1．（4分）已知扇形的弧長為，面積為，則扇形所在圓的半徑為 ．
2．（4分）集合，，，，若，則 ．
3．（4分）已知指數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
4．（4分）若為第四象限角，且，則的值是 ．
5．（4分）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則 ．
6．（4分）已知“若，則 “為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
7．（5分）已知，則 （用表示）．
8．（5分）已知，若不等式恒成立，則的取值范圍為 ．
9．（5分）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 ．
10．（5分）已知且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
11．（5分）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 ．
12．（5分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．其中，為實(shí)數(shù)，且．若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍 ．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑。
13．（4分）如果，那么下列不等式錯(cuò)誤的是
A．B．C．D．
14．（4分）下列函數(shù)中，在上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是
A．B．C．D．
15．（5分）設(shè)集合，集合，．若中恰含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
16．（5分）已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中正整數(shù)、且或（其中正整數(shù)、且．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①；②集合，．則下列判斷正確的是
A．①對(duì)②對(duì)B．①對(duì)②錯(cuò)C．①錯(cuò)②對(duì)D．①錯(cuò)②錯(cuò)
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟
17．（15分）已知集合，，．
（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若“”是“”的必要非充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．（15分）已知函數(shù)．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根、，求的取值范圍和的取值范圍．
19．（15分）汽車智能輔助駕駛已開始得到應(yīng)用，其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離（并集合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間），當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開始報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車．若將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間、人的反應(yīng)時(shí)間、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間、制動(dòng)時(shí)間，相應(yīng)的距離分別為，，，，如圖所示．當(dāng)車速為（米秒），且，時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表給出的數(shù)據(jù)（其中系數(shù)隨地面濕滑程度等路面情況而變化，，．
（1）請(qǐng)寫出報(bào)警距離（米與車速（米秒）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求當(dāng)，在汽車達(dá)到報(bào)警距離時(shí)，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動(dòng)措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間；
（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均不超過85米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少千米小時(shí)？
20．（15分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的值域．
（Ⅱ）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（Ⅲ）若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為局部對(duì)稱函數(shù)，其中為的圖象的局部對(duì)稱點(diǎn)．若是的圖象的局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
21．（18分）已知函數(shù)其中，是非空數(shù)集，且，設(shè)，，，．
（Ⅰ）若，，，求；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得，，且，？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）若，且，，是單調(diào)遞增函數(shù)，求集合，．
參考答案
一．選擇題（共4小題）
一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分。
1．（4分）已知扇形的弧長為，面積為，則扇形所在圓的半徑為 3 ．
解：因?yàn)樯刃蔚幕￠L為，面積為，
所以扇形的面積，
解得．
故答案為：3．
2．（4分）集合，，，，若，則 ，1， ．
解：集合，，，，，
則，
故，1，．
故答案為：，1，．
3．（4分）已知指數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
解：指數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，
則，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
4．（4分）若為第四象限角，且，則的值是 ．
解：因?yàn)?，為第四象限角?br>所以，
所以．
故答案為：．
5．（4分）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則 4 ．
解：由題意令，由于圖象過點(diǎn)，
得，
故答案為：4．
6．（4分）已知“若，則 “為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ， ．
解：命題“若，則”是真命題，
則，能推出”成立，
轉(zhuǎn)換成，能推出成立，
即，能推出或成立，
即，能推出成立，
由不等式端點(diǎn)和簡易邏輯關(guān)系可得，，
則實(shí)數(shù)的取值范圍是：，
故答案為：，．
7．（5分）已知，則 （用表示）．
解：，
，
故答案為：．
8．（5分）已知，若不等式恒成立，則的取值范圍為 ．
解：不等式恒成立，等價(jià)于，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的取值范圍是．
故答案為：．
9．（5分）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 ．
解：根據(jù)題意，函數(shù)是偶函數(shù)，
則，即，
變形可得：，
必有．
故答案為：．
10．（5分）已知且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
解：由題意可知，，是函數(shù)兩個(gè)大于1的不同零點(diǎn)，
所以，即，解得，
故的取值范圍為．
11．（5分）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 8 ．
解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值8．
故答案為：8．
12．（5分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．其中，為實(shí)數(shù)，且．若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍 ．
解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，，
畫出上的函數(shù)的圖象，
是由向右平移1個(gè)單位得到，
結(jié)合圖象，要想恒成立，
只需，解得，
又，故，
所以的取值范圍為．
故答案為：．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑。
13．（4分）如果，那么下列不等式錯(cuò)誤的是
A．B．C．D．
解：．，，正確．
．，，正確；
．時(shí)，，因此不正確；
．，，正確．
故選：．
14．（4分）下列函數(shù)中，在上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是
A．B．C．D．
解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于，，為反比例函數(shù)，在其定義域上不是減函數(shù)，不符合題意；
對(duì)于，，有，解可得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋皇巧系钠婧瘮?shù)，不符合題意；
對(duì)于，，在上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，符合題意；
對(duì)于，，為指數(shù)函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意；
故選：．
15．（5分）設(shè)集合，集合，．若中恰含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
解：由，得：或．
由，得：．
所以，或，，．
因?yàn)椋?，則且小于0．
由中恰含有一個(gè)整數(shù)，所以．
即，也就是．
解①得：，解②得：．
所以，滿足中恰含有一個(gè)整數(shù)的實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：．
16．（5分）已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中正整數(shù)、且或（其中正整數(shù)、且．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①；②集合，．則下列判斷正確的是
A．①對(duì)②對(duì)B．①對(duì)②錯(cuò)C．①錯(cuò)②對(duì)D．①錯(cuò)②錯(cuò)
解：因?yàn)槿?，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中，且，或（其中，，，且，
且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，
所以，，
因?yàn)?，滿足（其中，，，且，所以，
因?yàn)?，且，，所以?br>因?yàn)椋?，，所以，故①?duì)；
下面討論元素與集合的關(guān)系，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，，，所以；依次類推，
當(dāng)時(shí)，，，，
所以，則，，故②對(duì)．
故選：．
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟
17．（15分）已知集合，，．
（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若“”是“”的必要非充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）集合，，，
，
或，
解得或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍，，；
（2） “”是“”的必要非充分條件，
，
集合，，，
（等號(hào)不能同時(shí)取到），
解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
18．（15分）已知函數(shù)．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根、，求的取值范圍和的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時(shí)，由，解得或，
不等式的解集為，，．
（2）由題意可得，，解得，
因?yàn)椋?br>因?yàn)?，則，故．
故的取值范圍為．
19．（15分）汽車智能輔助駕駛已開始得到應(yīng)用，其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離（并集合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間），當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開始報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車．若將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間、人的反應(yīng)時(shí)間、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間、制動(dòng)時(shí)間，相應(yīng)的距離分別為，，，，如圖所示．當(dāng)車速為（米秒），且，時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表給出的數(shù)據(jù)（其中系數(shù)隨地面濕滑程度等路面情況而變化，，．
（1）請(qǐng)寫出報(bào)警距離（米與車速（米秒）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求當(dāng)，在汽車達(dá)到報(bào)警距離時(shí)，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動(dòng)措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間；
（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均不超過85米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少千米小時(shí)？
解：（1）由題意得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
則（秒，
即此種情況下汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間約為2秒．
（2）根據(jù)題意要求對(duì)于任意，，恒成立，
即對(duì)于任意，，，
即恒成立，
由，，得，
所以，
即，
解得，
又，
所以，
故要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均不超過85米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在30千米小時(shí)．
20．（15分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的值域．
（Ⅱ）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（Ⅲ）若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為局部對(duì)稱函數(shù)，其中為的圖象的局部對(duì)稱點(diǎn)．若是的圖象的局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，
令，則，，
所以的值域?yàn)?，?br>（Ⅱ）令，，則，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以要使在上單調(diào)遞增，
只需在上單調(diào)遞增，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，的圖象開口向下，對(duì)稱軸為，不符合題意；
③當(dāng)時(shí)，則需，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（Ⅲ）因?yàn)槭堑膱D象的局部對(duì)稱點(diǎn)，
可得，，
代入整理得，①
令，則，，
代入①式得，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)和均單調(diào)遞增，
所以在，上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
21．（18分）已知函數(shù)其中，是非空數(shù)集，且，設(shè)，，，．
（Ⅰ）若，，，求；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得，，且，？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）若，且，，是單調(diào)遞增函數(shù)，求集合，．
解：，，，，，，
，，，，，．
，
（Ⅱ）若，則，，不符合要求
，從而
，
，得
若，則
，的原象且
，得，與前提矛盾
此時(shí)可取，，，，，滿足題意
（Ⅲ）是單調(diào)遞增函數(shù)，對(duì)任意，有，
，同理可證：
若存在，使得，則，
于是，
記，，
，，同理可知，，
由，得；
對(duì)于任意，，取，中的自然數(shù)，則
，
，
綜上所述，滿足要求的，必有如下表示：
，，，，，其中
或者，，，，，其中
或者，，
或者，，
階段
0．準(zhǔn)備
1．人的反應(yīng)
2．系統(tǒng)反應(yīng)
3．制動(dòng)
時(shí)間
秒
秒
距離
米
米
題號(hào)
13
14
15
16
答案
C
C
B
A
階段
0．準(zhǔn)備
1．人的反應(yīng)
2．系統(tǒng)反應(yīng)
3．制動(dòng)
時(shí)間
秒
秒
距離
米
米

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