1．扇形的半徑為1，圓心角所對的長為3，則該扇形的面積是 ．
2．已知點，，若點滿足，則點的坐標為 ．
3．向量在向量方向上的數(shù)量投影為 ．
4．函數(shù)的單調增區(qū)間是 ．
5．在三角形中，是上靠近點的三等分點，為中點，若，則 ．
6．在上的最大值為 ．
7．向量，的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是 ．
8．在△中，角、、的對邊分別為、、，，則角 ．
9．已知在上有且僅有3個極值點，則的取值范圍是 ．
10．平面，，上三點的坐標分別是，，．小林同學在點處休息，進而小貓沿著所在直線來回跑動，小貓離小林同學最近時的坐標為 ．
11．矩形中，，，動點滿足，，，，，則下列說法中正確的是 ．
①若，則△的面積為定值；
②若，則的最小值為4；
③若，則滿足的點不存在；
④若，，則△的面積為．
12．在中，，，．為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是 ．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項?？忌鷳诖痤}紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑。
13．下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是
A．B．C．D．
14．已知，，則
A．B．C．D．
15．是平面上一定點，，，平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的
A．外心B．內心C．重心D．垂心
16．若非零不共線的向量，滿足，則
A．B．C．D．
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟。
17．已知平面向量，滿足，，且．
（1）求向量，的夾角；
（2）若，求實數(shù)的值．
18．某同學用“五點法“畫函數(shù)在某一個周期內的圖像時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：
（1）請直接寫出表中，的值，并求出函數(shù)的解析式和最小正周期；
（2）若關于的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
19．如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個半圓形，其中為圓心，直徑的長為，，兩點在半圓弧上，且，設；
（1）當時，求四邊形的面積．
（2）若要在景區(qū)內鋪設一條由線段，，和組成的觀光道路，則當為何值時，觀光道路的總長最長，并求出的最大值．
20．（18分）已知函數(shù)的圖象如圖所示，點，，為與軸的交點，點，分別為的最高點和最低點，而函數(shù)在處取得最小值．
（1）求參數(shù)的值；
（2）若，求向量與向量的夾角；
（3）若點為函數(shù)圖象上的動點，當點在，之間運動時，恒成立，求的取值范圍．
21．（18分）個有次序的實數(shù)，，，所組成的有序數(shù)組，，，稱為一個維向量，其中，2，，稱為該向量的第個分量．特別地，對一個維向量，若，，，稱為維信號向量．設，，則和的內積定義為，且．
（1）直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．
（2）證明：不存在6個兩兩垂直的6維信號向量．
（3）已知個兩兩垂直的2024維信號向量，，，滿足它們的前個分量都是相同的，求證：．
參考答案
一．選擇題（共4小題）
一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分。
1．扇形的半徑為1，圓心角所對的長為3，則該扇形的面積是 ．
解：扇形的半徑為1，圓心角所對的長為3，
所以該扇形的面積．
故答案為：．
2．已知點，，若點滿足，則點的坐標為 ．
解：設點的坐標是，由，，
可得，，
又，則有，，，
即，解得．
故答案為：．
3．向量在向量方向上的數(shù)量投影為 ．
解：向量，，
，，
所以在方向上的數(shù)量投影為．
故答案為：．
4．函數(shù)的單調增區(qū)間是 ，， ．
解：對于函數(shù)，令，，
求得，，
可得函數(shù)的單調增區(qū)間為，，．
故答案為：，，．
5．在三角形中，是上靠近點的三等分點，為中點，若，則 ．
解：因為為中點，所以，
因為是上靠近點的三等分點，所以，
所以，
因為，所以．
故答案為：．
6．在上的最大值為 ．
解：函數(shù)，
由于，故，當時，函數(shù)取得最大值為．
故答案為：．
7．向量，的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是 ．
解：，，
且，解得且，
故實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
8．在△中，角、、的對邊分別為、、，，則角 或 ．
解：由，因為，可得，
因為，可得，所以或．
故答案為：或．
9．已知在上有且僅有3個極值點，則的取值范圍是 ．
解：當時，而，則，
因為函數(shù)在上有且僅有3個極值點，則，解得，
所以的取值范圍是．
故答案為：．
10．平面，，上三點的坐標分別是，，．小林同學在點處休息，進而小貓沿著所在直線來回跑動，小貓離小林同學最近時的坐標為 ．
解：因為點，，
所以，
所以直線的方程為，
即，
由題意知，小貓離小林同學最近時所在位置的點與的連線與垂直，
設，則，
所以，解得，
所以點．
故答案為：．
11．矩形中，，，動點滿足，，，，，則下列說法中正確的是 ①③④ ．
①若，則△的面積為定值；
②若，則的最小值為4；
③若，則滿足的點不存在；
④若，，則△的面積為．
解：對于①，當時，由向量加法的平行四邊形法則知，點應該在邊上，
在△中，以為底邊，高為點到的距離，
所以為定值，故①正確；
對于②，當時，由向量加法的平行四邊形法則知，點應該在邊上，
當位于點處時，有最小值2，故②錯誤；
對于③，當時，取的中點，的中點，連接，
此時點位于上，如圖點與重合，此時、夾角為，
同理，若點與重合，此時、夾角也為，
若不與、重合，設、夾角為，則，
因為、，
所以，，
又因為，，
所以
，
由題意知，，，，的夾角為，
所以，
又因為、夾角為，
所以，
因為，，且，
所以，
當且僅當時，等號成立，所以，
所以，所以、夾角為銳角，
綜上，無論怎么移動，，都不會垂直，故③正確；
對于④，當，時，由向量加法的平行四邊形法則作圖，
此時到的距離為，
所以，故④正確．
故答案為：①③④．
12．在中，，，．為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是 ， ．
解：如圖，
以為坐標原點，分別以、所在直線為、軸建立平面直角坐標系，
則，，，設，
可得，
則，
令，，，
可得
，，，
的取值范圍是，．
故答案為：，．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項?？忌鷳诖痤}紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑。
13．下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是
A．B．C．D．
解：函數(shù)、的最小正周期為，不正確；
函數(shù)是偶函數(shù)，不正確，是奇函數(shù)，且最小正周期為，正確．
故選：．
14．已知，，則
A．B．C．D．
解：因為，，
所以，
所以，
則．
故選：．
15．是平面上一定點，，，平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的
A．外心B．內心C．重心D．垂心
解：如圖所示，過點作，垂足為點．
則，
同理，
動點滿足，．
，．
，
，
因此的軌跡一定通過的垂心．
故選：．
16．若非零不共線的向量，滿足，則
A．B．C．D．
解：，
，是非零向量，必有，上式中等號不成立，
，
故選：．
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟。
17．已知平面向量，滿足，，且．
（1）求向量，的夾角；
（2）若，求實數(shù)的值．
解：（1）根據(jù)題意，，
則，變形可得，
又由，則；
（2）根據(jù)題意，由（1）的結論，，
則，
若，
則，
解可得：，
故，
18．某同學用“五點法“畫函數(shù)在某一個周期內的圖像時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：
（1）請直接寫出表中，的值，并求出函數(shù)的解析式和最小正周期；
（2）若關于的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得，
，
又，
，
函數(shù)的解析式為，
令，解得，
可得，
數(shù)據(jù)補全如下表：
則，最小正周期為
（2），
，
，
關于的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，
則與的圖象有兩個交點，
作出兩函數(shù)的圖象如圖所示：
結合函數(shù)圖像可知．
實數(shù)的取值范圍為．
19．如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個半圓形，其中為圓心，直徑的長為，，兩點在半圓弧上，且，設；
（1）當時，求四邊形的面積．
（2）若要在景區(qū)內鋪設一條由線段，，和組成的觀光道路，則當為何值時，觀光道路的總長最長，并求出的最大值．
解：（1）連接，則，，四邊形的面積為；
（2）由題意，，，
，
令，則，，
時，即，的最大值為5．
20．（18分）已知函數(shù)的圖象如圖所示，點，，為與軸的交點，點，分別為的最高點和最低點，而函數(shù)在處取得最小值．
（1）求參數(shù)的值；
（2）若，求向量與向量的夾角；
（3）若點為函數(shù)圖象上的動點，當點在，之間運動時，恒成立，求的取值范圍．
解：（1）由題意可得在處取得最小值，
則，，所以，，
因為，則；
（2）由題意，可得，
則，，，
則，
，
所以，，，
設向量與向量的夾角為，
則，
因為，，所以；
（3），，，
因為是上動點，設，
，，
則
，
易知，在或處有最小值，
在或處有最大值，
所以當或時，有最小值，
即當在或時，有最小值，此時或，
若，則，，
所以，又，解得，
若，則，，
所以，又，解得，
綜上可得．
21．（18分）個有次序的實數(shù)，，，所組成的有序數(shù)組，，，稱為一個維向量，其中，2，，稱為該向量的第個分量．特別地，對一個維向量，若，，，稱為維信號向量．設，，則和的內積定義為，且．
（1）直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．
（2）證明：不存在6個兩兩垂直的6維信號向量．
（3）已知個兩兩垂直的2024維信號向量，，，滿足它們的前個分量都是相同的，求證：．
解：（1）依題意，可寫出4個兩兩垂直的4維信號向量為：
，1，1，，，，1，，，1，，，，1，1，．
（2）假設存在6個兩兩垂直的6維信號向量，
因為將這6個向量的某個分量同時變號或將某兩個位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內積不變，
所以不妨設，
因為，所以有3個分量為，
設的前3個分量中有個，則后3個分量中有個，，
則，
，則，矛盾，
所以不存在6個兩兩垂直的6維信號向量．
（3）任取，，2，，，計算內積，
將所有這些內積求和得到，則，
設的第個分量之和為，
則從每個分量的角度考慮，每個分量為的貢獻為，
所以，
則，所以，故．
0
0
1
0
題號
13
14
15
16
答案
B
B
D
C
0
0
1
0
0
0
1
0
0

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