類型1　簡(jiǎn)單幾何證明題
1. 如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)A，E在線段CF上，AB與DE交于點(diǎn)G，若∠BAC＝∠D，∠AGE＝∠C，AC＝DF.求證：AB＝DE.
證明∵∠BAC＝∠D，∠DEF＝∠DEF，∴∠AGE＝∠F，∵∠AGE＝∠C，∴∠C＝∠F.∵AC＝DF，∠BAC＝∠D，∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB＝DE.
2. 如圖，△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AC垂足為E，DF⊥BC垂足為F，且ED＝FD，求證：△ABC是等腰三角形．
3. 如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，∠ABD＝90°，E是BD的中點(diǎn)，且BC∥AE，連接CE.求證：AB＝CE.
證明：∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，BC＝CD，∴CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴AB∥CE.∵BC∥AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴AB＝CE.
4. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，且AD＝CE，連接AE，BD.求證：∠ABD＝∠CAE.
5. 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AC，DF，求證：四邊形ACFD是平行四邊形．
6. 如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD邊的中點(diǎn)，連接CE，AF.求證：∠BCE＝∠DAF.
7. 如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD，DE平分∠ADB交AB于點(diǎn)E，且∠AOB＝4∠ADE.求證：AB⊥BC.
證明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵DE平分∠ADB，∴∠ADB＝2∠ADE，∵∠AOB＝4∠ADE＝∠DAO＋∠ADB＝∠DAO＋2∠ADE，∴∠DAO＝2∠DAE，∴∠DAO＝∠ADB，∴AO＝DO，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴AC＝BD.∴四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.
8. 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE，BE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若AB＝BC＋AD，求證：BE⊥AF.
∵AB＝BC＋AD，∴AB＝BC＋CF，即AB＝BF，∴△ABF是等腰三角形，∵AE＝FE，∴E為AF的中點(diǎn)，∴BE⊥AF.
2. 如圖，由三個(gè)全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)與中間的小等邊三角形DEF拼成一個(gè)大等邊三角形ABC.連接BD并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G，若AE＝ED＝2，則(1)∠FDB的度數(shù)是____；(2)DG的長(zhǎng)是_____．
3. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是6，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，點(diǎn)E在邊CD上且CE＝2，CF⊥BE，連接OF，則(1)∠OFB＝____；(2)OF＝_____．
4. 如圖，BD是等邊△ABC的中線，過(guò)點(diǎn)D作AB垂線FE，交AB于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BD交AD于點(diǎn)H，若AH＝1，則AD的長(zhǎng)是___，△BDE的面積是______．
5. (2024重慶B卷)如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)．連接AC交⊙O于點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，連接BE，DE，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，則AB的長(zhǎng)度是____；DF的長(zhǎng)度是____．
6. 如圖，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，點(diǎn)D在AC上(可與點(diǎn)A，C重合)，分別過(guò)點(diǎn)A，C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則AE＋CF的最大值為_(kāi)___，最小值為_(kāi)___．
1. 如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC.(1)作∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D；(要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母)
(1)解：如解圖所示，射線AD即為所求；
1. 如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC.(2)在(1)的條件下，若E是線段AD上一點(diǎn)，連接BE，CE，求證：△BDE≌△CDE.
2. 如圖，在△ABC中，AB＝BC，D為邊AC上一點(diǎn)，連接BD.(1)作∠BDE＝∠C，且DE交邊AB于點(diǎn)E；(要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)
(1)解：如解圖，∠BDE即為所求作(作法不唯一)；
2. 如圖，在△ABC中，AB＝BC，D為邊AC上一點(diǎn)，連接BD.(2)在(1)的條件下，求證：∠BED＝∠ADB.
(2)證明：由(1)可知，∠BDE＝∠C，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠BDE＝∠A，∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDE＝∠ADE＋∠A＝∠BED，即∠BED＝∠ADB.
3. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接BD.(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出線段BD的垂直平分線(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；
解：(1)作線段BD的垂直平分線EF如解圖所示；
(2)如解圖，∵EF是線段BD的垂直平分線，∴BF＝DF，∠BFE＝∠DFE.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DE＝DF＝6.∴AE＝AD－DE＝2.
3. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接BD.(2)若(1)中所作的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接DF，AD＝8，DF＝6，求AE的長(zhǎng)．
4. 如圖，線段AC，BD相交于點(diǎn)O，且AB∥CD，AE⊥BD于點(diǎn)E.(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接AF，CE；(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，并標(biāo)明相應(yīng)的字母)
解：(1)如解圖，CF，AF，CE即為所求；
4. 如圖，線段AC，BD相交于點(diǎn)O，且AB∥CD，AE⊥BD于點(diǎn)E.(2)若AB＝CD，請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由．(若前問(wèn)未完成，可畫(huà)草圖完成此問(wèn))
(2)四邊形AECF是平行四邊形，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠BEA＝∠DFC＝90°.又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形.
5. 中國(guó)清代數(shù)學(xué)家李之鉉在其著作《幾何易簡(jiǎn)集》中記載了這樣一道畫(huà)圖題：
(1)根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，完成這道作圖題(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；
解：(1)如解圖，即為所求；
(2)根據(jù)(1)完成的圖，連接AD，補(bǔ)充如下證明過(guò)程：證明：由作圖痕跡得，AD＝CD＝DE，∴∠DAC＝_______，∠DEA＝∠DAE，∵∠ACE＋∠CEA＋∠CAE＝180°，∠CAE＝_______＋_______，∴∠ACE＋∠CEA＋∠DAC＋∠DAE＝180°，∴2(∠DAC＋∠DAE)＝180°，即∠DAC＋_______＝90°，∴∠EAB＝____°，∴AB⊥AE.
(1)作出四邊形EFHG如解圖；
7. 如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)M，N分別在CD，AB上(不與頂點(diǎn)重合)，連接MN，線段MN將矩形ABCD分為面積相等的兩部分．(1)請(qǐng)用數(shù)學(xué)中常用的工具：圓規(guī)，無(wú)刻度直尺，找出一組符合條件的M點(diǎn)和N點(diǎn)(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；
(1)解：如解圖①，點(diǎn)M，N即為所求；
(2)求證：AM＝CN.
(2)證明：如解圖②，連接AM，CN，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAN＝∠OCM.∵∠AON＝∠COM，∴△AON≌△COM(ASA)，∴AN＝CM.∵AB∥CD，∴∠CMN＝∠MNA，∵M(jìn)N＝NM，∴△ANM≌△CMN(SAS)，∴AM＝CN.
解：(1)如圖①，CD即為所求作(作法不唯一)；
8. 如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，頂角∠A＝36°.請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，分別按下列要求作圖(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)．(1)在圖①中，作△ABC的中線CD；

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