhì)量為1 000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米.任務(wù)一：確定l和a的值.(1)當(dāng)秤盤(pán)不放重物，秤砣在零刻線時(shí)，桿秤平衡，請(qǐng)列出關(guān)于l，a的方程；
解：(1)根據(jù)題意，得m＝0，y＝0，將m＝0，y＝0，m0＝10，M＝50代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，得10l＝50a ，∴l(xiāng)＝5a；
(2)當(dāng)秤盤(pán)放入質(zhì)量為1 000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時(shí)，桿秤平衡，請(qǐng)列出關(guān)于l，a的方程；
(2)根據(jù)題意，得m＝1 000，y＝50，將m＝1 000，y＝50，m0＝10，M＝50代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，得(10＋1 000)l＝50(a＋50)，∴101l＝5a＋250；
(3)根據(jù)(1)和(2)所列方程，求出l和 a的值.
任務(wù)二：確定刻線的位置.(4)根據(jù)任務(wù)一，求y關(guān)于m的函數(shù)解析式；
(5)從零刻線開(kāi)始，每隔100克在秤桿上找到對(duì)應(yīng)刻線，請(qǐng)寫(xiě)出相鄰刻線間的距離.
7. (2023臺(tái)州)【問(wèn)題背景】“刻漏”是我國(guó)古代的一種利用水流計(jì)時(shí)的工具.綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個(gè)透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥(控制水的流速大小)的軟管制作簡(jiǎn)易計(jì)時(shí)裝置.【實(shí)驗(yàn)操作】綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了如下的實(shí)驗(yàn)：先在甲容器里加滿水，此時(shí)水面高度為 30 cm，開(kāi)始放水后每隔10 min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如下表：
任務(wù)1　分別計(jì)算表中每隔10 min水面高度觀察值的變化量；
解：任務(wù)1：變化量分別為：29－30＝－1(cm)；28.1－29＝－0.9(cm)；27－28.1＝－1.1(cm)；25.8－27＝－1.2(cm)，
【建立模型】小組討論發(fā)現(xiàn)： “t＝0，h＝30”是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近似地刻畫(huà)水面高度h與流水時(shí)間t的關(guān)系.任務(wù)2　利用t＝0時(shí)，h＝30；t＝10時(shí)，h＝29這兩組數(shù)據(jù)求水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式；
設(shè)h＝kt＋b(k≠0)，∵t＝0時(shí)，h＝30；t＝10時(shí)，h＝29，
【反思優(yōu)化】經(jīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差.小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，減少偏差.通過(guò)查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)解析式求出所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，計(jì)算這些函數(shù)值與對(duì)應(yīng)h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越小.任務(wù)3　(1)計(jì)算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值；
(1)w＝(30－30)2＋(29－29)2＋(28－28.1)2＋(27－27)2＋(26－25.8)2＝0.05；
(2)請(qǐng)確定經(jīng)過(guò)(0，30)的一次函數(shù)解析式，使得w的值最小；
【設(shè)計(jì)刻度】得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實(shí)踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計(jì)刻度，通過(guò)刻度直接讀取時(shí)間.任務(wù)4　請(qǐng)你簡(jiǎn)要寫(xiě)出時(shí)間刻度的設(shè)計(jì)方案.
設(shè)計(jì)時(shí)間刻度方案要點(diǎn)：①時(shí)間刻度的0刻度在水位最高處；②刻度從上向下均勻變大；③每0.102 cm表示1 min(1 cm表示時(shí)間約為9.8 min).
8. (2024齊齊哈爾)綜合與實(shí)踐如圖①，這個(gè)圖案是3世紀(jì)我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱(chēng)它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”.如圖②，在△ABC中，∠A＝90°，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，作 DE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)【觀察感知】如圖②，通過(guò)觀察，線段AB與DE的數(shù)量關(guān)系是　　　 　 ；
【解法提示】∵線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，∴BC＝BD，∠CBD＝90°，∴∠ABC＋∠DBE＝90°，∵∠A＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°，∴∠C＝DBE，∵∠A＝∠E＝90°，
(2)【問(wèn)題解決】如圖③，連接CD并延長(zhǎng)交AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F， 若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面積；
∴△ABC≌△EDB(AAS)，∴AB＝DE.
(2)∵線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，∴BC＝BD，∠CBD＝90°，∴∠ABC＋∠DBE＝90°，∵∠A＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°，∴∠C＝DBE，

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