2022-2023學(xué)年遼寧省鐵嶺市昌圖縣第一高級中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡集合，再利用集合交集的定義求解即可.【詳解】由可得，由可得或，所以，或，所以，故選：B.2．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，而其函數(shù)的 對稱軸為x=,那么可知，區(qū)間，故有，，選A.【解析】本試題主要考查了一元二次函數(shù)的單調(diào)性的運用．點評：解決該試題的關(guān)鍵是理解題目中給出的區(qū)間是二次函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的子區(qū)間的關(guān)系即可，那么求解對稱軸，得到不等式．3．若，化簡的結(jié)果是（    ）A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1【答案】C【分析】由，得到，結(jié)合根式的運算法則，即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查根式的運算性質(zhì)的化簡、求值，其中解答中熟記根式的運算性質(zhì)，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力.4．的圖像（    ）A．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于軸對稱C．關(guān)于軸對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】A【分析】將代入驗證即可.【詳解】選項A：將點代入得，所以圖像關(guān)于原點對稱，正確；選項B：將點代入得，所以不關(guān)于軸對稱，錯誤；選項C：將點代入得，所以不關(guān)于軸對稱，錯誤；選項D：將點代入得，所以不關(guān)于直線對稱，錯誤；故選：A5．已知奇函數(shù)與偶函數(shù)滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，用換，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得，聯(lián)立解方程組即可得解.【詳解】由可得，又分別為奇，偶函數(shù)，所以，由解得，故選：C6．用二分法求函數(shù)的零點可以取的初始區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二分法的定義，驗證各選項端點即可.【詳解】因為，，且單調(diào)遞增，即當(dāng)時，，所以零點在內(nèi)，故選：A7．函數(shù)，是偶函數(shù)，（    ）A．4 B．1C．4或1 D．其他值【答案】A【分析】利用偶函數(shù)的定義求解即可.【詳解】因為，是偶函數(shù)，所以解得，所以，故選：A.8．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，若，則實數(shù)的取值范圍（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用偶函數(shù)的對稱性和單調(diào)性列不等式組求解即可.【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時單調(diào)遞增，則由可得，由即解得，所以由不等式組可解得，故選：D 二、多選題9．，且，則實數(shù)a的值為（    ）A．－ B． C． D．【答案】ACD【分析】分情況討論，根據(jù)函數(shù)值求自變量即得.【詳解】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得或（舍去）．綜上可知，實數(shù)a的值為－或或．故選：ACD.10．下列說法正確的是（    ）A．已知集合，則.B．，的否定“，”C．若，且，則D．函數(shù)的最小值為2【答案】AC【分析】根據(jù)集合交集的定義判斷A，根據(jù)全稱命題的否定判斷B，利用不等式的性質(zhì)判斷C，利用均值不等式判斷D.【詳解】選項A：的定義域為，值域為，所以，，，正確；選項B：命題，的否定為，，錯誤；選項C：，且，兩邊同除得，正確；選項D：由均值定理，但方程即無解，所以等號不成立，最小值不為2，錯誤；故選：AC11．對任意兩個實數(shù)a，b，定義，若，，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（    ）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．方程有三個解C．函數(shù)有3個單調(diào)區(qū)間 D．函數(shù)有最大值為4，無最小值【答案】AB【分析】由題意寫出解析式，后畫出圖像，據(jù)此可得答案.【詳解】當(dāng)，即或時，=；當(dāng)，即時，.則，畫出圖像如下.對于A選項，因，且，則函數(shù)是偶函數(shù)，A正確.對于B選項，由圖可得有三個解，B正確.對于C選項，由圖可得有4個單調(diào)區(qū)間，故C錯誤.對于D選項，由圖可得有最大值為2，無最小值，故D錯誤.故選：AB12．若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，且，則下列結(jié)論中正確的說法是（    ）A．當(dāng)時，， B．C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】ABD【解析】根據(jù)題意得，函數(shù)與圖象有兩個交點，進而數(shù)形結(jié)合即可得答案.【詳解】解：A中，時，方程為，解為：，，所以A正確；B中，方程整理可得：，由不同兩根的條件為：，所以，所以B正確. 當(dāng)時，在同一坐標(biāo)系下，分別作出函數(shù)和的圖像，如圖，可得，所以C不正確，D正確，故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)一元二次方程的實數(shù)根求參數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象有兩個交點問題，進而數(shù)形結(jié)合解決.考查數(shù)形結(jié)合思想和化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題. 三、填空題13．不等式的解集為______．【答案】【分析】本題由于該不等式恒成立，只要使得根號有意義，即即可.【詳解】對于不等式，，而，故該不等式恒成立即可，所以只要滿足，所以即可，故答案為：14．函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的值域為______．【答案】【分析】由定義域可求出定義域，化簡后再由二次函數(shù)求出值域即可.【詳解】由題意可知，要有意義，則需，即，即函數(shù)定義域為，又，對稱軸方程為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)值域為，故答案為：15．定義在上的函數(shù)滿足：對、，且，都有成立，且，則不等式的解集為______．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性的定義可判斷得在上單調(diào)遞增，再將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性即可求解.【詳解】令，因為對，且，都有成立，不妨設(shè)，則，故，則，即，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以，故可化為，所以由的單調(diào)性可得，即不等式的解集為.故答案為：16．若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，作出的圖像，結(jié)合圖像分析即可.【詳解】令得，作出的函數(shù)圖像，如圖，因為有4個零點，所以直線與的圖像有4個交點，所以.故答案為： 四、解答題17．已知二次函數(shù)滿足，且該函數(shù)的圖像與軸交于點，在軸上截得的線段長為，求該二次函數(shù)的解析式.【答案】【解析】設(shè)，令，設(shè)兩根為，根據(jù)韋達定理得到；根據(jù)對稱軸得到；經(jīng)過點得到；聯(lián)立解得答案.【詳解】設(shè)，令，設(shè)兩根為，則，所以.，函數(shù)圖像的對稱軸為直線，因為函數(shù)圖像過，所以.解得，所以函數(shù)的解析式為.【點睛】本題考查了求函數(shù)解析式，意在考查學(xué)生的計算能力.18．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若時，(1)求的解析式；(2)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)的范圍分類直接解不等式即可..【詳解】（1）因為當(dāng)時，，任取，則，所以，又因為是奇函數(shù)，所以，所以.（2）當(dāng)時，由解得，當(dāng)時，由解得，綜上的解集為.19．已知函數(shù)(1)求的定義域，值域；(2)判斷的奇偶性，單調(diào)性并加以證明．【答案】(1)定義域，值域為(2)是奇函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，證明見解析 【分析】（1）根據(jù)分式有意義可求得函數(shù)定義域，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可求得值域；（2）利用奇偶性和單調(diào)性的定義證明即可.【詳解】（1）由分式有意義可得，在上，僅當(dāng)上等號成立，由對勾函數(shù)的對稱性知：上，綜上，，所以定義域，值域為.（2）函數(shù)為奇函數(shù)，在(∞,3)、(3,+∞)上遞增，在(3,0)、(0,3)上遞減，證明如下：因為，所以為奇函數(shù)；任取，則，因為，當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的對稱性可得當(dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增；綜上所述的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和.20．設(shè)函數(shù)．(1)若不等式對于實數(shù)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析 【分析】（1）把不等式整理為關(guān)于的不等式，然后利用其在時恒成立可得關(guān)于的不等關(guān)系從而得結(jié)論；（2）不等式化簡為，然后分類討論求解．【詳解】（1）不等式對于實數(shù)時恒成立，即，，顯然，函數(shù)在上遞增，從而得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是；（2）不等式，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，不等式可化為，而，解得，當(dāng)時，不等式可化為，當(dāng)，即時，，，當(dāng)，即時，或，當(dāng)，即時，或，所以，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為.21．新能源開發(fā)能夠有效地解決我國能源短缺和傳統(tǒng)能源使用帶來的環(huán)境污染問題，國家新能源政策的出臺，給新能源產(chǎn)業(yè)帶來了春天，已知浙江某新能源企業(yè)，年固定成本600萬，每生產(chǎn)臺設(shè)備，另需投入成本t萬元，若年產(chǎn)量不足100臺，則；若年產(chǎn)量不小于100臺，則，每臺設(shè)備售價150萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的設(shè)備能全部售完.（1）寫出年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺）的關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)所獲利潤最大？【答案】（1）；（2）110臺.【解析】（1）分年產(chǎn)量不足100臺和年產(chǎn)量不小于100臺兩種情況進行分析，利潤=總收入-總投入，即得結(jié)果；（2）討論分段函數(shù)最值，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）依題意，若年產(chǎn)量不足100臺，另外投本，固定投本600萬，總收入150x萬元，故利潤；若年產(chǎn)量不小于100臺，另外投本，固定投本600萬，總收入150x萬元，故利潤.故；（2）當(dāng)時，，在對稱軸處，取得最大值，；當(dāng)，時，，對勾函數(shù)在上遞減，在上遞增，故時，利潤取得最大值，，綜上可知，當(dāng)年產(chǎn)量為110臺時，該企業(yè)所獲利潤最大為3660萬元.【點睛】本題解題關(guān)鍵是能準(zhǔn)確根據(jù)利潤=總收入-總投入，得到利潤的分段函數(shù)，再求分段函數(shù)的最值即突破難點.22．記函數(shù)在的最小值為函數(shù).(1)求的解析式；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二次函數(shù)軸定區(qū)間動，分類討論，與三種情況，即可得到的解析式；（2）先判斷得的關(guān)于對稱軸對稱，再求得取得最小值時，的取值范圍，由此得到或，解之即可得到的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以開口向上，對稱軸為，(i)當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，所以；(ii)當(dāng)時，即時，；(iii)當(dāng)時，在單調(diào)遞增，所以；綜上：.（2）由（1）可得，，所以函數(shù)的圖像關(guān)于對稱軸對稱，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，所以，且取得最小值時，，因為，所以（i），解得，或(ii)，解得，綜上：，即. 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