1．直線的傾斜角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．若復(fù)數(shù)滿足：，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．設(shè)點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（ ）
A．或B．或
C．D．
4．在三棱錐中，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
5．過(guò)點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
6．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，則（ ）
A．6B．5
C．4D．3
7．如圖是某零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，小球與大球和正四面體三個(gè)面均相切，若，則該模型中一個(gè)小球的體積為（ ）

A．B．C．D．
8．已知平面與所成銳二面角的平面角為，P為空間內(nèi)一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作與平面所成的角都是的直線l，則這樣的直線l有且僅有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
二、多選題（本大題共4小題）
9．已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
10．已知，，且，則（ ）
A．B．
C．D．
11．若是平面內(nèi)兩條相交成角的數(shù)軸，和是軸、軸正方向上的單位向量，若向量 ，則規(guī)定有序數(shù)對(duì)為向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，設(shè)則（ ）
A．B．C．D．
12．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分，且其體積小于正四面體外接球體積．如圖，在勒洛四面體中，正四面體的棱長(zhǎng)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．勒洛四面體最大的截面是正三角形
B．若、是勒洛四面體表面上的任意兩點(diǎn)，則的最大值可能大于4
C．勒洛四面體的體積是
D．勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是
三、填空題（本大題共4小題）
13．= .
14．若直線與直線互相垂直，則 .
15．正四棱錐中，，為棱的中點(diǎn)，則異面直線所成角的余弦值為 .
16．命題：“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題（本大題共6小題）
17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，.求：
(1)邊上的中線所在直線方程；
(2)邊上的高所在直線方程.
18．如圖，在中，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).設(shè)，.

(1)試用表示；
(2)求.
19．如圖，在四棱錐中，底面是菱形.

(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面；
(2)若，，且平面平面，求二面角的正弦值.
20．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面⊥平面， ，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．

(1)若，求三棱錐的體積；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
21．甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行圍棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號(hào)為i的方框表示第i場(chǎng)比賽，方框中是進(jìn)行該場(chǎng)比賽的兩名棋手，第i場(chǎng)比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，第6場(chǎng)為決賽，獲勝的人是冠軍，已知甲每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為，而乙，丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性相同.

(1)求乙僅參加兩場(chǎng)比賽且連負(fù)兩場(chǎng)的概率；
(2)求甲獲得冠軍的概率；
(3)求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對(duì)手是第二次相遇的概率.
22．如圖，在中，，的角平分線交于，．

(1)求的取值范圍；
(2)已知面積為1，當(dāng)線段最短時(shí)，求實(shí)數(shù)．
參考答案
1．【答案】C
【解析】利用直線方程得到斜率，利用斜率定義求傾斜角即可.
【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以.
故選C.
2．【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求得z，確定其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即可得答案.
【詳解】由題意得，，
故z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，
故選A.
3．【答案】B
【分析】作出圖形，結(jié)合直線相交關(guān)系及斜率公式可求答案.
【詳解】如圖，直線的斜率為；直線的斜率為；
當(dāng)直線與線段相交時(shí)，則的斜率的取值范圍是或.
故選B.

4．【答案】B
【分析】根據(jù)垂直關(guān)系，結(jié)合補(bǔ)體法，將四棱錐補(bǔ)成正方體，利用正方體的外接球的半徑的計(jì)算方法，即可求解.
【詳解】由題意，兩兩相互垂直，以為邊補(bǔ)成一個(gè)正方體，其外接球就是三棱錐的外接球，
，表面積，

故選B.
5．【答案】D
【分析】分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.
【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿足題意，
又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的斜率為，
所以直線方程為，即，
當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以，解得，
所以直線方程為，
故所求直線方程為或.故D項(xiàng)正確.
故選D.
6．【答案】A
【分析】根據(jù)及正弦定理可得，由余弦定理即可求解.
【詳解】由得：.
又因?yàn)椋?br>故，化簡(jiǎn)得.
故選A.
7．【答案】C
【分析】把正四面體分割成以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)的個(gè)小三棱錐，利用等體積法求出內(nèi)切球半徑，進(jìn)一步計(jì)算即可.
【詳解】如圖所示，

設(shè)為大球的球心，大球的半徑為，大正四面體的底面中心為，棱長(zhǎng)為，高為，
的中點(diǎn)為，連接，，，，，，
則，正四面體的高.
因?yàn)?，所以，所以?br>設(shè)小球的半徑為，小球也可看作一個(gè)小的正四面體的內(nèi)切球，
且小正四面體的高，所以，
所以小球的體積為.
故選C.
8．【答案】C
【分析】根據(jù)題意畫出平面α與β及其垂直之間的位置關(guān)系，再由對(duì)稱性和角的大小即可求得直線條數(shù).
【詳解】如下圖所示：

設(shè)過(guò)點(diǎn)P與平面與垂直的直線為，故直線所成角為，
又因?yàn)橹本€與平面，所成的角都是，故直線與直線所成角為，
又因?yàn)?，利用?duì)稱性可知在直線所成角為一側(cè)有兩條直線符合題意；
易知，即在的一側(cè)只有一條直線符合題意；
故這樣的直線有3條，
故選C.
9．【答案】BD
【分析】根據(jù)線、面之間的位置關(guān)系一一分析即可.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，則或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，或，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，若，則，故D正確.
故選BD.
10．【答案】ACD
【分析】利用基本不等式和不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】根據(jù)基本不等式可知，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；
因?yàn)椋?，變形得?br>所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
所以，故B錯(cuò)誤；
由，，，所以，即，故C正確；
由，可得，
根據(jù)前面分析得，即，所以，即，故D正確．
故選ACD.
11．【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意可將向量坐標(biāo)表示轉(zhuǎn)化成以和為基底的坐標(biāo)表示，即可得出，即A錯(cuò)誤；由向量共線定理可得B正確；再根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算法則可知C、D均正確.
【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由平面向量共線定理可知，故B正確；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，，故D正確.
故選BCD.
12．【答案】BD
【分析】最大的截面即經(jīng)過(guò)四面體表面的截面，A錯(cuò)誤，計(jì)算，B正確，計(jì)算外接球的體積為得到C錯(cuò)誤，計(jì)算勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是，D正確，得到答案.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過(guò)四面體表面的截面，如圖1所示，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B：如圖2，設(shè)弧的中點(diǎn)是，線段的中點(diǎn)是，
設(shè)弧的中點(diǎn)是，線段的中點(diǎn)是，
則根據(jù)圖形的對(duì)稱性，四點(diǎn)共線且過(guò)正四面體的中心，
則，
，，
故，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：如圖3，由對(duì)稱性可知內(nèi)切球的球心是正四面體外接球的球心，
連接并延長(zhǎng)交勒洛四面體的曲面于點(diǎn)，則就是勒洛四面體內(nèi)切球的半徑，

如圖4，為的中心，是正四面體外接球的球心，
連接，由正四面體的性質(zhì)可知在上.
因?yàn)?，所以，則.
因?yàn)椋?br>即，解得，
則正四面體外接球的體積是，
因?yàn)槔章逅拿骟w的體積小于正四面體外接球的體積，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，正確；
故選BD.
【方法總結(jié)】幾何體的內(nèi)切球半徑求法：
1.棱錐的內(nèi)切球半徑求法：設(shè)棱錐的體積V，S為幾何體的表面積，內(nèi)切球半徑為r，
則；
2.根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確定球心，再結(jié)合所給已知條件列方程求得內(nèi)切球半徑.
13．【答案】
【分析】利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求值.
【詳解】原式 ，
，
，
故答案為：.
14．【答案】或
【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，
所以，解得或.
故答案為：或.
15．【答案】
【分析】利用三角形中位線定理，結(jié)合異面直線所成角的定義、余弦定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)為棱的中點(diǎn)，故，
故異面直線所成角為或，
因?yàn)?，為棱的中點(diǎn)，
所以，
同理，于是，
，而，
顯然，所以，
所以，
故答案為：.

16．【答案】
【分析】題目轉(zhuǎn)化為，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)計(jì)算最值即可.
【詳解】當(dāng)，，
所以，即成立.
則，
當(dāng)時(shí)，，故.
故答案為：.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)式斜率公式求出的斜率，代入點(diǎn)斜式即可求解.
（2）由兩點(diǎn)式斜率公式求出斜率，利用垂直關(guān)系得的斜率，代入點(diǎn)斜式即可求解.
【詳解】（1）由題知的中點(diǎn)，所以直線BD的斜率，
則邊上的中線所在直線的方程為，化簡(jiǎn)得.
（2）由題意得直線AC的斜率，且，所以.
則邊上的高所在直線的方程為，化簡(jiǎn)得.
18．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三點(diǎn)共線結(jié)論即可求得答案；
（2）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律求得，求出，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知為的中點(diǎn)，故，
設(shè)，由于，
則.
由于三點(diǎn)共線，所以，
則，所以.
（2）由于，
故，
，
， ，
所以.
19．【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接交于，連接，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，證明平面，從而作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.
【詳解】（1）連接交于M，連接，

因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以為的中點(diǎn)，
又點(diǎn)是的中點(diǎn)，故為的中位線，
故，而平面，平面，
故平面；
（2）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋剩?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面?br>平面，所以平面，而平面，
故，
底面是菱形，故，作交于N，
則，且N為的中點(diǎn)，
連接，因?yàn)槠矫妫?br>故平面，平面，
故，
則即為二面角的平面角，
設(shè)，則，
，則，則，
由于為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，故，則，
而平面，平面，故，
則
所以，
即二面角的正弦值為.
20．【答案】(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）由題意求出P到平面的距離為d，再結(jié)合等體積法，即，即可求得答案；
（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面平行的判定證明平面平面，繼而推出平面，即可得結(jié)論，求得答案.
【詳解】（1）由題意知底面為矩形，，
故，設(shè)P到平面的距離為d，
由于，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>平面，所以平面，
平面，故，
由于，故，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
而，
又因?yàn)槠矫妗推矫妫矫嫫矫妫?br>且平面，
所以平面，即故，
所以三棱錐的體積為；
（2）存在，，即為的中點(diǎn)，
證明：當(dāng)為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，

又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>故平面平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面，平面，
故EF平面，
綜上，當(dāng)時(shí)，平面.
21．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）乙在第1場(chǎng)、第4場(chǎng)均負(fù)，利用獨(dú)立事件的乘法公式進(jìn)行求解；
（2）分析出甲獲勝的情況，得到各個(gè)情況下的概率，相加后得到答案；
（3）分乙的決賽對(duì)手是甲，丙，丁，分析出各場(chǎng)比賽勝負(fù)情況，求出相應(yīng)的概率，相加后得到答案.
【詳解】（1）乙連負(fù)兩場(chǎng)，即乙在第1場(chǎng)、第4場(chǎng)均負(fù)，
∴乙連負(fù)兩場(chǎng)的概率為；
（2）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：
1勝3勝6勝；1負(fù)4勝5勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝，
∴甲獲得冠軍的概率為：．
（3）若乙的決賽對(duì)手是甲，則兩人參加的比賽結(jié)果有兩種情況：
甲1勝3勝，乙1負(fù)4勝5勝；甲1負(fù)4勝5勝，乙1勝3勝，
∴甲與乙在決賽相遇的概率為：．
若乙的決賽對(duì)手是丙，則兩人只可能在第3場(chǎng)和第6場(chǎng)相遇，兩人參加的比賽的結(jié)果有兩種：
乙1勝3勝，丙2勝3負(fù)5勝；乙1勝3負(fù)5勝，丙2勝3勝，
若考慮甲在第4場(chǎng)和第5場(chǎng)的結(jié)果，乙與丙在第3場(chǎng)和第6場(chǎng)相遇的概率為：
，
若乙的決賽對(duì)手是丁，和乙的決賽對(duì)手是丙情況相同，
∴乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對(duì)手是第二次相遇的概率為：．
22．【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據(jù)角平分線定理，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理，基本不等式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）設(shè)，，則，，
由角平分線定理，知，
在中，由余弦定理得:，
在中，由余弦定理得:，
所以，
化簡(jiǎn)得，即，
因?yàn)?，所以?br>（2）因?yàn)槊娣e為1，
所以，即，
在中，由余弦定理得，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，
由（1）知，．
2024?2025學(xué)年湖南省岳陽(yáng)市高二上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）
一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）
1．若全集U＝{3，4，5，6，7，8}，M＝{4，5}，N＝{3，6}，則集合{7，8}等于（ ）
A．M∪NB．M∩N
C．（?UM）∪（?UN）D．（?UM）∩（?UN）
2．已知＝（1，2，3），＝（2，λ，3），＝（4，2，k），若OA⊥平面ABC，則λ+k的值是（ ）
A．B．C．D．
3．樣本（x1，x2，?，xn）的平均數(shù)為，樣本（y1，y2，?，ym）的平均數(shù)為．若樣本（x1，x2，?，xn，y1，y2，?，ym）的平均數(shù)，且n＜m，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．不能確定α與的大小
4．已知直線l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m與l2：2x+（5+m）y＝8，則“l(fā)1∥l2”是“m＝﹣7”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
5．已知函數(shù)f（x）滿足，若f（a）＞f（﹣a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
6．已知點(diǎn)P（1，2）．向量，過(guò)點(diǎn)P作以向量為方向向量的直線為l，則點(diǎn)A（3，1）到直線l的距離為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)f（x）＝|lgx|，若存在0＜a＜b且f（a）＝f（b），使得m≥a+3b成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．（4，+∞）D．[4，+∞）
8．點(diǎn)P為棱長(zhǎng)是2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為B1C1的中點(diǎn)，若滿足DP⊥BM，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
9．已知四面體ABCD，下列選項(xiàng)中，能推出AC⊥BD的有（ ）
A．AB，AC，AD兩兩垂直
B．AB＝AC＝AD
C．AB⊥CD，AD⊥BC
D．頂點(diǎn)A到底面△BCD的三條邊的距離相等
10．已知A（2，2，0），B（0，2，2），C（2，0，2），則以下坐標(biāo)表示的點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的是（ ）
A．（2，1，1）B．
C．（1，1，1）D．（﹣2，3，3）
11．下列函數(shù)中，滿足f（ln（lg310））+f（ln（lg3））＝2的有（ ）
A．f（x）＝lg（+2x）+1
B．f（x）＝+
C．f（x）＝
D．f（x）＝sin2（x+）+
12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A（a，a），P是函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)P，A之間的最短距離為，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為（ ）
A．B．C．1D．﹣1
三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
13．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＝4x，則f（﹣）+f（1）＝ ．
14．已知a＞0，b＞0，直線（a﹣1）x+2y+3＝0與直線x+by﹣1＝0垂直，則的最小值是 ．
15．如圖，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上（包括端點(diǎn)），則三棱錐P﹣A1BD的體積的取值范圍是 ．
16．已知四面體頂點(diǎn)A（2，3，1），B（4，1，﹣2），C（6，3，7）和D（﹣5，﹣4，8），則從頂點(diǎn)D所引的四面體的高h(yuǎn)＝ ．
四．解答題（共6小題，滿分70分）
17．（10分）近期中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》，某地積極開展中小學(xué)健康促進(jìn)行動(dòng)，決定在今年體育中考中再增加一定的分?jǐn)?shù)，規(guī)定：考生須參加游泳、長(zhǎng)跑、一分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，其中一分鐘跳繩滿分20分，某校在初三上學(xué)期開始要掌握全年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到如圖所示的頻率分布直方圖，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：
（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)（保留2位小數(shù)）；
（2）已知在該樣本中，得分為17分的同學(xué)中恰有兩名男生，現(xiàn)從得分為17分的同學(xué)中任取2名同學(xué)，調(diào)查平時(shí)鍛煉時(shí)間分配情況，求所抽取的2名同學(xué)中至少有1名男生的概率．
18．（12分）設(shè)全體空間向量組成的集合為V，為V中的一個(gè)單位向量，建立一個(gè)“自變量”為向量，“應(yīng)變量”也是向量的“向量函數(shù)”．
（1）設(shè)，，若，求向量；
（2）對(duì)于V中的任意兩個(gè)向量，，證明：；
（3）對(duì)于V中的任意單位向量，求的最大值．
19．（12分）在△ABC中，AC＝2，AB＝3，A＝60°．
（1）求△ABC的外接圓的面積；
（2）在下述條件中任選一個(gè)，求AD的長(zhǎng)．
①AD是△ABC的角平分線；
②AD是△ABC的中線．
20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的方程是＝1（a，b＞0）．
（1）當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，求曲線C圍成的區(qū)域的面積；
（2）若直線l：x+y＝1與曲線C交于x軸上方的兩點(diǎn)M，N，且OM⊥ON，求點(diǎn)（，）到直線l距離的最小值．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）＝2f（x）+a（a∈R），若f（1）＝2，且當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，f（x）＝2x2﹣6x+11．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，求f（x）的解析式；并判斷f（x）在（0，4]上的單調(diào)性（不需要證明）；
（3）設(shè)，，若f[h（x）]≥g[h（x）]，求實(shí)數(shù)m的值．
22．（12分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB＝2．
（1）在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得CE∥平面PAB；
（2）求四棱錐P﹣ABCD的體積．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）
1．D
2．D
3．A
4．C
5．B
6．B
7．C
8．C
二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
9．AC
10．AB
11．ACD
12．AD
三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
13：﹣2．
14．．
15．．
16．11．
四．解答題（共6小題，滿分70分）
17．（1）177.06．
（2）．
18．解：（1）依題意得：，
設(shè)，
代入運(yùn)算得：，
解得＝（，0，）或．
證明：（2）設(shè)，，，
則
＝．
∴．
解：（3）設(shè)與的夾角為α，
則，
則，
∴的最大值為2．
19．（1）．
（2）選擇①，．
選擇②，．
20．解：（1）當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，曲線C的方程是|x|+＝1，
曲線C圍成的區(qū)域?yàn)榱庑?，其面積為×2×4＝4；
（2）當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，有+＝1，
聯(lián)立直線x+y＝1可得M（，），
當(dāng)x＜0，y＞0時(shí)，有+＝1，
聯(lián)立直線x+y＝1可得N（，），
由OM⊥ON可得kOMkON＝﹣1，
即有?＝﹣1，
化為＝﹣+2，
點(diǎn)（，）到直線l距離d＝＝
＝，
由題意可得a﹣ab＜0，a﹣b＜0，ab﹣b＜0，即a＜ab＜b，
可得0＜a＜1，b＞1，
可得當(dāng)＝，即b＝2時(shí)，
點(diǎn)（，）到直線l距離取得最小值．
21．（1）a＝7；
（2）當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）＝x2+x，
判斷：f（x）在（0，4]上為增函數(shù)；
（3）實(shí)數(shù)m的值為﹣1．
22解：（1）存在，當(dāng)E為PD中點(diǎn)時(shí)，有CE∥平面PAB．證明如下：
取AP的中點(diǎn)G，連接BG，EG，
由GE∥AD，BC∥AD，，所以GE∥BC，GE＝BC，
所以四邊形GBCE為平行四邊形，所以GB∥CE，
又CE?平面PAB，GB?平面PAB，
所以CE∥平面PAB；
（2）取AD的中點(diǎn)F，連接BF，
因?yàn)锳D＝2DC，BC∥AD，所以FD∥BC，F(xiàn)D＝BC，
所以四邊形FBCD是平行四邊形，
又CD⊥AD，所以四邊形FBCD是矩形，
以F為原點(diǎn)，，垂直于平面ABCD向上的方向?yàn)檎较?，分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則F（0，0，0），B（1，0，0），A（0，﹣1，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
因?yàn)椤鱌AD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，設(shè)P（x，0，z）（z＞0），
由和|PC|＝|AD|知，
即
解得所以，
故四棱錐P﹣ABCD的高為，
于是．
每分鐘跳繩個(gè)數(shù)
[155，165）
[165，175）
[175，185）
[185，+∞）
得分
17
18
19
20

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