1.已知直線過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(0,? 3)，則直線的傾斜角為( )
A. π6B. π3C. π4D. 2π3
2.圓心為(?1,2)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是( )
A. (x+1)2+(y?2)2=5B. (x?1)2+(y+2)2=5
C. (x?1)2+(y?2)2=5D. (x+1)2+(y+2)2=5
3.焦點(diǎn)為(0,2)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A. x2=8yB. x2=4yC. y2=4xD. y2=8x
4.長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=2 2，則異面直線DB1與AA1所成角的大小為( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
5.已知α，β是兩個(gè)不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
6.已知橢圓x22+y2=1上一點(diǎn)A和焦點(diǎn)F，AF⊥x軸，若雙曲線x2a2?y2b2=1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，那么雙曲線的離心率e為( )
A. 2 3B. 12C. 62D. 32
7.已知圓(x?2)2+(y+1)2=9，直線x+y+m=0，若圓上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，則m可以是( )
A. 3B. ?3C. 2D. ?2
8.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2，則數(shù)列{1anan+1}的前2025項(xiàng)的和為( )
A. 20242025B. 40504051C. 20254051D. 20254053
9.記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4+a7=13，則S10=( )
A. 13B. 45C. 65D. 130
10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2?2an，則根據(jù)下列說(shuō)法選出正確答案是( )
①若a=?12，則數(shù)列{1an}的前n項(xiàng)和Sn=1?1n+1；
②若a=12，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則Tn是遞增數(shù)列；
③若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則a∈(?∞,1]．
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。
11.雙曲線C：x24?y25=1的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的最小距離是______．
12.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,0)，且與直線l：y=2x?1平行的直線方程是______．
13.拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F(1,0)的距離等于3，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
14.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，a3+a4=?3，則an= ______；Sn的最小值為_(kāi)_____．
15.生活中一些常見(jiàn)的漂亮圖案不僅具有藝術(shù)美，其中也有數(shù)學(xué)的對(duì)稱、和諧、簡(jiǎn)潔美.曲線C：4?|x|= 4?y2，下面是關(guān)于曲線C的四個(gè)結(jié)論：
①曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；
②曲線C上點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是[?4,4]；
③曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最小距離為2；
④若直線y=kx與曲線C無(wú)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(?∞,? 33)∪( 33,+∞)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
三、解答題：本題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
16.(本小題8分)
如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BB1，DD1的中點(diǎn)．求證：
(Ⅰ)BD//平面AEF；
(Ⅱ)EF⊥平面ACC1A1．
17.(本小題12分)
已知在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△PAD是正三角形，E、F分別為PC、PD的中點(diǎn)，過(guò)EF的平面EFG交BC于點(diǎn)G，平面EFG/?/平面PAB．
(Ⅰ)證明：G為BC的中點(diǎn)；
(Ⅱ)取AD的中點(diǎn)O，連接OC，OE，OG，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：
(i)A到平面EFG的距離；
(ii)二面角G?OE?C的余弦值．
條件①：PC=4 2；
條件②：CD⊥平面PAD．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
18.(本小題8分)
已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,0)，且與橢圓x24+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)M，N．
(Ⅰ)若M，N中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 22，求直線l的方程；
(Ⅱ)若弦長(zhǎng)MN= 3，求k的值．
19.(本小題12分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(0,2)，B(0,?2)，離心率為 22．
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
(Ⅱ)若直線y=kx+4與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G，求證：kAN=kAG．
參考答案
1.B
2.A
3.A
4.C
5.A
6.C
7.D
8.C
9.C
10.A
11.1
12.y=2x?2
13.(2,±2 2)
14.n?5 ?10
15.①③④
16.證明：(Ⅰ)∵在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BB1，DD1的中點(diǎn)，
∴BE/?/DF，BE=DF，
∴四邊形BEFD為平行四邊形，
∴BD//EF，
又BD?平面AEF，EF?平面AEF，
∴BD/?/平面AEF．
(Ⅱ)∵在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
由(I)知BD/?/EF，
∴EF⊥AA1，EF⊥AC，
又AC∩AA1=A，AC?面ACC1A1，AA1?面ACC1A1，
∴EF⊥平面ACC1A1．
17.(Ⅰ)證明：因?yàn)槠矫鍱FG/?/平面PAB，平面PBC∩平面EFG=EG，平面PBC∩平面PAB=PB，
所以EG/?/PB，
又E是PC的中點(diǎn)，
所以G為BC的中點(diǎn)．
(Ⅱ)解：選擇條件①：
因?yàn)镻C=4 2，PD=CD=4，所以PD2+CD2=PC2，即PD⊥CD，
因?yàn)檎叫蜛BCD，所以AD⊥CD，
又PD∩AD=D，PD、AD?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因?yàn)镺，G分別為AD，BC的中點(diǎn)，所以O(shè)G/?/CD，
所以O(shè)G⊥平面PAD，
因?yàn)椤鱌AD是正三角形，且O為AD的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AD，
故以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則O(0,0,0)，A(2,0,0)，F(xiàn)(?1,0, 3)，E(?1,2, 3)，G(0,4,0)，C(?2,4,0)，
(i)EF=(0,?2,0)，EG=(1,2,? 3)，AG=(?2,4,0)，
設(shè)平面EFG的法向量為m=(x,y,z)，則m?EF=?2y=0m?EG=x+2y? 3z=0，
取z=1，則x= 3，y=0，所以m=( 3,0,1)，
所以A到平面EFG的距離為|AG?m||m|=|?2 3|2= 3．
(ii)OE=(?1,2, 3)，OC=(?2,4,0)，
設(shè)平面OEC的法向量為n=(a,b,c)，則n?OE=?a+2b+ 3c=0n?OC=?2a+4b=0，
取b=1，則a=2，c=0，所以n=(2,1,0)，
因?yàn)镋F//CD//OG，所以O(shè)，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，
所以平面OEG的法向量為m=( 3,0,1)，
所以cs=m?n|m|?|n|=2 32× 5= 155，
由圖知，二面角G?OE?C為銳角，
所以二面角G?OE?C的余弦值為 155．
選擇條件②：
因?yàn)镺，G分別為AD，BC的中點(diǎn)，所以O(shè)G/?/CD，
又CD⊥平面PAD，所以O(shè)G⊥平面PAD，
因?yàn)椤鱌AD是正三角形，且O為AD的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AD，
故以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則O(0,0,0)，A(2,0,0)，F(xiàn)(?1,0, 3)，E(?1,2, 3)，G(0,4,0)，C(?2,4,0)，
(i)EF=(0,?2,0)，EG=(1,2,? 3)，AG=(?2,4,0)，
設(shè)平面EFG的法向量為m=(x,y,z)，則m?EF=?2y=0m?EG=x+2y? 3z=0，
取z=1，則x= 3，y=0，所以m=( 3,0,1)，
所以A到平面EFG的距離為|AG?m||m|=|?2 3|2= 3．
(ii)OE=(?1,2, 3)，OC=(?2,4,0)，
設(shè)平面OEC的法向量為n=(a,b,c)，則n?OE=?a+2b+ 3c=0n?OC=?2a+4b=0，
取b=1，則a=2，c=0，所以n=(2,1,0)，
因?yàn)镋F//CD//OG，所以O(shè)，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，
所以平面OEG的法向量為m=( 3,0,1)，
所以cs=m?n|m|?|n|=2 32× 5= 155，
由圖知，二面角G?OE?C為銳角，
所以二面角G?OE?C的余弦值為 155．
18.解：(Ⅰ)易知直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l的方程為y=k(x?3)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
聯(lián)立y=k(x?3)x24+y2=1，消去y并整理得(1+4k2)x2?24k2x+36k2?4=0，
此時(shí)Δ=(?24k2)2?4(1+4k2)(36k2?4)>0，
解得k20，解得：k2>32，
則xM+xN=?16k2k2+1，xMxN=242k2+1，
則MB的方程為：y=kxM+6xMx?2，
令y=1，解可得x=3xMkxM+6，則G(3xMkxM+6,1)，
則AG=(3xMkxM+6,?1)，AN=(xN,kxN+2)
欲證kAN=kAG，即A，G，N三點(diǎn)共線，只需證明AG//AN即可，
只需證明3xMkxM+6×(kxN+2)=?xN成立即可，
只需證明(3k+k)xMxn=?6(xM+xN)即可，
又由xM+xN=?16k2k2+1，xMxN=242k2+1，
代入(3k+k)xMxn=?6(xM+xN)，易得該式成立，
故kAN=kAG．

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