山東省東明縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必將姓名、考生號等個人信息填寫在答題卡指定位置．
3．考生作答時，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可求得.
【詳解】，因此，.
故選：D.
2. 如圖，已知函數(shù)的圖象在點處的切線為1，則（）
A. B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】數(shù)形結(jié)合，求出切線斜率和切點坐標(biāo)，即可計算.
【詳解】由圖象可得，切線過點和，切線斜率為，，
切線方程為，則切點坐標(biāo)為，有，
所以.
故選：C.
3. 已知的一個極值點為2，則實數(shù)（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】求導(dǎo)，令，利用只有一個極值點，可得，求解即可.
【詳解】，令0，得或，
又的一個極值點為2，則，解得，經(jīng)檢驗滿足題意.
故選：B.
4. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0即可得到答案.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
，令，即，
解得：，所以增區(qū)間為.
故選：A
5. 拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”為（）
A. 1B. eC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令為函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”，列方程求解即可.
【詳解】由可得，
令為函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”，
則，
解得.
故選：C
6. 已知上可導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)原函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號之間的關(guān)系，分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法運算求解.
【詳解】由的圖像可得：
對于可得：
當(dāng)時，則，
∴，解得；
當(dāng)時，則，故，不合題意，舍去；
當(dāng)時，則，
∴，解得；
當(dāng)時，則，故，不合題意，舍去；
當(dāng)時，則，
∴，解得；
綜上所述：不等式的解集為.
故選：D.
7. 懸鏈線是平面曲線，是柔性鏈條或纜索兩端固定在兩根支柱頂部，中間自然下垂所形成外形如圖，在工程中（如懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜）有廣泛的應(yīng)用.當(dāng)微積分尚未出現(xiàn)時，伽利略猜測這種形狀是拋物線，直到1691年萊布尼茲和伯努利利用微積分推導(dǎo)出懸鏈線的方程其中為參數(shù)．當(dāng)時，我們可構(gòu)造出雙曲余弦函數(shù)．下列結(jié)論錯誤的是（）
A. 是偶函數(shù)
B. 值域為
C. 曲線上任意一點切線的斜率均大于0
D. 曲線上任意一點函數(shù)值的平方與該點切線斜率的平方之差均為1
【答案】C
【解析】
【分析】對于A：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分析判斷；對于B：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得值域；對于C：取特值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析判斷；對于D：根據(jù)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的解析式分析判斷.
【詳解】因為的定義域為，且，
所以是偶函數(shù)，故A正確；
由題意可知：，
因為與在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，且，
令，可得；令，可得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得的最小值為，
當(dāng)趨近于，趨近于，
所以值域為，故B正確；
因為，可知曲線在處切線的斜率為0，故C錯誤；
因為，
所以曲線上任意一點函數(shù)值的平方與該點切線斜率的平方之差均為1，故D正確；
故選：C.
8. 已知函數(shù)，若當(dāng)時，恒成立，則a的最小值為（）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得是函數(shù)在上的一個極小值點，則，從而可得，代入函數(shù)解析式，由恒成立分析可得在時恒成立，進而可得a的取值范圍，可得a的最小值．
【詳解】，
因為，所以是函數(shù)的一個零點，
，
因為當(dāng)時，恒成立，且，
所以是函數(shù)在上的一個極小值點，
則，即，所以，
則，
因為當(dāng)時，恒成立，恒成立，
所以在時恒成立，即在時恒成立，
令，，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，則a的最小值為
故選：B
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則（）

A. 有個極值點
B. 是的極大值點
C. 是極大值點
D. 在上單調(diào)遞增
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)圖象判斷出的符號，由此確定正確答案.
【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象可知，
在區(qū)間，單調(diào)遞增；
在區(qū)間，單調(diào)遞減.
所以有個極值點、是的極大值點、在上單調(diào)遞增，
是的極小值點，
所以ABD選項正確，C選項錯誤.
故選：ABD
10. 設(shè)函數(shù)，則（）
A. 的極大值為0B. 在上單調(diào)遞增
C. 當(dāng)時，D. 的解集為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性判斷B，再根據(jù)極值計算判斷A，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合正弦值的范圍判斷C，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合特殊值計算判斷D.
【詳解】因為函數(shù)，則，
所以當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞增；
上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,B選項錯誤；
的極大值為，A選項正確；
當(dāng)時，則，所以，又因為當(dāng)單調(diào)遞減；
所以，C選項正確；
因為函數(shù)，所以，
又因為當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；
所以可得或，
解集為，D選項錯誤.
故選：AC
11. 已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）
A. 若是的極小值點，則在上單調(diào)遞減
B. 若是的極大值點，則且
C. 若，且的極小值大于0，則的取值范圍為
D. 若，且在上的值域為，則的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)三次函數(shù)的圖象性質(zhì)，結(jié)合極值點的定義即可求解A，根據(jù)，即可結(jié)合極值點定義求解吧，根據(jù)即可得方程的一個零點為0，結(jié)合極值，即可分類求解C，利用導(dǎo)數(shù)，即可求解D.
【詳解】,若是的極小值點,則，
故有兩個不相等的實數(shù)根，因此函數(shù)既有極大值也有極小值，
故由三次函數(shù)的圖象可知，若是的極小值點，則極大值點在的左側(cè)，
在上不單調(diào)，A錯誤.
，若是的極大值點，則，
所以.
若沒有極值點.的解為.
因為是的極大值點，所以，即B正確.
若，則.
因為的極小值大于0，所以只有一個零點，且的極大值點與極小值點均大于0，
所以方程無實數(shù)根，且方程的2個實數(shù)根均大于0，
所以解得，C正確.
若，則.
令，若，即單調(diào)遞增，符合題意.
由，解得或，
此時的2個解為.
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
即當(dāng)，時，，不符合題意.
當(dāng)時，，
所以在上的最大值為，且，不符合題意.
綜上，若，且在上的值域為，則的取值范圍為，D正確，
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 曲線在點處的切線的斜率為______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率.
【詳解】由，求導(dǎo)得，則，
所以所求切線的斜率為2.
故答案為：2.
13. 函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】因為函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以可利用導(dǎo)數(shù)恒大于或等于零來研究參數(shù)的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)求導(dǎo)得：，
因為函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，
所以，即，
又由，則，解得，
故答案為：.
14. 已知，若僅有3個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.
【詳解】，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，因此，且，
如下圖所示：
，
當(dāng)時，，所以不等式的解集為：或，
因為，所以無整數(shù)解，因此，要想僅有3個整數(shù)解，
只需；
當(dāng)時，，不等式化為：，顯然成立，有無數(shù)多個整數(shù)解，不符合題意，
當(dāng)時，，所以不等式的解集為：或，
顯然有無數(shù)個整數(shù)解，
綜上所述：，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，結(jié)合分類討論和數(shù)形結(jié)合思想進行求解是解題的關(guān)鍵.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為.
（1）求，的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）求函數(shù)在上最大值、最小值.
【答案】（1）
（2）答案見詳解（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，列式求解即可；
（2）求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值結(jié)合邊界函數(shù)值判斷即可.
【小問1詳解】
由題意可知：，則
因為曲線在處的切線方程為，
則，即，解得.
【小問2詳解】
因為，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
的極大值為，的極小值為.
【小問3詳解】
函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，
函數(shù)在上的最大值,最小值.
16. 已知函數(shù)在處有極大值.
（1）求實數(shù)的值；
（2）若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意題干中的函數(shù)進行求導(dǎo)，根據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系建立方程，分別檢驗解得的根，可得答案；
（2）由（1）明確函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得其極值與單調(diào)性，并作圖，根據(jù)零點定義，將問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，可得答案.
【小問1詳解】
由函數(shù)，求導(dǎo)可得，
由函數(shù)在處取極大值，則，解得或，
當(dāng)時，可得，
易知當(dāng)時，；當(dāng)時，，
則此時函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，舍去；
當(dāng)時，可得，
易知當(dāng)時，；當(dāng)時，，
則此時函數(shù)在處取得極大值，符合題意.
綜上所述，.
【小問2詳解】
由（1）可得函數(shù)，求導(dǎo)可得，
令，解得或，可得下表：
所以函數(shù)的極大值為，極小值為，
函數(shù)存在三個零點，等價于函數(shù)圖象與直線存在三個交點，
如下圖：
由圖可得，則.
17. 已知為實數(shù)，函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對任意的恒成立，求的最小值.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，得到，再分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求解；
（2）根據(jù)條件，利用（1）中結(jié)果得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進而求出的最小值，即可求解.
【小問1詳解】
易知，因為，所以，
當(dāng)時，恒成立，此時在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，由，得到，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
綜上，時，在上單調(diào)遞增，
時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
【小問2詳解】
因為當(dāng)時，時，，
由（1）知，要使對任意的恒成立，則，且恒成立，
即恒成立，得到，
所以，
令，則，由，得到，
當(dāng)時，，時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，故的最小值為.
18. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為，且在D上存在導(dǎo)函數(shù)（其中）．定義：若區(qū)間D上恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為凸函數(shù)．
（1）若函數(shù)，判斷在區(qū)間上是否為凸函數(shù)，說明理由；
（2）若函數(shù)．
（?。┤粼谏蠟椤巴购瘮?shù)”，求a的取值范圍；
（ⅱ）若，判斷在區(qū)間上的零點個數(shù)．
【答案】（1）為凸函數(shù)，理由見解析
（2）（?。?；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）利用凸函數(shù)的定義即可判斷，
（2）（?。├猛购瘮?shù)的定義將問題轉(zhuǎn)化為在上的恒成立問題，
（ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)先求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，得到在區(qū)間上先增后減，再根據(jù)零點存在定理即可得到零點個數(shù).
【小問1詳解】
∴，，
∴，因為，∴，
∴在區(qū)間上為凸函數(shù)．
【小問2詳解】
（?。┯煽傻闷涠x域為R，且，
所以，
若在上為“凸函數(shù)”可得在恒成立，
當(dāng)時，顯然符合題意；
當(dāng)時，需滿足，可得，
綜上可得a的取值范圍為；
（ⅱ）若，可得，所以，
令，則；
易知在區(qū)間上恒成立，
因此可得在上單調(diào)遞減；
顯然，
根據(jù)零點存在定理可得存在使得，
當(dāng)時，，即在上為單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即在上為單調(diào)遞增；
又，顯然在上不存在零點；
而，結(jié)合單調(diào)性可得在上存在一個零點；
綜上可知，在區(qū)間上僅有1個零點．
19. 已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.
（i）求的最小值；
（ii）若關(guān)于x的方程有兩個根，，證明：.
【答案】（1）答案見解析
（2）（i）1；（ii）證明見解析
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論的取值范圍即可得解；
（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，進而利用隱零點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的最值，從而得解；（ii）根據(jù)題意，利用極值點偏移的解決技巧，將問題轉(zhuǎn)化為證恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可得解.
【小問1詳解】
因為，則，
若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
（i）函數(shù)的定義域為，
則，則，
因為函數(shù)的圖象在的切線方程為，
所以，則，
所以，
因為，所以，令，則，
令，則，，
所以，使，即，則，
又，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的最小值為.
（ii）由題意可知，，
即方程有兩個根，，
令，，則，所以，
設(shè)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，又，
所以，則，
由，得，，
所以，
要證，需證，即證，
令，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，則，即，
則在上單調(diào)遞減，所以，
因此成立，故，得證.
【點睛】方法點睛：極值點偏移問題的一般題設(shè)形式：
1.若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（為函數(shù)的極值點）；
2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點）；
3.若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；
4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.x
0
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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