1．（ ）
A．B．C．D．
2．若集合，則是（ ）
A．或B．
C．D．
3．已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．在四面體ABCD中，點(diǎn)M，N滿足，，若，則（ ）
A．B．C．D．1
5．已知，，則 （ ）
A．B．C．D．
6．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)各擲骰子次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的是（ ）
A．甲：平均數(shù)為，中位數(shù)為B．乙：中位數(shù)為，眾數(shù)為
C．丙：平均數(shù)為，方差為D．丁：中位數(shù)為，方差為
7．在正四棱柱中，，，設(shè)四棱柱的外接球的球心為，動(dòng)點(diǎn)在正方形的邊上，射線交球的表面于點(diǎn)，現(xiàn)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著運(yùn)動(dòng)一次，則點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P，Q分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，，則的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知復(fù)數(shù)的虛部與的實(shí)部均為2，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是虛數(shù)
B．若，則
C．若，則與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱
D．若是純虛數(shù)，則
10．一口袋中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．從中任取3球，恰有一個(gè)紅球的概率是；
B．從中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有兩個(gè)白球的概率為；
C．從中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了紅球，則第二次再次取到紅球的概率為；
D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.
11．已知平行六面體的棱長(zhǎng)均為1，分別是棱和的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．若，則∥面
C．若，則面
D．若是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知函數(shù)若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值是 ．
13．《中國(guó)居民膳食指南（2022）》數(shù)據(jù)顯示，歲至歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機(jī)構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，測(cè)量他們的體重(單位：千克)，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，按，，，，，分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì)該地中學(xué)生體重的分位數(shù)是 ．
14．已知一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積為，下底面半徑比上底面半徑大，母線與下底面所成角的正切值為，則該圓臺(tái)的外接球(圓臺(tái)的上、下底面圓周上的點(diǎn)均在球面上)的體積為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知兩組各有5位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單位：天）記錄如下：
組：10，11，12，13，14，
組：12，13，15，14，．
假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間相互獨(dú)立，從兩組隨機(jī)各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙．
(1)如果，求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率；
(2)如果，事件：“甲康復(fù)時(shí)間為11天”，事件：“甲乙康復(fù)時(shí)間之和為25天”，事件是否相互獨(dú)立？
16．如圖所示，已知底面，，，且，為的中點(diǎn)．

(1)若，求三棱錐的體積．
(2)求證：；
17．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.
18．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
(1)求角；
(2)點(diǎn)在邊上，且，，求面積的最小值．
19．已知正實(shí)數(shù)集，定義：稱為的平方集.記為集合中的元素個(gè)數(shù).
(1)若，求集合和；
(2)若，求；
(3)求證：，并指出取等條件．
參考答案
1．【答案】A
【分析】利用輔助角公式，即可化簡(jiǎn)求值.
【詳解】原式
.
故選A.
2．【答案】B
【分析】先解不等式求出兩個(gè)集合，再求兩集合的交集即可.
【詳解】由，得或，
解得或，
所以或，
由，得，
所以，
所以.
故選B.
3．【答案】A
【分析】利用排除法，根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)定義域以及函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.
【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；
當(dāng)，先正后負(fù)，則有：
對(duì)于C：因?yàn)?，則，
可知，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)?，則，但的符號(hào)周期性變化，故D錯(cuò)誤；
故選A.
4．【答案】C
【分析】直接利向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果．
【詳解】在四面體中，由于點(diǎn)，滿足，，
如圖所示：
故，
故．
故選C.
5．【答案】A
【分析】由結(jié)合兩角差的正切公式求得.
【詳解】由
得，
故選A.
6．【答案】C
【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義，通過(guò)舉例排除ABD，由假設(shè)推理判斷C．
【詳解】若甲的5個(gè)點(diǎn)數(shù)分別是，滿足選項(xiàng)A；
若乙的5個(gè)點(diǎn)數(shù)分別是，滿足選項(xiàng)B；
若丁的5個(gè)點(diǎn)數(shù)分別是，平均數(shù)為4，其方差為，滿足選項(xiàng)D；
若丙的平均數(shù)為2，又有點(diǎn)數(shù)6，則方差，不可能滿足C，因此丙不會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6.
故選C．
7．【答案】A
【分析】點(diǎn)的路徑是4段長(zhǎng)度相等的弧，求出圓心角可得弧長(zhǎng).
【詳解】因?yàn)檎睦庵饨忧虻闹睆綖槠潴w對(duì)角線的長(zhǎng)，
故（為正四棱柱外接球的半徑）.
所以.
所以為等邊三角形，所以.
所以劣弧的長(zhǎng)為：.
所以點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為：.
故選A.
8．【答案】B
【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，然后利用三角變換公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.
【詳解】由余弦定理可得，
整理得到，
，則，
整理得到：，
而，故，
而，故，
設(shè)，
則
，其中為銳角且，
因?yàn)?，故?br>故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故的最大值為，
故選B.
9．【答案】ACD
【分析】借助虛數(shù)定義可得A；借助模長(zhǎng)共識(shí)計(jì)算即可得B；借助共軛復(fù)數(shù)定義與復(fù)數(shù)的幾何意義可得C；借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與純虛數(shù)定義及模長(zhǎng)定義即可得D.
【詳解】可設(shè)復(fù)數(shù)，
A選項(xiàng)：根據(jù)虛數(shù)定義可知A正確；
B選項(xiàng)：，所以，則，
所以，，所以，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：若，所以，所以，，
所以，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為和，則關(guān)于x軸對(duì)稱，故C正確；
D選項(xiàng)：因?yàn)椋?br>且是純虛數(shù)，所以，所以，，則，
所以，故D正確．
故選ACD.
10．【答案】AC
【分析】A應(yīng)用古典概型求概率即可；B、D由取到白球服從分布，應(yīng)用二項(xiàng)分布概率公式求出對(duì)應(yīng)事件的概率；C由題設(shè)第二次取球時(shí)剩余4個(gè)紅球、2個(gè)白球即可判斷.
【詳解】A：任取3球恰有一個(gè)紅球的概率，正確；
B：由每次取到紅白球概率分別為，則取到白球服從分布，則恰好有兩個(gè)白球的概率，錯(cuò)誤；
C：第一次取到紅球，則剩余4個(gè)紅球、2個(gè)白球，故第二次取到紅球的概率為，正確；
D：由B分析知：，錯(cuò)誤.
故選AC.
11．【答案】ACD
【分析】選項(xiàng)，在，，中依次使用余弦定理即可解得；
B選項(xiàng)，假設(shè)平面成立，由線面平行的性質(zhì)可知，由平行線分線段成比例可知,找出全等三角形,可得；
C選項(xiàng)，分別證明，由線面垂直的判定可得平面；
D選項(xiàng)，找出全等三角形,可知當(dāng)最小時(shí)，故最小，故此時(shí)三點(diǎn)共線，利用余弦定理求的長(zhǎng)度即的最小值.
【詳解】由題設(shè)可知，平行六面體的六個(gè)面均為一個(gè)角是的菱形，連接交于點(diǎn)，
在菱形中易得,又O為中點(diǎn)，則，
在直角三角形中有,
在中，由余弦定理可得，解得，則，
在中，由余弦定理得,則，
在中，余弦定理可得,解得，A正確；
連接交于G，連接交于H，由于分別是棱和的中點(diǎn),
可得，
連接,交于點(diǎn)，
則有，故，
若平面,平面,平面平面,則，故,
易得,故,與題設(shè)不符，B錯(cuò)誤；
設(shè)與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn),則,
在菱形中易得，則，
又是中點(diǎn)，則，則，
過(guò)點(diǎn)C作，使，連接,易得，
在平面內(nèi)由余弦定理得，
解得，又，，則，
則，又，則，
因?yàn)槠矫? 平面，
面，C正確；
由平行六面體的對(duì)稱性可得,則，
當(dāng)最小時(shí)，可知最小，故此時(shí)三點(diǎn)共線，
此時(shí)易得N為的中點(diǎn)，
由可得,
由B選項(xiàng)可知,又，則,
在中，由余弦定理可得,
解得，故的最小值是，D正確.
故選ACD.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】空間中的最值問(wèn)題，一般情況下會(huì)利用轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平面內(nèi)，將其化簡(jiǎn)為代數(shù)類問(wèn)題解決往往比較容易.
12．【答案】0
【分析】根據(jù)解析式分析的單調(diào)性并畫出大致圖象，將問(wèn)題化為與僅有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求參數(shù)值.
【詳解】由函數(shù)解析式，在上遞減，、上遞增，且在處連續(xù)，
所以大致圖象如下，
由函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，即與僅有一個(gè)交點(diǎn)，
由圖知：.
故答案為：0.
13．【答案】
【分析】先根據(jù)頻率分布直方圖判斷分位數(shù)的位置，然后列方程求解即可.
【詳解】因?yàn)榍?組的頻率和為，
前3組的頻率和為，
所以分位數(shù)在內(nèi)，
設(shè)分位數(shù)為，則，解得.
故答案為：.
14．【答案】
【分析】結(jié)合題意計(jì)算可得，，，再設(shè)出該圓臺(tái)的外接球球心，借助球的性質(zhì)得到，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得.
【詳解】如圖，設(shè)、分別為上下底面圓心，為母線，為點(diǎn)在底面的投影，
為該圓臺(tái)的外接球球心，
由該圓臺(tái)的側(cè)面積為，則有，
即，
由下底面半徑比上底面半徑大，則有，
由母線與下底面所成角的正切值為，則有，即，
又，即有，
則，即，則，
則有，
即，即，即，
設(shè)該圓臺(tái)的外接球半徑為，則,
故該圓臺(tái)的外接球體積.
故答案為：.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于設(shè)出該圓臺(tái)的外接球球心，從而借助勾股定理得到.
15．【答案】(1)
(2)不相互獨(dú)立
【分析】（1）列舉符合條件的基本事件，即可由古典概型的概率公式求解，
（2）分別求解,即可根據(jù)相互獨(dú)立事件滿足的關(guān)系求解.
【詳解】（1）如果，從兩組隨機(jī)各選1人，樣本空間，，共有25種，
甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的情況有，共有8種，
所以概率為；
（2）當(dāng)時(shí)，，事件的情況有，共4種
所以
事件：“甲康復(fù)時(shí)間為11天且甲乙康復(fù)時(shí)間和為25天”的情況為．
故
所以事件不相互獨(dú)立．
16．【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用體積變換法求
（2）先證明DE⊥面，即證.
【詳解】（1）根據(jù)題意可得， ，所以，
由，得平面，
所以
（2）連接，交DE于F，

因?yàn)镃E⊥面ABC，，
所以所以和為直角三角形，
又，，
所以
所以，
又已知CE⊥底面ABC，，
所以CE⊥AB，AB⊥BC，面，所以AB⊥面，
面，所以AB⊥DE，又，所以，
，面，所以DE⊥面，又面，
所以DE⊥．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】（1）本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的證明，考查體積的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.（2）空間幾何體體積的計(jì)算常用的有公式法、割補(bǔ)法和體積變換法.
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，利用轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解即可；
（2）把公共點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的解的問(wèn)題，結(jié)合換元法進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，
函數(shù)存在零點(diǎn)，
即在時(shí)有解，
設(shè)，
即，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，
則關(guān)于的方程只有一解，
只有一解，令，
得關(guān)于的方程有一正數(shù)解，
①當(dāng)時(shí)，方程的解為，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，則恒成立，
此方程有一正一負(fù)根，負(fù)根舍去，滿足題意；
③當(dāng)時(shí)，滿足的情況下，因?yàn)椋?hào)，所以得滿足，
只需,且，
解得；
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18．【答案】(1)A；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化簡(jiǎn)得到，再利用余弦定理得，根據(jù)角的范圍求出即可；
（2）設(shè)，求得，再通過(guò)求得，進(jìn)而得到,過(guò)點(diǎn)做的垂線，交于點(diǎn)，求得，結(jié)合三角形面積公式及三角恒等變換即可求解.
【詳解】（1）由題意及正弦定理得，，
由余弦定理得，，
整理得，
所以，
又，故A；
（2）設(shè)，則，
因?yàn)椋?，?br>由于，則，
在中由正弦定理得，，解得，
因此，
過(guò)點(diǎn)做的垂線，交于點(diǎn)，設(shè)三角形的面積為，
，
所以，
所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即三角形面積的最小值為．
19．【答案】(1)；
(2)
(3)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)集合的新定義直接求解即可；
（2）由題意得和全都互質(zhì)，所以，則答案可求；
（3）分， 和三種情況討論即可.
【詳解】（1），
；
（2），要使得最小，就得使和全都互質(zhì)，
當(dāng)中所有元素互質(zhì)的時(shí)候，，
即，
解得：就是所求的最小值；
（3）當(dāng)時(shí)，取等號(hào)
當(dāng)時(shí)，取等號(hào)
當(dāng)時(shí)不妨令，則
有
其中中元素的個(gè)數(shù)為個(gè)，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)中只有個(gè)元素．（或指出an為等比數(shù)列）.
2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②在上為減函數(shù)；③的值域?yàn)椋虎苡袀€(gè)零點(diǎn)，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①④B．②③C．①③④D．①②
2．在一個(gè)盒子中有紅球和黃球共5個(gè)球，從中不放回的依次摸出兩個(gè)球，事件 “第二次摸出的球是紅球”，事件“兩次摸出的球顏色相同”，事件 “第二次摸出的球是黃球”，若，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積等于（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角所對(duì)的邊分別為 ，，且的面積為，若，則（ ）
A．B．5C．D．
5．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且），則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
6．是虛數(shù)單位，則（ ）
A．B．C．D．
7．某商場(chǎng)做促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：商家在箱中裝入大小相同的20個(gè)球，其中6個(gè)紅球、14個(gè)黑球，參加活動(dòng)的人，每人都有放回地取球2次，每次從中任取一球，每個(gè)紅球兌換20元，每個(gè)黑球兌換5元，則每位參與者獲獎(jiǎng)的期望是（ ）
A．15．5元B．31元C．9．5元D．19元
8．在中，，，垂足為D.若，，則AD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種半正多面體．已知，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說(shuō)法中，正確的有（ ）

A．與所成的角為
B．該半正多面體過(guò)、、三點(diǎn)的截面面積為
C．該半正多面體的體積為
D．該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足關(guān)系式
10．是虛數(shù)單位，下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．若復(fù)數(shù)滿足，則
B．若復(fù)數(shù)，滿足，則
C．若復(fù)數(shù)，則可能是純虛數(shù)
D．若復(fù)數(shù)滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限或第三象限
11．如圖，已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，分別是，的中點(diǎn)，將沿著翻折，使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，得到四棱錐，則（ ）

A．對(duì)任意的點(diǎn)，始終有平面
B．對(duì)任意的點(diǎn)，始終有
C．翻折過(guò)程中，四棱錐的體積有最大值9
D．存在某個(gè)點(diǎn)的位置，滿足平面平面
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，，，則 ．
13．已知，，若，則 ．
14．已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)．
（1）的值為 ；
（2）若，且的面積為，求b的值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知平面向量，
(1)若與垂直，求k；
(2)若向量，若與共線，求.
16．某射擊隊(duì)舉行一次娛樂(lè)活動(dòng)，該活動(dòng)分為兩階段，第一階段是選拔階段，甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員各射擊100次，所得成績(jī)中位數(shù)大的運(yùn)動(dòng)員參加下一階段，第二階段是游戲階段，游戲規(guī)則如下：
①有4次游戲機(jī)會(huì)．
②依次參加A，B，C游戲.
③前一個(gè)游戲勝利后才可以參加下一個(gè)游戲，若輪到C游戲后，無(wú)論勝利還是失敗，一直都參加C游戲，直到4次機(jī)會(huì)全部用完.
④參加游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金50元；參加游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金100元；參加游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金200元．
已知甲參加每一個(gè)游戲獲勝的概率都是，乙參加每一個(gè)游戲獲勝的概率都是，甲、乙參加每次游戲相互獨(dú)立，第一階段甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員射擊所得成績(jī)的頻率分布直方圖如下：
(1)甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員誰(shuí)參加第二階段游戲?并說(shuō)明理由．
(2)在（1）的基礎(chǔ)上，解答下列兩問(wèn)．
（ⅰ）求該運(yùn)動(dòng)員能參加游戲的概率．
（ⅱ）記為該運(yùn)動(dòng)員最終獲得的獎(jiǎng)金額，P為獲得每個(gè)獎(jiǎng)金額對(duì)應(yīng)的概率，請(qǐng)用適當(dāng)?shù)谋硎痉ū硎娟P(guān)于的函數(shù)．
17．如圖，在四邊形ABCD中，，且，若P，Q為線段AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.

(1)當(dāng)為AD的中點(diǎn)時(shí)，求CP的長(zhǎng)度；
(2)求的最小值.
18．如圖，已知，直線平面，為CE的中點(diǎn)．
(1)求證：直線平面；
(2)若，求證：平面平面．
19．已知向量，，定義函數(shù)．
(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程，在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的范圍．
參考答案
1．【答案】A
【分析】根據(jù)的奇偶性和周期性，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，可得到函數(shù)的圖象，可判斷①②③；在同一直角坐標(biāo)系中畫出和的圖象，即可判斷④的正誤．
【詳解】由題意知，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)?，所以周期?，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故可畫出的圖象，如圖所示：
由圖可知，關(guān)于對(duì)稱，在先減后增，的值域?yàn)?,1，
故①正確，②③錯(cuò)誤；
再在同一直角坐標(biāo)系下畫出的圖象，
由圖可知：與有個(gè)交點(diǎn)，
即有個(gè)零點(diǎn)，故④正確．
故選A．
2．【答案】C
【分析】由對(duì)立事件的性質(zhì)判斷B；由結(jié)合乘法公式得出，進(jìn)而判斷ACD.
【詳解】依題意，事件對(duì)立，，故B正確；
設(shè)盒子中有個(gè)紅球，個(gè)黃球，
，，故A、D正確；
，故C錯(cuò)誤.
故選C.
3．【答案】D
【分析】由三視圖可知：該幾何體為高、底面邊長(zhǎng)均為2的正三棱柱，結(jié)合正三棱柱的外接球的結(jié)構(gòu)特征求球的半徑，即可得表面積.
【詳解】由三視圖可知：該幾何體為高、底面邊長(zhǎng)均為2的正三棱柱，
則外接球的球心即為兩底面三角形的中心連線的中點(diǎn)，如圖所示：
可知底面外接圓半徑，
則外接球的半徑，
所以外接球的表面積為.
故選D．
4．【答案】A
【分析】根據(jù)三角形面積可推出，利用余弦定理即可求得答案.
【詳解】由于,，故有，解得，
又，則,
故選：A．
5．【答案】D
【分析】先判斷出點(diǎn)G到平面D1EF的距離即為點(diǎn)A1到平面D1EF的距離，再由等體積法求解即可.
【詳解】∵長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，
G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G=λ（0≤λ≤1），
∴D1E=，
∵A1B1∥EF，∴點(diǎn)G到平面D1EF的距離即為點(diǎn)A1到平面D1EF的距離，
設(shè)這個(gè)距離為h，
∵，
∴h=．
∴點(diǎn)G到平面D1EF的距離為．
故選D．
6．【答案】C
【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求值．
【詳解】由題意可得：.
故選C．
7．【答案】D
【分析】由題意得到每位參與者獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，利用期望的公式，求得數(shù)學(xué)期望，即可求解.
【詳解】由題意知，設(shè)每位參與者獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)為，則的可能取值為，
則，
，
所以每位參與者獲獎(jiǎng)的期望是（元）.
故選D.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，其中解答中認(rèn)真審題，準(zhǔn)確求得隨機(jī)變量的取值和相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.
8．【答案】C
【分析】結(jié)合正弦函數(shù)定義，利用射影定理求解即可.
【詳解】由射影定理，得，，
即，，
即，，
又∵，
∴.
故選C.
9．【答案】ABD
【分析】由異面直線所成角的定義可判斷A選項(xiàng)；由截面為正六邊形可求面積判斷B選項(xiàng)；利用柱體和錐體的體積公式可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)頂點(diǎn)，面數(shù)，棱數(shù)判斷D選項(xiàng).
【詳解】該半正多面體，是由棱長(zhǎng)為的正方體沿各棱中點(diǎn)截去個(gè)三棱錐所得到的.

對(duì)于A選項(xiàng)，連接、、，易知是等邊三角形，
因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，同理可得，
所以， 與所成的角為，A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，如圖，過(guò)、、三點(diǎn)的截面為正六邊形，
又，所以正六邊形面積為，B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)橛烧襟w沿各棱中點(diǎn)截去個(gè)三棱錐所得到的，
所以該幾何體的體積為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，幾何體頂點(diǎn)數(shù)為，有個(gè)面，條棱，滿足，D正確.
故選ABD.
10．【答案】AD
【解析】A選項(xiàng)，設(shè)出復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的相關(guān)計(jì)算，即可求出結(jié)果；
B選項(xiàng)，舉出反例，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可判斷出結(jié)果；
C選項(xiàng)，根據(jù)純虛數(shù)的定義，可判斷出結(jié)果；
D選項(xiàng)，設(shè)出復(fù)數(shù)，根據(jù)題中條件，求出復(fù)數(shù)，由幾何意義，即可判斷出結(jié)果.
【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)，則其共軛復(fù)數(shù)為，
則，所以，即；A正確；
B選項(xiàng)，若，，滿足，但不為；B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，若復(fù)數(shù)表示純虛數(shù)，需要實(shí)部為，即，但此時(shí)復(fù)數(shù)表示實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，設(shè)，則，
所以，解得或，則或，
所以其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為或，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)的在第一象限或第三象限；D正確.
故選AD.
11．【答案】AB
【分析】利用線面平行的判定推理判斷A；取中點(diǎn)，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理判斷B；求出四棱錐的體積最大值判斷C；確定平面與平面所成角判斷D作答.
【詳解】等邊的邊長(zhǎng)為4，分別是，的中點(diǎn)，則，
對(duì)于A，由，平面，平面，得平面，A正確；
對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，由，得，
而平面，于是平面，又平面，
則，所以，B正確；

對(duì)于C，延長(zhǎng)交于，則，等腰梯形的面積
為，由選項(xiàng)B知，平面平面，而平面平面，
因此點(diǎn)在平面上的射影在上，點(diǎn)到平面的距離，
當(dāng)且僅當(dāng)，即平面時(shí)取等號(hào)，四棱錐的體積
為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，連接，由選項(xiàng)C知，，即為銳角，令平面平面，
由選項(xiàng)A知，，從而平面，又平面，則，
即是平面與平面所成二面角的平面角，所以平面與平面不垂直，D錯(cuò)誤.
故選AB.
12．【答案】
【分析】運(yùn)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算定義和垂直的向量結(jié)論可解．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
所以.
故答案為：．
13．【答案】
【分析】運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量平行的坐標(biāo)表示列方程求解．
【詳解】，，
因?yàn)椋?br>所以，
所以．
故答案為：．
14．【答案】20 8
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，直接求即可得解；
（2）根據(jù)焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，利用面積公式結(jié)合余弦定理，即可得解.
【詳解】（1）由知，
，
（2）設(shè)，
，
可得，
所以，
所以，
所以.
故答案為：（1）20；（2）8.
15．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）借助數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得；
（2）借助向量共線定理與模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，，
因?yàn)榕c垂直，所以，
整理得，解得；
（2）因?yàn)?，，?br>所以，，
因?yàn)榕c共線，故，
所以，解得，
所以，，
所以.
16．【答案】(1)甲，理由見(jiàn)解析；
(2)（?。?；（ⅱ）答案見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用頻率分布直方圖，結(jié)合中位數(shù)的意義判斷甲乙中位數(shù)的大小即得.
（2）（ⅰ）利用互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得；（ⅱ）按游戲使用次數(shù)，求出值及對(duì)應(yīng)的概率，再用列表法表示出函數(shù)關(guān)系即可.
【詳解】（1）甲運(yùn)動(dòng)員成績(jī)位于的頻率為0.3，則其中位數(shù)大于80，
而乙運(yùn)動(dòng)員成績(jī)位于的頻率為0.6，，則其中位數(shù)小于80，
所以甲運(yùn)動(dòng)員參加第二階段游戲.
（2）（ⅰ）若甲能參加游戲，則游戲至多共使用3次機(jī)會(huì)，
①游戲共使用2次機(jī)會(huì)，則概率；
②游戲共使用3次機(jī)會(huì)，則概率，
所以甲能參加游戲的概率為.
（ⅱ）由甲參加每個(gè)游戲獲勝的概率都是，得參加完4次游戲后的每個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率都為，
①游戲使用了4次，則或50；
②游戲使用了3次，則或150；
③游戲使用了2次，游戲使用2次，則或150；
④游戲使用了2次，游戲使用1次，則或350；
⑤游戲使用了1次，游戲使用3次，則或150；
⑥游戲使用了1次，游戲使用2次，則或350；
⑦游戲使用了1次，游戲使用1次，則或350或550，其中有2種情況，
因此，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以用列表法表示關(guān)于的函數(shù)為：
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合向量的幾何意義和數(shù)量積的定義即可求解；
（2）設(shè)（），根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，，利用數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由，得，
因?yàn)椋裕?br>又，
所以；
（2）設(shè)，，
則，
，
所以
，
當(dāng)時(shí)，取到最小值，且為.
18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）欲證平面，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證與平面內(nèi)一直線平行，設(shè)，連接，根據(jù)中位線定理可知，而平面，平面，滿足定理所需條件；
（2）欲證平面平面，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面內(nèi)一直線與平面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可證得直線平面，而，則直線平面，而直線平面，滿足定理?xiàng)l件．
【詳解】（1）設(shè)，連接．
由四邊形為平行四邊形，得是的中點(diǎn)．
又是中點(diǎn)，在中，．
平面，平面，平面
（2），．
又直線平面，平面．
又，平面直線平面．
由（1）知，，直線平面．
又直線平面，平面平面．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若是偶函數(shù)，則有恒成立，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，可得對(duì)恒成立，可求得結(jié)果；
（2）在上單調(diào)遞增，且，則，得，令，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩解，即與的圖象恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】（1），定義域?yàn)椋?br>若是偶函數(shù)，則有恒成立，即：，
則，
即對(duì)恒成立，故；
（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在也單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，且，
則可化為，
又因?yàn)閱握{(diào)遞增，得，換底得，即，
令，因，則，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩解，即在上有兩解，
令，，
即與的圖象恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
因此，又，解得，
故實(shí)數(shù)的范圍是．
0
50
150
350
550

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