一、單選題（本大題共8小題）
1．已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．現(xiàn)采用隨機模擬的方式估計一運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下12組隨機數(shù)：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 ，據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．已知兩條不同的直線，兩個不同的平面，則（ ）
A．若則
B．若則
C．若則
D．若則
4．平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)在下圖分布形態(tài)中，a，b，c分別對應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如圖，在平面四邊形ABCD中，若，，，，則（ ）
A．B．2C．D．
6．用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺.己知正四棱臺的上?下底面邊長分別為1和2，側(cè)棱與底面所成的角為，則該四棱臺的體積是（ ）
A．B．C．D．
7．在矩形中，，，為矩形所在平面內(nèi)的動點，且，則的最大值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
8．已知正四棱錐的所有棱長均為2，點為正四棱錐的外接球球面上一動點，，則動點的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．某高中舉行的數(shù)學(xué)史知識答題比賽，對參賽的2000名考生的成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（ ）
A．考生參賽成績的平均分約為72.8分
B．考生參賽成績的第75百分位數(shù)約為82.5分
C．分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.2
D．用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為200的樣本，則成績在區(qū)間應(yīng)抽取30人
10．在中，設(shè)角所對的邊分別為a,b,c，則下列命題一定成立的是（ ）
A．若，則是銳角三角形
B．若，，，則有唯一解
C．若是銳角三角形，，，設(shè)的面積為S，則
D．若是銳角三角形，則
11．如圖，在直三棱柱中，與相交于點，點是側(cè)棱上的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直三棱柱的體積是6B．三棱錐的體積為定值
C．的最小值為D．直三棱柱的外接球表面積是
三、填空題（本大題共3小題）
12．在中，內(nèi)角，，的對邊依次為，，，，，，的面積為
13．如圖，在中，點滿足，過點的直線與所在的直線分別交于點，若，則的最小值為 .
14．如圖，已知點A是圓臺O1O 的上底面圓O1 上的動點，B,C 在下底面圓O 上，AO1=1 ，OO1=2 ，BO=3 ，BC=25 ，則直線AO 與平面O1BC 所成角的正弦值的最大值為_______.
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點是的中點，是線段上靠近的三等分點，.
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離.
16．在中，點D在上，，.
(1)求的值；
(2)若，求的長.
17．隨著科技的發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)也隨之成熟，網(wǎng)絡(luò)安全也涉及到一個國家經(jīng)濟，金融，政治等安全．為提高中學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)安全意識和信息技術(shù)能力，某中學(xué)組織了一次信息技術(shù)創(chuàng)新比賽，參賽選手兩人為一組，需要在規(guī)定時間內(nèi)獨自對兩份不同的加密文件進行解密，每份文件只有一次解密機會．已知甲每次解開密碼的概率為，乙每次解開密碼的概率為，每次是否解開密碼也互不影響．設(shè)，，，
(1)已知概率，
（i）求的值．
（ii）求甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率．
(2)若，求甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率最小值．
18．在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.
(1)求證：平面；
(2)求與平面所成角的大?。?br>(3)在線段上是否存在點，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.
19．如圖，已知是的外心，，，，，．
(1)判斷的形狀，且求時的值；
(2)當(dāng)時，
①求的值（用含的式子表示）；
②若，求集合中的最小元素．
答案
1．【正確答案】B
【分析】由復(fù)數(shù)的模長公式及除法運算求解復(fù)數(shù)，然后求其共軛復(fù)數(shù)即可.
【詳解】因為，所以，
所以，所以.
故選B.
2．【正確答案】A
【分析】根據(jù)古典概型概率計算公式即可求解．
【詳解】依題意在組隨機數(shù)中三次投籃恰有兩次命中的有：，，共個，
所以該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率，
故選：A．
3．【正確答案】D
【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線線的位置關(guān)系，判斷A；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合線面的位置關(guān)系，判斷B；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)結(jié)合線面的位置關(guān)系，判斷C；根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷D.
【詳解】對于A，若則可能平行，也可能異面，A錯誤；
對于B，若則可能有，也可能有，B錯誤；
對于C，若則有可能是，也可能，C錯誤；
對于D，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知若則，D正確.
故選D.
4．【正確答案】A
【分析】利用數(shù)據(jù)分布圖左拖尾，即平均數(shù)小于中位數(shù)，再利用眾數(shù)是用最高矩形的中點值來估計，可判斷眾數(shù)大于中位數(shù)，即可作出判斷.
【詳解】由數(shù)據(jù)分布圖知，眾數(shù)是最高矩形下底邊的中點橫坐標，因此眾數(shù)為右起第二個矩形下底邊的中點值，
直線左右兩邊矩形面積相等，而直線左邊矩形面積大于右邊矩形面積，則，
又數(shù)據(jù)分布圖左拖尾，則平均數(shù)小于中位數(shù)，即，
所以.
故選：A
5．【正確答案】D
【分析】先由余弦定理得出，再應(yīng)用正弦定理求邊長即可.
【詳解】在中，由余弦定理，
得，所以，
因為，所以，
在中，，
由正弦定理，得，所以．
故選D．
6．【正確答案】B
【分析】根據(jù)正四棱臺性質(zhì)可求得該棱臺的高，代入棱臺的體積公式即可求得結(jié)果.
【詳解】如下圖所示：分別為上下底面的中心，作于點，
根據(jù)題意可知，側(cè)棱與底面所成的角即為，可知；
因此可得，
易知，由正四棱臺性質(zhì)可得；
所以該正四棱臺的高為，
因此該四棱臺的體積是.
故選：B
7．【正確答案】B
【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)，根據(jù)條件得到，從而得到，又，結(jié)合圖形，得，即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，設(shè)，中點為，
因為，，所以,，，，
得到，所以，
又因為，所以，
又，當(dāng)且僅當(dāng)（在的延長線上）三點共線時取等號，
所以，
故選：B.
關(guān)鍵點點晴：設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標運算，得到，再利用圓的幾何性質(zhì)，即可求解.
8．【正確答案】D
【分析】連接、，設(shè)，連接，分析可得為正四棱錐外切球的球心，且外接球的半徑，作出正四棱錐外接球的軸截面（過點、、），過點作交于點，即可求出，從而求出軌跡長.
【詳解】依題意，正四棱錐的所有棱長均為，連接、，
設(shè)，連接，則平面，則，
所以，所以，
則為正四棱錐外切球的球心，且外接球的半徑，
作出正四棱錐外接球的軸截面（過點、、）如下所示：
因為，所以為等邊三角形，所以，
過點作交于點，則，
所以點在以為圓心，為半徑的圓上，
所以動點的軌跡長度為.
故選：D
9．【正確答案】BC
【分析】對A，確定每組數(shù)據(jù)中間值，以及每組數(shù)據(jù)的頻率代入到求平均數(shù)的公式即可求得；對B，第75百分位數(shù)得到位于內(nèi)，代入公式可計算第75百分位數(shù)值；對C，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.2可判斷；對D，用分層隨機抽樣可得區(qū)間應(yīng)抽取60人，即得到答案.
【詳解】對A，平均成績
為，故A錯誤；
對B，由頻率分布直方圖知第75百分位數(shù)位于內(nèi)，
則第75百分位數(shù)為，故B正確；
對C，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為，故C正確；
對D，區(qū)間應(yīng)抽取人，故D錯誤.
故選BC.
10．【正確答案】BCD
【分析】由余弦定理可判斷；
由正弦定理可判斷；
利用邊化角結(jié)合面積公式可得，求的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍，即可判斷；
由銳角三角形可得及，利用在上的單調(diào)性結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷.
【詳解】，
，
，
為銳角，但不能確定角是否為銳角，
故不一定是銳角三角形，故錯誤；
由正弦定理得，
，
，
有唯一解，故正確；
，
，，
，
又，解得，
，，
，
，
，即，故正確；
是銳角三角形，，
又，
，，
又在上單調(diào)遞增，
，，
，故正確；
故選.
11．【正確答案】ABD
【分析】A選項，求出，從而根據(jù)柱體體積公式得到答案；B選項，為定值，點到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值；C選項，將矩形與矩形展開到同一平面內(nèi)，由勾股定理求出最小值；D選項，將直三棱柱補形為長方體，求出外接球半徑，得到外接球表面積.
【詳解】A選項，直三棱柱中，，
所以，直三棱柱的體積是，A正確；
B選項，矩形的面積為，
當(dāng)是側(cè)棱上運動時，為定值，
又點到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，B正確；
C選項，將矩形與矩形展開到同一平面內(nèi)，如圖所示，
連接，與相交于點，
故的長即為的最小值，故最小值為，
的最小值為5，C錯誤；
D選項，將直三棱柱補形為長方體，
則長方體的外接球即為直三棱柱的外接球，
故外接球的半徑為，
表面積為，D正確,
故選：ABD
特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問題，常常進行補形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球或內(nèi)切球球心和半徑的幾何體，比如墻角模型，對棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來進行求解.
12．【正確答案】1或
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合二倍角余弦公式、正弦定理、三角形面積公式分類討論進行求解即可.
【詳解】因為，
所以，即，
所以，或，
因為，
所以，或．
因為，，
當(dāng)時，，可得，；
當(dāng)時，由正弦定理，可得，
可得．
故1或
13．【正確答案】3
【分析】先由題意得，進而由共線定理得，接著結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】因為，，
所以，
因為三點共線，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.
所以的最小值為3.
故3.
思路點睛：根據(jù)已知條件關(guān)系和所求問題的特征，結(jié)合向量的環(huán)境優(yōu)先考慮共線定理中的三點共線系數(shù)和為1，故先由題意得，從而由共線定理得，接著結(jié)合基本不等式可求解.
14．【正確答案】31010
【分析】以O(shè) 為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得對應(yīng)點的坐標，設(shè)出未知點的坐標，利用向量法求線面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.
【詳解】連接OC ，過C 點作CH 垂直于BO 的延長線于點H ，以O(shè) 為坐標原點，建立空間直角坐標系如下所示：
在三角形OBC 中，因為OB=3,OC=3,BC=25 ，
故csB=OB2+BC2?OC22OB?BC=9+20?92×3×25=53 ，
則BH=BC?csB=25×53=103 ，
則CH=BC2?BH2=20?1009=453 ，
OH=BH?OB=13 ，
故點C?13,453,0 ，又O0,0,0 ，O10,0,2 ，B3,0,0 ，
設(shè)點Am,n,2 ，m,n∈?1,1 ，由O1A=1 ，可得m2+n2=1 ，
BC=?103,453,0 ，BO1=?3,0,2 ，
設(shè)平面O1BC 的法向量m=x,y,z ，
則m?BC=0m?BO1=0 ，即?103x+453y=0?3x+2z=0 ，
取y=5 ，則x=2,z=3 ，
故平面O1BC 的法向量m=2,5,3 ，
又OA=m,n,2 ，
設(shè)直線AO 與平面O1BC 所成角為θ ，θ∈0,π2 ，
則sinθ=csOA,m=m?OAmOA=2m+5n+632×m2+n2+4=2m+5n+6310 ，
因為m,n∈?1,1 ，且m2+n2=1 ，
故令m=csα ，n=sinα ，α∈0,2π ，
則2m+5n+6=5sinα+2csα+6=3sinα+φ+6 ，tanφ=255 ，φ∈?π2,π2 ，
又α∈0,2π ，所以sinα+φ∈?1,1 ，
所以3sinα+φ+6∈3,9 ，即2m+5n+6∈3,9 ，
所以sinθ 的最大值為9310=31010 .
故31010 .
【方法總結(jié)】求直線與平面所成角的方法：
(1)定義法：①作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識求角；
(2)向量法：sinθ＝|cs〈→，n 〉|＝AB?nAB?n (其中AB→ 為平面α 的斜線AB的方向向量，n為平面α 的法向量，θ為斜線AB與平面α 所成的角)．
15．【正確答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）連接交于點，連接，由中位線證明線線平行，然后由線面平行的判定定理證明即可；
（2）由線面垂直證明出，計算出三角形的面積，設(shè)點到平面的距離為，由等體積法求解即可.
【詳解】（1）證明：如圖，
連接交于點，連接，
四邊形是正方形，為中點，
是中點，，
平面平面平面.
（2）平面，平面，.
又四邊形是正方形，.
又，平面，平面.
又平面.
點是的中點，.
又，平面，平面.
又平面.
又易知.
.
.
又是線段上靠近的三等分點，
，
.
設(shè)點到平面的距離為，則，解得.
點到平面的距離為.
16．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理與正弦定理依次求得，從而得解；
（2）利用向量的線性運算與數(shù)量積的運算法則即可得解.
【詳解】（1）在中，，，則，
所以
，所以，
又，則.
（2）因為，則，

所以，
又，
所以
，
則.
17．【正確答案】(1)（i）；（ii）；
(2).
【分析】（1）（i）根據(jù)獨立性性質(zhì)建立方程，即可求解；（ii）由（i）知：，設(shè)“甲乙兩人兩次一共解開密碼3次的事件”，則，再根據(jù)互斥加法公式和獨立性乘法公式即可求解；
（2）由可得，從而求得，再利用基本不等式即可求得最小值.
【詳解】（1）（i）由題知，
解得：，
（ii）由（i）知：，
設(shè)“甲乙兩人兩次一共解開密碼3次的事件”，則
與互斥，與與分別相互獨立，
所以
，
因此，甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率為．
（2）由題知：，
，
設(shè)“甲乙兩人兩次一共解開密碼3次的事件”，則
與互斥，與與分別相互獨立，
所以
因為，
所，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以．
故甲、乙兩次解密過程中一共解開密碼三次的概率最小值為.
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明線面垂直關(guān)系，再由性質(zhì)定理得到線線垂直關(guān)系，進而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關(guān)系；
（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.用向量法求與平面所成角的大??；
（3）假設(shè)存在點，使平面與平面成角余弦值為，設(shè)，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.
【詳解】（1）因為在中，，，且，
所以，，則折疊后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；
（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.
因為，故，
由幾何關(guān)系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
不妨令，則，，.
設(shè)與平面所成角的大小為，
則有，
設(shè)為與平面所成角，故，
即與平面所成角的大小為；
（3）假設(shè)在線段上存在點，使平面與平面成角余弦值為.
在空間直角坐標系中，，，，
設(shè)，則，，
設(shè)平面的法向量為，則有，即，
不妨令，則，，所以，
設(shè)平面的法向量為，則有，即，
不妨令，則，，所以，
若平面與平面成角余弦值為.
則滿足，
化簡得，解得或，即或，
故在線段上存在這樣的點，使平面與平面成角余弦值為. 此時的長度為或.
19．【正確答案】(1)為等邊三角形；
(2)①②
【分析】（1）借助向量的數(shù)量積公式計算即可得其夾角，即可得其形狀，由題意可得的中點為，即可結(jié)合向量的線性運算得解；
（2）①由題意可得、、分別為，，的等分點，借助向量的線性運算與數(shù)量積公式計算即可得；②借助一次函數(shù)的單調(diào)性逐步計算即可得.
【詳解】（1），，
則，即，故為等邊三角形，
由題意知的中點為，且，
，，
故；
（2）①由為等邊三角形，為外接圓的圓心，
故，，，，
，，，
，，
又，故、、分別為，，的等分點，
；
同理，
故；
②令，
由，故，
可以看為自變量為的一次函數(shù)，
在時取得最小值，
同理，由，在時取得最小值，，
在時取得最小值，，
故的最小值為，
即集合中的最小元素為.
2024-2025學(xué)年重慶市兩江新區(qū)高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)學(xué)情
檢測試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知 (為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于
A．B．
C．D．
2．若兩個向量，的夾角是，是單位向量，，，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
3．已知表示兩個不同的平面，表示三條不同的直線，（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
4．在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，且，若，則面積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的體積為（ ）
A．B．C．D．1423π
6．如圖，在中，為上一點，且滿足，若則的值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，，，則球的體積是（ ）
A．B．C．D．
8．在直角梯形中，分別為 的中點，點在以為圓心，為半徑的圓弧上運動（如圖所示）．若，其中，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則（ ）．
A．B．
C．bc的最大值為D．為鈍角三角形
10．下列四個命題為真命題的是（ ）．
A．若，，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個，則
B．若向量，，則在上的投影向量為
C．已知向量，，則的最大值為
D．若，則動點O的軌跡一定通過的重心
11．如圖，在棱長為2的正方體中，點P是側(cè)面內(nèi)的一點，點E是線段上的一點，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)點P是線段的中點時，存在點E，使得平面
B．當(dāng)點E為線段的中點時，過點A，E，的平面截該正方體所得的截面的面積為
C．點E到直線的距離的最小值為
D．當(dāng)點E為棱的中點且時，則點P的軌跡長度為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量．若，則 ．
13．如圖所示，在四棱錐中，//，且，若，，則二面角的余弦值為 ．
14．如圖，在三棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知中，， P在線段上，且，，設(shè)，.
(1)用向量，表示；
(2)若，求.
16．如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，,,垂足為，是四棱錐的高．
（Ⅰ）證明：平面平面;
（Ⅱ）若,60°,求四棱錐的體積．
17．在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求AB邊上的高．
18．如圖，在四棱錐中，，，，，，，且O是AD的中點．
(1)求證：平面平面ABC；
(2)若四棱錐體積為，求二面角的正弦值；
(3)若二面角的大小為，求直線PB與平面PAD所成角的余弦值．
19．現(xiàn)有長度分別為1，2，3，4的線段各1條，將它們?nèi)坑蒙希孜惨来蜗噙B地放在桌面上，可組成周長為10的三角形或四邊形.
(1)求出所有可能的三角形的面積.
(2)如圖，在平面凸四邊形中，，，，.
①當(dāng)大小變化時，求四邊形面積的最大值，并求出面積最大時的值.
②當(dāng)時，所在平面內(nèi)是否存在點P，使得達到最?。咳粲凶钚≈担瑒t求出該值；否則，說明理由.
答案
1．【正確答案】A
由復(fù)數(shù)的運算法則，化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解，得到答案．
【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，即，
所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于，故選A．
本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算法則，以及共軛復(fù)數(shù)的概念的應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運算法則，準確求解復(fù)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．【正確答案】B
【分析】利用數(shù)量積公式求出，然后由數(shù)量積定義可得夾角；
【詳解】因為，
，
，
設(shè)與的夾角為，則，
又，所以.
故選：B.
3．【正確答案】D
【分析】ABC選項，可舉出反例；D選項，可由平行和垂直的性質(zhì)和判定證明.
【詳解】A選項，若，則或，A錯誤；
B選項，若，不能推出，B錯誤；
C選項，若，則不能推出，C錯誤；
D選項，因為，所以，
又，由面面垂直的判定定理，可得，D正確.
故選：D
4．【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意利用余弦定理和面積公式可得，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，代入面積公式結(jié)合角C的范圍運算求解.
【詳解】因為，則，
整理可得，且，可知，
由題意可得：，解得，
由正弦定理可得，
則面積，
因為，則，可得，
所以面積.
故選：B.
5．【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意求出圓臺上下底面半徑r1=1,r2=2，圓臺的高，代入圓臺的體積計算公式即可求解.
【詳解】設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為，由題意可知，解得，
，解得：，作出圓臺的軸截面，如圖所示：
圖中，，
過點向作垂線，垂足為，則，
所以圓臺的高，
則上底面面積，，由圓臺的體積計算公式可得：
，
故選.
6．【正確答案】B
【分析】利用向量的線性運算及三點共線的條件，再利用平面向量的基本定理及向量的數(shù)量積的運算律即可求解.
【詳解】因為所以
因為三點共線，
所以即,
又因為，
所以,且為不共線的非零向量，
所以，解得，
所以，
所以
.
故選：B.
7．【正確答案】D
【分析】將三棱錐放入長方體中，設(shè)長方體的長寬高分別為，確定，得到球半徑，計算體積得到答案.
【詳解】將三棱錐放入長方體中，設(shè)長方體的長寬高分別為，如圖所示：
則，故，球的半徑，
故體積為.
故選：D
8．【正確答案】B
【詳解】
建立如圖所示平面直角坐標系，
則，
設(shè)，
，
因為，所以，
可得，解得，
所以
，
因為，所以，
可得，
所以.
故選B.
【方法總結(jié)】向量平行(共線)、垂直、線性運算與三角函數(shù)的綜合此類題型的解答一般是利用向量平行(共線)、垂直關(guān)系、線性運算得到三角函數(shù)式，再利用三角恒等變換對三角函數(shù)式進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行求解．
9．【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)余弦定理、商關(guān)系、二倍角公式和基本不等式計算分別判斷各個選項；
【詳解】對于A，因為，結(jié)合余弦定理推論可得，
，化簡得，解得（舍）或，A正確；
對于B，因為，
所以，又，
所以，B正確；
對于C，解得，
根據(jù)余弦定理可得，代入得
利用基本不等式，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；
所以，C錯誤；
對于D，是鈍角，D正確；
故選：ABD.
10．【正確答案】BCD
【分析】對于A，根據(jù)正弦定理可求得，所以，所以，可求得取值即可判斷；對于B，直接根據(jù)投影公式計算出投影向量的值即可；對于C，由向量坐標的模長公式代入計算，即可判斷，對于D，令邊中點為，則，再根據(jù)正弦定理將變形即可判斷.
【詳解】對于A，根據(jù)正弦定理可求得，所以，
所以，且，，可求得，故A錯誤；
對于B，直接根據(jù)在上的投影向量，故B正確；
對于C， ，
則，令 ，
則，
當(dāng)時，取最大，最大值為，故C正確；
令邊中點為，則，再根據(jù)正弦定理，
所以，
代入到，
因此點的軌跡在直線上，所以點的軌跡經(jīng)過重心，故D正確.
故選：BCD
11．【正確答案】ACD
【分析】由題意分別畫出圖形，再逐項解決線面垂直、截面面積、距離最值和軌跡問題即可.
【詳解】對于A，如下圖所示，連接，
因為點是線段的中點，所以點也是線段的中點，
所以平面即為平面.
根據(jù)正方體的性質(zhì)，平面，平面，
所以，
又因為，平面，平面，
所以平面，所以與重合時，平面，故A正確；
對于B，如下圖所示，取的中點，
根據(jù)分別為的中點，易得，
所以四點共面，
所以截面為四邊形，且該四邊形為等腰梯形,
又因為，
所以等腰梯形的高為，
所以截面面積為，故B錯誤；
對于C，如圖建立空間直角坐標系，
由圖可得，，所以，
設(shè)，所以，
所以點到直線的距離，
所以時，距離最小，最小為，故C正確；
對于D，如圖所示，取的中點，連接，
易得平面，
又因為平面，所以，
所以，
則點在側(cè)面內(nèi)的運動軌跡為以為圓心，半徑為2的劣弧，圓心角為，
所以點的軌跡長度為，故D正確.
故選ACD.
12．【正確答案】.
【分析】利用向量的坐標運算法則求得向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為零求得的值
【詳解】,
，解得,
故答案為.
本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.
13．【正確答案】
【分析】建立空間直角坐標系，借助平面和平面的法向量，結(jié)合圖形，求出二面角的余弦值.
【詳解】
取中點，中點,連接，，由已知可得//，//
∵，∴，，
∴，，
∴平面，∴，
又∵，∴
∴以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，
∵，∴,
∴，，，.
所以，， ，
設(shè)是平面的一個法向量，則
即，
令，則，，∴.
設(shè)是平面的一個法向量，則
即，
令，則，，∴.
則，
由圖可知二面角的平面角為鈍角，
所以二面角的余弦值為.
故答案為.
14．【正確答案】
【分析】已知三棱錐外接球球心到每個頂點的距離都是相同，等于外接球半徑，在平面上，三角形外接圓圓心為外心（直角三角形的外心為斜邊中點），是該三角形邊中垂線的交點，過該交點作三角形所在平面的垂線，該垂線上的所有點到三角形的頂點距離相同，故我們只需用該方式，找兩個面的垂線，其交點為外接球球心，然后計算其半徑即可.
【詳解】先分別作,中點，連接；
再過點在平面內(nèi)作垂線，與相交于點,相交于點；
分別過點作平面,平面垂線，相交于點,連接，如圖所示.
由題可知，二面角的平面角為,點分別為的外心，故為該三棱錐外接球球心，為外接球半徑，
可得，，
所以
在中，
所以,
所以,
由正弦定理可知
因為，
所以
因為
所以有
所以外接表面積為
故
思路點睛：球外接球相關(guān)的所有問題，只需要找到外接球的球心。然后求出半徑；找外接球球心的一般方法，就是找出相關(guān)三角形的外接圓圓心，然后過圓心作該三角形所在平面的垂線，外接球球心一定在該垂線上，所以當(dāng)我們作兩個垂線時，有交點，交點為外接球球心.
15．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1） 利用向量的線性運算計算即可；
（2）根據(jù)條件求出，再根據(jù)數(shù)量積的定義計算即可.
【詳解】（1）由題意得.
（2）根據(jù)題意知，
所以
16．【正確答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.
【詳解】試題分析：（Ⅰ）因為PH是四棱錐P-ABCD的高．
所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平面PHD內(nèi),且PHBD=H.
所以AC平面PBD.
故平面PAC平面PBD.
（Ⅱ）因為ABCD為等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=.
所以HA=HB=.
因為APB=ADR=600
所以PA=PB=,HD=HC=1.
可得PH=.
等腰梯形ABCD的面積為S=AC x BD = 2+.
所以四棱錐的體積為V=x（2+）x=
考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，體積的計算．
點評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計算．在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”．利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程．本題（I）較為簡單，（II）則體現(xiàn)了“一作、二證、三計算”的解題步驟．
17．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦公式、正弦定理和余弦定理求解即可.
（2）由（1）求出，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后由三角形的面積公式求解即可.
【詳解】（1）∵，
∴，
由正余弦邊角關(guān)系得，①，
又，②
由①②得，，
∴，∴
（2）由（1）得，，
（或由余弦定理得）
∴為銳角，∴，
∴的面積，
∴，
設(shè)邊上的高為，
則的面積，
∴，即邊上的高為.
18．【正確答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用余弦定理及勾股定理的逆定理證得，再利用線面垂直判定、面面垂直的判定推理即得.
（2）結(jié)合（1）中信息確定二面角的平面角，利用錐體的體積公式求出四棱錐的高，再求出二面角的正弦值.
（3）由（1）中信息，以為原點建立空間直角坐標系，求出平面PAD的法向量，再利用線面角的向量求法求解即得.
【詳解】（1）由及余弦定理，
得，解得，
則，即，，
由，得四邊形為平行四邊形，則，
而，即，于是，
又平面，因此平面，而平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知為二面角的平面角，
在平面內(nèi)，過點作，交直線于，
而平面平面，平面平面，則平面，
梯形的面積，
四棱錐的體積，解得，
因此，
所以二面角的正弦值為.
（3）在平面內(nèi)，過點作，交于，由平面平面，
平面平面，得平面，則直線兩兩垂直，
以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，
由（1）知為二面角的平面角，即，則， ，
于是，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的余弦值.
19．【正確答案】(1)答案見解析
(2)①，；②存在，
【分析】（1）分三角形三邊分別為3，3，4和2，4，4兩種情況，利用三角形面積公式，求得三角形面積即可；
（2）①利用余弦定理及三角恒等變換，結(jié)合已知條件計算可得；
②假設(shè)存在符合條件的點，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，結(jié)合圖形及線段關(guān)系可得最小值．
【詳解】（1）根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，由題意可知，所有可能符合情況的三角形的三邊長為，3，4和2，，4，
當(dāng)三角形三邊為，3，4時，由余弦定理知等腰三角形頂角的余弦值，，.
當(dāng)三角形三邊為2，，4時，由余弦定理知等腰三角形頂角的余弦值，，.
（2）①連接BD，由余弦定理知，，
∴，，
∴，
∴.
又，
∴.
又∵，
∴.
∴.
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，，取得最大值，
此時，，
∴，，，，.
②把繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，如圖，則，，連接.
為等邊三角形，則，，，，
∴（當(dāng)且僅當(dāng)，，P，B共線時取得最小值），
此刻，
∴最小值為.
關(guān)鍵點點睛：①對和平方，由三角恒等變換求解面積最值.
②將繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得為等邊三角形，利用三點共線求最值.

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