一、單選題（本大題共10小題）
1．在等差數(shù)列 an 中，已知 a3=8 ， a7=16 ，則 a9= （ ）
A． 18 B． 20 C． 22 D． 24
2．記 Sn 為等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，若 S4=4a1+a3 ，則公比 q= （ ）
A．2B． 12 C．3D． 13
3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問(wèn)日增幾何？”其意思是：現(xiàn)有一位善于步行的人，第一天行走了100里，以后每一天比前一天多走相同的里程數(shù)，九天他共行走了1260里，問(wèn)每天增加的里程數(shù)是多少?關(guān)于該問(wèn)題，有下述四個(gè)結(jié)論:
①?gòu)牡诙炱?，每一天比前一天增加的里程?shù)為10；
②此人第五天行走了150里；
③此人前六天共行走了750里；
④此人前八天共行走的里程是第九天行走里程的8倍.
所有正確結(jié)論的序號(hào)為（ ）
A．①④B．②③C．②④D．①③
4．已知數(shù)列 an 滿足 a1=2,an+1=1-2an+1 ，則 an 的前60項(xiàng)的和為（ ）
A． -352 B． 352 C． -70 D．70
5．已知數(shù)列 an 滿足 1=12 ，且對(duì)任意 p,q∈N* ，都有 ap+q=apaq ，記數(shù)列 1an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若 Sm?2023 ，則 m 的最小取值為（ ）
A． 9 B． 10 C． 11 D． 12
6．函數(shù) fx=ex-ex 的最小值為（ ）
A． -e B． -1 C． 0 D． 1
7．函數(shù) fx=x4-x3 的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A． -∞,0 B． -∞,34
C． 0,+∞ D． 34,+∞
8．已知函數(shù) fx 的導(dǎo)函數(shù)為 f′x ，且 fx=x2f′2-lnx ，則 f1= （ ）
A．1B． 12 C． 13 D． 16
9．如圖，這是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間 -π,π 上的大致圖象，則該函數(shù)是（ ）
A． y=2xcs2x2x+2-x
B． y=cs2x2x-2-x
C． y=x3sinx2x+2-x
D． y=x3-x2x+2-x
10．若函數(shù) fx=lnx-mx3+1 有2個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A． 0,e3 B． 0,e23 C． e3，e23 D． 0,e
二、多選題（本大題共2小題）
11．設(shè)函數(shù) fx=x3-x2-x+1 ，則（ ）
A．函數(shù) fx 有兩個(gè)極值點(diǎn)
B．函數(shù) y=fx 有兩個(gè)零點(diǎn)
C．直線 y=-2x 是曲線 y=fx 的切線
D．點(diǎn) 13,1627 是曲線 y=fx 的對(duì)稱中心
12．（多選題）已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ， a1=1 ， an+1=anan2+1 ，則（ ）
A．?dāng)?shù)列 an 是遞減數(shù)列B．?dāng)?shù)列 an 可以是等比數(shù)列
C． 0＜an?1 D． 1an+1=Sn+1
三、填空題（本大題共3小題）
13．已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an=2n+6 ，若 am 是 a1 與 a2m 的等比中項(xiàng)，則 m= ____.
14．函數(shù) fx=x3-lnx+2 的圖象在點(diǎn) 1,f1 處的切線方程為_(kāi)___.
15．已知在數(shù)列 an 中， a1=2 ， an+1=n+1n+2an ，設(shè)數(shù)列 anan+1 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若不等式 n+8k＞Sn 對(duì) ?n∈N? 恒成立，則 k 的最小值為_(kāi)___.
四、解答題（本大題共5小題）
16．已知數(shù)列 an 滿足 a1=2 ， an+1=3an-2n+1 ．
(1)求證：數(shù)列 an-n 是等比數(shù)列．
(2)求出數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn ．
17．已知在等差數(shù)列 an 中， a1=1 ，等比數(shù)列 bn 的公比 q=2 ，且 a2=b2 ， a1-b1=a3-b3 .
(1)求 an ， bn 的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列 anbn 的前 n 項(xiàng)和 Sn .
18．已知函數(shù) fx=13x3-12ax2+4xa∈R.
(1)當(dāng) a=5 時(shí)，求函數(shù)的極值;
(2)若函數(shù) fx 在區(qū)間 -1,1 上單調(diào)遞增，求 a 的取值范圍.
19．已知函數(shù) fx=exsinx-ax ，且曲線 y=fx 在點(diǎn) 0,0 處與 x 軸相切.
(1)求函數(shù) fx 的解析式;
(2)求函數(shù) fx 在區(qū)間 -π2,π2 上的最大值和最小值.（參考數(shù)據(jù): ln4≈1,3863 ）
20．記 Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，已知 a2=2,2Sn=nan+1.
(1)求 an 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) bn=-1nnan ，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 n.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d ，
由題意得， a1+2d=8a1+6d=16 ，解得 a1=4d=2 ，
∴ a9=4+8×2=20 .
故選B.
2．【答案】C
【詳解】由 S4=4a1+a3 ，
當(dāng) q=1 時(shí)，顯然不滿足，
當(dāng) q≠1 時(shí)， a11-q41-q=4a11+q2 ，
解得： q=3 ，
故選C.
3．【答案】D
【詳解】設(shè)此人第 nn∈N? 天走 an 里，則數(shù)列 an 是公差為 d 的等差數(shù)列，
記數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，
對(duì)于①，由題意可得 a1=100S9=9a1+36d=1260 ，解得 d=10 ，①結(jié)論正確；
對(duì)于②， a5=a1+4d=100+4×10=140 ，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③， S6=6a1+5×62d=600+5×62×10=750 ，故③正確；
對(duì)于④， S8=8a1+7×82d=800+7×82×10=1080 ， a9=a1+8d=100+8×10=180 ，
而 180×8=1440≠1080 ，故④錯(cuò)誤；
故選D.
4．【答案】A
【詳解】由 a1=2,an+1=1-2an+1 可得： a2=1-2a1+1=1-23=13 ，
a3=1-2a2+1=1-243=-12 ， a4=1-2a3+1=1-212=-3 ，
a5=1-2a4+1=1-2-2=2 ，……
所以數(shù)列 an 的周期為 4 ，所以 an 的前60項(xiàng)的和為：
15a1+a2+a3+a4=15×2+13-12-3=-352 .
故選A.
5．【答案】B
【詳解】令 p=n,q=1 ，則 an+1=ana1 ，故 an+1an=a1=12 ，
∴數(shù)列 an 是以 12 為首項(xiàng)， 12 為公比的等比數(shù)列，
∴ an=12×12n-1=12n ，故 1an=2n=2×2n-1 ，
∴數(shù)列 1an 是以 2 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列，
∴ Sn=21-2n1-2=2n+1-2 .
由 Sm?2023 得， 2m+1-2?2023 ，即 2m+1?2025 ，
∵ 210=1024,211=2048 ，∴ m+1?11 ，即 m?10 ，
∴ m 的最小取值為 10 .
故選B.
6．【答案】C
【詳解】 f′x=ex-e ，
令 f′x＞0 ，則 x＞1 ，令 f′x＜0 ，則 x＜1 ，
所以函數(shù) fx 的單調(diào)增區(qū)間為 1,+∞ ，單調(diào)減區(qū)間為 -∞,1 ，
所以 fxmin=f1=0 .
故選C.
7．【答案】B
【詳解】由 f′x=4x3-3x2＜0 ，
解得： x＜34 ，
所以函數(shù) fx=x4-x3 的單調(diào)遞減區(qū)間為 -∞,34 ；
故選B.
8．【答案】D
【詳解】∵ fx=x2f′2-lnx ，
∴ f′x=2xf′2-1x ，
∴ f′2=4f′2-12 ，解得 f′2=16 ，
∴ fx=x26-lnx ，故 f1=16 .
故選D.
9．【答案】A
【詳解】B.對(duì)于函數(shù) y=cs2x2x-2-x ，當(dāng) x=0 時(shí)， 2x-2-x=0 ，不合題意，B錯(cuò)誤.
C.當(dāng) x=π 時(shí)， y=π3sinπ2π+2-π=0 ，與圖象不符，C錯(cuò)誤.
D.當(dāng) 0＜x＜1 時(shí)， x3＜x ， x3-x＜0 ， 2x+2-x＞0， 故 y=x3-x2x+2-x＜0 ，與圖象不符，D錯(cuò)誤.
A.令 fx=2xcs2x2x+2-x ，定義域?yàn)?R ，
∵ f-x=-2xcs-2x2-x+2x=-2xcs2x2x+2-x=-fx ，∴ fx 為奇函數(shù)，
fπ=2πcs2π2π+2-π=2π2π+2-π＞0 ，與圖象相符.
當(dāng) 0＜x＜π4 時(shí)， 0＜2x＜π2 ， csx＞0,2x+2-x＞0 ，故 fx＞0 ，與圖象相符，A正確.
故選A.
10．【答案】B
【詳解】函數(shù) fx 定義域?yàn)椋?0,+∞ ，
∵ f′x=1x-3mx2 ，令 f′x=0 ，即 1x-3mx2=0 ，則 x3=13m ，
∴當(dāng) m?0 時(shí)， f′x＞0 ，此時(shí)函數(shù) fx 單調(diào)遞增，則函數(shù) fx 至多存在1個(gè)零點(diǎn)，舍去；
當(dāng) m＞0 時(shí)，則函數(shù) f′x=1x-3mx2 在 0,+∞ 上單調(diào)遞減，
∴當(dāng) x∈0,13m3 ， f′x＞0 ，即函數(shù) fx 遞增；當(dāng) x∈13m3,+∞ ， f′x＜0 ，即函數(shù) fx 遞減；
∴ fx?f13m3 ，
又∵ x→0 時(shí)， fx→-∞ ； x→+∞ 時(shí)， fx→-∞ ，
∴由題意可得： f13m3＞0 ，即 ln3m-13-m×13m+1=-13ln3m+23＞0 ，
即 ln3m＜2 ，∴ m＜e23 .
故選B.
11．【答案】ABD
【詳解】 f′x=3x2-2x-1
令 f′x＜0 解得 -13＜x＜1 ，令 f′x＞0 解得 x＜-13 或 x＞1 ，
所以 fx 在 -∞,-13 單調(diào)遞增， -13,1 單調(diào)遞減， 1,+∞ 單調(diào)遞增，
因?yàn)?f-1=-2＜0 ，極大值 f-13=3227＞0 ，且極小值 f1=0 ，
所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故AB正確，
令 f′x=3x2-2x-1=-2 即 3x2-2x+1=0 ， △=-8＜0 ，無(wú)解；
故C錯(cuò)誤；
f23-x=23-x3-23-x2-23-x+1=-x3+x2+x+527 ，
所以 fx+f23-x=3227 ，即點(diǎn) 13,1627 是曲線 y=fx 的對(duì)稱中心，正確；
故選ABD.
12．【答案】ACD
【詳解】因?yàn)?an+1=anan2+1 ，整理有 an+1an=1an2+1＞0 ，又 a1=1＞0 ，由此可得 an＞0 ，
對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?an+1an=1an2+1＜1 ，所以數(shù)列 an 為遞減數(shù)列，所以A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，若 an 是等比數(shù)列，則由 an+1an=1an2+1 可知 1an2+1 為定值，
又因?yàn)?a1=1 ，所以 an2=1 ，所以 1an2+1=11+1=12 ，即 an+1an=12 ，
與 an2=1 矛盾，所以數(shù)列 an 不可以是等比數(shù)列，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?an＞0 ，且 an 為遞減數(shù)列，又 a1=1 ，所以 0＜an?1 ，
所以C正確；
對(duì)于D，由 an+1=anan2+1 ， an＞0 ，兩邊取倒數(shù)有 1an+1=an2+1an=an+1an ，
整理有： 1an+1-1an=an ，
即 1a2-1a1=a1 ， 1a3-1a2=a2 ， 1a4-1a3=a3 ， ? ， 1an+1-1an=an
累加得： 1a2-1a1+1a3-1a2+1a4-1a3+?+1an+1-1an
=a1+a2+a3+?+an ，
即 1an+1-1an=Sn ，又 a1=1 ，所以 1an+1-1=Sn ，
整理得： 1an+1=Sn+1 ，所以D正確.
故選ABD.
13．【答案】 3
【詳解】由 an=2n+6 得， am=2m+6 ， a1=8 ， a2m=4m+6 ，
∵ am 是 a1 與 a2m 的等比中項(xiàng)，
∴ am2=a1?a2m ，即 2m+62=84m+6 ，解得 m=3 或 -1 （舍）.
14．【答案】 2x-y+1=0
【詳解】因 f′x=3x2-1x ，
則 k切=f′1=2 ， f1=3 ，
則函數(shù)在點(diǎn) 1,f1 處的切線方程為 y-3=2x-1 ，
即： 2x-y+1=0.
15．【答案】 49
【詳解】由題意知 n+2an+1=n+1an ，則數(shù)列 n+1an 是首項(xiàng)為 1+1×2=4 的常數(shù)列，
an=4n+1 ，∴ anan+1=4n+1×4n+2=16n+1n+2=16×1n+1-1n+2
Sn=16×12-13+13-14+14-15+?+1n+1-1n+2=8nn+2 ，
k?Snn+8=8nn+2n+8=8n+16n+10 ，
∵ n＞0 ，∴ n+16n?8 ，當(dāng)且僅當(dāng) n=16n ，即 n=4 時(shí)取等號(hào)，
∴ k?49 ，
則k的最小值為 49.
16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2) 3n-1+nn+12
【詳解】（1） ∵an+1=3an-2n+1 ，
∴an+1-n-1=3an-3n ，即 an+1-n+1=3an-n ，
∵a1-1=1 ，
∴ 數(shù)列 an-n 是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．
（2）由（1）得： an-n=3n-1 ，則 an=3n-1+n ，
∴Sn=a1+a2+?+an=30+31+?+3n-2+3n-1+1+2+3+?+n
=1×1-3n1-3+nn+12=3n-1+nn+12 ．
17．【答案】(1) an=3n-2 ， bn=2n
(2) Sn=3n-5?2n+1+10
【詳解】（1）依題意，設(shè)數(shù)列 an 的公差為 d ，而數(shù)列 bn 的公比為 q=2 ， a1=1 ， a2=b2 ，
所以 b2=a1+d=1+d ，則 b1=b2q=1+d2 ， a3=1+2d ， b3=b2q=21+d ，
因?yàn)?a1-b1=a3-b3 ，所以 1-1+d2=1+2d-21+d ，解得 d=3 ，
所以 an=a1+n-1d=1+3n-1=3n-2 ，
則 b2=a2=4 ，故 bn=b2qn-2=4×2n-2=2n .
（2）由（1）知 anbn=3n-2?2n ，
則 Sn=1×2+4×22+7×23+?+3n-5×2n-1+3n-2×2n ，
2Sn=1×22+4×23+7×24+?+3n-5×2n+3n-2×2n+1 ，
兩式相減，得 -Sn=2+3×22+23+?+2n-3n-2×2n+1
=2+3×221-2n-11-2-3n-2×2n+1 =2+3×2n+1-12-3n-2×2n+1
=5-3n?2n+1-10 .
所以 Sn=3n-5?2n+1+10 .
18．【答案】(1)極大值 f1=116 ，極小值 f4=-83.
(2) -5,5.
【詳解】（1） fx=13x3-52x2+4x ， f′x=x2-5x+4=x-1x-4 ，
令 f′x＞0 可得： x＞4 或 x＜1 ，
令 f′x＜0 可得： 1＜x＜4 ，
函數(shù) fx 在 -∞,1,4,+∞ 上單調(diào)遞增，在 1,4 上單調(diào)遞減，
當(dāng) x=1 時(shí)，函數(shù) fx 有極大值 f1=116 ，
當(dāng) x=4 時(shí)，函數(shù) fx 有極小值 f4=-83.
（2）由題意知 f′x=x2-ax+4?0 在 -1,1 上恒成立，當(dāng) x=0 時(shí)，顯然成立;
當(dāng) 0＜x?1 時(shí)， a? ，函數(shù) y=x+4x 在 0,1 上單調(diào)遞減，
當(dāng) x=1 時(shí)， ymin=5 ，所以 a?5 .
當(dāng) -1?x＜0 時(shí)， a? ，函數(shù) y=x+4x 在 -1,0 上單調(diào)遞減，
當(dāng) x=-1 時(shí)， ymax=-5 ，所以 a?-5 .
綜上可知:求 a 的取值范圍為 -5,5.
19．【答案】(1) fx=exsinx-x.
(2)最大值為 eπ2-π2 ，最小值為0.
【詳解】（1）因?yàn)?f′x=exsinx+csx-a ， f′0=1-a ，
由題意知 f′0=0 ，解得 a=1 ， fx=exsinx-x.
（2）由（1）知 f′x=exsinx+csx-1 ，設(shè) gx=f′x ，
則 g′x=2excsx ，當(dāng) x∈-π2,π2 時(shí)， g′x＞0 ，
函數(shù) gx 在 -π2,π2 上單調(diào)遞增， g0=0 ，
則當(dāng) -π2＜x＜0 時(shí)， f′x＜0 ，當(dāng) 0＜x＜π2 時(shí)， f′x＞0 ，
函數(shù) fx 在 -π2,0 上單調(diào)遞減，在 0,π2 上單調(diào)遞增，
fπ2=eπ2-π2 ， f-π2=π2-e-π2 ， eπ2＞4 ，則 fπ2-f-π2=eπ2+e-π2-π＞0 ，
所以函數(shù) fx 在區(qū)間 -π2,π2 上的最大值為 fπ2=eπ2-π2 ，最小值為 f0=0.
20．【答案】(1) an=n .
(2) Tn=-nn+12,n為奇數(shù)nn+12,n為偶數(shù).
【詳解】（1）由題意，當(dāng) n=2 時(shí)， 2S2=2a2+1=6 ，即 S2=3 ，所以 a1=1.
當(dāng) n?3 時(shí)， 2Sn-1=n-1an-1-1 ，
所以 2an=2Sn-2Sn-1=nan+n-n-1an-1-n-1=nan-n-1an-1+1 ，
即 n-2an-n-1an-1=-1 ， ann-1-an-1n-2=1n-1-1n-2 ，
累加可得 ann-1=ann-1-an-1n-2+an-1n-2-an-2n-3+?a32-a21+a2
=1n-1-1n-2+1n-2-1n-3+?12-1+2=1n-1+1=nn-1
則 an=n ，
又 a2=2,a1=1 滿足該式，故 an=n .
（2）由題意， bn=-1nnan=-1nn2 ，
當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，即有 n?2 ， bn+bn-1=n2-n-12=2n-1 ，
則 Tn=b1+b2+b3+b4+?bn-1+bn=3+7+?2n-1=n23+2n-12=nn+12 ；
當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，則 n+1 為偶數(shù)， Tn=Tn+1-bn+1=n+1n+22-n+12=-nn+12 .
綜上， Tn=-nn+12,n為奇數(shù)nn+12,n為偶數(shù) .

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安徽省阜陽(yáng)市臨泉田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）
安徽省臨泉田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題-A4

安徽省臨泉田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題-A4
2024～2025學(xué)年安徽省臨泉縣田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2024～2025學(xué)年安徽省臨泉縣田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(含答案)
安徽省臨泉田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

安徽省臨泉田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題
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