一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知在等比數(shù)列中，，則的值是（ ）
A．4B．-4C．D．16
2．已知an是遞增數(shù)列，則an的通項(xiàng)公式可能為（ ）
A．B．
C．D．
3．已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則（ ）
A．24B．36C．48D．64
4．在數(shù)列中，若，，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，，為等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，則的值為
A．B．4C．2D．
6．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，則的值為（ ）
A．10B．20C．30D．40
7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（ ）
A．37B．36C．18D．19
8．高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則（ ）
A．2023B．4046C．2022D．4044
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．甲同學(xué)通過數(shù)列3，5，9，17，33，…的前5項(xiàng)，得到該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，根據(jù)甲同學(xué)得到的通項(xiàng)公式，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．該數(shù)列為遞增數(shù)列D．
10．已知數(shù)列滿足是的前項(xiàng)和，下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則為等差數(shù)列
C．若，則為等差數(shù)列
D．若，則
11．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．若，則B．若，則的值有3種情況
C．若數(shù)列滿足，則D．若為奇數(shù)，則（）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知是公比為的等比數(shù)列，若，則 .
13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 .
14．已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，，若數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，則首項(xiàng)的取值范圍是 ，當(dāng)時(shí)，記，若，則整數(shù)
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且.
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
18．已知數(shù)列滿足，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè)求的前項(xiàng)和．
19．如果數(shù)列滿足：且 則稱為n階“歸化”數(shù)列.
(1)若某3階“歸化”數(shù)列是等差數(shù)列，且單調(diào)遞增，寫出該數(shù)列的各項(xiàng)；
(2)若某11階“歸化”數(shù)列是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若為n階“歸化”數(shù)列，求證
1．C
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出答案,
【詳解】由題意得，解得.
故選：C
2．C
【分析】舉反例可判斷A，B；將化簡(jiǎn)為，判斷增減性，判斷C；判斷的增減性，判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，，A不合題意；
對(duì)于B，，則，
即，B不合題意；
對(duì)于C，，當(dāng)n增大時(shí)，減小，則增大，
符合題意，C正確；
對(duì)于D，隨著n的增大而減小，不合題意，D錯(cuò)誤，
故選：C
3．B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，再由，即可求解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，
由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，
又由.
故選：B.
4．A
【分析】由已知遞推式求出，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，然后利用周期可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
，，
所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
所以，
故選：A
5．A
【詳解】分析：數(shù)列{an}是公差d不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)，可得=a1?a7，化簡(jiǎn)可得a1與d的關(guān)系．可得公比q=．即可得出=．
詳解：數(shù)列{an}是公差d不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)，
∴=a1?a7，可得=a1（a1+6d），化為：a1=2d≠0．
∴公比q====2．
則==．
故選A．
點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
6．D
【分析】由可求出，再由等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可求出的值.
【詳解】由，得，
因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，
所以，
所以，整理得，,
解得或，
因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，所以，
所以，
故選：D
7．C
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式推得，，從而得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以，，從而當(dāng)時(shí)，取得最大值．
故選：C.
8．B
【分析】根據(jù)倒序相加法，結(jié)合等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)由，
∵函數(shù)，∴，
令，則，
∴，∴．
故選：B
9．ACD
【分析】根據(jù)首項(xiàng)可得，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)AB，由，得，故，故A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，得該數(shù)列為遞增數(shù)列，故C正確；
對(duì)D，，則，故D正確.
故選：ACD
10．ABD
【分析】確定，求和得到A正確，確定得到B正確，計(jì)算，時(shí)不成立，C錯(cuò)誤，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和得到D正確，得到答案.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：當(dāng)，則，所以，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：已知，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，故，
（時(shí)也成立），所以為等差數(shù)列，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：已知，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，，
（時(shí)不成立），所以不是等差數(shù)列，不正確；
對(duì)選項(xiàng)D：已知，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，，
（時(shí)不成立，所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
所以時(shí)也成立，正確.
故選：ABD
11．BD
【分析】由數(shù)列的遞推式結(jié)合分類討論，計(jì)算可得正確結(jié)論．
【詳解】正項(xiàng)數(shù)列滿足，
可得，則，，，，，，，，
故數(shù)列從第4項(xiàng)起，周期為3，故，故A錯(cuò)誤；
若，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，或26，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故B正確；
設(shè)，則，
若則，得，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故C錯(cuò)誤；
若為奇數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即為偶數(shù)，矛盾，故D正確．
故選：BD．
12．25
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)?br>所以
故25
13．52
【分析】先確定的正負(fù)，再分和求出的表達(dá)式，代入計(jì)算即可；
【詳解】令，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
，
所以，
故52.
14．
【分析】先由題給條件求得，再利用即可求得；先利用裂項(xiàng)相消法求得，再列不等式組，即可求得整數(shù)的值.
【詳解】正項(xiàng)數(shù)列，為嚴(yán)格增數(shù)列，
則，則，解之得
又，則，則
由，可得
由可得
，則，則
又當(dāng)時(shí)，，則
由可得，，
又，則，
解之得，則整數(shù)
故；
15．(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算求解即可；
（2）結(jié)合等差數(shù)列求和公式和等比數(shù)列求和公式，利用分組求和法求解即可.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為，數(shù)列bn的公比為，
由，所以，求得，所以；
由，得，所以，所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由與的關(guān)系即可求解；
（2）由累加法即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)都在函數(shù)，
所以
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，也滿足此式.
所以
（2）由（1）可得，
由
所以
當(dāng)時(shí)，，滿足此式；
所以
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系求通項(xiàng)公式即可；
（2）裂項(xiàng)相消法求和即可得解.
【詳解】（1）由①
所以當(dāng)時(shí)，②
①②得：，整理得：，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以.
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的定義即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，即，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）可知，，即，
所以.
所以
由，得
，
所以.
故的前項(xiàng)和為.
19．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）設(shè)成公差為r的等差數(shù)列，顯然，由得到，由得到，得到答案；
（2）設(shè)公差為，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到，當(dāng)，和，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)為中所有大于0的數(shù)，為中所有小于0的數(shù)，故，，所以.
【詳解】（1）設(shè)成公差為r的等差數(shù)列，顯然，
則由得，
由得，解得，
數(shù)列為所求3階“歸化”數(shù)列.
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，所以，所以，?
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
與歸化數(shù)列的條件相矛盾.
當(dāng)時(shí)，由，
故，又，
聯(lián)立解得，
所以
當(dāng)時(shí)，由，，同理解得，
所以.
綜上，當(dāng)，

（3）由已知可得：必有 也必有，
設(shè)為中所有大于0的數(shù)，為中所有小于0的數(shù)，
由已知得，，
所以.
數(shù)列不等式問題，常常需要進(jìn)行放縮，放縮后變形為等差數(shù)列或等比數(shù)列，在結(jié)合公式進(jìn)行證明，又或者放縮后可使用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和，常常使用作差法和數(shù)學(xué)歸納法，技巧性較強(qiáng).
2024-2025學(xué)年福建省三明市高二上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷
（二）
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在平面上的投影的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
2．已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為中點(diǎn)，則等于（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量，，則向量在向量上的投影向量（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．
C．D．
6．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的命題是（ ）
A．若，則一定是等邊三角形
B．若，則一定是等腰三角形
C．若，則一定是直角三角形
D．若，則一定是銳角三角形
7．如圖，三棱柱中，分別為中點(diǎn)，過作三棱柱的截面交于，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．1
8．在梯形中，為鈍角，且，若為線段上一點(diǎn)，，則（ ）
A．B．1C．D．
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分．
9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A．向量，，若，則
B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面
C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底
D．若空間四個(gè)點(diǎn)，，，，，則，，三點(diǎn)共線
10．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A．平面
B．直線與直線為異面直線
C．直線與直線所成的角為
D．平面
11．如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段中點(diǎn).則下列說法正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)，使得平面
B．周長(zhǎng)的最小值為
C．三棱錐的外接球的體積為
D．平面與平面的夾角正弦值的最小值為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知 則
13．圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為 .
14．若存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于任意的，不等式恒成立，則取得最大值時(shí)， ．
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．
15．如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點(diǎn).

(1)證明：平面.
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
16．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求角C的大??；
(2)若，，求AB邊上的中線長(zhǎng).
17．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)在上，且.
(1)證明：平面；
(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離.
18．平面四邊形中，，，，．
(1)求；
(2)求四邊形周長(zhǎng)的取值范圍；
(3)若為邊上一點(diǎn)，且滿足，，求的面積．
19．如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，D，E分別是線段的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為D.

(1)求證：平面；
(2)若點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，求三棱錐的體積；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)G，使二面角的大小為，若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由.
1．D
【分析】根據(jù)點(diǎn)在平面上的投影特征求解即可.
【詳解】點(diǎn)在平面上的投影的坐標(biāo)為.
故選：D.
2．B
【分析】直接利用空間向量的基地概念判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)，則，無解，則不共面，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤；
故選：B
3．B
【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則求解.
【詳解】
.
故選：B.
4．C
【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的意義求解即得.
【詳解】由向量，，得，而，
向量在向量上的投影向量.
故選：C
5．D
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象及“五點(diǎn)法”作圖求解即可.
【詳解】根據(jù)圖象可得，，解得，
所以，即，
將點(diǎn)代入的解析式，得，
則，解得，，又，
，所以.
故選：D.
6．A
【分析】A選項(xiàng)，由正弦定理得到，求出，同理可得，A正確；B選項(xiàng)，由正弦定理和二倍角公式得到，故或，故為等腰三角形或直角三角形；C選項(xiàng)，化切為弦得到，結(jié)合B選項(xiàng)可得C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，無法確定中其中之一是否為鈍角，D錯(cuò)誤.
【詳解】A選項(xiàng)，，由正弦定理得，
即，
因?yàn)?，所以，故，即?br>同理可得，故，
一定是等邊三角形，A正確；
B選項(xiàng)，，由正弦定理得，
即，所以，
因?yàn)?，所以或?br>故或，故為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，
即，由B選項(xiàng)可知，為等腰三角形或直角三角形，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，故，
故為銳角，但不知中其中之一是否為鈍角，故無法確定是否為鈍角三角形，D錯(cuò)誤.
故選：A
7．B
【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于，連接，取的中點(diǎn)，連接，得到四邊形所求裁面，再利用平行的相似比得到為上靠近的三等分點(diǎn)即可．
【詳解】
如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于，
連接，則四邊形所求截面．
取的中點(diǎn)，連接.
∵，
∴是△APC的中位線，
∴為的中點(diǎn)．
又分別為的中點(diǎn)，
∴，則，即，
∴為上靠近的三等分點(diǎn)，故．
故選：B.
8．B
【分析】根據(jù)題意，取中點(diǎn)，因?yàn)椋?，以為軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)，得，從而計(jì)算.
【詳解】根據(jù)題意，取中點(diǎn)，因?yàn)椋裕?br>以為軸建立直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)，，
則，
則
因?yàn)?，則,
的，則，
且.
故選：B
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用坐標(biāo)法，根據(jù)，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再坐標(biāo)法計(jì)算數(shù)量積.
9．BCD
【分析】根據(jù)空間向量基本定理及基底的基本概念，判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A，由，也可能是或，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閷?duì)空間中任意一點(diǎn)，，
則，
整理得.
由空間向量基本定理可知點(diǎn)，，，四點(diǎn)共面，故正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，由是空間中的一組基底，則，向量，，不共面，
可得向量，，也不共面，所以也是空間的一組基底，故正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，若空間四個(gè)點(diǎn)，，，，，
可得，即，則，，三點(diǎn)共線，故正確.
故選：BCD.
10．AD
【分析】利用線面平行的判定即可判斷A；根據(jù)即可判斷BC，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，證明，最后結(jié)合線面垂直的判定即可.
【詳解】對(duì)A，連接，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形?br>所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故A正確；
對(duì)BC，由A知，則兩直線共面，則直線與直線不是異面直線，且直線與直線所成的角不是故BC錯(cuò)誤；
對(duì)D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
則，
則，
則，
則，又因?yàn)槠矫妫云矫?
故選：AD.
11．ACD
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可判斷A；如圖，確定三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，進(jìn)而判斷B；如圖，確定球心和半徑即可判斷C；利用空間向量法求解面面角即可判斷D.
【詳解】A：由題意知，，又平面，
所以平面，由平面，得；
當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，又四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，
所以，由平面，所以平面，故A正確；
B：將平面和平面沿鋪成一個(gè)平面，如圖，連接，交于，
此時(shí)三點(diǎn)共線，取得最小值，即的周長(zhǎng)取得最小值，
又，
所以的周長(zhǎng)的最小值為，故B錯(cuò)誤；
C：易知中，，取的中點(diǎn)，過作平面，如圖
，
則三棱錐的外接球的球心必在上，且，
所以球的半徑為，其體積為，故C正確；
D：易知兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
所以，
易知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，設(shè)平面與平面所成角為，
則，所以，故D正確.
故選：ACD
方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.
12．
【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系處理即可.
【詳解】令，則，．
．
故
13．
【分析】結(jié)合圓錐的幾何特征，分別求出，最后應(yīng)用圓錐體積公式計(jì)算.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，則，
所以，所以圓錐的體積為.
故
14．
【分析】以為變量，結(jié)合一元二次不等式的存在性問題可得，解不等式結(jié)合題意得，由此可得答案.
【詳解】因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>即恒成立，
若存在實(shí)數(shù)，使得上式成立，則，
則，
可得，可得，
解得，
由，
則取得最大值時(shí)，
此時(shí).
故答案為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：雙變量問題的解題關(guān)鍵是一次只研究其中一個(gè)變量，本題先以為變量，轉(zhuǎn)化為存在性問題分析求解.
15．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）不妨設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由，得到，即可得證；
（2）求出平面的法向量，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）不妨設(shè)，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，A1,0,0，，，
所以，，，
設(shè)m=x,y,z是平面的一個(gè)法向量，
則，取，則，
所以平面的一個(gè)法向量，
又，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?
（2）因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，
又因?yàn)椋?br>所以平面與平面夾角的余弦值為.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換等知識(shí)求得.
（2）利用余弦定理求得，利用向量法求得AB邊上中線長(zhǎng).
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?
又因?yàn)?，則，所以.
整理得，即.
因?yàn)椋?，所以，所?
（2）由余弦定理，且，
則有，
又，故.
設(shè)邊上中線為CM，則，
，故邊上中線長(zhǎng)為.
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，利用相似比得，然后可得，根據(jù)線面平行判定定理即可得證；
（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量公式求出，再由點(diǎn)到直線的距離的向量公式可得.
【詳解】（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)椋?br>所以，又，
所以，所以，
因?yàn)槊?，面?br>所以平面.
（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，則，，，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，可取，
平面的法向量可取，
所以，得，
因?yàn)椋?br>與同向的單位向量，
所以點(diǎn)到直線的距離為.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先求出，再由余弦定理計(jì)算可得；
（2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范圍，即可求出的范圍，即可求出四邊形周長(zhǎng)的取值范圍；
（3）依題意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面積公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?br>在中由余弦定理
；
（2）在中，
即，
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，
則，即，所以，
所以，
即四邊形周長(zhǎng)的取值范圍為；
（3）因?yàn)?，所以，又?br>所以，，又，所以，
在中由余弦定理，
即
在中由余弦定理，
即，
又，所以，
所以，
又，所以，
即，所以，
所以，所以，
所以.
.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第3小問的解決關(guān)鍵是利用余弦定理得到，從而結(jié)合第2小問中的結(jié)論即可得解.
19．(1)證明見解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）通過幾何圖形的性質(zhì)證明，即可；
（2）利用平面，并結(jié)合三棱錐的體積公式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)二面角的定義結(jié)合（1）作出其平面角，解三角形即可.
【詳解】（1）如圖所示，連接，

由題意可知平面ABC，四邊形是菱形.
平面ABC，，
又D是AC中點(diǎn)，是正三角形，，
又平面，平面，
平面，，
在菱形中，有，
而D，E分別是線段的中點(diǎn)，則，所以，
平面，平面；
（2）如圖所示，

由（1）可知，，平面，
為三棱錐的高，
，，
又在平面內(nèi)的射影為，
，則，，
，則，
為直角三角形，
，
.
（3）如圖，假設(shè)存在G點(diǎn)滿足題意，取的中點(diǎn)S，連接，

過G作交于M，連接MD，
易得，平面，平面，故平面，
又結(jié)合（1）的結(jié)論有，故二面角為，
所以，
如圖，在菱形中，作，

易得，
則，
易知為直角三角形，故.
思路點(diǎn)睛：本題立體幾何的求解可從以下方面入手：
（1）證明線面垂直，要在該平面內(nèi)找兩條相交直線與已知直線垂直即可；
（2）第二問關(guān)鍵在于求三棱錐的高，通過構(gòu)造線面垂直來轉(zhuǎn)化；
（3）另一個(gè)關(guān)鍵在于求二面角的平面角，結(jié)合（1）的結(jié)論找出垂直關(guān)系解三角形即可.

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