1. 的倒數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式中，運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
3. 我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之推算出的近似值為，它與的誤差小于．將用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（ ）
A. B. C. D.
4. 若是整數(shù)，則滿足條件的自然數(shù)共有（ ）個(gè)．
A. 2B. 3C. 4D. 5
5. 在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小麗同學(xué)將含角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)按如圖方式放置在直尺的一邊上，測(cè)得，則的度數(shù)是（ ）
A B. C. D.
6. 如圖，已知鈍角，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．若，，則的長為（ ）
A. B. C. D. 5
7. 如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D在小正方形的頂點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)O，則的長等于（ ）
A. B. C. D.
8. 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”.已知點(diǎn)，有下列結(jié)論：
①點(diǎn)，都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
②若直線上的點(diǎn)A是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為；
③拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
④若點(diǎn)B是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則的最小值是；
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空題（本大題共8題，每小題3分，共24分，不需要寫出解答過程，請(qǐng)把最后結(jié)果填在答題卷相應(yīng)的位置上）
9. 函數(shù)，其中自變量的取值范圍是__________．
10. 已知實(shí)數(shù)a，b，滿足，，則的值為________．
11. 單項(xiàng)式次數(shù)是____．
12. 因式分解： _____．
13. 如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，連接，若，則________°．
14. 若關(guān)于x的一元一次方程的解為，則關(guān)于y的一元一次方程的解為_______．
15. 關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是_____．
16. 《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中方程術(shù)是重要的數(shù)學(xué)成就．書中有一個(gè)方程問題：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16兩），雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕的重量各為多少？”設(shè)每只雀有x兩，每只燕有y兩，則可列方程組為 __
17. 如圖，與位于平面直角坐標(biāo)系中，，，，若，反比例函數(shù)恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則______．
18. 如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為矩形對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向上作正方形，對(duì)角線交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為______

三、解答題（本大題共10小題，共96分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19. 計(jì)算：．
20. 先化簡(jiǎn)：，然后從2，0，中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．
21. 一只不透明的袋子中裝有編號(hào)分別為“1”、“2”，“3”三個(gè)小球，這些球除了編號(hào)外其它都同，并將袋中的小球充分?jǐn)噭颍?br>（1）若小亮從袋中任意摸出一個(gè)小球，則摸到編號(hào)為“3”的小球的概率為_______．
（2）若先由小亮從袋中任意摸出一個(gè)小球，記下該小球的編號(hào)后放回袋中，并再次攪勻，再由小麗從袋中任意摸出一個(gè)小球，同樣記下此小球的編號(hào)，求摸到的兩個(gè)小球編號(hào)之和為偶數(shù)的概率．（請(qǐng)用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）
22. 4月23日是世界讀書日．為了解學(xué)生的閱讀喜好，豐富學(xué)校圖書資源，某校將課外書籍設(shè)置了四類：文學(xué)類、科技類、藝術(shù)類、其他類，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，要求每名學(xué)生從中選擇自己最喜歡的類，將抽查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖（不完整）．
請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題：
（1）求被抽查的學(xué)生人數(shù)，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中m的值．
（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．（溫馨提示：請(qǐng)畫在答題卷相對(duì)應(yīng)的圖上）
（3）若該校共有1200名學(xué)生，根據(jù)抽查結(jié)果，試估計(jì)全校最喜歡“文學(xué)類”書籍的學(xué)生人數(shù)．
23. 如圖，反比例的數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)B，點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方，平分，交x軸于點(diǎn)C．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）尺規(guī)作圖：作出線段的垂直平分線，分別與交于點(diǎn)D、E．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
（3）在（2）的條件下，連接．求證：．
24. 有一水果攤，其側(cè)面示意圖如圖所示，分別是水果攤前擋板，后擋板，均與水平地面垂直，，，坡面是水果放置區(qū)，坡度為，在后擋板的正上方點(diǎn)E處安裝頂棚，，且，此時(shí)頂棚的另一端點(diǎn)F到前擋板的水平距離．（參考數(shù)據(jù)，）

（1）水果放置區(qū)的水平寬度；
（2）求頂棚端點(diǎn)F離地面高度．（精確到1）
25. 如圖，在中，是上（異于點(diǎn)，）的一點(diǎn)，恰好經(jīng)過點(diǎn)，，于點(diǎn)，且平分．
（1）判斷與位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若，，求的半徑長．
26. 某校開設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號(hào)的機(jī)器人模型．A型機(jī)器人模型單價(jià)比B型機(jī)器人模型單價(jià)多200元，用2000元購買A型機(jī)器人模型和用1200元購買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同．
（1）求A型，B型機(jī)器人模型的單價(jià)分別是多少元?
（2）學(xué)校準(zhǔn)備再次購買A型和B型機(jī)器人模型共40臺(tái)，購買B型機(jī)器人模型不超過A型機(jī)器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號(hào)機(jī)器人模型均打八折的優(yōu)惠．問購買A型和B型機(jī)器人模型各多少臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少?最少花費(fèi)是多少元?
27. 【問題思考】
（1）如圖1，已知正方形，，分別是邊，上一點(diǎn)，連接，，，且，若延長到，使得，連接．
則：運(yùn)用三角形全等的相關(guān)知識(shí)，可推理得到三條線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
【探究應(yīng)用】
（2）如圖2，正方形的邊長為，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，連接，以為邊長在的上方作正方形，交射線于點(diǎn)，連接．
①當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)．
（?。┤?，求的值；
（ⅱ）若是等腰三角形，求此時(shí)的長．
②點(diǎn)在的延長線上時(shí)，若，則線段的長為______．
28. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線）交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，連接，，拋物線的頂點(diǎn)為P．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D是位于第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)，連接，交y軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，如圖1所示，若的面積記為，的面積記為，試問：是否存在這樣的點(diǎn)D，使得，若存在求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，連接，點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接，，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
2025年江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題紙相應(yīng)位置上）
1. 的倒數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴的倒數(shù)是.
故選C
2. 下列各式中，運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題主要考查了冪的乘方的運(yùn)算方法，合并同類項(xiàng)的方法，同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算方法．根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算方法，合并同類項(xiàng)的方法，同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算方法，逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：，
選項(xiàng)A不符合題意；
，
選項(xiàng)B不符合題意；
，
選項(xiàng)C符合題意；
，
選項(xiàng)D不符合題意．
故選：C．
3. 我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之推算出的近似值為，它與的誤差小于．將用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法“將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法”，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義是解題關(guān)鍵．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得．
【詳解】解：
故選：C．
4. 若是整數(shù)，則滿足條件的自然數(shù)共有（ ）個(gè)．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)．先根據(jù)二次根式有意義的條件求出n的取值范圍：，根據(jù)是整數(shù)，可得或1或4或9，解方程可求出n的值，進(jìn)而求出答案．
【詳解】解：∵
∴
又∵是整數(shù)，n為自然數(shù)
∴為完全平方數(shù)且 的最大值為
∴或1或4或9
∴或或或0．
∴滿足條件的自然數(shù)共4個(gè)
故答案為：C．
5. 在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小麗同學(xué)將含角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)按如圖方式放置在直尺的一邊上，測(cè)得，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)上述性質(zhì)得到，即可解答，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，三角板與直尺分別交于點(diǎn)、．
，
．
，
．
故選：D．
6. 如圖，已知鈍角，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．若，，則的長為（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查作圖基本作圖，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．首先證明，推出，再利用相似三角形的性質(zhì)求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
平分，
，
∵，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選：A．
7. 如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D在小正方形的頂點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)O，則的長等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，先連接，，并標(biāo)注，再說明∽，可得，，進(jìn)而得出∽，可知，然后根據(jù)勾股定理，求出，可得答案．
【詳解】連接，，并標(biāo)注字母如圖所示．
根據(jù)題意可知，，，，
∵，，
∴∽，
∴，，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∴．
根據(jù)勾股定理，得，
∴．
故選：A．
8. 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”.已知點(diǎn)，有下列結(jié)論：
①點(diǎn)，都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
②若直線上的點(diǎn)A是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為；
③拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
④若點(diǎn)B是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則的最小值是；
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由“倍增點(diǎn)”的定義得，，即可判斷①；可設(shè)滿足題意得“倍增點(diǎn)”為，由“倍增點(diǎn)”的定義得，解方程，即可判斷②；可設(shè)拋物線上的“倍增點(diǎn)”為，由“倍增點(diǎn)”的定義得，解方程，即可判斷③；設(shè)，由“倍增點(diǎn)”的定義得，由勾股定理得，即可判斷④．
【詳解】解：由題意得
，
，
點(diǎn)，都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，
①正確；
可設(shè)滿足題意得“倍增點(diǎn)”為，
解得：，
，
∴②錯(cuò)誤；
可設(shè)拋物線上的“倍增點(diǎn)”為，
，
解得：，
，
此時(shí)滿足題意的“倍增點(diǎn)”有，個(gè)，
∴③錯(cuò)誤；
設(shè)，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，
④正確，
正確的有①④，有個(gè)．
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，一次函數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，二次函數(shù)的最值，勾股定理等，理解新定義，能根據(jù)新定義得到相應(yīng)的方程或關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8題，每小題3分，共24分，不需要寫出解答過程，請(qǐng)把最后結(jié)果填在答題卷相應(yīng)的位置上）
9. 函數(shù)，其中自變量的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分式有意義的條件，即可求解．
【詳解】∵函數(shù)有意義，
∴．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)自變量的取值范圍，掌握分式的分母不等于零，是解題的關(guān)鍵．
10. 已知實(shí)數(shù)a，b，滿足，，則的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是因式分解的應(yīng)用．先將原式變形為，再將，代入計(jì)算即可．
【詳解】解：，，
，
故答案為：．
11. 單項(xiàng)式的次數(shù)是____．
【答案】6
【解析】
【分析】本題考查了單項(xiàng)式的知識(shí)，一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)．根據(jù)單項(xiàng)式次數(shù)的概念求解．
【詳解】解：?jiǎn)雾?xiàng)式的次數(shù)是，
故答案為：6．
12. 因式分解： _____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了因式分解，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可作答．
【詳解】解：，
故答案為：．
13. 如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，連接，若，則________°．
【答案】28
【解析】
【分析】本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理得到．
由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到，由圓周角定理求出．
【詳解】解：∵，
，
．
故答案為：28．
14. 若關(guān)于x的一元一次方程的解為，則關(guān)于y的一元一次方程的解為_______．
【答案】3
【解析】
【分析】此題考查了換元法解一元一次方程，以及一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．根據(jù)題中方程的解確定出即可．
【詳解】解：∵的解為，
∴，
解得：，
故答案為：3．
15. 關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是_____．
【答案】且
【解析】
【分析】直接解分式方程，進(jìn)而利用分式方程的解是正數(shù)得出的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合分式方程有意義的條件分析得出答案．
【詳解】去分母得：，
解得：，
，
解得：，
當(dāng)時(shí)，不合題意，
故且．
故答案為且．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意義是解題關(guān)鍵．
16. 《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中方程術(shù)是重要的數(shù)學(xué)成就．書中有一個(gè)方程問題：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16兩），雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕的重量各為多少？”設(shè)每只雀有x兩，每只燕有y兩，則可列方程組為 __
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)每只雀有x兩，每只燕有y兩，根據(jù)五只雀、六只燕，共重1斤（等于16兩），雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，列方程組即可．
【詳解】解：設(shè)每只雀有x兩，每只燕有y兩，
由題意得，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了有實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組．
17. 如圖，與位于平面直角坐標(biāo)系中，，，，若，反比例函數(shù)恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則______．
【答案】
【解析】
【分析】過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，由題意易得，然后根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】解：過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，如圖所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴點(diǎn)，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為矩形對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向上作正方形，對(duì)角線交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為______

【答案】
【解析】
【分析】作于點(diǎn)則由正方形的性質(zhì)得所以 取的中點(diǎn)連接以點(diǎn)為圓心為半徑作則點(diǎn)、點(diǎn)都在上, 所以可知點(diǎn)在過點(diǎn)且與直線所交成的銳角為的直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)時(shí)，線段的值最小，此時(shí)由矩形的性質(zhì)得，則由得所以于是得到問題的答案．
【詳解】如圖，作于點(diǎn)，

則
∵四邊形是正方形，
∴且

取的中點(diǎn)連接以點(diǎn)為圓心為半徑作，
∴點(diǎn)、 點(diǎn)都在上，
∴點(diǎn)在過點(diǎn)且與直線所交成的銳角為的直線上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)時(shí)，線段的值最小，如圖，則

∵點(diǎn)、點(diǎn)都在以為直徑的圓上，
，
，
∵四邊形矩形，，
，
∴的最小值為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、垂線段最短等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共10小題，共96分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，負(fù)整指數(shù)冪與零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值．熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
先計(jì)算乘方與開方，并把特殊角的三角函數(shù)值代入，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加法即可．
【詳解】解：原式
．
20. 先化簡(jiǎn)：，然后從2，0，中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，正確對(duì)分式進(jìn)行通分、約分是關(guān)鍵．原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，結(jié)合分式有意義的條件，取，將代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算求解，即可解題．
【詳解】解：
，
，且，
且，
故當(dāng)時(shí)，
上式．
21. 一只不透明的袋子中裝有編號(hào)分別為“1”、“2”，“3”三個(gè)小球，這些球除了編號(hào)外其它都同，并將袋中的小球充分?jǐn)噭颍?br>（1）若小亮從袋中任意摸出一個(gè)小球，則摸到編號(hào)為“3”的小球的概率為_______．
（2）若先由小亮從袋中任意摸出一個(gè)小球，記下該小球的編號(hào)后放回袋中，并再次攪勻，再由小麗從袋中任意摸出一個(gè)小球，同樣記下此小球的編號(hào)，求摸到的兩個(gè)小球編號(hào)之和為偶數(shù)的概率．（請(qǐng)用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）
【答案】（1）
（2）摸到的兩個(gè)小球編號(hào)之和為偶數(shù)的概率為．
【解析】
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
（1）由題意知，共有3種等可能的結(jié)果，其中摸到編號(hào)為“3”的小球的結(jié)果有1種，利用概率公式可得答案；
（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及摸到的兩個(gè)小球編號(hào)之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【小問1詳解】
解：由題意知，共有3種等可能的結(jié)果，其中摸到編號(hào)為“3”的小球的結(jié)果有1種，
摸到編號(hào)為“3”的小球的概率為．
故答案為：；
【小問2詳解】
解：列表如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中摸到的兩個(gè)小球編號(hào)之和為偶數(shù)的結(jié)果有：，，，，，共5種，
摸到的兩個(gè)小球編號(hào)之和為偶數(shù)的概率為．
22. 4月23日是世界讀書日．為了解學(xué)生閱讀喜好，豐富學(xué)校圖書資源，某校將課外書籍設(shè)置了四類：文學(xué)類、科技類、藝術(shù)類、其他類，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，要求每名學(xué)生從中選擇自己最喜歡的類，將抽查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖（不完整）．
請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題：
（1）求被抽查的學(xué)生人數(shù)，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中m的值．
（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．（溫馨提示：請(qǐng)畫在答題卷相對(duì)應(yīng)的圖上）
（3）若該校共有1200名學(xué)生，根據(jù)抽查結(jié)果，試估計(jì)全校最喜歡“文學(xué)類”書籍的學(xué)生人數(shù)．
【答案】（1）200人，40
（2）見解析 （3）360人
【解析】
【分析】（1）根據(jù)其它類的人數(shù)和所占的百分比求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，用科技類的人數(shù)比上總?cè)藬?shù)，即可得出科技類的學(xué)生人數(shù)占抽樣人數(shù)的百分比；
（2）用總?cè)藬?shù)減去文學(xué)類、科技類和其他的人數(shù)，求出藝術(shù)類的人數(shù)，補(bǔ)條形統(tǒng)計(jì)圖即可；
（3）用1200乘以文學(xué)類書籍所占的百分比，即可得出答案．
【小問1詳解】
被抽查的學(xué)生人數(shù)是（人）
∵，
∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中m的值是40．
【小問2詳解】
∵（人），
∴補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示
【小問3詳解】
∵（人），
∴估計(jì)全校最喜歡“文學(xué)類”書籍的學(xué)生人數(shù)共有360人．
【點(diǎn)睛】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖及其應(yīng)用與用樣本估計(jì)總體的知識(shí)，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)，能夠根據(jù)各個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行正確計(jì)算．
23. 如圖，反比例的數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)B，點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方，平分，交x軸于點(diǎn)C．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）尺規(guī)作圖：作出線段的垂直平分線，分別與交于點(diǎn)D、E．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
（3）在（2）的條件下，連接．求證：．
【答案】（1）
（2）詳見解析 （3）詳見解析
【解析】
【分析】本題考查了作圖—基本作圖，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義等知識(shí)． 解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）
（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可得出答案；
（2）利用基本作圖作線段的垂直平分線即可；
（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義可得到，然后利用平行線的判定即可得證．
【小問1詳解】
解：∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：；
【小問2詳解】
解：如圖，直線即為所作；
．
【小問3詳解】
解：證明：如圖，
∵直線是線段垂直平分線，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
．
24. 有一水果攤，其側(cè)面示意圖如圖所示，分別是水果攤前擋板，后擋板，均與水平地面垂直，，，坡面是水果放置區(qū)，坡度為，在后擋板的正上方點(diǎn)E處安裝頂棚，，且，此時(shí)頂棚的另一端點(diǎn)F到前擋板的水平距離．（參考數(shù)據(jù)，）

（1）水果放置區(qū)的水平寬度；
（2）求頂棚端點(diǎn)F離地面的高度．（精確到1）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用．熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（1）如圖1，過點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，，，，由，可求，進(jìn)而可得；
（2）如圖1，過點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，，，，由，即，可求，根據(jù)，求解作答即可．
【小問1詳解】
解：如圖1，過點(diǎn)作于，


又∵，，
四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴水果放置區(qū)的水平寬度為；
【小問2詳解】
解：如圖1，過點(diǎn)作于，
又，，
四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，，
∴，
∴頂棚端點(diǎn)F離地面的高度為．
25. 如圖，在中，是上（異于點(diǎn)，）的一點(diǎn)，恰好經(jīng)過點(diǎn)，，于點(diǎn)，且平分．
（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若，，求的半徑長．
【答案】（1）與相切，理由見解析
（2）的半徑長為
【解析】
【分析】（1）連接，證明，即可證得，從而證得是圓的切線；
（2）設(shè)，則，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性質(zhì)列得比例式，據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
證明：連接，如下圖所示，
∵是的平分線，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵過半徑的外端點(diǎn)B，
∴與相切；
【小問2詳解】
解：設(shè)，則，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
故的半徑長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定是解本題的關(guān)鍵．
26. 某校開設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號(hào)的機(jī)器人模型．A型機(jī)器人模型單價(jià)比B型機(jī)器人模型單價(jià)多200元，用2000元購買A型機(jī)器人模型和用1200元購買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同．
（1）求A型，B型機(jī)器人模型的單價(jià)分別是多少元?
（2）學(xué)校準(zhǔn)備再次購買A型和B型機(jī)器人模型共40臺(tái)，購買B型機(jī)器人模型不超過A型機(jī)器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號(hào)機(jī)器人模型均打八折的優(yōu)惠．問購買A型和B型機(jī)器人模型各多少臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少?最少花費(fèi)是多少元?
【答案】（1）A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是500元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是300元
（2）購買A型機(jī)器人模型10臺(tái)和B型機(jī)器人模型30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元
【解析】
【分析】（1）設(shè)A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是元，根據(jù)：用2000元購買A型機(jī)器人模型和用1200元購買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同即可列出關(guān)于x的分式方程，解方程并檢驗(yàn)后即可求解；
（2）設(shè)購買A型編程機(jī)器人模型臺(tái)，購買A型和B型編程機(jī)器人模型共花費(fèi)元，根據(jù)題意可求出m的范圍和W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值
【小問1詳解】
解：設(shè)A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是元．
根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程，得
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根．
答：A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是500元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是300元．
【小問2詳解】
設(shè)購買A型編程機(jī)器人模型臺(tái)，購買B型編程機(jī)器人模型臺(tái)，購買A型和B型編程機(jī)器人模型共花費(fèi)元，
由題意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴隨的增大而增大．
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值11200，此時(shí)；
答：購買A型機(jī)器人模型10臺(tái)和B型機(jī)器人模型30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用和一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意、找準(zhǔn)相等與不等關(guān)系、得出分式方程與不等式是解題的關(guān)鍵．
27. 【問題思考】
（1）如圖1，已知正方形，，分別是邊，上一點(diǎn)，連接，，，且，若延長到，使得，連接．
則：運(yùn)用三角形全等的相關(guān)知識(shí)，可推理得到三條線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
【探究應(yīng)用】
（2）如圖2，正方形的邊長為，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，連接，以為邊長在的上方作正方形，交射線于點(diǎn)，連接．
①當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)．
（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）若是等腰三角形，求此時(shí)的長．
②點(diǎn)在的延長線上時(shí)，若，則線段的長為______．
【答案】（1），理由見解析；（2）①（?。?；（ⅱ）或5；②
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
（2）①（i）連接，利用正方形的性質(zhì)得到，利用（）的結(jié)論得到：，設(shè)，則，，利用勾股定理列出方程求得值，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可；（ii）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)求得．設(shè)，則，，，再利用分類討論的思想方法分三種情況推論解答：I．當(dāng)時(shí)，，此種情況不存在；Ⅱ．當(dāng)時(shí)，，則，點(diǎn)與點(diǎn)重合；Ⅲ．當(dāng)時(shí)，．則，利用勾股定理解答即可；②過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，利用正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)得到，設(shè)，則，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：（1），之間數(shù)量關(guān)系是：．理由：
四邊形為正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
即．
，
．
在和中，
，
，
，
，
．
故答案為：；
（2）①（i）連接，如圖，
四邊形為正方形，
，，
，
由（）知：．
正方形的邊長為，，
．
設(shè)，則，．
，
，
．
，
；
（ii）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，如圖，
四邊形和四邊形為正方形，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
為等腰直角三角形，
．
設(shè)，則，，．
．
Ⅰ．當(dāng)時(shí)，，
．
，
．
此時(shí)，不合題意，舍去；
Ⅱ．當(dāng)時(shí)，，
，
此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
點(diǎn)與點(diǎn)重合，
；
Ⅲ．當(dāng)時(shí)，．
則，
．
，
．
解得：
綜上，若是等腰三角形，的長為或；
②過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，如圖，
四邊形和四邊形為正方形，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四邊形為矩形，
，，
同理：四邊形為矩形，
．
，
．
設(shè)，則，
．
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，分類討論的思想方法，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．
28. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線）交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，連接，，拋物線的頂點(diǎn)為P．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D是位于第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)，連接，交y軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，如圖1所示，若的面積記為，的面積記為，試問：是否存在這樣的點(diǎn)D，使得，若存在求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，連接，點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接，，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）不存在，理由見解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（2）連接，過點(diǎn)D作軸，交于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)H，求出直線的解析式為：，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則，求出，，得出，證明，得出，求出，，得出，即，求出其最大值進(jìn)行比較即可得出答案；
（3）連接，在上取點(diǎn)E，求出，證明，得出，求出，過點(diǎn)A作，取，連接，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)G，以的中點(diǎn)N為圓心，的長為半徑畫圓，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，連接，，，得出，求出，證明，得出，求出，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得出，求出t的值即可．
【小問1詳解】
解：把點(diǎn)，代入拋物線得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
【小問2詳解】
解：不存在，理由如下：
連接，過點(diǎn)D作軸，交于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)H，如圖所示：
把代入得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，把代入得：，
解得：，
∴直線的解析式為：，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則，
∴，，
∴，
∵軸，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為，
∵，
∴不存在這樣的點(diǎn)D，使得；
【小問3詳解】
解：連接，在上取點(diǎn)E，如圖所示：
∵，
∴，
∴，，
，
∵，
即，
∴為直角三角形，，
設(shè)，則，
根據(jù)勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
過點(diǎn)A作，取，連接，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)G，以的中點(diǎn)N為圓心，的長為半徑畫圓，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，連接，，，如圖所示：
則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
，
∴，
設(shè)，則，
解得：或，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，圓周角定理，兩點(diǎn)間距離公式，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．
被抽查學(xué)生最喜歡書籍種類的
條形統(tǒng)計(jì)圖
被抽查學(xué)生最喜歡的書籍種類的
扇形統(tǒng)計(jì)圖


1
2
3
1
2
3
被抽查學(xué)生最喜歡的書籍種類的
條形統(tǒng)計(jì)圖
被抽查學(xué)生最喜歡的書籍種類的
扇形統(tǒng)計(jì)圖


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這是一份江蘇省宿遷市宿豫區(qū)宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版），文件包含江蘇省宿遷市宿豫區(qū)宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題原卷版docx、江蘇省宿遷市宿豫區(qū)宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共29頁， 歡迎下載使用。

江蘇省宿遷市宿豫區(qū)宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)2024年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(無答案)：

這是一份江蘇省宿遷市宿豫區(qū)宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)2024年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(無答案)，共5頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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