類型 與代數(shù)式相關(guān)
1.(2024鹽城)發(fā)現(xiàn)問題小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數(shù)學(xué)道理呢？
分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d(n，k均為正整數(shù)，n＞k≥3，d＞0)，如圖1所示.
小明設(shè)計了如下三種鏟籽方案.方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為__________，共鏟__________行，則鏟除全部籽的路徑總長為_____________；方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為__________；方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.
解決問題在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價.
2.(2024山西)綜合與實踐問題情境：如圖1，矩形MNKL是學(xué)?；▓@的示意圖，其中一個花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點A，B在矩形的邊MN上.現(xiàn)要對該花壇內(nèi)種植區(qū)域進行劃分，以種植不同花卉，學(xué)校面向全體同學(xué)征集設(shè)計方案.方案設(shè)計：如圖2，AB＝6米，AB的垂直平分線與拋物線交于點P，與AB交于點O，點P是拋物線的頂點，且PO＝9米.欣欣設(shè)計的方案如下：
第一步：在線段OP上確定點C，使∠ACB＝90°，用籬笆沿線段AC，BC分隔出△ABC區(qū)域，種植串串紅；第二步：在線段CP上取點F(不與C，P重合)，過點F作AB的平行線，交拋物線于點D，E.用籬笆沿DE，CF將線段AC，BC與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季.
方案實施：學(xué)校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩6米籬笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長.為此，欣欣在圖2中以AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.請按照她的方法解決問題：(1)在圖2中畫出坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達式.
(2)求6米材料恰好用完時DE與CF的長.(3)種植區(qū)域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對該花壇進行裝飾，計劃將燈帶圍成一個矩形.她嘗試借助圖2設(shè)計矩形四個頂點的位置，其中兩個頂點在拋物線上，另外兩個頂點分別在線段AC，BC上.直接寫出符合設(shè)計要求的矩形周長的最大值.
類型 與三角形的性質(zhì)相關(guān)
3.(2024濱州)【問題背景】某校八年級數(shù)學(xué)社團在研究等腰三角形“三線合一”性質(zhì)時發(fā)現(xiàn)：①如圖，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，則有∠B＝∠C；②某同學(xué)順勢提出一個問題：既然①正確，那么進一步推得AB＝AC，即知AB＋BD＝AC＋CD.若把①中的BD＝CD替換為AB＋BD＝AC＋CD，還能推出∠B＝∠C嗎？基于此，社團成員小軍、小民進行了探索研究，發(fā)現(xiàn)確實能推出∠B＝∠C，并分別提供了不同的證明方法.
小軍　　 　　　　 小民
【問題解決】(1)完成①的證明；(2)把②中小軍、小民的證明過程補充完整.
類型 與解直角三角形相關(guān)
4.(2024棗莊)【實踐課題】測量湖邊觀測點A和湖心島上鳥類棲息點P之間的距離【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具【實踐活動】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點B.測量A，B兩點間的距離以及∠PAB和∠PBA，測量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°.畫出示意圖，如圖1.
【問題解決】(1)計算A，P兩點間的距離.(參考數(shù)據(jù)：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98，cs 79°≈0.19，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75)
【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：如圖2，選擇合適的點D，E，F(xiàn)，使得A，D，E在同一條直線上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，當(dāng)F，D，P在同一條直線上時，只需測量EF即可.(2)乙小組的方案用到了__________.(填寫正確答案的序號)①解直角三角形?、谌切稳取窘處熢u價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據(jù)現(xiàn)場地形狀況選擇可實施的方案.
類型 與四邊形的性質(zhì)相關(guān)5.(2024眉山)綜合與實踐問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的中心O處，并繞點O旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況.操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中：(1)若正方形邊長為4，當(dāng)一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為__________；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時，重疊部分的面積為__________.
(2)若正方形的面積為S，重疊部分的面積為S1，在旋轉(zhuǎn)過程中S1與S的關(guān)系為 .類比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點與點O重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩條直角邊分別交正方形兩邊于E，F(xiàn)兩點，小宇經(jīng)過多次實驗得到結(jié)論BE＋DF＝ OC，請你幫他進行證明.
拓展延伸：如圖2，若正方形邊長為4，將另一個直角三角板中60°角的頂點與點O重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板的直角邊交AB于點M，斜邊交BC于點N，且BM＝BN時，請求出重疊部分的面積.
類型 與圓相關(guān)6.(2024廣東)綜合與實踐【主題】濾紙與漏斗【素材】如圖1所示：①一張直徑為10 cm的圓形濾紙；②一只漏斗口直徑與母線均為7 cm的圓錐形過濾漏斗.
【實踐操作】步驟1：取一張濾紙；步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.
【實踐探索】(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁(忽略漏斗管口處)？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明.(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.(結(jié)果保留π)
類型 與圓相關(guān)
7.（2024臨夏州）根據(jù)背景素材，探索解決問題
解：任務(wù)一：作出圖形如答圖所示．
類型 與數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析相關(guān)
8.(2024安徽)綜合與實踐【項目背景】無核柑橘是我省西南山區(qū)特產(chǎn)，該地區(qū)某村有甲、乙兩塊成齡無核柑橘園.在柑橘收獲季節(jié)，班級同學(xué)前往該村開展綜合實踐活動，其中一個項目是：在日照、土質(zhì)、空氣濕度等外部環(huán)境基本一致的條件下，對兩塊柑橘園的優(yōu)質(zhì)柑橘情況進行調(diào)查統(tǒng)計，為柑橘園的發(fā)展規(guī)劃提供一些參考.
【數(shù)據(jù)收集與整理】從兩塊柑橘園采摘的柑橘中各隨機選取200個.在技術(shù)人員指導(dǎo)下，測量每個柑橘的直徑，作為樣本數(shù)據(jù).柑橘直徑用x(單位：cm)表示.將所收集的樣本數(shù)據(jù)進行如下分組：
整理樣本數(shù)據(jù)，并繪制甲、乙兩園樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)直方圖，部分信息如下：
任務(wù)1　求圖1中a的值.【數(shù)據(jù)分析與運用】任務(wù)2　A，B，C，D，E五組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別取為4，5，6，7，8，計算乙園樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).
任務(wù)3　下列結(jié)論一定正確的是__________(填正確結(jié)論的序號).①兩園樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)均在C組；②兩園樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)均在C組；③兩園樣本數(shù)據(jù)的最大數(shù)與最小數(shù)的差相等.任務(wù)4　結(jié)合市場情況，將C，D兩組的柑橘認定為一級，B組的柑橘認定為二級，其他組的柑橘認定為三級，其中一級柑橘的品質(zhì)最優(yōu)，二級次之，三級最次.試估計哪個園的柑橘品質(zhì)更優(yōu)，并說明理由.根據(jù)所給信息，請完成以上所有任務(wù).

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