1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上
無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.
一?選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1.設(shè)集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
2. 的展開式中 的系數(shù)為（ ）
A. B. C.6 D.
3.在平行四邊形 中， 為線段 的中點(diǎn)，且 ，則（ ）
A. 為線段 的中點(diǎn) B. 為線段 的中點(diǎn)
C. 為線段 的中點(diǎn) D. 為線段 的中點(diǎn)
4.若 ，則（ ）
A. 為實(shí)數(shù) B.
C. 為純虛數(shù) D.
5.已知 為常數(shù)，且非常數(shù)函數(shù) 是定義在 上的奇函數(shù)，則 （ ）
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A. B. C. D.4
6.若函數(shù) 的值域?yàn)?，則 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
7.拋物線 的頂點(diǎn)到拋物線 的準(zhǔn)線的距離為（ ）
A.3 B. C.5 D.
8.下面四個(gè)繩結(jié)中，可以無損傷地變?yōu)橄聢D中的繩結(jié)的個(gè)數(shù)是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二?多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9.已知曲線 與圓 ，則（ ）
A.曲線 為半個(gè)圓
B.當(dāng) 時(shí)，曲線 與圓 有兩個(gè)公共點(diǎn)
C.當(dāng)曲線 與圓 相切時(shí)，
D.當(dāng) 時(shí)，曲線 在圓 的內(nèi)部
10.在棱長為 2 的正方體 中， 分別為棱 上一點(diǎn)，且
，則（ ）
A. 平面
B.正方體 的外接球的表面積為
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C.四面體 的體積的最大值為
D.當(dāng) 與平面 所成角的正切值為 2 時(shí)，
11.若函數(shù) 滿足 對任意 恒成立，且 ，則（ ）
A.
B.
C. 可能為對數(shù)函數(shù)
D.存在 ，使得 為常數(shù)函數(shù)
三?填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12.若數(shù)據(jù) 的極差為 3，方差為 4，則數(shù)據(jù) 的極差為__________，方差為
__________.
13.已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn) ，則 __________.
14.在正方形 中， ，則以點(diǎn) 為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn) 的橢圓的離心率為
__________.
四?解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（13 分）
已知福建某地生產(chǎn)的罐裝巖茶的凈含量的均值為 250 克，且每罐巖茶的凈含量 （單位：克）服從正態(tài)分
布 .
（1）求 ；
（2）若甲從該地生產(chǎn)的罐裝巖茶中隨機(jī)購買 7 罐，求恰有 3 罐的凈含量不大于 250 克的概率；
（3）若乙從該地生產(chǎn)的罐裝巖茶中隨機(jī)購買 100 罐，設(shè)這 100 罐巖茶中凈含量在 內(nèi)的罐數(shù)為
，求 的數(shù)學(xué)期望.
16.（15 分）
已知數(shù)列 中， .
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（1）若 依次成等差數(shù)列，求 ；
（2）若 ，證明數(shù)列 為等比數(shù)列；
（3）若 ，求 的前 項(xiàng)和 .
17.（15 分）
已知雙曲線 的漸近線方程為 ，左、右焦點(diǎn)分別為 .
（1）求 的方程；
（2）若直線 與 交于 兩個(gè)不同的點(diǎn)，求 ；
（3）已知點(diǎn) ，且直線 與 只有一個(gè)公共點(diǎn) ，求點(diǎn) 的橫坐標(biāo).
18.（17 分）
如圖，在三棱錐 中， 平面 ，且 .
（1）求 .
（2）若 的面積為 ，且 ，證明： 平面 .
（3）過點(diǎn) 作底面 的垂線，垂足 在 的內(nèi)部，且 分別為 ， 的中點(diǎn)，
平面 與平面 所成的角為 ，求 .
19.（17 分）
已知函數(shù) .
（1）求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程；
（2）若 ，求 的值；
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（3）若函數(shù) 恰有 8 個(gè)零點(diǎn)，求 的取值范圍.
參考數(shù)據(jù)： .
高三數(shù)學(xué) 2 月聯(lián)考試卷參考答案
1.C 因?yàn)?，所以 .
2.B 的展開式中 的系數(shù)為 .
3.C 因?yàn)?為線段 的中點(diǎn)，且 ，所以 ，所以 為線段 的中
點(diǎn).
4.A 因?yàn)?，所以 ，所以 為實(shí)數(shù)， .
5.A 依題意可得 ，得 ，由 ，得 或 5，當(dāng) 時(shí)，
為常數(shù)函數(shù)，不符合題意，則 ，易證此函數(shù)為奇函數(shù)，所以 .
6.D 因?yàn)?的值域?yàn)?，所以 ，得 .
7.D 因?yàn)?，所以拋物線 的頂點(diǎn)為 ，由 ，得 ，
所以拋物線 的準(zhǔn)線方程為 ，故拋物線 的頂點(diǎn)到拋物線 的準(zhǔn)線的距離
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為 .
8.A 題圖中的繩結(jié)是兩個(gè)相扣的圓環(huán)，而（1）與（3）中的繩結(jié)由一根繩子扭成，（4）中的繩結(jié)由兩個(gè)
沒有相扣的圓環(huán)構(gòu)成，都不可能扭成題圖中的繩結(jié).（2）中的繩結(jié)可以無損傷地變?yōu)轭}圖中的繩結(jié).故這四
個(gè)繩結(jié)中，可以無損傷地變?yōu)轭}圖中的繩結(jié)的個(gè)數(shù)是 1.
9.ACD 由 ，得 ，所以曲線 表示圓 的上半部分，A 正
確.易知圓 的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn) ，半徑為 1，圓 的圓心為
，半徑為 .當(dāng) 時(shí)，曲線 與圓 只有 1 個(gè)公共點(diǎn)，B 錯(cuò)誤.因?yàn)榍€ 與圓 相切，所以
，則 ，得 ，C 正確.因?yàn)樵谇€ 的所有點(diǎn)中，離圓心 最遠(yuǎn)的是點(diǎn)
，所以當(dāng) 時(shí)，曲線 在圓 的內(nèi)部，D 正確.
10.AC 因?yàn)?，所以 ，連接 ，可得 .又 平面
平面 ，所以 平面 ，A 正確.因?yàn)檎襟w外接球的直徑
，所以外接球的表面積為 ，B 錯(cuò)誤.設(shè) ，則
，四面體 的體積
，當(dāng)且僅當(dāng) ，
即 時(shí)，等號(hào)成立，C 正確.因?yàn)?平面 ，所以 為直線 與平面 所成的
角，則 ，所以 ，所以
，D 錯(cuò)誤.
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11.BCD 令 ，得 ，則 ，A 錯(cuò)誤.令 ，得
，則 ，B 正確.取 ，得
，C 正確.令 ，得
，即 ，即 ，故存在 ，使
得 為常數(shù)函數(shù)，D 正確.
12.6；16 因?yàn)?的極差為 3，方差為 4，所以數(shù)據(jù) 的極差為 ，方差為
.
13. 因?yàn)?，所以 ，則 ，解得
，又 ，所以 .
14. 如圖，過點(diǎn) 作 ，垂足為 ，連接 .設(shè) ，則
，所以 ，則所
求橢圓的離心率為 .
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15.解：（1）因?yàn)?服從正態(tài)分布 ，且 ，
所以 ，
.
（2）因?yàn)?，所以恰有 3 罐的凈含量不大于 250 克的概率為 （或
0.2734375）.
（3）依題意可得 ，
所以 .
16.（1）解： .
因?yàn)?依次成等差數(shù)列，所以 ，
即 ，解得 .
（2）證明：因?yàn)?，
且 ，所以 是首項(xiàng)為 1，公比為 2 的等比數(shù)列.
（3）解：由（2）可得 ，則 .
.
17.解：（1）依題意設(shè) 的方程為 ，
則 ，
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解得 ，所以 的方程為 .
（2）設(shè) ，聯(lián)立
得 ，
則 ，
.
（3）直線 的方程為 ，即 ，
代入 的方程得 ，即 .
當(dāng) 時(shí)， ，方程有兩個(gè)解，不符合題意.
當(dāng) ，即 時(shí)，方程 即 ，方程只有一個(gè)
解 ，符合題意.
故點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 .
18.（1）解：因?yàn)?平面 ，且 平面 ，所以 ，所以
.
（2）證明：因?yàn)?，所以 ，因?yàn)?br>，所以 ，
由余弦定理得 ，所以 .
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注意到 ，因此 .
因?yàn)?，所以 平面 .
（3）解：連接 ，依題意可得 平面 ，則 與 均垂直.因?yàn)?br>，所以 .
設(shè) ，由余弦定理計(jì)算得 ，
則 ，
由余弦定理得 ，由（2）知， ，則 兩兩垂直.
以 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向分別為 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，
.
設(shè)平面 的法向量為 ，則
令 ，得 .
易知平面 的一個(gè)法向量為 ，
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則 .
19.解：（1） ，
，
所以曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 .
（2）因?yàn)?，所以 .
令 ，則 恒成立.
由 ，可得 .
，得 .
當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減，所以
，即 恒成立.
故 的值為 .
（3） .
當(dāng) 或 時(shí)， ；當(dāng) 或 時(shí)， .
可知 在 和 上是增函數(shù)，在 和 上是減函數(shù)，
所以 的極小值為 ，
極大值為 和 ，且 ，即
.
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當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， .
令 ，得 ，
解得 .
令 ，得 或 或 ，
即 或 或 .
因?yàn)?，
且 恰有 8 個(gè)零點(diǎn)，
所以
解得 ，即 的取值范圍為 .
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