1．命題：的否定是（ ）
A．使得
B．使得
C．都有
D．都有
2．若：，：，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函數(shù)，且函數(shù)的最小正周期為，則下列關于函數(shù)的說法，
①；
②點是的一個對稱中心；
③直線是函數(shù)的一條對稱軸；
④函數(shù)的單調遞增區(qū)間是.
其中正確的（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
5．已知實數(shù)，，，則，，這三個數(shù)的大小關系是（ ）
A．B．
C．D．
6．在直三棱柱中，底面是以B為直角的等腰三角形，且，.若點D為棱的中點，點M為面的一動點，則的最小值為（ ）
A．B．6C．D．
7．已知中，設角、B、C所對的邊分別為a、b、c，的面積為，若，則的值為（ ）
A．B．C．1D．2
8．已知銳角三角形中，角所對的邊分別為的面積為，且，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知平面向量，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量為
C．與垂直的單位向量的坐標為
D．若向量與向量共線，則
10．已知函數(shù)，若關于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的取值可以為（ ）
A．-2B．3C．5D．8
11．對于定義域為D的函數(shù),若同時滿足下列條件:①在D內單調遞增或單調遞減;②存在區(qū)間,使在上的值域為.那么把稱為閉函數(shù).下列結論正確的是（ ）
A．函數(shù)是閉函數(shù)
B．函數(shù)是閉函數(shù)
C．函數(shù)是閉函數(shù)
D．時,函數(shù)是閉函數(shù)
E．時,函數(shù)是閉函數(shù)
三、填空題（本大題共3小題）
12．若函數(shù)具有性質：①為偶函數(shù)，②對任意，都有，則函數(shù)的解析式是 ．（只需寫出滿足條件的一個解析式即可）
13．若正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為 ．
14．已知三棱錐外接球直徑為SC，球的表面積為，且，則三棱錐的體積為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱軸；
（2）設的內角的對邊分別為，滿足，，且的面積為，求的值.
16．如圖，在五面體中，四邊形是正方形，，，.
（1）求證：平面平面；
（2）設是的中點，棱上是否存在點，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.
17．已知某科技公司的某型號芯片的各項指標經過全面檢測后，分為I級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項指標的頻率分布直方圖如圖所示：
若只利用該指標制定一個標準，需要確定臨界值K，將該指標大于K的產品應用于A型手機，小于或等于K的產品應用于B型手機．假設數(shù)據(jù)在組內均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．
(1)若臨界值，請估計該公司生產的1000個該型號芯片I級品和1000個Ⅱ級品中應用于A型手機的芯片個數(shù)；
(2)設且，現(xiàn)有足夠多的芯片I級品?Ⅱ級品，分別應用于A型手機?B型手機各1萬部的生產：
方案一：直接將該芯片I級品應用于A型手機，其中該指標小于等于臨界值K的芯片會導致芯片生產商每部手機損失800元；直接將該芯片Ⅱ級品應用于B型手機，其中該指標大于臨界值K的芯片，會導致芯片生產商每部手機損失400元；
方案二：重新檢測芯片I級品，II級品的該項指標，并按規(guī)定正確應用于手機型號，會避免方案一的損失費用，但檢測費用共需要130萬元；
請求出按方案一，芯片生產商損失費用的估計值（單位：萬元）的表達式，并從芯片生產商的成本考慮，選擇合理的方案．
18．設A是符合以下性質的函數(shù)組成的集合，對任意的且在上是減函數(shù)。
（Ⅰ）判斷函數(shù)及是否屬于集合A，并簡要說明理由；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中你認為是集合A中的一個函數(shù)記為，若不等式對任意的總成立，求實數(shù)k的取值范圍。
19．已知函數(shù).
（1）若，，且在上的最大值為，最小值為，試求，的值；
（2）若，，且對任意恒成立，求的取值范圍.（用來表示）
參考答案
1．【答案】B
【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可。
【詳解】命題：的否定是使得.
故選B.
【思路導引】本題考查全稱命題的否定.
2．【答案】D
【分析】解出命題為真時對應的范圍，結合充分、必要性定義分析即可得答案.
【詳解】由，得，即，
由，得，即，
所以是的既不充分也不必要條件，
故選D.
3．【答案】C
【分析】運用偶次根式被開方數(shù)非負，求得的定義域.
【詳解】，
，
解得，
即函數(shù)的定義域為.
故選C.
【思路導引】本題考查函數(shù)定義域的求法，注意偶次根式的含義和定義域含義，考查運算能力．
4．【答案】D
【分析】由題得，所以，所以①正確；
函數(shù)沒有對稱中心，對稱軸方程為，故②錯誤，③正確；
令，得的單調遞增區(qū)間是，故④正確.
【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，所以，所以①正確；
函數(shù)沒有對稱中心，且對稱軸方程為，所以當時，對稱軸方程為，故②錯誤，③正確；
令，解得，所以的單調遞增區(qū)間是，故④正確.
故選D.
5．【答案】C
【分析】利用指數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷大小.
【詳解】由于，即，由，即，
由，即，故.
故選C.
6．【答案】C
【分析】利用直三棱柱、等腰直角三角形的性質易證面，由面面垂直的判定有面面，進而可確定關于平面對稱點E的位置，則有，應用勾股定理即可求的最小值.
【詳解】由題意知，，為直三棱柱，即面面，面面，面，
∴面，又面，
∴面面.
∴易得關于平面對稱點E落在的延長線上，且，即，如下圖所示，的最小時，、、三點共線.

∴.
故選C.
【思路導引】利用面面垂直確定關于平面對稱點位置，根據(jù)知當、、三點共線時的最小.
7．【答案】B
【分析】首先根據(jù)正弦定理將等式中的角轉化成邊得：，通過余弦定理可將等式化簡整理為，通過三角函數(shù)圖象可知，同時通過基本不等式可知，即得，通過取等條件可知，，將其代入問題中即可求解答案.
【詳解】已知
由正弦定理可知：，
，
整理得：，
兩邊同除得：，
根據(jù)余弦定理得：，即，
，，，當且僅當，即時等號成立.
又，當且僅當時，等號成立.
綜上所述：且，
故得：，此時且，
，.
故選B.
8．【答案】A
【分析】根據(jù)面積公式，余弦定理和題干條件得到，結合正弦定理得到，由為銳角三角形，求出，從而求出，求出的取值范圍.
【詳解】因為，所以，
即，
所以，
整理得：，
因為，
所以，
由正弦定理得：，
因為，
所以，
因為為銳角三角形，
所以為銳角，
所以，即，
由，解得：，
因為，
所以，
解得：.
故選A.
【思路導引】三角形相關的邊的取值范圍問題，通常轉化為角，利用三角函數(shù)恒等變換及三角函數(shù)的值域等求出邊的取值范圍，或利用基本不等式進行求解.
9．【答案】AD
【分析】根據(jù)向量的坐標運算求，，對于A：根據(jù)向量的夾角公式運算求解；對于B：根據(jù)投影向量的定義分析運算；對于C：根據(jù)向量垂直的坐標運算求解；對于D：根據(jù)向量共線的判定定理分析運算.
【詳解】由題意知，，
對于選項A：，故A正確；
對于選項B：在方向上的投影向量為，故B錯誤；
對于選項C：設與垂直的單位向量的坐標為，
可得，解得或，
所以與垂直的單位向量的坐標為或，故C錯誤；
對于選項D：因為向量與向量共線，
所以若存在，使得，
則，解得，故D正確．
故選AD.
10．【答案】CD
【分析】由解析式可作出圖象，將所求不等式變?yōu)?，分別在、和三種情況下得到不等式的解，通過圖象觀察可確定1個整數(shù)解的值，由此確定臨界狀態(tài)得到取值范圍.
【詳解】由解析式可得圖象如下圖所示，
由得：，
當時，，不等式無解；
當時，由得：，
若不等式恰有1個整數(shù)解，則整數(shù)解為，
又，，，所以；
當時，由得：，此時有多個解，故舍去；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
故選CD.
11．【答案】BD
【解析】依次判斷每個選項：根據(jù)單調性排除；在上的值域為 B正確；根據(jù)閉函數(shù)定義得到，故D正確，E錯誤，得到答案.
【詳解】因為在定義域上不是單調函數(shù)，所以函數(shù)不是閉函數(shù)，A錯誤；
在定義域上是減函數(shù)，由題意設，則，解得，
因此存在區(qū)間，使在上的值域為，B正確；
在上單調遞增，在上單調遞增，所以函數(shù)在定義域上不單調遞增或單調遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)，C錯誤；
若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間，使函數(shù)的值域為，即，所以a，b為方程的兩個實數(shù)根，
即方程有兩個不等的實根.
當時，有，解得；
當時，有，此不等式組無解.
綜上所述，，因此D正確，E錯誤.
故選BD.
【思路導引】本題考查了函數(shù)的新定義，單調性和值域，意在考查學生對于函數(shù)性質的綜合應用.
12．【答案】，，，（答案不唯一）
【解析】若函數(shù)具有性質：①為偶函數(shù)，說明②對任意，都有，說明，是周期函數(shù).
【詳解】若函數(shù)具有性質：①為偶函數(shù)，說明
②對任意，都有，說明，是周期函數(shù).
所以，或或，
故答案為：，，，（答案不唯一）.
【思路導引】本題主要考查了抽象函數(shù)的周期性、對稱性、以及奇偶性，屬于開放性題.
13．【答案】9
【分析】首先將化為，再利用基本不等式進行求解.
【詳解】由得，又因為，，
所以，
當且僅當時等號成立，故的最小值為9．
故答案為：9.
14．【答案】
【分析】求出外接球半徑，得到，，作出輔助線，求出⊥平面，由勾股定理求出各邊長，由余弦定理得到，進而得到，求出，利用錐體體積公式求出答案.
【詳解】設外接球半徑為，則，解得，故，
由于均在球面上，故，
由勾股定理得，
取的中點，連接，則⊥，⊥，
，
又，平面，故⊥平面，
其中，由勾股定理得，
在中，由余弦定理得，
故，
故，
故三棱錐的體積為.
故答案為：.
【思路導引】取的中點，連接，證明出⊥平面，從而利用求出三棱錐的體積.
15．【答案】（1）最小正周期為，對稱軸為：；（2）.
【解析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)式可得即可求的最小正周期和對稱軸；
（2）利用三角形面積公式、余弦定理有，即可求的值.
【詳解】（1），
∴函數(shù)的最小正周期為；
而對稱軸為，
∴函數(shù)的對稱軸為：.
（2）且，則，
由，可知①，
由余弦定理及，可知②；
結合①②：.
【思路導引】本題考查了正余弦定理的應用，利用三角恒等變換化簡函數(shù)式，結合三角函數(shù)的性質求周期、對稱軸，并應用三角形面積公式、余弦定理解三角形.
16．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.
【詳解】（1）證明：在正方形中，可得，又，，，平面，
所以平面，又平面,
所以平面平面.
（2）因為，平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，所以，
分別取，上的點，使得，
又因為，故四邊形是平行四邊形，所以，
又因為平面，平面，所以平面，
取中點，則，
又，故四邊形是平行四邊形，所以，
又因為，是的中點，故是的中位線，
所以，又由平面，平面，
所以平面，，平面，
所以平面平面，又由平面，
所以平面，此時.
【思路導引】對于這類探索性問題，通常是利用面面平行，證得線面平行，并確定點的位置.
17．【答案】(1)；
(2)，應選擇方案二.
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，即可求解頻率，進而可求解，
（2）分別計算兩種方案的費用，即可比較作答.
【詳解】（1）臨界值時，I級品中該指標大于60的頻率為，
II級品中該指標大于60的頻率為0.1，
故該公司生產的1000個該型號芯片I級品和1000個II級品中應用于型手機的芯片個數(shù)估計為：，
（2）當臨界值時，若采用方案一：
I級品中該指標小于或等于臨界值的概率為，
可以估計10000部型手機中有部手機芯片應用錯誤；
II級品中該指標大于臨界值的概率為，
可以估計10000部型手機中有部手機芯片應用錯誤；
故可以估計芯片生產商的損失費用，
，
又采用方案二需要檢測費用共130萬元，
故從芯片生產商的成本考慮，應選擇方案二.
18．【答案】（Ⅰ）不在集合A中，在集合A中； （Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)集合的性質檢驗；
（Ⅱ）求出的最大值，可得的范圍．
【詳解】（Ⅰ）因為在時是減函數(shù)，且，
所以不在集合A中，又因為時，，
所以且在上是減函數(shù)，在集合A中；
（Ⅱ）當時，，
又由對任意的恒成立，所以，
所以所求的實數(shù)的取值范圍是．
【思路導引】本題考查函數(shù)的單調性與值域，考查不等式恒成立問題．不等式恒成立問題通常轉化為求函數(shù)的最值．如恒成立，恒成立．
19．【答案】(1)；(2) 當時，；當時，.
【解析】（1）求得二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)對稱軸和區(qū)間的位置關系，分類討論，待定系數(shù)即可求得；
（2）對參數(shù)進行分類討論，利用對勾函數(shù)的單調性，求得函數(shù)的最值，即可容易求得參數(shù)范圍.
【詳解】（1）由題可知是開口向下，對稱軸為的二次函數(shù)，
當時，二次函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，
故可得顯然不符合題意，故舍去；
當，二次函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，
且當時，取得最小值，故，不符合題意，故舍去；
當時，二次函數(shù)在處取得最小值，在時取得最大值.
則；，整理得；
則，解得或（舍），
故可得.
綜上所述：.
（2）由題可知，
因為對任意恒成立，
即對任意恒成立，
即對任意恒成立，
令，則，且.
因為，故可得.
①當，即時，
在區(qū)間單調遞減，
故，
則，
解得.
此時，，也即，
故.
②當，即時，
在單調遞減，在單調遞增.
，即
又因為，，
則，
故的最大值為，
則，解得，
此時，
故可得.
綜上所述：
當時，；
當時，.
【思路導引】本題考查二次函數(shù)動軸定區(qū)間問題的處理，以及由恒成立問題求參數(shù)范圍，涉及對勾函數(shù)的單調性.
2024-2025學年湖南省長沙市高二上學期開學考試數(shù)學檢測試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，則中元素的個數(shù)為（ ）
A．1B．4C．6D．7
2．命題“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
4．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，，，則的最小值是（ ）
A．8B．12C．16D．
6．已知隨機事件A，B，C中，與相互獨立，與對立，且，，則（ ）
A．0.4B．0.58C．0.7D．0.72
7．甲、乙、丙、丁四人在一次比賽中只有一人得獎.在問到誰得獎時，四人的回答如下：甲：乙得獎.乙：丙得獎.丙：乙說錯了.?。何覜]得獎.四人之中只有一人說的與事實相符，則得獎的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．設，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象
B．直線是圖象的一條對稱軸
C．在上單調遞減
D．的圖象關于點對稱
10．某學校高一年級學生有900人，其中男生500人，女生400人，為了獲得該校高一全體學生的身高信息，現(xiàn)采用樣本量按比例分配的分層抽樣方法抽取了容量為90的樣本，經計算得男生樣本的均值為170，方差為19，女生樣本的均值為161，方差為28，則下列說法正確的是（ ）參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：m，，；n，，．記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，．
A．男生樣本容量為50B．每個女生被抽到的概率
C．抽取的樣本的均值為165D．抽取的樣本的方差為43
11．如圖，正方體的棱長為4，M是側面上的一個動點（含邊界），點P在棱上，且，則下列結論正確的有（ ）
A．沿正方體的表面從點A到點P的最短距離為
B．保持與垂直時，點M的運動軌跡長度為
C．若保持，則點M的運動軌跡長度
D．平面截正方體所得截面為等腰梯形
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量，，若，則m的值為 ．
13．如圖60°的二面角的棱上有，兩點，直線，分別在二面角兩個半平面內，且垂直于，，，則 ．
14．若三棱錐的棱長為5，8，21，23，29，t，其中，則t的一個取值可以為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．設銳角的內角的對邊分別為，
(1)求角；
(2)若邊，面積為，求的周長．
16．現(xiàn)從某學校高三年級男生中隨機抽取名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成組：第組，第組，…，第組，得到如下頻率分布直方圖．
(1)求的值并估計這名男生的身高的第百分位數(shù)；
(2)求這名男生中身高在以上（含）的人數(shù)；
(3)從這名男生身高在以上（含）的人中任意抽取人，求該人中身高恰有人在以上（含）的概率．
17．如圖，在底面為菱形的四棱錐中，平面ABCD，，，點E，F(xiàn)分別為棱BC，PD的中點，Q是線段PC上的一點．
(1)若Q是直線PC與平面的交點，試確定的值；
(2)若三棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．
18．已知函數(shù)，稱非零向量為的“特征向量”，為的“特征函數(shù)”．
(1)設函數(shù)，求函數(shù)的“特征向量”；
(2)若函數(shù)的“特征向量”為，求當且時的值；
(3)若的“特征函數(shù)”為，且方程存在4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．
19．在空間直角坐標系中，已知向量，點．若平面以為法向量且經過點，則平面的點法式方程可表示為，一般式方程可表示為．
(1)若平面：，平面：，直線l為平面和平面的交線，求直線的一個方向向量；
(2)已知集合，，．記集合Q中所有點構成的幾何體的體積為，中所有點構成的幾何體的體積為，集合T中所有點構成的幾何體為W．
（?。┣蠛偷闹?；
（ⅱ）求幾何體W的體積和相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的余弦值．
參考答案
1．【答案】C
【詳解】∵
，
，∴，有6個元素.故選C.
2．【答案】A
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可得否定命題.
【詳解】命題“，”的否定是，.
故選A.
3．【答案】A
【詳解】，∴復數(shù)的虛部為.故選A.
4．【答案】B
【詳解】由函數(shù)，可得其定義域為，可排除C、D選項，
又由，∴函數(shù)為偶函數(shù)，排除A選項.故選B.
【規(guī)律方法】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：
①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；②從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；③從函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢；④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；⑤從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.
5．【答案】C
【分析】利用對數(shù)的運算法則和基本不等式的性質可得.
【詳解】，
，
，
，
，，
，
當且僅當時取等號.
故選C.
【思路導引】本題考查對數(shù)的運算法則及基本不等式.
6．【答案】B
【分析】由公式可知只需求出即可，結合對立減法公式以及獨立乘法公式即可求解.
【詳解】，，
所以.
故選B.
7．【答案】D
【分析】根據(jù)各人的說法，討論四人得獎分析是否只有一人說法與事實相符，即可確定得獎的人.
【詳解】
由上表知：
若甲得獎，丙、丁說法與事實相符，則與題設矛盾；
若乙得獎，丙、丁說法與事實相符，則與題設矛盾；
若丙得獎，乙、丁說法與事實相符，則與題設矛盾；
所以丁得獎，只有丙說法與事實相符.
故選D.
8．【答案】A
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調性和指數(shù)函數(shù)的單調性分別求出，，即可判斷出，再利用作差法比較的大小關系即可求解．
【詳解】，，
，
，，
，，
，
，
.
故選A．
9．【答案】CD
【詳解】對于A：由的圖象向左平移個單位，
得，
與得到函數(shù)不相同，故A錯誤；
對于B：將代入得，此時既不是最高點，也不是最低點，
所以直線不是圖象的一條對稱軸，故B錯誤；
對于C：當時，，
由于在上單調遞減，而，所以在上單調遞減，故C正確；
對于D：將代入得，此時是函數(shù)零點，
所以的圖象關于點對稱，故D正確.
故選CD．
10．【答案】ABD
【分析】根據(jù)抽樣比即可求解人數(shù)判斷A，根據(jù)概率公式即可求解B，根據(jù)平均數(shù)以及方差的計算公式即可求解CD.
【詳解】對于A，男生被抽的人數(shù)為，故A正確，
對于B，每個女生被抽到的概率為，故B正確，
對于C，抽取的樣本均值為，故C錯誤，
對于D，樣本的方差為，故D正確，
故選ABD.
11．【答案】BCD
【分析】根據(jù)平面展開即可判斷A；過做平面平面，即可判斷B；根據(jù)點的軌跡是圓弧，即可判斷C；作出正方體被平面所截的截面即可判斷D．
【詳解】對于A，將正方體的下面和側面展開可得如圖圖形，
連接，則，故A錯誤；
對于B，如圖：
平面，平面，，又，
，，平面，
平面，平面,，
同理可得，，，平面．
平面．
過點作交交于，過作交交于，
由，可得，平面，平面，
平面，同理可得平面，
平面，
則平面平面．
設平面交平面于，則的運動軌跡為線段，
由點在棱上，且，可得，，
，故B正確；
對于C，如圖：
若，則在以為球心，為半徑的球面上，
過點作平面，則，此時．
點在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時圓心角為．
點的運動軌跡長度，故C正確；
對于D，如圖：
延長，交于點，連接交于，連接，
平面被正方體截得的截面為．
，，
，，
，，且，
截面為梯形，
，截面為等腰梯形，故D正確．
故選BCD．
【方法總結】作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.
12．【答案】
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，得到向量的夾角為，設，結合向量的坐標表示，列出方程組，即可求解.
【詳解】設向量的夾角為，因為，可得，
因為，所以，即向量與向量反向，
又因為向量，，
設，可得，可得且，
解得.
故答案為：.
13．【答案】10
【分析】過點作，且，連接，，先證明為等邊三角形，從而得到，再證明，進而利用勾股定理即可求解．
【詳解】如圖，過點作，且，連接，，
則，又，
所以為等邊三角形，所以，
則四邊形為矩形，即，
由，則，又，且，
所以平面，所以平面，
又平面，所以，
則由勾股定理得．
故答案為：10．
14．【答案】25（答案不唯一）
【分析】根據(jù)三角形的三邊關系即可求解范圍，進而根據(jù)求解.
【詳解】如圖所示的三棱錐中，,
在中，三邊關系符合三角形的邊角關系，
設，則且，
因此，由于，故可取，
故答案為：25（答案不唯一）.
15．【答案】(1)；
(2)20.
【分析】（1）由正弦定理得到，求出；
（2）由三角形面積得到，根據(jù)余弦定理得到，從而得到周長.
【詳解】（1）由及正弦定理，得，
又，得，
所以，又為銳角，所以；
（2）由（1）得，則，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以的周長為．
16．【答案】(1)；；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質即可求解的值，再結合百分位數(shù)的定義即可求解結果；
（2）根據(jù)圖表先求出相應的頻率，再求出頻數(shù)即可；
（3）根據(jù)圖表先求出相應區(qū)間的人數(shù)，再根據(jù)古典概型求解概率即可.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，
，解得.
因為，，
所以第百分位數(shù)落在區(qū)間內，
設第百分位數(shù)為，則，解得，
即第百分位數(shù)為.
（2）由圖知，身高在以上（含）的人數(shù)頻率為，
則身高在以上（含）的人數(shù)為.
（3）由（2）知，身高在以上（含）的人數(shù)為，
則身高在以上（含）的人數(shù)為，
男生中身高在內的人數(shù)為，
令身高在內編號為，
身高在內編號為，
則樣本空間為，
所以該人中身高恰有人在以上（含）的概率為.
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)線線平行可得平面平面,即可根據(jù)中點關系，結合面面平行的性質，即可求解的余弦值，根據(jù)與平面所成角與互為余角即可求解.
（2）根據(jù)體積公式可得是中點，進而根據(jù)線線垂直證明平面，即可根據(jù)三角形的邊角關系，以及余弦定理求解.
【詳解】（1）取中點為，取中點，過作,連接，
由于且，
故,故四邊形為平行四邊形，故，
平面,平面,故平面
又,平面,平面,故平面,
平面，故平面平面,
由于平面與平面相交于,于平面相交于，故，
又，是的中點，是的中點，所以,
故是靠近于處的三等分點，故.
（2）由于三棱錐的體積為，
由于,故為等邊三角形，故則,
故，即到平面的距離為1，由于,故是中點，
由于平面,平面,故,
又,則，
平面，故平面，
平面，故,
又為中點，故,
平面，故平面，
取的中點，連接,則,
故平面，
,,
則,
由于為銳角，且與平面所成角與互為余角，
因此與平面所成角的正弦值為.
18．【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【詳解】（1）因為
所以的“特征向量”為．
（2）由題意知，
由得，，
因為，，所以，
所以．
（3），當時，．
由得，
所以或，
由，即，而，解得或，
即在上有兩個根，
因為方程在上存在4個不相等的實數(shù)根，
所以當且僅當且在上有兩個不等實根，
在同一坐標系內作出函數(shù)在上的圖像和直線，
因為方程在上有兩個不等實根，
即當且僅當函數(shù)在上的圖像和直線有兩個公共點，
由圖像可知：或，
解得或，
所以實數(shù)的取值范圍是．
19．【答案】(1)；
(2)（?。?；；（ⅱ），.
【分析】（1）根據(jù)直線滿足方程，對進行合理取值兩次，求出即可求解；
（2）（?。└鶕?jù)分析得到為截去三棱錐所剩下的部分，然后用割補法求解體積即可；
（ⅱ）利用題目中給定的定義求出法向量，結合面面角的向量法求解即可．
【詳解】（1）直線是兩個平面與的交線，
所以直線上的點滿足，
不妨設，則，
不妨設，則，
所以直線的一個方向向量為：；
（2）（?。┯浖?，中所有點構成的幾何體的體積分別為，，
考慮集合的子集，
即為三個坐標平面與轉成的四面體，
四面體四個頂點分別為，，，，
此四面體的體積為，
由對稱性知，
考慮到的子集構成的幾何體為棱長為1的正方體，
即，
，
為截去三棱錐所剩下的部分，
的體積，
三棱錐的體積為，
的體積為，
所以由對稱性知．
（ⅱ）①記集合中所有點構成的幾何體為，如圖，
其中，正方體即為集合所構成的區(qū)域，
構成了一個正四棱錐，其中到面的距離為2，
，
的體積，
②由題意面的方程為，由題干定義知其法向量為，
面方程為，由題干定義知其法向量為，
，由圖知兩個相鄰面所成的角為鈍角，
所以所成二面角的余弦值為：．
【方法總結】關于直線的方向向量求法，求出直線上的兩個點坐標即可求解；求體積利用割補法，把不規(guī)則轉規(guī)則進行求解：解決二面角的余弦值，利用空間向量來解決．
甲
乙
丙
丁
甲
得獎
乙
得獎
丙
沒得獎
丁
沒得獎

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