一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 如果角的終邊上有一點，那么
A. 是第三象限角B. 是第四象限角
C. 是第三或第四象限角D. 不是象限角
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)點的位置，可判斷出角終邊的位置.
【詳解】因為點在軸的負半軸上，即角的終邊落在軸的非正半軸上，所以不是象限角．
故選D.
【點睛】本題考查根據(jù)角的終邊上的點判斷出角的終邊的位置，考查對任意角概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.
2. 若是第三象限角，則等于（ ）
A. 1B. -1C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】先切化弦，再根據(jù)的象限，去掉絕對值符號，即可.
【詳解】解：
又第三象限角，故,
所以
故選：B.
3. 函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)圖象得，進而得，再把代入函數(shù)解析式得，再結(jié)合得，故.
【詳解】解：因為，所以，
解得，所以.
將點的坐標(biāo)代入可得，
所以，即.
因為，所以，從而.
故選：A.
4. 已知點在第二象限，則角的一個可能的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通過求出角的所在象限和正余弦的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，
點在第二象限，
∴，故，
取，則，
取，則，
取，則，
故選：C.
5. 已知，，則下列說法中正確的是（ ）
A. 函數(shù)不為奇函數(shù)B. 函數(shù)存在反函數(shù)
C. 函數(shù)具有周期性D. 函數(shù)的值域為
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)，圖象與性質(zhì)，逐一分析選項，即可得答案.
【詳解】對于A：的定義域關(guān)于原點對稱，且，，故為奇函數(shù)，故A錯誤；
對于B：，在定義域內(nèi)一一對應(yīng)，所以，即的反函數(shù)為，故B正確；
對于C：因為，，故圖象為孤立的點，不是連續(xù)的曲線，所以不具有周期性，故C錯誤；
對于D：因為，，所以圖象為孤立的點，不是連續(xù)的曲線，所以的值域為一些點構(gòu)成的集合，不是R，故D錯誤.
故選：B
6. 使（ω＞0）在區(qū)間[0，1]至少出現(xiàn)2次最大值，則ω的最小值為（ ）
A. B. C. πD.
【答案】A
【解析】
【分析】函數(shù)在區(qū)間[0，1]至少出現(xiàn)2次最大值等價于函數(shù)的圖象在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)個周期，由此可得的不等式，解不等式可得所求的最小值．
【詳解】由題意得函數(shù)的最小正周期為．
∵函數(shù)在區(qū)間[0，1]至少出現(xiàn)2次最大值，
∴，
又，
∴，
∴的最小值為．
故選A．
【點睛】解答本題時注意轉(zhuǎn)化思想方法的運用，將函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)取得最值的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)周期的個數(shù)的問題解決，建立不等式后解不等式即可得到所求．
7. 已知，若與的夾角為，則在的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助數(shù)量積公式與投影向量公式計算即可得.
【詳解】因為與的夾角為，
所以，
則，
所以在上的投影向量為.
故選：B.
8. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，分別根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在時，恒成立，列出不等關(guān)系，通過賦值，并結(jié)合的本身范圍進行求解.
【詳解】由已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因為函數(shù)在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因為，當(dāng)時，由①②可知：，解得；
當(dāng)時，由①②可知：，解得.
所以的取值范圍為.
故選：B.
【點睛】在處理正弦型、余弦型三角函數(shù)性質(zhì)綜合問題時，通常使用整體代換的方法，將整體范圍滿足組對應(yīng)的單調(diào)性或者對應(yīng)的條件關(guān)系，羅列出等式或不等式關(guān)系，幫助我們進行求解.
二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 設(shè)，是兩個相互垂直的單位向量．若向量，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積、模長的運算、向量平行逐項判斷即可得結(jié)論.
【詳解】，是兩個相互垂直的單位向量，
所以，
對于A，，
，所以，故A正確；
對于B，，故B不正確；
對于C，，所以，故C正確；
對于D，，故D不正確.
故選：AC.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的最小正周期為B. 的定義域為
C. D. 在上單調(diào)遞減
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期性、定義域、特殊角的正切值和單調(diào)性依次判斷選項即可.
【詳解】對于A：函數(shù)的最小正周期，故A正確；
對于B：由，，得，，
所以函數(shù)的定義域為，故B錯誤；
對于C：，，
所以，故C正確；
對于D：當(dāng)時，，
因為在單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，故D錯誤.
故選：AC.
11. 函數(shù)，下列四個選項正確的是（ ）
A. 是以為周期的函數(shù)B. 的圖象關(guān)于直線對稱
C. 在區(qū)間，上單調(diào)遞減D. 的值域為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)已知解析式得，，特殊值法判斷是否相等判斷A；根據(jù)所得解析式判斷關(guān)系判斷B；根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C、D.
【詳解】由解析式得，，（注意函數(shù)是連續(xù)的），
顯然，顯然不是的周期，A錯；
當(dāng)時，，。
所以，結(jié)合上述解析式知，
當(dāng)時，，。
所以，結(jié)合上述解析式知，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，B對；
由，，
又在上單調(diào)遞減，C對；
當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
所以值域為，D對.
故選：BCD
三、填空題（共3小題，每題5分，共15分）
12. 已知與是兩個互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則k的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積及共線向量，列式求解作答.
【詳解】因與是兩個互相垂直的單位向量，則，，
又向量與的夾角為銳角，則，且向量與不共線，
由得：，解得，
當(dāng)向量與共線時，，解得，因此向量與不共線，有且，
所以k的取值范圍是且，即.
故答案為：
13. 已知向量，，，是非零向量，且，，則的面積為__________．
【答案】6
【解析】
【分析】由已知可求得，進而得，，可求面積.
【詳解】因為，，所以．由，，
得，解得，從而，，
故是直角三角形，為直角頂點，則該三角形的面積為．
故答案為：.
14. 設(shè)函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，，則________，集合中所有元素之積為________
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】代入計算求出函數(shù)值；分段求出函數(shù)的值域，進而求出集合中所有元素之積.
【詳解】函數(shù)，則；
，因此函數(shù)的周期為，
則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，，
因此，，
所以集合中所有元素之積為.
故答案為：；
【點睛】關(guān)鍵點點睛：分段討論求出函數(shù)的值域是求得第2空答案的關(guān)鍵.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)．
（1）請用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期上的圖象；
（2）寫出的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】（1）答案見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）求出的周期，對比正弦函數(shù)，算出“五點法”的五點，描點畫圖即可；
（2）對比正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列不等式求解即可.
小問1詳解】
函數(shù)的周期為，列表
描點、連線得到圖象如下，
【小問2詳解】
由，
得．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
16. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)在的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個零點，求的最大值．
【答案】（1）和．
（2）．
【解析】
【分析】（1）確定函數(shù)解析式，通過整體代換即可求解；
（2）結(jié)方程，進而可求解；
【小問1詳解】
由圖象可知，
所以．又，解得，
所以．
令，
得，
又因為，
所以函數(shù)在的單調(diào)遞增區(qū)間為和．
【小問2詳解】
由，
得或
函數(shù)在每個周期上恰有兩個零點，
結(jié)合圖象可知的最大值為．
17. 摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.位于濰坊濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪，該摩天輪輪盤直徑為124米.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，當(dāng)?shù)竭_最高點時距離地面145米，勻速轉(zhuǎn)動一周大約需要30分鐘.當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時.
（1）經(jīng)過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式滿足(其中，，)求摩天輪轉(zhuǎn)動一周的解析式；
（2）游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面高度第一次恰好達到52米？
【答案】（1）()；（2）5分鐘
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合已知條件可知，，即，求得，利用的最小正周期，求出，再根據(jù)題意知其過點，求出，即可求出摩天輪轉(zhuǎn)動一周的解析式；
（2）令，求出符合題意的即可.
【詳解】（1）該摩天輪輪盤直徑為124米，且摩天輪最高點距離地面145米，
摩天輪最低點距離地面米，即，
，解得
又摩天輪勻速轉(zhuǎn)動一周大約需要30分鐘，的最小正周期為
，
又，
，
所以摩天輪轉(zhuǎn)動一周的解析式為：()
（2）由（1）知，()，
令，解得：
要求求摩天輪第一次距離地面的高度為52米，，，
，
所以游客甲坐上摩天輪后5分鐘，距離地面的高度第一次恰好達到52米.
【點睛】方法點睛：求(其中，)解析式的步驟
（1）求，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則，.
（2）求，確定函數(shù)周期T，則.
（3）求，代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入．
18. 已知函數(shù)的圖象相鄰對稱軸之間的距離是，若將的圖象向右移個單位，所得函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求的解析式；
（2）若函數(shù)的零點為，求；
（3）若對任意，有解，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）本題首先可通過相鄰對稱軸之間的距離是得出，然后通過圖象的平移即可得出，最后根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)即可求出的值；
（2）首先可通過題意得出，然后通過三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可得出結(jié)果；
（3）本題可令，然后根據(jù)得出，最后通過求出的取值范圍即可得出的取值范圍.
【小問1詳解】
因為相鄰對稱軸之間的距離是，所以，，
所以，解得，，
將的圖像向右移個單位，可得函數(shù)，
因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，，
因為，所以，
所以，
【小問2詳解】
因為函數(shù)的零點為，
所以，，
因為，
所以.
【小問3詳解】
令，
因為，所以，，
則有解，即有解，
當(dāng)時，無解，當(dāng)時，即有解，
因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，
因為有解，所以的取值范圍為.
19. 在第六章平面向量初步中我們學(xué)習(xí)了向量的加法、減法和數(shù)乘向量三種運算，以及由它們組合成的線性運算那向量乘法該怎樣運算呢？數(shù)學(xué)中向量的乘法有兩種：數(shù)量積和向量積（又稱為“·乘”，“×乘”）．向量與的向量積記作：．其中的運算結(jié)果是一個向量，其方向垂直于向量與所在平面，它的長度．現(xiàn)在我們定義一種運算規(guī)則“”．設(shè)平面內(nèi)兩個非零向量而，元的夾角為，規(guī)定示．試求解下列問題：
（1）已知向量，滿足，，，求的值；
（2）已知向量，，，求的最小值．
【答案】（1）2 （2）9
【解析】
【分析】（1）借助新定義計算即可得；
（2）借助所給定義及三角函數(shù)間的關(guān)系，計算可得，代入數(shù)據(jù)，結(jié)合基本不等式計算即可得.
【小問1詳解】
由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
【小問2詳解】
法一：設(shè)，，則，，
所以，
，
所以，
故，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
所以的最小值的最小是9．
法二：，故．故．
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
所以的最小值的最小是9．
0
0
2
0
0

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