（時(shí)間120分鐘，滿分150分）
一、填空題（本大題共12題，滿分54分，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分.）
1. 函數(shù)的定義域?yàn)開____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0有意義求解.
【詳解】因?yàn)椋?，即函?shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
2. 已知，，則的取值范圍是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】借助不等式的性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】由，，則.
故答案為：.
3. 頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，2025°的角屬于第_____________象限.
【答案】三
【解析】
【分析】根據(jù)終邊相同角的概念求解判斷.
【詳解】，
與終邊相同，是第三象限角.
故答案為：三.
4. 函數(shù)的最小值為________.
【答案】6
【解析】
【分析】利用絕對(duì)值不等式可求該函數(shù)的最小值.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，
故的最小值為6.
故答案為：6
【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，注意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，本題屬于基礎(chǔ)題.
5. 扇形圓心角為2，弧長(zhǎng)為12cm，則扇形的面積為______.
【答案】36
【解析】
【分析】利用圓心角與弧長(zhǎng)以及半徑之間的關(guān)系可求得面積.
【詳解】根據(jù)題意設(shè)扇形的半徑為，
由圓心角為2，弧長(zhǎng)為12cm，可得半徑cm，
因此可得扇形的面積為.
故答案為：36
6. 已知冪函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則_____________.
【答案】-2
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意，可得，解得.
故答案為：.
7. 已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則_____________.
【答案】
【解析】
【分析】借助三角函數(shù)定義計(jì)算即可得.
【詳解】由題意可得，解得.
故答案為：.
8. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上嚴(yán)格增函數(shù).若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】先由定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱解得，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與對(duì)稱性，轉(zhuǎn)化不等式為求解可得.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故即，
即為，
由為偶函數(shù)，則，
又在上嚴(yán)格增函數(shù)，且為偶函數(shù)，
故在上為嚴(yán)格減函數(shù)，
故，解得或.
則實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
9. 已知函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程都有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得值域?yàn)镽，再結(jié)合分段函數(shù)性質(zhì)，分別計(jì)算在時(shí)及時(shí)的值域即可得.
【詳解】由題意可得值域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，對(duì)，有a>02a?2≥1，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
10. 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其對(duì)勾股定理的論述比西方早一千多年.其中有這樣一個(gè)問題：“今有勾三步，股四步，間勾中容方幾何？"其意思為：今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)3步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為4步，問該直角三角形能容納的正方形分別在邊上）邊長(zhǎng)為多少？在求得正方形的邊長(zhǎng)后，可進(jìn)一步求得的正切值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形相似求出正方形邊長(zhǎng)，再利用及兩角差的正切公式，即可求解.
【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，
由，可得，即，解得，
因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
11. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則_____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又，所以，
即，
即有，
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，
所以，所以．
故答案為：．
12. 設(shè)，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值集合為______.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)分析可知，再討論的符號(hào)去絕對(duì)值，分別研究的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>1.若，則，顯然等號(hào)不同時(shí)成立，
所以恒成立，不合題意；
2.若，令，解得，即有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
3. 若，構(gòu)建，
因?yàn)?，即函?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
且，即不是零點(diǎn)，
（1）當(dāng)，即時(shí)，則，
令，解得或，
且，即，
所以在有兩個(gè)零點(diǎn)；
（2）當(dāng)，即或時(shí)，則，
由題意可知：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，則，且，
此時(shí)在上的零點(diǎn)為，符合題意；
（ⅱ）當(dāng)且時(shí)，令，解得或，
且，
即，
①若，解得，所以在內(nèi)的零點(diǎn)是，符合題意；
②若，則在內(nèi)的零點(diǎn)是，不合題意；
綜上所述：或.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)，可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合二次不等式分類討論去絕對(duì)值.
二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，考生必須在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對(duì)得4分，15-16題每題選對(duì)得5分，否則一律得零分.）
13. 設(shè)，則“”是“且”的（ ）
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】正向取反例即可，反向根據(jù)不等式性質(zhì)即可，最后根據(jù)必要不充分條件判定即可.
【詳解】正向來看，取，則，滿足，但不滿足a>0且，故充分性不成立，
反向來看，，則，故必要性成立，
所以前者是后者的必要不充分條件.
故選：B.
14. 函數(shù)的部分圖像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性排除C；根據(jù)排除B；根據(jù)排除D，從而可得答案.
【詳解】由，函數(shù)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除C；
因?yàn)?，故排除B；
因?yàn)?br>因?yàn)椋x項(xiàng)D中，函數(shù)在上遞增，故排除D，
故選：A.
15. 已知，，且，則ab的最小值為（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算及換底公式可得，運(yùn)用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
即：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為16.
故選：C.
16. 已知函數(shù)，則下列命題中正確個(gè)數(shù)有（ ）
①的定義域?yàn)?；②的值域?yàn)?；③；④有兩個(gè)零點(diǎn)，，且.
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】對(duì)①，求出的定義域判斷；對(duì)②，判斷的單調(diào)性，并結(jié)合極限思想判斷；對(duì)③，根據(jù)解析式求出并判斷；對(duì)④，利用零點(diǎn)存在性定理結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得存在，使得，結(jié)合③可得，得解.
【詳解】對(duì)于①，由x>0x?1≠0，解得且，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，由，
所以函數(shù)在0,1和1,+∞上均單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)從小于1的方向逼近1時(shí)，，
當(dāng)從大于1的方向逼近1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)值域?yàn)镽，故②正確；
對(duì)于③，，即，故③正確；
對(duì)于④，因?yàn)樵?,1和1,+∞上均單調(diào)遞增，
又，fe2=lne2?1?2e2?1=1?2e2?1=e2?3e2?1>0，
所以存在，使得，
又，則，結(jié)合③可得，
即也是的零點(diǎn)，則，，故，故④正確.
綜上，正確個(gè)數(shù)有3個(gè).
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題命題④解決的關(guān)鍵是利用在1,+∞上單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到存在，使得，結(jié)合命題③的結(jié)論求解.
三、解答題（本大題共5題，滿分78分，解答要有詳細(xì)的論證過程與運(yùn)算步驟，請(qǐng)將解答過程寫在答題紙對(duì)應(yīng)位置.）
17. 已知集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化簡(jiǎn)集合，根據(jù)交集運(yùn)算求解；
（2）利用集合的包含關(guān)系建立不等式組進(jìn)行求解.
【小問1詳解】
由，等價(jià)于，解得，
所以，
又，當(dāng)時(shí)，，
所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?，解得?br>所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18. （1）已知，化簡(jiǎn)并求值；
（2）已知，當(dāng)求滿足條件的角的集合.
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】（1）借助誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系將切化弦后計(jì)算即可得；
（2）借助輔助角公式化簡(jiǎn)后計(jì)算即可得
【詳解】（1）；
（2），則，
令，則，
若，則或.
19. 據(jù)國(guó)家氣象局消息，今年各地均出現(xiàn)了極端高溫天氣，漫漫暑期，空調(diào)成了很好的降溫工具，而物體的降溫遵循牛頓冷卻定律，如果某物體的初始溫度為，那么經(jīng)過分鐘后，溫度滿足，其中為室溫，為半衰期，為模擬觀察空調(diào)的降溫效果，小明把一杯75℃的茶水放在25℃的房間，10分鐘后茶水降溫至50℃.
（1）若欲將這杯茶水繼續(xù)降溫至35℃，大約還需要多少分鐘？（結(jié)果保留整數(shù)）
（2）為適應(yīng)市場(chǎng)需求，2025年某企業(yè)擴(kuò)大了某型號(hào)的變頻空調(diào)的生產(chǎn)，全年需投入固定成本200萬元，每生產(chǎn)千臺(tái)空調(diào)，需另投入成本萬元，且，已知每臺(tái)空調(diào)售價(jià)3000元，且生產(chǎn)的空調(diào)能全部銷售完，問2025年該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)的總產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，獲利最大？并求出最大利潤(rùn).
【答案】（1）13分鐘
（2）30千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤(rùn)為3400萬元.
【解析】
【分析】（1）由題意列方程求解；
（2）由題意得出利潤(rùn)與的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式求解最值.
【小問1詳解】
由題，可得，解得，
設(shè)經(jīng)過分鐘，降溫至，則，
解得，
故大約還需要13分鐘.
【小問2詳解】
設(shè)利潤(rùn)為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為3400萬元，
當(dāng)時(shí)，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為3380萬元，
因?yàn)椋?br>所以總產(chǎn)量為千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤(rùn)為3400萬元.
20. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，，其中.
（1）若函數(shù)hx的圖象過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)和的值；
（2）若，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義證明；
（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)每一個(gè)不小于3實(shí)數(shù)，都存在小于3的實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）在上單調(diào)遞增，證明見詳解
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義可得，再由圖象經(jīng)過點(diǎn)，解方程可得；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷證明；
（3）根據(jù)的解析式，分別討論，，，運(yùn)用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，求得的范圍．
【小問1詳解】
函數(shù)為奇函數(shù)，可得，
即，可得，
又的圖象過點(diǎn)，得，可得，解得，
所以，.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，
證明如下：設(shè)，
則
，
由，可得，，，
則，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，
而對(duì)任意，不滿足條件，舍去；
當(dāng)時(shí)，，，
對(duì)，，，
由題意，，可得，即，
所以，
當(dāng)時(shí)，，，
對(duì)，，，
所以，得，
令，易得在R上嚴(yán)格遞減，，
所以，即，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問解決的關(guān)鍵是分，，討論，求出，的值域，問題轉(zhuǎn)化為的值域是的值域的子集.
21. 對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，區(qū)間若，則稱為上的閉函數(shù)：若存在常數(shù)，對(duì)于任意的，都有，則稱為上的壓縮函數(shù).
（1）判斷命題“函數(shù)既是閉函數(shù)，又是壓縮函數(shù)”的真假，并說明理由；
（2）已知函數(shù)是區(qū)間[0，1]上的閉函數(shù)，且是區(qū)間[0，1]上的壓縮函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的解析式，并說明理由；
（3）給定常數(shù)，以及關(guān)于的函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得是區(qū)間[a，b]上的閉函數(shù)，若存在，求出a、b的值，若不存在，說明理由.
【答案】（1）假命題，理由見解析；
（2），，或，，，理由見解析；
（3）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，無解．
【解析】
【分析】（1）利用定義判斷函數(shù)是閉函數(shù)，但是不是壓縮函數(shù)，再判斷得解；
（2）假設(shè)（a），（b），，，，，利用兩邊夾的思想，求出，，然后分類討論，利用反證法證明，同理可得；
（3）分類討論，當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性建立方程，可得，是方程的兩個(gè)根，由求根公式求解即可，當(dāng)，時(shí)，分析得到矛盾，故無解，即可得到答案．
【小問1詳解】
解：函數(shù)的值域是，
所以函數(shù)是閉函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，存在常數(shù)，對(duì)于任意的，都有；
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，等價(jià)于，
所以，所以，
所以，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以此時(shí)無解.
所以函數(shù)不是區(qū)間[0，1]上的壓縮函數(shù).
所以命題是假命題.
【小問2詳解】
解：函數(shù)是，上的閉函數(shù)，且是，上的壓縮函數(shù)，
所以的值域?yàn)椋?br>假設(shè)（a），（b），，，，，
則（a）（b），
所以，，（a）（b），
即或，
當(dāng)，則，
反證：如果存在，，
則，矛盾；
若存在，，
則（1），矛盾．
同理可得，當(dāng)，則，
綜上所述，，，或，，；
【小問3詳解】
解：因?yàn)?，所以?br>情形1：若，則單調(diào)遞增，
所以，
故，是方程的兩個(gè)根，
所以，
即時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，無解；
情形2：若，則單調(diào)遞減，
所以，可得，與條件矛盾；
情形3：若，因?yàn)?，?不在定義域中，矛盾．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，無解．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運(yùn)算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行解答即可．

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