1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。
4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交。
5.本卷主要考查內(nèi)容：集合、常用邏輯用語與不等式、函數(shù)的概念與性質(zhì)、一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角函數(shù)與解三角形、數(shù)列。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知為整數(shù)集，，則（ ）
A.B.
C.D.
2.已知命題：“，使得”，則命題的否定是（ ）
A.，使得B.，使得
C.，D.，
3.已知，則的最大值為（ ）
A.B.C.D.3
4.函數(shù)的減區(qū)間為（ ）
A.B.C.D.
5.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ ）
A.12B.10C.5D.
6.已知函數(shù)，則其圖象大致是（ ）
A.B.C.D.
7.已知，則（ ）
A.B.C.D.
8.已知定義在上的函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，若，其中，，則當(dāng)取最小值時(shí)，（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)都有，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.的最小正周期為B.
C.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱D.在區(qū)間上有一個零點(diǎn)
10.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（ ）
A.
B.當(dāng)時(shí)，
C.在上單調(diào)遞增
D.不等式的解集為
11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增
B.若的圖象在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)
C.當(dāng)時(shí)，不存在極值
D.當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個零點(diǎn)，，且
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.桃湖公園有一扇形花園，扇形的圓心角為，半徑為，現(xiàn)要在該花園的周圍圍一圈護(hù)欄，則護(hù)欄的總長度為（結(jié)果保留）______.
13.已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間，內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
14.對給定的數(shù)列，記，則稱數(shù)列為數(shù)列的一階商數(shù)列；記，則稱數(shù)列為數(shù)列的二階商數(shù)列；以此類推，可得數(shù)列的階商數(shù)列，已知數(shù)列的二階商數(shù)列的各項(xiàng)均為，且，，則______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為.
（1）求；
（2）若，且的周長為5，設(shè)為邊中點(diǎn)，求.
16.（本小題滿分15分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
17.（本小題滿分15分）
已知函數(shù).
（1）若，求的極值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.
18.（本小題滿分17分）
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，對于區(qū)間，若滿足以下兩條性質(zhì)之一，則稱為的一個“區(qū)間”.性質(zhì)1：對任意，均有；性質(zhì)2：對任意，均有.
（1）分別判斷說明區(qū)間是否為下列兩函數(shù)的“區(qū)間”；
①；②.
（2）若是函數(shù)的“區(qū)間”，求的取值范圍.
19.（本小題滿分17分）
已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明.
答案、提示及評分細(xì)則
1.D 因?yàn)?，故選D.
2.C 命題：，使得，則命題的否定是，，故選C.
3.B ，當(dāng)且僅當(dāng)，即，或，時(shí)等號成立.故選B.
4.A 令，解得或，則的定義域?yàn)?，令，在定義域上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故選A.
5.B因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，
所以，即，則
記，則，
兩式相加得
，
所以，即.故選B.
6.B ，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，綜合分析，故選B.
7.A 設(shè)，則，，.故選A.
8.D 根據(jù)可得的圖象關(guān)于對稱，，，的周期為4，，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，.故選D.
9.ABD 選項(xiàng)A，，故A正確；
選項(xiàng)B，易知為最大值或最小值，是的一條對稱軸的方程.
，，，，，故B正確；
選項(xiàng)C，，不是最值，故C錯誤；
選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，此區(qū)間上有1個零點(diǎn).故選ABD.
10.BD ，故A錯誤；
當(dāng)時(shí)，，所以，故B正確；
因?yàn)闀r(shí)，，又，，所以C錯誤；
當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，.故D正確.故選BD.
11.ABD 當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；
，解得，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，令，設(shè)，為的兩個零點(diǎn)，又，所以故存在極值，故C錯誤；
當(dāng)時(shí)，在，上恒成立，所以在，上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得；
當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，又在上單調(diào)遞增，所以存在，使得，又，所以，即.故D正確.故選ABD.
12. 圓心角為，即，所以扇形的弧長為，周長.
13. 令，根據(jù)題意得，的取值范圍為.
14. 由數(shù)列的二階商數(shù)列的各項(xiàng)均為，可知，而，
故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，
即，
即，，，…，.
累乘得，故.
15.解：（1）依題意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因?yàn)?，所以?br>（2）依題意，，
因?yàn)?，解得?br>因?yàn)椋?br>所以，
所以.
16.解：（1）當(dāng)時(shí)，即，，
時(shí)，，
所以，即，
，，所以是以1為首項(xiàng)公比為的等比數(shù)列，
所以；
（2），
則；
，
兩式相減
，
.
17.解：（1）若，，則，
令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，所以在處取得極小值，無極大值；
（2），
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
18.（1）解：①中，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得，所以區(qū)間是函數(shù)的一個“區(qū)間”；
②中，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)不滿足，也不滿足，
所以區(qū)間不是函數(shù)的一個“區(qū)間”；
所以①是（滿足性質(zhì)1）.②不是
（2）解：記，，可得，故若為的“區(qū)間”，
則不滿足性質(zhì)②，必滿足性質(zhì)①，即；
由，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，
即，所以，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，所以，不合題意；
綜上可知，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19.（1）解：當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，在上遞增，
所以有極小值，無極大值；
（2）解：由恒成，得，，令，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，
因此，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（3）證明：由（2）知，當(dāng)時(shí)，即
于是，，…，，
因此，
所以.

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