（時間：120分鐘 滿分150分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式得到，再利用交集的定義求解即可.
詳解】令，解得，則，
因為，所以，故D正確.
故選：D
2. 不等式的解集為（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】依據(jù)題意利用十字相乘法求解一元二次不等式即可.
【詳解】因為，所以，
則，解得或，
則不等式解集為或，故B正確.
故選：B
3. 命題，，則（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】已知求解時，對條件和結(jié)論同時否定即可.
【詳解】因為，，
所以，，故A正確.
故選：A
4. 設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)代入求解即可.
【詳解】因為，所以，
則，故B正確.
故選：B
5. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得答案.
【詳解】因在上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞增，
則，
即.
故選：C
6. 甲、乙兩人獨立破譯一個密碼，甲獨立破譯密碼的概率為，乙獨立破譯密碼的概率為，則恰有一人破譯密碼的概率為（ ）
A. 0.4B. 0.6C. D. 0.76
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出事件，結(jié)合互斥事件，獨立事件和對立事件的概率公式求解概率即可.
【詳解】設(shè)甲獨立破譯密碼為事件，乙獨立破譯密碼為事件，
則恰有一人破譯密碼為，而互斥，
由互斥事件概率公式得，
由題意得相互獨立，相互獨立，
由獨立事件概率公式得，
，
由題意得，，則，
，得到，
則恰有一人破譯密碼的概率為，故C正確.
故選：C
7. 函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論.
【詳解】因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為，，，則，
由零點存在定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.
故選：B
8. 若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用偶函數(shù)的定義建立方程，求解參數(shù)，再代回檢驗即可.
【詳解】由題意得的定義域為，關(guān)于原點對稱，
因為是上的偶函數(shù)，所以，
而，，
則，解得，
此時，，
，
符合題意，故A正確.
故選：A
二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的不得分.
9. 若a，，且，則下列說法中正確的是（ ）
A. 的最大值為6B. 的最小值為6
C. ab的最大值為9D. ab的最小值為9
【答案】BD
【解析】
【分析】正數(shù)a，b滿足，可得，解出即可得出ab的最小值，正數(shù)a，b滿足，可得，解出即可得出的最小值.
【詳解】正數(shù)a，b滿足，
，即 ，
解得 ，即ab ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
，即ab的最小值為9，
正數(shù)a，b滿足，
，即 ，
解得 ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
，即的最小值為
故選：BD.
10. 下列命題中，真命題是（ ）
A. 函數(shù)的最小值為3
B. “”是“”的充分不必要條件；
C. “是方程的一個實數(shù)根”的充要條件是“”；
D. 設(shè)，，，，，都不為0，不等式的解集為，不等式的解集為，則“”是“”的充要條件；
【答案】BC
【解析】
【分析】舉反例判斷A，D，利用充分不必要條件的定義判斷B，利用充要條件的定義判斷C即可.
【詳解】對于A，令，則，
則函數(shù)的最小值不可能為3，故A錯誤，
對于B，對于充分性，當(dāng)時，成立，則充分性成立，
對于必要性，令，滿足，不滿足，則必要性不成立，
得到“”是“”的充分不必要條件，故B正確，
對于C，對于充分性，將代入中，
得到，故充分性成立，
對于必要性，當(dāng)時，則，
代入方程中，得到，
則，顯然是方程的一個根，即必要性成立，故C正確，
對于D，令，，
滿足，此時化為，
解得，故，
此時可化為，
解得，故，顯然，
則“”不可能是“”的充要條件，故D錯誤.
故選：BC
11. 設(shè)x為實數(shù)，不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作，例如，.我們把函數(shù)叫做取整函數(shù)，下列關(guān)于取整函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A. 對任意，都有；
B. 對任意，，都有
C. 對任意，都有
D. 對任意，都有
【答案】AD
【解析】
【分析】利用取整函數(shù)的定義判斷A，D，舉反例判斷B，C即可.
【詳解】對于A，由的定義得，
則，即，故A正確，
對于B，令，，則，，
得到，即對任意，，
不可能都有，故B錯誤，
對于C，令，，則，
，即此時，
得到對任意，不可能都有，故C錯誤，
對于D，令，，
則，，
，
當(dāng)時，，此時，
當(dāng)時，，此時，
綜上，對任意，都有，故D正確.
故選：AD
三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.
12. 某單位有男職工人，女職工人，若根據(jù)性別采取分層抽樣的方法，從中抽取一個容量為的樣本，則女職工應(yīng)抽取的人數(shù)為________.
【答案】
【解析】
【分析】依據(jù)題意求出分層比，再得到抽取的人數(shù)即可.
【詳解】由題意得男女職工分層比為，而抽取一個容量為的樣本，
則女職工應(yīng)抽取的人數(shù)為.
故答案為：20
13. 已知，則的的最大值為________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式可求得的最大值.
【詳解】因為，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最大值為.
故答案為：.
14. 設(shè)，利用倒序相加法可求得________.
【答案】5
【解析】
【分析】由，進而利用倒序求和即可.
【詳解】由，
記，則，
所以.
所以.
故答案為5.
【點睛】本題主要考查了函數(shù)的中心對稱性及倒序求和的思想，屬于中檔題.
四、解答題：本題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 從大小相同，編號為的5個小球中，選取3個小球，求下列事件的概率：
（1）編號為1，2的小球同時被取到的概率；
（2）所取到的三個小球的編號之和為偶數(shù)的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）先求出樣本空間，再求出符合條件的事件數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式求解即可.
【小問1詳解】
從編號為的5個小球中任意取出3個，
樣本空間為
記事件為“編號為的小球同時被取到”，
則，故.
【小問2詳解】
記事件為“所取到的三個小球編號之和為偶數(shù)”，
則，故.
16. 若二次函數(shù)滿足，.
（1）求的解析式；
（2）若對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出，結(jié)合給定條件建立方程，求解參數(shù)，得到函數(shù)解析式即可.
（2）將轉(zhuǎn)化為，利用判別式建立不等式，求解參數(shù)范圍即可.
【小問1詳解】
因為是二次函數(shù)，所以設(shè)，
因為，所以，此時，
因為，所以，
化簡得，對照系數(shù)得，，
解得，，則，即的解析式為.
【小問2詳解】
由上問知，而對于任意實數(shù)，
由成立，得到，即，
得到，解得.
綜上，實數(shù)a的取值范圍是.
17. 如圖，學(xué)校要在一個直角邊長為20m的等腰直角三角形空地上修建一個矩形的花園，根據(jù)規(guī)劃設(shè)計，花園的頂點E在的斜邊BC上，分別在的直角邊上.

（1）設(shè)（單位：m），矩形花園的面積為S（單位：），寫出S關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)?shù)拈L為多少時，花園的面積S取得最大值？求出面積S的最大值.
【答案】（1）
（2）當(dāng)時，S的最大值為
【解析】
【分析】（1）結(jié)合題意并利用矩形的面積公式得到函數(shù)關(guān)系即可.
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.
【小問1詳解】
因為三角形是等腰直角三角形，所以，
得到，
則矩形花園的面積，
即.
【小問2詳解】
由上問得，由二次函數(shù)性質(zhì)得對稱軸為，
而當(dāng)時，S取得最大值100，即當(dāng)時，S的最大值為.
18. 從某校隨機抽取名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布和頻率分布直方圖：
（1）求頻率分布直方圖中的、的值；
（2）從該校隨機選取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于小時的頻率；
（3）假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù).
【答案】（1），
（2）
（3）（小時）
【解析】
【分析】（1）利用頻數(shù)、頻率和總?cè)萘康年P(guān)系可求得、的值；
（2）利用表格中的數(shù)據(jù)可求得結(jié)果；
（3）將每組的中點值乘以對應(yīng)組的頻率，將所得結(jié)果相加可得平均數(shù).
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖和表格中的數(shù)據(jù)可得，解得，，解得.
【小問2詳解】
由頻數(shù)分布表可知，從該校隨機選取一名學(xué)生，這名學(xué)生課外閱讀時間少于小時的頻率為.
小問3詳解】
由題意，樣本中的名學(xué)生的學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)為
（小時）.
19. 設(shè)函數(shù).
（1）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的定義域為，值域為，若存在，求出；若不存在，說明理由.
【答案】（1）
（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸，再結(jié)合單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)范圍即可.
（2）對的大小情況分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解符合情況的區(qū)間即可.
【小問1詳解】
由二次函數(shù)性質(zhì)得對稱軸，
因為函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，
所以或，則實數(shù)m的取值范圍是.
【小問2詳解】
若，則，
假設(shè)存在實數(shù)，使得函數(shù)的定義域為，值域為，
分以下情況討論：（i）若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由題意得，即，
解得，與矛盾，排除，
（ii）若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由題意得，即，
解得，此時，
（iii）若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由題意得，解得，因為fb=?12(134)2+132=3932>0，
，所以，
解得，此時，
綜上所述，存在實數(shù)，或，
使得函數(shù)的定義域為，值域為.組號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
合計
分組
頻數(shù)
6
8
17
22
25
12
6
2
2
100

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