考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．
3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 直線和直線的位置關(guān)系為（ ）
A. 平行B. 垂直
C. 重合D. 相交但不垂直
【答案】B
【解析】直線和直線的斜率分別為，
因?yàn)椋?
故選：B.
2. 雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】雙曲線的漸近線方程是，即.
故選：A.
3. 已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，則的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得，即，
又是橢圓上一點(diǎn)，所以，解得1，
故橢圓的方程為，
故選：C.
4. 直線被圓截得的弦長為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由題意得圓心到直線的距離為，
故直線被圓截得的弦長為.
故選：B.
5. 在拋物線上求一點(diǎn)，使其到焦點(diǎn)的距離與到的距離之和最小，則該點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.
過點(diǎn)作于點(diǎn)，由定義可得PM=PF，
所以，
由圖可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí).
故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，所以橫坐標(biāo)．即點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選：A.
6. 如圖，已知，，是邊長為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個(gè)格點(diǎn)，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且，，若，則（ ）

A. B. C. 6D.
【答案】D
【解析】以為基底，則，，，
，.
因?yàn)?，所以?br>則
，
所以.
故選：D
7. 已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，若為定值，則的最小值為（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)，
則，即，
所以，
因?yàn)闉槎ㄖ?，所以，解得?br>此時(shí)，則，
由圓，即，圓心為，半徑為，
顯然點(diǎn)在圓內(nèi)部，且，則的最小值為，
所以的最小值為．
故選：D.
8. 在正三棱錐P-ABC中，，且該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】在正三棱錐中，，又，，
所以，所以，
同理可得，，即兩兩垂直，
把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，
正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得，
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，所以，
則點(diǎn)到平面的距離，所以，
故選B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 若直線l過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線l的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】直線l過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，
當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，它們在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，互為相反數(shù)，方程為，
即；
當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為，則，解得，
直線的方程為，即，
所以直線l的方程為或.
故選：AD
10. 若方程所表示的曲線為，則下面四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若為雙曲線，則或
B. 若為橢圓，則
C. 曲線可能是圓
D. 若為雙曲線，則焦距為定值
【答案】BD
【解析】若為雙曲線，則，故或，所以選項(xiàng)A正確；
若為橢圓，則且，故且，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
若為圓，則，故，所以選項(xiàng)C正確；
若為雙曲線，則或，當(dāng)時(shí)，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，此時(shí)，所以不是定值，則焦距也不為定值，同理焦距也不為定值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
綜上，選項(xiàng)BD錯(cuò)誤，
故選：BD.
11. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，且三點(diǎn)都在拋物線上，則下列說法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)的坐標(biāo)為
B. 若直線BC過點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則
C. 若，則線段BC的中點(diǎn)到軸距離的最小值為
D. 若直線AB，AC是圓的兩條切線，則直線BC的方程為
【答案】ABD
【解析】對于A：因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得，
所以，故A正確；
對于B：顯然直線BC的斜率不為0，設(shè)直線BC的方程為，由得，所以，
所以，所以，故B正確；
對于C：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)B，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，所以，所以，即線段BC的中點(diǎn)到軸距離的最小值為，故C錯(cuò)誤；
對于D：直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，即，又直線AB與圓相切，所以，整理得，即，同理可得，所以直線BC的方程為，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知平面的法向量為，平面的法向量為，若α//β，則__________.
【答案】
【解析】因?yàn)棣?/β，所以，則存在實(shí)數(shù)，使，
即，解得，所以
故答案為：
13. 若圓與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，
所以曲線的圖象也關(guān)于軸對稱，
所以只需研究與圓只有一個(gè)交點(diǎn)即可，
當(dāng)與圓相切時(shí)，
則，
當(dāng)與圓相交時(shí)（只有一個(gè)交點(diǎn)），則，
綜上可得的取值范圍為.
故答案為：
14. 已知是橢圓的左焦點(diǎn)，直線交橢圓于M，N兩點(diǎn).若，則橢圓的離心率為______.
【答案】
【解析】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，連接，由對稱性可知，
則為平行四邊形，則，即，
因?yàn)?，則，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得，所以橢圓的離心率為.

故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知，，.
（1）求直線的方程及的面積；
（2）求的外接圓的方程.
解：（1）直線的方程為，即，
因?yàn)椋?br>點(diǎn)到直線的距離為，
所以的面積為.
（2）設(shè)的外接圓的方程為，
由題意，解得，
所以的外接圓的方程為：.
16. 如圖，四棱錐的側(cè)面為正三角形，底面為梯形，，平面平面，已知，.
（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
解：（1）取上的點(diǎn)，使，
則，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）取中點(diǎn)，連，
因，所以，
因?yàn)闉檎切危?br>所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以，?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
則，，，
設(shè)為平面的法向量，
則，可取，
，
故直線與平面所成角的正弦值為.
17. 如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線AB與y軸垂直時(shí)，
（1）求C的方程;
（2）以AB為直徑的圓能否經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)若能，求出直線AB的方程;若不能，請說明理由.
解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是，
當(dāng)直線AB與y軸垂直時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，
，解得，
所以C的方程是
（2）以AB為直徑的圓不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，理由如下：
如圖，
直線AB的斜率顯然存在，設(shè)其方程為，
代入，消去y并整理得，
設(shè)，，則
因?yàn)椋?br>所以O(shè)A與OB不垂直.
因此，以AB為直徑的圓不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).
18. 如圖1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起到位置，使得平面平面，如圖2.
（1）證明：平面BCD；
（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
解：（1）在中，因?yàn)椋?br>由余弦定理，得，
所以，所以，
所以．
如下圖1所示：在中，作于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面?br>所以平面，又平面，所以，
又因?yàn)槠矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫裕?br>又平面BCD，所以平面BCD.
（2）方法一：如下圖2所示：
存在點(diǎn)，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，二面角的大小為.
證明如下：由（1）知平面BDC，
所以且，
所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，同理可得：，
取BD的中點(diǎn)為O，DC的中點(diǎn)為，連接MO，EM，OE，
因?yàn)?，所以是二面角的平面角?br>又因?yàn)?，所以．此時(shí)．
方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如下圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則.
假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)，
則，
設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為，
則，
取，可得，
又平面CBD的一個(gè)法向量為，
假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，
則，解得，
所以點(diǎn)存在，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，即.
19. 若橢圓的長軸長，短軸長分別等于雙曲線的實(shí)軸長，虛軸長，且橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，則稱橢圓是雙曲線的共軛橢圓，雙曲線是橢圓的共軛雙曲線．已知橢圓的共軛雙曲線為．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)，直線（不過點(diǎn)）與相交于、兩點(diǎn)，且，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．
解：（1）由題意可設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
設(shè)點(diǎn)Mx1,y1、Nx2,y2，

聯(lián)立，得，
所以且，
即且，
由韋達(dá)定理可得，，
．
因?yàn)椋?br>且，，
所以
．
所以或．
當(dāng)時(shí)，直線恒過點(diǎn)，不合題意，
當(dāng)時(shí)，直線恒過點(diǎn)，合乎題意；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
則、
因?yàn)?，所以，解得或（舍去）?br>所以直線恒過點(diǎn)，
所以當(dāng)直線時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，距離的最大值為．

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