1.本試卷共28小題，滿分150分，考試時間120分鐘
2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考點名稱、考場號、座位號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡相應(yīng)位置上，并認(rèn)真核對條形碼上的準(zhǔn)考號、姓名是否與本人的相符；
3.答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，請用橡皮擦牙凈后，再選涂其他答案；答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡指定的置上，不在答題區(qū)域內(nèi)的答案無效，不得用其他筆答題；
4.考生答題必須答在答題卡律，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破，答在試卷和草稿紙上一律無效．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題所給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1. 的倒數(shù)為（ ）
A. B. C. D. 3
2. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
3. 年全國普通高校畢業(yè)生規(guī)模預(yù)計達(dá)萬．其中“萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
4. 光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，當(dāng)光線從空氣射向水中時會發(fā)生折射，如圖，在水中的兩條折射光線也是平行的，若水面和杯底互相平行，若，則等于（ ）

A. 65°B. 55°C. 45°D. 41°
5. 如圖，是一個正方體的表面展開圖，原正方體中與“我”字所在的面相對的面上標(biāo)的字是（ ）
A. 心B. 細(xì)C. 檢D. 查
6. 《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)，物價各幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問共有多少人？這個物品的價格是多少？設(shè)共有x人，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
7. 如果關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則可以取的值是（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 8
8. 如圖，正比例函數(shù)為常數(shù)圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)）圖象交于A，B兩點，軸于點H，連接交y軸于點G，若，則k的值為（ ）
A. B. C. D.
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9. 若二次根式有意義，則x的取值范圍為__________．
10. 分解因式：______．
11. 我們知道等腰三角形的兩個底角相等，簡記為“等邊對等角”，則它的逆命題是____命題．（填“真”或“假”）
12. 已知二次函數(shù)的頂點在第二象限，且過點，當(dāng)為整數(shù)時，則______．
13. 有一組數(shù)據(jù)如下：2，3，，4，5，它們的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的方差是_________
14. 如圖，用圓心角為半徑為6的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），則這個圓錐的高是______．
15. 如圖，正六邊形硬紙片在桌面上由圖1的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長為，則正六邊形的中心運動的路程為___cm．
16. 如圖，ABCD，以點A為圓心，小于AC長為半徑畫弧，分別交AB、AC于E、F兩點；再分別以E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，交CD于點M．若∠CMA＝25°，則∠C的度數(shù)為_______°．
17. 若方程組的解也是二元一次方程的一個解，則的值等于__________．
18. 如圖正方形的邊長為3，E是上一點且，F(xiàn)是線段上的動點．連接，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn) 90°得到，連接，則的最小值是_____．
三、解答題（本大題共10小題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
19. 計算：．
20 化簡求值：，其中．
21. 如圖所示，在平行四邊形中，對角線與相交于點O，且，，．
（1）求證：；
（2）E，F(xiàn)分別是和的中點，連接，，求證：四邊形是菱形．
22. 為激發(fā)學(xué)生參與勞動的興趣，某校開設(shè)了以“端午”為主題的活動課程，要求每位學(xué)生在“折紙龍”“采艾葉”“做香囊”與“包粽子”四門課程中選且只選其中一門，隨機調(diào)查了本校部分學(xué)生的選課情況，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖表信息回答下列問題：

（1）求本次調(diào)查學(xué)生的人數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖．
（2）求圖2中“做香囊”扇形圓心角的度數(shù)．
（3）已知本校共有1000名學(xué)生，試估計選擇“折紙龍”學(xué)生有多少人？
23 元旦假期全國客流持續(xù)回暖，某景區(qū)入口檢票處有A、B、C、D四個閘機，如圖所示，游客領(lǐng)取門票后可隨機選擇一個閘口通過．
（1）一名游客通過該景點閘口時，選擇A閘口通過的概率為______．
（2）當(dāng)兩名游客通過該景點閘口時，請用樹狀圖或列表法求兩名游客選擇不同閘口通過的概率．
24. 【問題背景】
一旗桿直立（與水平線垂直）在不平坦的地面上（如圖1）．兩個學(xué)習(xí)小組為了測量旗桿的高度，準(zhǔn)備利用附近的小山坡進(jìn)行測量估算．
【問題探究】
如圖2，在坡角點C處測得旗桿頂點A的仰角的正切值為2，山坡上點D處測得頂點A的仰角的正切值為，斜坡的坡比為，兩觀測點的距離為．
學(xué)習(xí)小組成員對問題進(jìn)行如下分解，請?zhí)剿鞑⑼瓿扇蝿?wù)．
（1）計算C，D兩點的垂直高度差．
（2）求頂點A到水平地面的垂直高度．
【問題解決】
為了計算得到旗桿的高度，兩個小組在共同解決任務(wù)1和2后，采取了不同的方案：
小組一：在坡角點C處測得旗桿底部點B的仰角的正切值為；
小組二：在山坡上點D處測得旗桿底部點B的俯角的正切值為．
（3）請選擇其中一個小組的方案計算旗桿的高度．
25. 如圖，是的直徑， F 為上一點，平分交于點C． 過點C作交的延長線于點D．
（1）求證：是的切線．
（2）若，，求半徑．
26. 以詩育德，以詩啟智，以詩怡情，以詩塑美，萬州區(qū)某中學(xué)開展詩歌創(chuàng)作比賽，積極營造詩韻書香學(xué)生生活．年級決定購買兩種筆記本獎勵在此次創(chuàng)作比賽中的優(yōu)秀學(xué)生，已知種筆記本的單價比種筆記本的單價便宜元，已知用元購買種筆記本的數(shù)量是用元購買種筆記本的數(shù)量的倍．
求種筆記本的單價；
根據(jù)需要，年級組準(zhǔn)備購買兩種筆記本共本，其中購買種筆記本的數(shù)量不超過種筆記本的二倍．設(shè)購買種筆記本本，所需經(jīng)費為元，試寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并請你根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求所需的最少經(jīng)費．
27. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，，點在拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為，連接．
（1）求拋物線的解析式．
（2）當(dāng)點與拋物線頂點重合時，求點的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)?shù)倪吪c軸垂直時，求點與點的縱坐標(biāo)．
（4）設(shè)，，，探索之間的等量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．
28. 綜合與實踐：
問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．在矩形中，E為邊上一點，F(xiàn)為邊上一點，連接，，分別將和沿，翻折，D，B的對應(yīng)點分別為G，H，且C，H，G三點共線．

觀察發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，若F為邊的中點，，點G與點H重合，則_____°，_____；
問題探究：
（2）如圖2，若，，，求的長；
拓展延伸：
（3），，若F為的三等分點，請求出的長．
2025年江蘇省宿遷市中考一模猜題卷數(shù)學(xué)
注意事項：
1.本試卷共28小題，滿分150分，考試時間120分鐘
2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考點名稱、考場號、座位號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡相應(yīng)位置上，并認(rèn)真核對條形碼上的準(zhǔn)考號、姓名是否與本人的相符；
3.答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，請用橡皮擦牙凈后，再選涂其他答案；答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡指定的置上，不在答題區(qū)域內(nèi)的答案無效，不得用其他筆答題；
4.考生答題必須答在答題卡律，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破，答在試卷和草稿紙上一律無效．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題所給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1. 的倒數(shù)為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是牢記倒數(shù)的定義并正確運用．
根據(jù)倒數(shù)的定義，求出與乘積為1的數(shù)，即為的倒數(shù)．
【詳解】解∵，
∴的倒數(shù)為．
故答案為：B．
2. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了合并同類項、同底數(shù)冪相除、同底數(shù)冪相乘、冪的乘方與積的乘方，根據(jù)合并同類項、同底數(shù)冪相除、同底數(shù)冪相乘、冪的乘方與積的乘方的運算法則逐項判斷即可．
【詳解】解：A、，故原選項計算錯誤，不符合題意；
B、，故原選項計算錯誤，不符合題意；
C、，故原選項計算正確，符合題意；
D、，故原選項計算錯誤，不符合題意；
故選：C．
3. 年全國普通高校畢業(yè)生規(guī)模預(yù)計達(dá)萬．其中“萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于時，是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于時，是負(fù)整數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．
【詳解】解：萬，
故選：C．
4. 光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，當(dāng)光線從空氣射向水中時會發(fā)生折射，如圖，在水中的兩條折射光線也是平行的，若水面和杯底互相平行，若，則等于（ ）

A. 65°B. 55°C. 45°D. 41°
【答案】B
【解析】
【分析】由水面和杯底互相平行，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”可求出的度數(shù)，由水中的兩條折射光線平行，利用“兩直線平行，同位角相等”可得出的度數(shù)．
【詳解】解：∵水面和杯底互相平行，
∴，
∴．
∵水中的兩條折射光線平行，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”和“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，是一個正方體表面展開圖，原正方體中與“我”字所在的面相對的面上標(biāo)的字是（ ）
A. 心B. 細(xì)C. 檢D. 查
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體是空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．正方體中相對的面，在展開圖中相對的面之間一定相隔一個正方形，且沒有公共頂點．正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．
【詳解】解：我與心相對，要與查相對，細(xì)與檢相對，
故選A．
6. 《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)，物價各幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問共有多少人？這個物品的價格是多少？設(shè)共有x人，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，確定相等關(guān)系，并據(jù)此列出方程．設(shè)共有x人，根據(jù)物品的價格不變列出方程．
【詳解】解：設(shè)共有x人，
由題意，得．
故選：B．
7. 如果關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則可以取的值是（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，
根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可知，即可求出m的取值范圍，再根據(jù)范圍判斷即可．
【詳解】解：∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
解得，
所以．
故選：A．
8. 如圖，正比例函數(shù)為常數(shù)圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)）圖象交于A，B兩點，軸于點H，連接交y軸于點G，若，則k的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，正比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)三角形的中線分出的三角形的面積相等得到，然后根據(jù)圖象的位置確定解題即可．
【詳解】解：∵正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于A，B兩點，
∴A，B關(guān)于原點對稱，
∴，
∵軸，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵反比例函數(shù)圖象上在第二象限，
∴．
故選：D．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9. 若二次根式有意義，則x的取值范圍為__________．
【答案】x≥﹣．
【解析】
【詳解】考點：二次根式有意義的條件．
根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)求解．
解：根據(jù)題意得：1+2x≥0，
解得x≥-．
故答案為x≥-．
10. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)提取公因式法，提取公因式即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握提取公因式法．
11. 我們知道等腰三角形的兩個底角相等，簡記為“等邊對等角”，則它的逆命題是____命題．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】本題考查了命題及逆命題，先找到原命題的題設(shè)和結(jié)論，再將題設(shè)和結(jié)論互換，即可而得到原命題的逆命題，繼而也能判斷出真假，掌握互逆命題的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵原命題題設(shè)是：“一個三角形是等腰三角形”，結(jié)論是“這個三角形兩底角相等”，
∴命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是“兩個角相等三角形是等腰三角形”，是真命題，
故答案為：真．
12. 已知二次函數(shù)的頂點在第二象限，且過點，當(dāng)為整數(shù)時，則______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，頂點坐標(biāo)的運用，一次函數(shù)圖象的綜合，掌握二次函數(shù)圖象頂點坐標(biāo)的計算，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)可得，，，則，，設(shè)，由一次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得，由此可得的值，代入計算即可求解．
【詳解】解：二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，
∵頂點坐標(biāo)在第二象限，
∴，
∵二次函數(shù)圖象過點，
∴，即，
∴，整理得，，
∵，
∴當(dāng)時，，則，矛盾，不符合題意，舍去；
∴，則，
解得，，
∴在中得到，，
∵為整數(shù)，
∴設(shè)，則關(guān)于的一次函數(shù)圖形如下，
即可滿足條件，
∴，，
∴，
故答案為： ．
13. 有一組數(shù)據(jù)如下：2，3，，4，5，它們的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的方差是_________
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了方差和算術(shù)平均數(shù)，熟練掌握該方法是本題解題．先由平均數(shù)的公式計算出a的值，再根據(jù)方差的公式計算即可．
【詳解】∵2，3，，4，5，它們的平均數(shù)是3，
∴，
∴，
∴．
故答案為：2．
14. 如圖，用圓心角為半徑為6扇形圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），則這個圓錐的高是______．
【答案】．
【解析】
【分析】由圓心角為，半徑為6的扇形求弧長=，可求圓錐底面圓周長：，解得，如圖由圓錐高OD，底面圓半徑DC，與母線OC構(gòu)成直角三角形，由勾股定理即可．
【詳解】解：圓心角為，半徑為6的扇形弧長=，
圓錐底面圓周長：，
解得，
如圖由圓錐高OD，底面圓半徑DC，與母線OC構(gòu)成直角三角形，
由勾股定理，
這個圓錐的高是．
故答案為：．
【點睛】本題考查扇形弧長公式，圓的周長，勾股定理，掌握扇形弧長公式，圓的周長，勾股定理是解題關(guān)鍵．
15. 如圖，正六邊形硬紙片在桌面上由圖1的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長為，則正六邊形的中心運動的路程為___cm．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了正多邊形與圓、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及弧長計算等知識，解題關(guān)鍵是弄清正六邊形的中心運動的路徑．根據(jù)題意可知正六邊形的中心運動的路程就是6個以正六邊形的半徑為半徑旋轉(zhuǎn)的弧長，然后求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，六邊形為正六邊形，且邊長為，
則每次滾動正六邊形的中心就以正六邊形的半徑為半徑旋轉(zhuǎn)，
正六邊形的中心運動的路程就是6個以正六邊形的半徑為半徑旋轉(zhuǎn)的弧長，
∴運動的路徑為：．
故答案為：．
16. 如圖，ABCD，以點A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB、AC于E、F兩點；再分別以E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，交CD于點M．若∠CMA＝25°，則∠C的度數(shù)為_______°．
【答案】130
【解析】
【分析】直接利用平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的作法得出∠CAM=∠MAB=∠CMA=25°，再利用平行線的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】解：由作圖知AP平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB，
∵ABCD，
∴∠CMA=∠MAB=25°，
∴∠CAM=∠MAB=25°，
∴∠CAB=50°，
∵ABCD，
∴∠C=180°-∠CAB=130°．
故答案為：130．
【點睛】此題主要考查了角平分線的基本作圖以及平行線的性質(zhì)，正確得出∠CAM=∠MAB=∠CMA=25°是解題關(guān)鍵．
17. 若方程組的解也是二元一次方程的一個解，則的值等于__________．
【答案】7
【解析】
【分析】先把2x-y=1中的y用x表示出來，代入3x+2y=12求出x的值，再代入2x-y=1求出y的值，最后將所求x，y的值代入5x-my=-11解答即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得
∴由①得：y=2x-1，
代入②用x表示y得，3x+2（2x-1）=12，
解得：x=2，代入①得，y=3，
∴將x=2，y=3，代入5x-my=-11解得，m=7．
故答案為：7．
【點睛】本題考查了解二元一次方程和解二元一次方程組的基本運算技能：移項、合并同類項、系數(shù)化為1等，表示誰就該把誰放到等號的一邊，其他的項移到另一邊，然后合并同類項、系數(shù)化1就可用含y的式子表示x的形式．
18. 如圖正方形的邊長為3，E是上一點且，F(xiàn)是線段上的動點．連接，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn) 90°得到，連接，則的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，連接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因為∠CDF是定值，推出點G在射線BG上運動，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EG⊥BG時，EG的長最短．
【詳解】解：如圖，作射線BG．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠FCG＝∠DCB＝90°，
∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，
∴∠BCG＝∠DCF，
在△CBG和△CDF中
，
∴△CBG≌△CDF，
∴∠CBG＝∠CDF，
∵∠CDF是定值，
∴點G在射線BG上運動，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EG⊥BG時，EG的長最短，
此時tan∠EBG＝＝，設(shè)EG＝m，則BG＝3m，
在Rt△BEG中，
∵BE2＝BG2+EG2，
∴4＝m2+9m2，
∴m＝（負(fù)根已經(jīng)舍棄），
∴EG的最小值為，
故答案為．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短是解答本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共10小題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
19. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、立方根的定義分別化簡，再合并即可求解，掌握實數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
，
，
．
20. 化簡求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查分式的化簡求值，解題關(guān)鍵是先根據(jù)分式的混合運算將式子化簡，再將x的值代入計算．
【詳解】解：
，
當(dāng)時，原式．
21. 如圖所示，在平行四邊形中，對角線與相交于點O，且，，．
（1）求證：；
（2）E，F(xiàn)分別是和的中點，連接，，求證：四邊形是菱形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）利用平行四邊形性質(zhì)得到，，再利用勾股定理逆定理得到為直角三角形，即可證明；
（2）利用直角三角形性質(zhì)和線段中點的特點，得到，，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)得到，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)，即可證明平行四邊形是菱形．
本題考查平行四邊形性質(zhì)和判定，勾股定理逆定理，直角三角形性質(zhì)，線段中點的特點，菱形的判定，熟練掌握運用這些判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【小問1詳解】
證明：在平行四邊形中，對角線與相交于點O，，，
，．
，
，即，
為直角三角形，，
．
【小問2詳解】
證明：由（1）知為直角三角形．
E，F(xiàn)分別是和的中點，
，．
四邊形是平行四邊形，
，，
，
四邊形是平行四邊形．
又∵，
平行四邊形是菱形．
22. 為激發(fā)學(xué)生參與勞動的興趣，某校開設(shè)了以“端午”為主題的活動課程，要求每位學(xué)生在“折紙龍”“采艾葉”“做香囊”與“包粽子”四門課程中選且只選其中一門，隨機調(diào)查了本校部分學(xué)生的選課情況，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖表信息回答下列問題：

（1）求本次調(diào)查學(xué)生的人數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖．
（2）求圖2中“做香囊”扇形圓心角的度數(shù)．
（3）已知本校共有1000名學(xué)生，試估計選擇“折紙龍”的學(xué)生有多少人？
【答案】（1）本次調(diào)查抽取的學(xué)生人數(shù)為50人，補全圖形見詳解
（2）
（3）估計選擇“折紙龍”的學(xué)生有160人
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖已知數(shù)據(jù)和扇形統(tǒng)計圖已知的對應(yīng)數(shù)據(jù)，即可求出被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再利用總?cè)藬?shù)減去選擇“折紙龍” “做香囊”與“包粽子”的人數(shù)，即可得到選擇“采艾葉”的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；
（2）用“做香囊”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，再乘以即可作答；
（3）先求出選擇“折紙龍”的學(xué)生在樣本中的百分比，再乘以全校總?cè)藬?shù)即可作答．
【小問1詳解】
由選“包粽子”人數(shù)18人，在扇形統(tǒng)計圖中占比，可得，
∴本次調(diào)查抽取的學(xué)生人數(shù)為50人．
其中選“采艾葉”的人數(shù)：．
補全條形統(tǒng)計圖，如圖：
【小問2詳解】
【小問3詳解】
選“折紙龍”課程的比例．
選“折紙龍”課程的總?cè)藬?shù)為（人），
即估計選擇“折紙龍”的學(xué)生有160人．
【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖結(jié)合，用樣本估計總體，求解扇形統(tǒng)計圖中圓心角等知識，結(jié)合條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖求出相關(guān)數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．
23. 元旦假期全國客流持續(xù)回暖，某景區(qū)入口檢票處有A、B、C、D四個閘機，如圖所示，游客領(lǐng)取門票后可隨機選擇一個閘口通過．
（1）一名游客通過該景點閘口時，選擇A閘口通過的概率為______．
（2）當(dāng)兩名游客通過該景點閘口時，請用樹狀圖或列表法求兩名游客選擇不同閘口通過的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查概率，熟練掌握概率的求解是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)概率公式可直接進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)列表法進(jìn)行求解概率即可．
【小問1詳解】
解：由題意可得：選擇A閘口通過的概率為；
故答案為；
【小問2詳解】
解：設(shè)這兩名游客為甲和乙，由題意可得如下表格：
由表格可知兩名游客選擇閘口通過的可能性有16種，其中選擇不同閘口通過的情況有12種，
∴兩名游客選擇不同閘口通過的概率為．
24. 【問題背景】
一旗桿直立（與水平線垂直）在不平坦的地面上（如圖1）．兩個學(xué)習(xí)小組為了測量旗桿的高度，準(zhǔn)備利用附近的小山坡進(jìn)行測量估算．
【問題探究】
如圖2，在坡角點C處測得旗桿頂點A的仰角的正切值為2，山坡上點D處測得頂點A的仰角的正切值為，斜坡的坡比為，兩觀測點的距離為．
學(xué)習(xí)小組成員對問題進(jìn)行如下分解，請?zhí)剿鞑⑼瓿扇蝿?wù)．
（1）計算C，D兩點的垂直高度差．
（2）求頂點A到水平地面的垂直高度．
【問題解決】
為了計算得到旗桿的高度，兩個小組在共同解決任務(wù)1和2后，采取了不同的方案：
小組一：在坡角點C處測得旗桿底部點B的仰角的正切值為；
小組二：在山坡上點D處測得旗桿底部點B的俯角的正切值為．
（3）請選擇其中一個小組的方案計算旗桿的高度．
【答案】（1）C，D兩點的垂直高度差；（2）頂點A到水平地面的垂直高度；（3）若選擇小組一：旗桿的高度為；若選擇小組二：旗桿的高度為
【解析】
【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形函數(shù)的定義．
（1）作交于點H，根據(jù)斜坡的坡比為，，求出，即可；
（2）延長DG交于M，延長交延長線于N，根據(jù)的正切值為2，仰角的正切值為，得出，，設(shè)，則，，，得出，求出a的值即可得出答案；
（3）根據(jù)測出的仰角或俯角的正切值，解直角三角形得出答案即可．
詳解】解：（1）作交于點H，
斜坡的坡比為，
∴設(shè)，，
∴，
∵，
∴，
解得：
，，
C，D兩點的垂直高度差；
（2）延長DG交于M，延長交延長線于N，
∵的正切值為2，仰角的正切值為，
∴，，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，，
設(shè)，則，，，
，
解得，
，，，
頂點A到水平地面的垂直高度；
（3）小組一：∵的正切值為，
∴，
∵，
，
；
小組二：∵的正切值為，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
25. 如圖，是的直徑， F 為上一點，平分交于點C． 過點C作交的延長線于點D．
（1）求證：是的切線．
（2）若，，求半徑．
【答案】（1）證明見解析
（2）5
【解析】
【分析】本題主要考查了切線的判定，矩形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定和性質(zhì)以及切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）過點O作于E，，證明四邊形為矩形，設(shè)半徑為r，由勾股定理列出方程求解即可．
【小問1詳解】
連接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
為半徑，
是的切線；
【小問2詳解】
過點O作于E，
，，
四邊形為矩形，
，，
設(shè)半徑為r，則，
∴，
在中
∵，
，
解得：，
的半徑為5．
26. 以詩育德，以詩啟智，以詩怡情，以詩塑美，萬州區(qū)某中學(xué)開展詩歌創(chuàng)作比賽，積極營造詩韻書香學(xué)生生活．年級決定購買兩種筆記本獎勵在此次創(chuàng)作比賽中的優(yōu)秀學(xué)生，已知種筆記本的單價比種筆記本的單價便宜元，已知用元購買種筆記本的數(shù)量是用元購買種筆記本的數(shù)量的倍．
求種筆記本的單價；
根據(jù)需要，年級組準(zhǔn)備購買兩種筆記本共本，其中購買種筆記本的數(shù)量不超過種筆記本的二倍．設(shè)購買種筆記本本，所需經(jīng)費為元，試寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并請你根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求所需的最少經(jīng)費．
【答案】（1）種筆記本的單價為6元．（2）所需經(jīng)費最少為702元．
【解析】
【分析】設(shè)種筆記本的單價為元，則種筆記本的單價為元．根據(jù)題意列出分式方程，求解即可；
由知種筆記本的單價為元，得到：，由于，所以W隨的增大而減?。俑鶕?jù)A種筆記本的數(shù)量不超過B種筆記本數(shù)量的2倍，得到，解之可得m的取值范圍，最后取值代入可得．
【詳解】解： 設(shè)種筆記本的單價為元，則種筆記本的單價為元．
解得；
經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意．
答：種筆記本的單價為元．
由知種筆記本的單價為元，
又∵
∴W隨的增大而減?。?br>又∵A種筆記本的數(shù)量不超過B種筆記本數(shù)量的2倍
∴；
解得：；
∵m為正整數(shù)
∴當(dāng)時，取得最小值，最小值為702元．
答：所需最少經(jīng)費為702元．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用及其解法；一元一次不等式的應(yīng)用及其解法；其中將分式方程化為整式方程并求出其解以后，必須進(jìn)行檢驗以判斷是否為增根，如為增根則必須舍去；一元一次不等式在得到解集之后也要根據(jù)題目當(dāng)中的已知條件進(jìn)得取值．
27. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，，點在拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為，連接．
（1）求拋物線的解析式．
（2）當(dāng)點與拋物線頂點重合時，求點的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)?shù)倪吪c軸垂直時，求點與點的縱坐標(biāo)．
（4）設(shè)，，，探索之間的等量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．
【答案】（1）
（2）
（3）當(dāng)?shù)倪吪cy軸垂直時，E的縱坐標(biāo)為12，F(xiàn)的縱坐標(biāo)為26或E的縱坐標(biāo)為26，F(xiàn)的縱坐標(biāo)為44；
（4）．
【解析】
【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；
（2）求出拋物線的頂點為，對稱軸為直線，根據(jù)點E與拋物線頂點重合，E，F(xiàn)在拋物線上，橫坐標(biāo)分別為，知，故，在中，令得；
（3）分兩種情況：當(dāng)軸時，由A，D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，，拋物線的對稱軸為直線，可得；即知，故，，在中，令求出y值即得E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)；當(dāng)軸時，同理可得答案；
（4）根據(jù)點C，D，E，F(xiàn)在拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為m，，，，可得，，，，而，，，可求出，，，觀察即可得答案．
【小問1詳解】
解：把代入得：
，
解得
∴拋物線解析式為；
【小問2詳解】
解：，
∴拋物線的頂點為，
∵點E與拋物線頂點重合，E，F(xiàn)在拋物線上，橫坐標(biāo)分別為，，
，
，
在中，令得：，
；
【小問3詳解】
解：當(dāng)軸時，如圖：
∴A，D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
，拋物線的對稱軸為直線，
；
∵D在拋物線上，橫坐標(biāo)分別為，
，
，
在中，令，
得，
，
在中，令，
得，
；
當(dāng)軸時，如圖：
同理可得，
，
，
在中，令，
得，
；
在中，令，
得，
；
綜上所述，當(dāng)?shù)倪吪cy軸垂直時，
E的縱坐標(biāo)為12，F(xiàn)的縱坐標(biāo)為26或E的縱坐標(biāo)為26，F(xiàn)的縱坐標(biāo)為44；
【小問4詳解】
解：，理由如下：
∵點C，D，E，F(xiàn)在拋物線上，
其橫坐標(biāo)分別為m，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象上坐標(biāo)的特征，整式的加減等知識，解題的關(guān)鍵是用含m的代數(shù)式表示相關(guān)點坐標(biāo)和分類討論思想的應(yīng)用．
28 綜合與實踐：
問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．在矩形中，E為邊上一點，F(xiàn)為邊上一點，連接，，分別將和沿，翻折，D，B的對應(yīng)點分別為G，H，且C，H，G三點共線．

觀察發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，若F為邊的中點，，點G與點H重合，則_____°，_____；
問題探究：
（2）如圖2，若，，，求的長；
拓展延伸：
（3），，若F為的三等分點，請求出的長．
【答案】（1）45，（2）（3）9或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)折疊重合部分全等得到角度關(guān)系求出即可；設(shè)長度利用直角三角形勾股定理列方程即可．
（2）由特殊角得到等腰直角三角形，利用其邊長特點進(jìn)行計算即可；
（3）構(gòu)造矩形，根據(jù)兩個共邊直角三角形設(shè)元列方程進(jìn)行計算即可，但要區(qū)分三等分點的位置分別計算．
【詳解】由折疊可知，，
，
矩形，
，
，
設(shè)，
則，
，
，
中，
，
解得，
故；
故答案為：；
（2）延長交于K，

由折疊可知，，，，
又，，
為等腰直角三角形，
，
，
由得為等腰直角三角形，
，
，
；
（3）過F做的垂線交于點I，連接，

由得四邊形為矩形，
中，，中，，
，
當(dāng)點F是靠近D的三等分點時，
，，
設(shè)，則，，
由得，
解得，
當(dāng)點F是靠近A的三等分點時，
，，
設(shè)，則，，
由得，
解得，
．
綜上，的長為9或．
【點睛】本題考查矩形中的折疊問題，包含角度和邊長計算，需要根據(jù)實際情況尋找直角三角形，利用設(shè)元列方程進(jìn)行求解．通常遇到兩個點有垂直折線進(jìn)行矩形構(gòu)造來求兩點間距離．實際問題中如果遇到特殊角度可利用特殊三角形進(jìn)行快速求解．
甲/乙
A
B
C
D
A
B
C
D

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