北京市景山學(xué)校遠(yuǎn)洋分校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用并集的定義可求得集合.
【詳解】因?yàn)榧?，，則.
故選：B.
2. 命題“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題分析判斷.
【詳解】由題意可知：命題“”的否定是“”.
故選：C.
3. 甲、乙兩人在罰球線進(jìn)行投籃比賽，甲的命中率為0.7，乙的命中率為0.8，甲、乙命中與否互不影響．甲、乙兩人各投籃1次，那么“甲、乙兩人都命中”的概率為（）
A. 0.08B. 0.14C. 0.24D. 0.56
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件的概率公式求解.
【詳解】根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率公式可知，
“甲、乙兩人都命中”的概率為，
故選：D
4. 某校高一年級(jí)有名男生，名女生.為了解高一學(xué)生研學(xué)路線的選擇意向，采用分層抽樣的方法，從該校高一學(xué)生中抽取容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中女生名，則的值為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用分層抽樣的定義，列式計(jì)算得解.
【詳解】依題意，，所以.
故選：B
5. 下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本初等函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)，不滿足條件；
對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，不滿足條件；
對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，且該函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，不滿足條件；
對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>則函數(shù)為奇函數(shù)，且該函數(shù)在上為增函數(shù)，滿足條件.
故選：D
6. 已知函數(shù)．在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別計(jì)算各選項(xiàng)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，判斷其乘積是否小于，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性判定.
【詳解】當(dāng)時(shí)，在上恒成立，這表明函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
在，，連續(xù)，且單調(diào)遞減，下面證明：
設(shè)，則.
對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)：
，
因?yàn)?，所以，，，，那?
所以，即，也就是.
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，函數(shù)在上是減函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
當(dāng)，，當(dāng)，.
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，可以判定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確.
在區(qū)間，沒有零點(diǎn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
在區(qū)間，也沒有零點(diǎn)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C
7. 設(shè)，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由，解得，
所以由推不出，故充分性不成立；
由推得出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
8. 已知集合，．則（）
A. B. 是的真子集
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合相等的概念，說明，同時(shí)即可；
【詳解】從中任取一個(gè)元素，一定是偶數(shù)，所以，
從中任取一個(gè)元素，，所以,
所以，
故選：C
9. 若、都有恒成立，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】推導(dǎo)出，，將代入各選項(xiàng)中的代數(shù)式，利用基本不等式逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】顯然不滿足等式，所以，，則，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，A對(duì)B錯(cuò)；
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，CD都錯(cuò).
故選：A.
10. 在光纖通信中，發(fā)射器發(fā)出光信號(hào)的功率傳輸后會(huì)逐漸變?nèi)?，衰減后的光功率（單位）可表示為，其中為起始光功率（單位），為衰減系數(shù)，為接收信號(hào)處與發(fā)射器間的距離（單位）. 已知距離發(fā)射器處的光功率衰減為起始光功率的一半. 若當(dāng)距離由變到時(shí)，光功率由變到，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指數(shù)函數(shù)模型代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.
【詳解】由題意可得：，也即，得,
，，
兩式相除可得：,
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：,
所以，
故選：A
第二部分（非選擇題共60分）
二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.
11. 已知，，則的值為 _________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?
所以,
所以.
故答案為：2.
12. 如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標(biāo)分別為，若，則_______.
【答案】1或4
【解析】
【分析】結(jié)合圖象由函數(shù)值可得自變量.
【詳解】由圖象可知當(dāng)時(shí)，可得或.
故答案為：1或4.
13. 甲、乙兩地10月1日至7日每天最低氣溫（單位：℃）如下：
記這天甲地每天最低氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差為；記這天乙地每天最低氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差為．根據(jù)上述信息，若，則值可以為_______．（寫出一個(gè)符合題意答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】借助平均數(shù)與方差定義，先計(jì)算出兩地每天最低氣溫的平均數(shù)后再計(jì)算其方差即可得.
【詳解】，
，
，
則
，
化簡(jiǎn)得，解得或，
故值可以為或.
故答案為：.（答案不唯一）
14. 已知函數(shù)
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________；
②若存在最小值，則的取值范圍是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】結(jié)合一次函數(shù)單調(diào)性和二次函數(shù)的單調(diào)性分開求解單調(diào)性，即可得解；根據(jù)題意分三種情況，結(jié)合二次函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)討論即可．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；
因?yàn)楹瘮?shù)，
① 當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)榇嬖谧钚≈?，所以，即得，所以或?br>所以；
② 當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)存在最小值；
③ 當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，
所以不存在最小值，不合題意舍；
綜上，的取值范圍是．
故答案為：；.
15. 已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，的最小值為；
②當(dāng)時(shí)，存在最小值；
③的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則函數(shù)的值域?yàn)椋?br>④當(dāng)時(shí)，對(duì)任意．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．
【答案】①③
【解析】
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及最值可判斷①②，根據(jù)零點(diǎn)定義結(jié)合條件分類討論可判斷③，利用特值可判斷④.
【詳解】對(duì)①，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
綜上，的最小值為，①正確；
對(duì)②，，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，若，；若，，
如時(shí)，，函數(shù)不存在最小值，②錯(cuò)誤；
對(duì)③，當(dāng)時(shí)，最多一個(gè)解，
得或，
如時(shí)，，由可得(舍去)，
由得或，故此時(shí)兩個(gè)零點(diǎn)，即；
如時(shí)，，由可得，
由得或，故此時(shí)三個(gè)零點(diǎn)，即；
當(dāng)時(shí)，，由可得，
由得，故此時(shí)一個(gè)零點(diǎn)，即；
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，無解，
時(shí)，，無解，
此時(shí)沒有零點(diǎn)，即.
綜上，的值域?yàn)?，故③正確；
對(duì)④，當(dāng)時(shí)，如時(shí)，，
，，，此時(shí)，故④錯(cuò)誤
故答案為：①③
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
三、解答題共5小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 已知函數(shù)
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論：
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；
【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先分析定義域是否關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，然后根據(jù)與的關(guān)系作出判斷；
（2）先取值，然后再計(jì)算的正負(fù)，由此可完成證明；
【小問1詳解】
是奇函數(shù).證明如下：
的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，都有?br>且，
所以是奇函數(shù).
【小問2詳解】
任取，且，
，
因?yàn)?，所以，?br>所以，
所以，
所以函數(shù)在上是減函數(shù).
17. 已知實(shí)數(shù)滿足．
（1）求和的取值范圍；
（2）證明：．
【答案】（1）；．
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由不等式的性質(zhì)即可求解；
（2）通過作差法即可求證
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以?
因?yàn)椋?所以；
【小問2詳解】
．
因?yàn)椋裕?br>所以；
所以．
18. 根據(jù)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，高一男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)如下（單位：cm）：
從某校高一男生和女生中各隨機(jī)抽取名同學(xué)，將其立定跳遠(yuǎn)測(cè)試成績(jī)整理如下（精確到）：
男生：
女生：
（1）分別估計(jì)該校高一男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率；
（2）從該校隨機(jī)抽取的跳遠(yuǎn)成績(jī)單項(xiàng)優(yōu)秀的高一女生中隨機(jī)抽取人，求恰有人成績(jī)?cè)谝陨?，人成?jī)?cè)谝韵碌母怕剩?br>（3）假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)同學(xué)的測(cè)試成績(jī)相互獨(dú)立．從該校全體高一女生中隨機(jī)抽取人，設(shè)“這人的立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)既有優(yōu)秀，又有其它等級(jí)”為事件，“這人的立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)至多有個(gè)是優(yōu)秀”為事件．判斷與是否相互獨(dú)立．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（1）；
（2）
（3）相互獨(dú)立
【解析】
【分析】（1）分別計(jì)算出樣本中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)，再計(jì)算頻率即可得到優(yōu)秀率的估計(jì)值；
（2）計(jì)算出所有可能情況及符合要求的情況即可得解；
（3）利用兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義判斷即可得.
【小問1詳解】
樣本中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，
所以估計(jì)該校高一男生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為；
估計(jì)高一女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為；
【小問2詳解】
樣本中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，
其中成績(jī)?cè)谝陨系挠腥耍煽?jī)?cè)谝韵碌挠腥耍?br>則恰有人成績(jī)?cè)谝陨?，人成?jī)?cè)谝韵碌母怕蕿椋?br>【小問3詳解】
與相互獨(dú)立．理由如下：
，
，
，，
故，故與相互獨(dú)立.
19. 已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
（2）記函數(shù)的最大值，求的解析式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用換元法和二次函數(shù)單調(diào)性求值域即可；
（2）分和兩種情況求最值即可.
【小問1詳解】
令，則，，，
則原函數(shù)轉(zhuǎn)換為，
當(dāng)時(shí)，，，
函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍是；
函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是；
所以函數(shù)的值域是，所以函數(shù)的值域是.
【小問2詳解】
由（1）得，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以.
20. 某保險(xiǎn)公司為了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：
已知：一份保單的保費(fèi)為萬元；前三次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償萬元.
（1）從抽取的份保單中，隨機(jī)抽取一份保單其索賠次數(shù)不少于的概率；
（2）一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差．
（i）記為抽取的份保單的毛利潤(rùn)平均值，求的值；
（ii）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下抽取的份保單毛利潤(rùn)的平均值與（i）中的大小.
【答案】（1）
（2）（i）0.122；（ii）
【解析】
【分析】（1）用頻率估計(jì)概率，根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率；
（2）（i）用頻率估計(jì)概率后可求得分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求毛利潤(rùn)平均值；（ii）先算出下一期保單的毛利潤(rùn)，結(jié)合（i）的結(jié)果可求．
【小問1詳解】
根據(jù)題中數(shù)據(jù)，在份保單中，索賠次數(shù)不少于2的保單份數(shù)為，故一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率可估計(jì)為．
【小問2詳解】
（i）由題設(shè)，
所以．
（ii）這種情況下抽取的份保單毛利潤(rùn)的平均值大于（i）中的估計(jì)值.
如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，
份保單毛利潤(rùn)變化為，
.
因此.
日
日
日
日
日
日
日
甲地
乙地
立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)
高一男生
高一女生
優(yōu)秀
及以上
及以上
良好
~
~
及格
~
~
不及格
及以下
及以下
索賠次數(shù)
保單份數(shù)
索賠次數(shù)
保單份數(shù)
毛利潤(rùn)(單位：萬元)

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