1. (2023菏澤)某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個(gè)一面靠墻(墻足夠長(zhǎng))的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A，B兩塊(如圖所示)，花園里種滿牡丹和芍藥.學(xué)校已定購(gòu)籬笆120米.(1)設(shè)計(jì)一個(gè)使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；
(2)在花園面積最大的條件下，A，B兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價(jià)25元，芍藥每株售價(jià)15元，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用不超過(guò)5萬(wàn)元，求最多可以購(gòu)買(mǎi)多少株牡丹？
(2)設(shè)種植牡丹的面積為a平方米，則種植芍藥的面積為(1 200－a)平方米，由題意可得25×2a＋15×2(1 200－a)≤50 000，解得a≤700，即牡丹最多種植700平方米，700×2＝1 400(株)，答：最多可以購(gòu)買(mǎi)1 400株牡丹.
2. (2024隨州模擬)春回大地，萬(wàn)物復(fù)蘇，又是一年花季到.某花圃基地計(jì)劃將如圖所示的一塊長(zhǎng)40 m，寬20 m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域.其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動(dòng)區(qū)，其余空地為種植區(qū)，分別種植A，B，C三種花卉.活動(dòng)區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長(zhǎng)是10 m.A，B，C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元.(1)設(shè)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為x m，用含x的代數(shù)式表示下列各量：花卉A的種植面積是　　 　m2，花卉B的種植面積是　　 　　m2，花卉C的種植面積是　　 　　m2.
(x2－60x＋800)
的面積為(40－x)(20－x)＝(x2－60x＋800)m2，花卉B的面積為x(40－x－10)＝(－x2＋30x)m2，花卉C的面積為x(20－x)＝(－x2＋20x)m2.
【解法提示】∵育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為x m，活動(dòng)區(qū)的邊長(zhǎng)為10 m，∴花卉A
(2)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等？
(2)∵A，B花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元，∴A，B兩種花卉的總產(chǎn)值分別為2(x2－60x＋800)百元和3(－x2＋30x)百元.∵A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等，∴200(x2－60x＋800)＝300(－x2＋30x)，∴x2－42x＋320＝0，解得x＝32(舍去)或x＝10，∴當(dāng)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為10 m時(shí)，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等；
(3)∵花卉A與B的種植面積之和為：x2－60x＋800＋(－x2＋30x)＝(－30x＋800)m2，∴－30x＋800≤560，∴x≥8.∵設(shè)A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和為y百元，∴y＝2(x2－60x＋800)＋3(－x2＋30x)＋4(－x2＋20x)，∴y＝－5x2＋50x＋1 600，
(3)若花卉A與B的種植面積之和不超過(guò)560 m2，求A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值.
∴y＝－5(x－5)2＋1 725，∴當(dāng)x≥8時(shí)，y隨x的增加而減小，∴當(dāng)x＝8時(shí)，y最大，且y＝－5×(8－5)2＋1 725＝1 680(百元)，故A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值為168 000元.
3.某開(kāi)發(fā)商計(jì)劃對(duì)某商業(yè)街一面8米×8米的正方形墻面ABCD進(jìn)行裝修，如圖，正方形四周由八個(gè)全等的矩形拼接而成，中心區(qū)是正方形MNPQ，若用甲類材料裝修八個(gè)全等的矩形，每平方米550元；用乙類材料裝修正方形MNPQ，每平方米500元.設(shè)小矩形的較短邊AE的長(zhǎng)為x米，裝修材料的總費(fèi)用為y元.(1)求總費(fèi)用y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
解：(1)根據(jù)題意得AD＝AB＝8，AE＝EF＝x，DF＝FN＝8－2x，四周是八個(gè)全等的矩形，∴MN＝8－4x，
(2)開(kāi)發(fā)商打算花費(fèi)34 400元全部用來(lái)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩類材料，求甲類材料中矩形的長(zhǎng)和寬；
(2)在y＝－800x2＋3 200x＋32 000中，令y＝34 400，得－800x2＋3 200x＋32 000＝34 400，解得x＝1或x＝3(此時(shí)MN為負(fù)數(shù)，舍去)，∴8－2x＝8－2×1＝6(米)，答：甲類材料中矩形的長(zhǎng)是6米，寬是1米；
∴y＝550×8x(8－2x)＋500(8－4x)2＝－800x2＋3 200x＋32 000，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝－800x2＋3 200x＋32 000；
(3)在(2)的花費(fèi)前提下，設(shè)計(jì)正方形MNPQ作為廣告區(qū)域，其邊長(zhǎng)不小于2米時(shí)，開(kāi)發(fā)商的費(fèi)用是否夠？請(qǐng)結(jié)合函數(shù)增減性說(shuō)明理由.
4.科研人員計(jì)劃利用現(xiàn)有墻體(墻體足夠長(zhǎng))，在試驗(yàn)基地中用總長(zhǎng)為240 m的圍欄圍出家畜養(yǎng)殖區(qū)和家禽養(yǎng)殖區(qū)(邊界靠墻部分不需要圍欄)，要求家畜養(yǎng)殖區(qū)的面積是家禽養(yǎng)殖區(qū)的2倍，兩個(gè)養(yǎng)殖區(qū)均為矩形，且兩區(qū)用圍欄隔開(kāi)，科研人員實(shí)地考察后，設(shè)計(jì)了兩種方案：方案1：示意圖如圖①，家畜養(yǎng)殖區(qū)的邊AD靠著現(xiàn)有墻體；方案2：示意圖如圖②，家畜養(yǎng)殖區(qū)的邊MQ靠著現(xiàn)有墻體，家禽養(yǎng)殖區(qū)的部分邊TM靠著現(xiàn)有墻體，墻體TM⊥MQ，且TM＝MN.兩種方案養(yǎng)殖區(qū)的總面積分別為y1 m2，y2 m2，回答下列問(wèn)題：
解：(1)①由題可得，四邊形ABCD和四邊形BFEC都是矩形，∴AB＝DC，BF＝CE，BC＝FE.∵家畜養(yǎng)殖區(qū)的面積是家禽養(yǎng)殖區(qū)的2倍，∴AB·BC＝2BF·BC，∴AB＝2BF.∵BF＝x m，AB＋BF＋CE＋DC＋BC＋FE＝240 m，∴2BC＋6x＝240，解得BC＝(120－3x)m；
(1)對(duì)于方案1，設(shè)BF＝x m.①求BC的長(zhǎng)度(用含x的代數(shù)式表示)；
(2)科研人員希望養(yǎng)殖區(qū)總面積盡可能大，則應(yīng)該選擇哪個(gè)方案，并說(shuō)明理由.
②由題意得y1＝AF·BC＝3x(120－3x)＝－9(x2－40x)＝－9(x－20)2＋3 600，∵－9＜0，∴當(dāng)x＝20時(shí)，y1有最大值，最大值為3 600；
(2)兩種方案任選其一即可，理由如下：設(shè)方案2中的MN＝n m.
5.端午節(jié)是中國(guó)首個(gè)入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的節(jié)日，民間有“賽龍舟”“吃粽子”等習(xí)俗.甲、乙兩超市均訂購(gòu)某種粽子禮盒若干盒，每盒進(jìn)價(jià)為25元，以下為兩超市銷售員的一段對(duì)話：甲超市銷售員：根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，每盒銷售單價(jià)為35元時(shí)，每天的銷售量是400盒；銷售單價(jià)每上漲3元，每天的銷售量就減少30盒.乙超市銷售員：每盒銷售單價(jià)定為35元.在兩超市每天賣出的此類粽子禮盒數(shù)量相等的情況下，根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題：
(1)求出甲、乙兩超市粽子禮盒每天的總利潤(rùn)y甲(元)、y乙(元)與日銷售量x(盒)之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)甲超市決定，每銷售一盒粽子，就捐贈(zèng)a(0＜a≤10)元給慈善機(jī)構(gòu)，如果甲超市捐款后剩余日利潤(rùn)仍高于乙超市，且當(dāng)兩超市日銷售量均為190盒時(shí)，甲超市剩余的日利潤(rùn)與乙超市的日利潤(rùn)之差最大，求a的取值范圍.
6. (2024宜昌模擬)麻花是我國(guó)的一種特色油炸面食小吃，色、香、味俱全，品種多樣，十分暢銷.陽(yáng)光超市購(gòu)進(jìn)了一批麻花禮盒進(jìn)行銷售，成本價(jià)為30元/件，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)為40元/件時(shí)，每天的銷售量為300件，銷售單價(jià)每提高10元/件，將少售出50件.(1)求超市銷售該麻花禮盒每天的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，超市銷售該麻花禮盒每天獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)；
(2)由題意，設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為w，∴w＝(x－30)(－5x＋500)＝－5x2＋650x－15 000＝－5(x－65)2＋6 125，∵－5＜0，∴當(dāng)x＝65時(shí)，w取最大值為6 125.答：當(dāng)銷售單價(jià)定元65元/件時(shí)，超市銷售該麻花禮盒每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6 125元；
(3)若超市銷售該麻花禮盒每天要獲得不低于5 000元的利潤(rùn)，但物價(jià)部門(mén)規(guī)定，銷售該麻花禮盒的利潤(rùn)率不得高于150％，該超市應(yīng)如何確定銷售單價(jià).
(3)∵每天要獲得不低于5 000元的利潤(rùn)，∴w≥5 000，∴－5(x－65)2＋6 125≥5 000，∴－15≤x－65≤15，∴50≤x≤80，∵利潤(rùn)率不得高于150％，
7.某特產(chǎn)店銷售蜜三刀，已知每千克的成本價(jià)為20元，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該店蜜三刀每月銷量y(千克)與銷售單價(jià)x(元/千克)的變化情況部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，按照規(guī)定銷售利潤(rùn)率不高于100％.
(1)請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)直接判斷y是關(guān)于x的哪種函數(shù)并求出函數(shù)關(guān)系式；
解：(1)由表格中數(shù)據(jù)可知，y是關(guān)于x的一次函數(shù)，設(shè)y＝kx＋b(k≠0)，將(25，180)，(27，172)分別代入y＝kx＋b中，
(2)設(shè)銷售利潤(rùn)為w元.①當(dāng)銷售單價(jià)x為多少元/千克時(shí)，每月的銷售利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少元？
(2)①由題意得w＝(x－20)(－4x＋280)＝－4x2＋360x－5 600＝－4(x－45)2＋2500，∵－4＜0，∴當(dāng)x≤45時(shí)，w隨x的增大而增大，
②由于成本變化，該商品成本價(jià)每千克提高了m元(4＜m≤10)，若在日后的銷售中，每月銷量與銷售單價(jià)仍然滿足(1)中的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)月銷售最大利潤(rùn)w為1 600時(shí)，求m的值.
∵按照規(guī)定銷售利潤(rùn)率不高于100％，∴x≤20×(1＋100％)＝40，∴當(dāng)x＝40時(shí)，w最大，最大值為－4×(40－45)2＋2 500＝2 400，∴當(dāng)銷售單價(jià)為40元/千克時(shí)，每月的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2 400元；
8. 強(qiáng)化環(huán)保意識(shí)，助力綠色發(fā)展.為加強(qiáng)環(huán)境的綠化程度，一園林公司開(kāi)始銷售某品種樹(shù)苗，該品種樹(shù)苗的銷售單價(jià)y(元)與一次性銷售量x(棵)(x為正整數(shù))之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)某天該公司銷售此種樹(shù)苗獲得了1 980元，請(qǐng)求出該公司銷售出樹(shù)苗的數(shù)量；
∴x＝180；當(dāng)x＞200時(shí)，由題意可得10x＝1 980，解得x＝198，∵x＞200，∴此種情況不存在；綜上所述，該公司當(dāng)天銷售出樹(shù)苗的數(shù)量為180棵；
(3)若培養(yǎng)每棵該品種樹(shù)苗需要成本8元，某零售商一次性采購(gòu)該品種樹(shù)苗x(100≤x≤350)棵，園林公司獲得的利潤(rùn)為w元，當(dāng)x為何值時(shí)，園林公司獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
∴當(dāng)x＝350時(shí)，w有最大值，最大值為2×350＝700.∵720＞700，∴當(dāng)x＝120時(shí)，園林公司獲得的利潤(rùn)最大.答：當(dāng)x＝120時(shí)，園林公司獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為720元.
9.如圖，某小區(qū)的景觀池中安裝一雕塑OA，OA＝2米，在點(diǎn)A處安裝噴水裝置，噴出兩股水流，兩股水流可以抽象為平面直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線的部分圖象(圖中的C1，C2)，兩條拋物線的形狀相同且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，且經(jīng)測(cè)算發(fā)現(xiàn)拋物線C2的最高點(diǎn)(頂點(diǎn))C距離水面2.5米，且與OA的水平距離為2米.(1)求拋物線C2的解析式；
(2)求拋物線C1與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)小明同學(xué)打算操控微型無(wú)人機(jī)在C1，C2之間飛行，為了無(wú)人機(jī)的安全，要求無(wú)人機(jī)在豎直方向上的活動(dòng)范圍不小于0.5米，設(shè)無(wú)人機(jī)與OA的水平距離為m，求m的取值范圍.
解：(1)描點(diǎn)、連線如解圖；
(1)在如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系中，描出表中各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)并畫(huà)出y關(guān)于x的函數(shù)圖象；
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
(3)①不能成功接球，理由如下：若小剛選擇面對(duì)籃球后退，設(shè)t秒時(shí)，籃球位于小剛正上方，則球飛行的水平距離為10t＝6＋2t，
②若小剛背對(duì)籃球向正前方前進(jìn)并成功接球，則小剛背對(duì)籃球時(shí)的最大接球高度不低于多少米？
11.問(wèn)題情境某學(xué)校舉辦了校園科技節(jié)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神，科學(xué)小組的同學(xué)自制了一個(gè)小型投石機(jī)，并在校園科技節(jié)主題活動(dòng)當(dāng)天進(jìn)行投石試驗(yàn)展示.試驗(yàn)步驟第一步：如圖，在操場(chǎng)上放置一塊截面為Rt△OCD的木板，該木板的水平寬度OD＝5米，豎直高度CD＝0.5米，將投石機(jī)固定在點(diǎn)O處，緊貼木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墻；
第二步：利用投石機(jī)將石塊(石塊大小忽略不計(jì))從點(diǎn)A處拋出，石塊飛行到達(dá)最高點(diǎn)后開(kāi)始下降，最終落地，其中點(diǎn)A到地面的高度OA＝0.3米，測(cè)得BC＝0.7米.試驗(yàn)數(shù)據(jù)：科學(xué)小組的同學(xué)借助儀器得到石塊飛行過(guò)程中的一組數(shù)據(jù)：石塊飛到最高點(diǎn)P時(shí)離地面的高度PE為1.5米，飛行的水平距離OE為4米.問(wèn)題解決已知石塊的飛行軌跡是拋物線的一部分，以O(shè)為原點(diǎn)，OG所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求石塊飛行軌跡對(duì)應(yīng)的拋物線的函數(shù)解析式；
(2)在試驗(yàn)時(shí)，石塊越過(guò)了城墻后落地，求城墻的厚度BF的取值范圍；
拓展應(yīng)用(3)如圖，在進(jìn)行第二次試驗(yàn)前，小組同學(xué)準(zhǔn)備在OC上與y軸水平距離為2米的范圍內(nèi)豎直安裝一支木桿用于瞄準(zhǔn)，為確保木桿不會(huì)被石塊擊中，則這支木桿的最大長(zhǎng)度是多少？
12. (2024吉林省卷)綜合與實(shí)踐某班同學(xué)分三個(gè)小組進(jìn)行“板凳中的數(shù)學(xué)”的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)研究.第一小組負(fù)責(zé)調(diào)查板凳的歷史及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；第二小組負(fù)責(zé)研究板凳中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)；第三小組負(fù)責(zé)匯報(bào)和交流.下面是第三小組匯報(bào)的部分內(nèi)容，請(qǐng)你閱讀相關(guān)信息，并解答“建立模型”中的問(wèn)題.【背景調(diào)查】圖①中的板凳又叫“四腳八叉凳”，是中國(guó)傳統(tǒng)家具，其榫卯結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了古人含蓄內(nèi)斂的審美觀.榫眼的設(shè)計(jì)很有講究，木工一般用鉛筆畫(huà)出凳
類型四　全國(guó)趨勢(shì)綜合實(shí)踐——解決真實(shí)問(wèn)題的實(shí)踐探究
面的對(duì)稱軸，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度，確定榫眼的位置，如圖②所示.板凳的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.【收集數(shù)據(jù)】小組收集了一些板凳并進(jìn)行了測(cè)量.設(shè)以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度為x mm，凳面的寬度為y mm，記錄如下：
【分析數(shù)據(jù)】如圖③，小組根據(jù)表中x，y的數(shù)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點(diǎn).
【建立模型】請(qǐng)你幫助小組解決下列問(wèn)題：(1)觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，它們是否在同一條直線上？如果在同一條直線上，求出這條直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；如果不在同一條直線上，說(shuō)明理由.
解：(1)這些點(diǎn)在同一條直線上.設(shè)這條直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將x＝16.5，y＝115.5和x＝23.1，y＝148.5代入，
(2)當(dāng)?shù)拭鎸挾葹?13 mm時(shí)，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度是多少？
(2)把y＝213代入y＝5x＋33得5x＋33＝213，解得x＝36，∴當(dāng)?shù)拭鎸挾葹?13 mm時(shí)，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度為36 mm.
13. (2024山西)綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖①，矩形MNKL是學(xué)校花園的示意圖，其中一個(gè)花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點(diǎn)A，B在矩形的邊MN上.現(xiàn)要對(duì)該花壇內(nèi)種植區(qū)域進(jìn)行劃分，以種植不同花卉，學(xué)校面向全體同學(xué)征集設(shè)計(jì)方案.方案設(shè)計(jì)：如圖②，AB＝6米，AB的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)P，與AB交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，且PO＝9米.欣欣設(shè)計(jì)的方案如下：第一步：在線段OP上確定點(diǎn)C，使∠ACB＝90°.用籬笆沿線段AC，BC分隔出△ABC區(qū)域，種植串串紅；
第二步：在線段CP上取點(diǎn)F(不與C，P重合)，過(guò)點(diǎn)F作AB的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，E.用籬笆沿DE，CF將線段AC，BC與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季.
方案實(shí)施：學(xué)校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩6米籬笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長(zhǎng).為此，欣欣在圖②中以AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.請(qǐng)按照她的方法解決問(wèn)題：
(1)在圖②中畫(huà)出坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋9(a≠0).∵點(diǎn)B(3，0)在拋物線y＝ax2＋9上，∴0＝9a＋9，解得a＝－1.∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋9(－3≤x≤3)；
(2)求6米材料恰好用完時(shí)DE與CF的長(zhǎng)；
∴CF＝OF－OC＝－m2＋9－3＝－m2＋6.根據(jù)題意，得CF＋DE＝6，∴－m2＋6＋2m＝6，解得m1＝2，m2＝0(不符合題意，舍去)，∴m＝2，∴DE＝2m＝4，CF＝－m2＋6＝2，∴DE的長(zhǎng)為4米，CF的長(zhǎng)為2米；
(3)種植區(qū)域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對(duì)該花壇進(jìn)行裝飾，計(jì)劃將燈帶圍成一個(gè)矩形.她嘗試借助圖②設(shè)計(jì)矩形四個(gè)頂點(diǎn)的位置，其中兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在線段AC，BC上.直接寫(xiě)出符合設(shè)計(jì)要求的矩形周長(zhǎng)的最大值.

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