安徽省臨泉田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

這是一份安徽省臨泉田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題，共13頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題（本大題共8小題，共40分）
1．已知集合，則A∩B=（ ）
A．B．C．D．
2．復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，是空間直角坐標(biāo)系O-xyz中x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，且，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A. （1，-1，1） B. （4，1，1）
C. （1，4，2） D. （4，1，2）
4．下列命題中，正確的是（ ）
A. 若ac＜bc，則a＜b
B. 若a＞b，c＞d，則ac＞bd
C. 若a＞b＞0，則a2＞b2
D. 若a＜b，c＜d，則a-c＜b-d
5．一批花盆堆成三角形垛，頂層一個(gè)，以下各層排成正三角形，逐層每邊增加一個(gè)花盆，若第n層與第n+1層花盆總數(shù)分別為f（n）和f（n+1），則f（n）與f（n+1）的關(guān)系為（ ）
A. f（n+1）-f（n）=n+1 B. f（n+1）-f（n）=n
C. f（n+1）=f（n）+2n D. f（n+1）-f（n）=1
6．下列說(shuō)法中不正確的是（ ）
A. 已知命題P：“存在x0∈（-∞，0），2x0＜3x0；命題q：“△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B，則（?p）∧q為真命題
B. 存在無(wú)數(shù)個(gè)α，β∈R，使得等式sin（α-β）=sinαcsβ+csαsinβ成立
C. 命題“在△ABC中，若sinA=sinB，則A=B”的逆否命題是真命題
D. 設(shè)a∈R，則a=1是直線l1：ax+2y-1=0與直線l2：（a+1）x-ay+4=0垂直的充分必要條件
7． 如圖，在△ABC中，=2，=2，AE與CD交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作直線QP，分別交AB，AC于點(diǎn)Q，P，若=λ，=μ，則λ+μ的最小值為（ ）
A. B.
C. 2 D.
8． 2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就．實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行．L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：+=（R+r）．
設(shè)α=．由于α的值很小，因此在近似計(jì)算中≈3α3，則r的近似值為（ ）
A. R B. R
C. R D. R
二、多選題(共3題，共18.0分)
9．設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 若z2≥0，則z是實(shí)數(shù) B. 若z是虛數(shù)，則z2≥0
C. 若z2＜0，則z是虛數(shù) D. 若z是純虛數(shù)，則z2＜0
10．已知x∈R，則下列等式恒成立的是（ ）
A. sin（3π-x）=sinx B.
C. D.
11．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為T(mén)n，且an+1=（n∈N*），則（ ）
A. 當(dāng)n≥2時(shí)，0＜an≤2
B. 當(dāng)＜a1＜1時(shí)，T4n=1
C. 無(wú)論a1取何值，均存在λ∈N*使得an+λ=an對(duì)任意n∈N*成立
D. 無(wú)論a1取何值，數(shù)列{an}中均存在與a1的數(shù)值相同的另一項(xiàng)
三、填空題(共3題，共15.0分)
12．已知a＞0，b＞0，且a++b+=10，則-的最大值為 _____．
13．若函數(shù)f（x）=在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，實(shí)數(shù)b的取值范圍是_____．
14．三角形ABC的AB邊在平面α內(nèi)，C在平面α外，AC和BC分別與面α成30°和45°的角，且平面ABC與平面α成60°的二面角，那么∠ACB的大小為_(kāi)____．
四、解答題(共5題，共77.0分)
15．(13分)已知函數(shù)f（x）=-2cs2x-asinx-a+1（a∈R）的最小值為g（a），且g（a）=．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值，并求此時(shí)x的取值集合．
16．(15分)已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)S（x,y）滿足直線AS與直線BS的斜率之積為．記動(dòng)點(diǎn)S的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-1）且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，求證：kPM+kPN為定值．
17．(15分)人們用大數(shù)據(jù)來(lái)描述和定義信息時(shí)代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策．某公司通過(guò)大數(shù)據(jù)收集到該公司銷(xiāo)售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷(xiāo)售量如表：
該公司為了預(yù)測(cè)未來(lái)幾個(gè)月的銷(xiāo)售量，建立了y關(guān)于x的回歸模型：．
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（的值精確到0.1）；
（2）已知該公司的月利潤(rùn)z（單位：萬(wàn)元）與x,y的關(guān)系為，根據(jù)（1）的結(jié)果，問(wèn)該公司哪一個(gè)月的月利潤(rùn)預(yù)報(bào)值最大？
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為=，=-．
18．(17分)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：
A配方的頻數(shù)分布表
B配方的頻數(shù)分布表
（Ⅰ）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y=
從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．（以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）
19．(17分)已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，證明：；
(2)現(xiàn)定義：階階乘數(shù)列滿足．若，證明：．
試卷答案
1．【答案】C
【分析】解一元二次不等式可求得，再結(jié)合集合的特征即可計(jì)算得出結(jié)果.
【詳解】解不等式可得，
又可得只有當(dāng)時(shí)，的取值分別為在集合中，
所以.
故選C.
2．【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)可得，即可得共軛復(fù)數(shù)，由虛部定義即可求解.
【詳解】由，得，故，進(jìn)而可得，即的虛部是.
故選D.
3．【答案】B
【解析】由題意先求出的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)表示，求解即可．
解：由題意可知，，
設(shè)B（x,y,z），
則，
解得x=4，y=1，z=1，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1，1）．
故選：B．
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】D
【解析】（A）利用命題否定定義即可判斷出正誤；
（B）利用正弦的和差公式驗(yàn)證即可．
（C）有原命題的真假判斷逆否命題的真假．
（D）根據(jù)充分必要條件的定義，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)及判定分別進(jìn)行判斷即可．
解：對(duì)于A：因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，（）x＞1，即2x＞3x，所以命題p為假，從而﹁p為真．
△ABC中，有sinA＞sinB?a＞b?A＞B，所以命題q為真．由真值表可知（﹁p）∧q為真．故A正確；
對(duì)于B：sin（α-β）=sinαcsβ-sinβcsα=sinαcsβ+csαsinβ．可得sinβcsα=0，所以只要β=kπ，α任意，或者α=2kπ+，β任意．故B正確；
對(duì)于C：在△ABC中，若sinA=sinB，則A=B”為真命題，則其逆否命題為真命題．故C正確；
對(duì)于D：兩直線垂直，得到：a（a+1）+2（-a）=0，解得：a=0或a=1，所以應(yīng)是充分不必要條件，故D不正確，
故選：D．
7．【答案】A
8．【答案】D
【解析】由α=．推導(dǎo)出=≈3α3，由此能求出r=αR=．
解：∵α=．∴r=αR，
r滿足方程：+=（R+r）．
∴+=（1+）M1，
把代入，得：=（1+α）M1，
∴=[（1+α）-]M1==M1，
∴=≈3α3，
∴r=αR=．
故選：D．
9．【答案】ACD
10．【答案】AB
【解析】由題意利用誘導(dǎo)公式，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．
解：由于sin（3π-x）=sin（π-x）=sinx,故A正確；
由于sin（）=sin（-）=cs，故B正確；
由于cs（+3x）=cs（+3x）=-sin3x,故C錯(cuò)誤；
由于cs（+2x）=sin2x,故D錯(cuò)誤，
故選：AB．
11．【答案】AB
12．【答案】4
【解析】先變形，再利用基本不等式求最值即可．
解：∵a＞0，b＞0，且a++b+=10，
∴-=-+-=10-（a+b++），
∵a+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，等號(hào)成立，
b+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)b=1時(shí)，等號(hào)成立，
∴a+b++的最小值為6，
∴-的最大值為4．
故答案為：4．
13．【答案】[1，2]
【解析】由題意可得，解此不等式組求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．
解：∵函數(shù)f（x）=在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，∴，解得 1≤b≤2，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是[1，2]，
故答案為[1，2]．
14．【答案】90°或arccs
【解析】從C向平面作垂線CD，連接AD，BD，作CE⊥AB，連接DE，根據(jù)三垂線定理，DE⊥AB，設(shè)CD=h,∠CBD=45°，BC=h,∠CAD=30°，AC=2CD=2h,∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，由勾股定理求出∠ACB的大?。涣硪环N是∠B是鈍角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，由余弦定理，求出∠ACB的大?。?br>解：從C向平面作垂線CD，連接AD，BD，作CE⊥AB，連接DE，
根據(jù)三垂線定理，DE⊥AB，
設(shè)CD=h,∠CBD=45°，BC=h,∠CAD=30°，
AC=2CD=2h,∠CED是二面角的平面角，
∠CED=60°，CE=h,
根據(jù)勾股定理，AE=h,BE=h,AB=AE+BE=h,
根據(jù)勾股定理逆定理，AB2=BC2+AC2，
（h）2=（h）2+（2h）2，
∴∠ACB=90°，
另一種是∠B是鈍角，CE在三角形ABC之外，
AB=AE-BE=h,
根據(jù)余弦定理，AB2=AC2+BC2-2AC×BC×csC，
（h）2=（2h）2+（h）2-2×2h×hcsC，
cs∠ACB=，∴∠ACB=arccs．
綜上，∠ACB的大小為90°或arccs．
15．【解析】（1）直接利用分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，討論區(qū)間和對(duì)稱軸的關(guān)系求出a的值．
（2）利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的最值．
解：（1）根據(jù)題意：函數(shù)f（x）=-2cs2x-asinx-a+1（a∈R），
令t=sinx,（-1≤t≤1），
則g（t）=2t2-at-a-1（-1≤t≤1），
①當(dāng)時(shí)，即a≤-4，
f（a）=，所以無(wú)解．
②當(dāng)時(shí)，即-4＜a≤4，
f（a）=，即a2+8a+12=0，
所以a=-2或a=-6（舍去），
③當(dāng)時(shí)，即a＞4時(shí)，
，所以a=（舍去），
綜上所述：a=-2．
（2）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=，
當(dāng)sinx=1時(shí)，即x=2k（k∈Z）時(shí)，函數(shù)的最大值為5．
即當(dāng){x|x=2k（k∈Z）}時(shí)，函數(shù)的最大值為5．
16．【解析】（Ⅰ）利用兩點(diǎn)間斜率公式求出直線AS，BS的斜率，由已知得到關(guān)于x,y的關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得到答案；
（Ⅱ）分直線l的斜率是否存在進(jìn)行證明，當(dāng)斜率l不存在時(shí)，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，即可證明；當(dāng)斜率l存在時(shí)，設(shè)直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，利用兩點(diǎn)間斜率公式表示出kPM+kPN，結(jié)合韋達(dá)定理以及直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-1），即可證明．
（Ⅰ）解：由斜率公式求得直線AS，BS的斜率分別為，
所以，化簡(jiǎn)可得，
所以曲線C的方程為；
（Ⅱ）證明：①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，t=x=-1，
將x=-1代入，可得，
則，
所以kPM+kPN=2；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+b（b≠1），
聯(lián)立方程組，消去y可得，（4k2+1）x2+8kbx+4b2-4=0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
所以，，
因?yàn)椋?br>則kPM+kPN=
=
=
=
=
=
=
=，
因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-1），
所以b-k=-1，即b+1=k,
所以kPM+kPN==．
綜上所述，kPM+kPN為定值2．
17．【解析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法和線性回歸方程的公式，即可求解．
（2）由（1）可知，y=0.2x2+5，=24-=，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．
解：（1）令w=x2，
則=，=，
==，=7.2-0.2×11=5，
故y關(guān)于x的回歸方程為y=0.2x2+5．
（2）由（1）可知，y=0.2x2+5，
=24-=，
令g（x）=，
則g'（x）===（x＞0），
令g'（x）＞0，解得0＜x＜9，令g'（x）＜0，解得x＞9，令g'（x）=0，解得x=9，
故g（x）在x=9處取得極大值，也為最大值，
故g（x）max=g（9）=72-27-9=36，
故第9個(gè)月的月利潤(rùn)預(yù)報(bào)值最大．
18．【解析】（I）根據(jù)所給的樣本容量和兩種配方的優(yōu)質(zhì)的頻數(shù)，兩個(gè)求比值，得到用兩種配方的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值．
（II）根據(jù)題意得到變量對(duì)應(yīng)的數(shù)字，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和第一問(wèn)的結(jié)果寫(xiě)出變量對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列和這組數(shù)據(jù)的期望值．
解：（Ⅰ）由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的頻率為
∴用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3．
由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為
∴用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42；
（Ⅱ）用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間
[90，94），[94，102），[102，110]的頻率分別為0.04，0.54，0.42，
∴P（X=-2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，
即X的分布列為
∴X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
19．19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值，證明不等式即可.
（2）利用給定定義結(jié)合累加法對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合換元法轉(zhuǎn)化后利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
【詳解】（1）令函數(shù)，
要證明時(shí)，，即證明，
，
，
所以當(dāng)時(shí)，hx單調(diào)遞減，所以，故原不等式成立.
（2）將左右同除以，
有
即，累加有，
即，
由（1）知，，即，
所以，
所以，所以，
當(dāng)時(shí)也滿足，所以
所以，
下面證明，
令數(shù)列，，
因?yàn)?br>，
因?yàn)椋手恍枧袛嗟姆?hào)，
令，則，
令，
當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，，所以Fx單調(diào)遞增，
所以，所以，
即故數(shù)列bn單調(diào)遞增，
所以，
故原不等式成立.月份
1
2
3
4
5
銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
指標(biāo)值分組
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
頻數(shù)
8
20
42
22
8
指標(biāo)值分組
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
頻數(shù)
4
12
42
32
10
X
-2
2
4
P
0.04
0.54
0.42