考生注意：
1． 帶2B鉛筆、黑色簽字筆、科學(xué)計(jì)算器、考試中途不得傳借文具．
2． 本試卷共4頁(yè)，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘
3． 請(qǐng)將答案正確填寫在答題紙上，作答在原卷上不予評(píng)分
一．填空題（12題共54分，1~6題每題4分，7~12題每題5分）
1. 設(shè)是第三象限的角，則的終邊在第_________ 象限.
【答案】二或四
【解析】
【分析】根據(jù)是第三象限角，得到，，再得到，，然后討論的奇偶可得答案.
【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，?br>所以，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為第二象限角，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為第四象限角.
故答案為：二或四.
2. 已知，則________.
【答案】
【解析】
【分析】
由題意得出，然后利用誘導(dǎo)公式可計(jì)算出的值.
【詳解】，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式求值，解題時(shí)要明確各角之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
3. 與終邊相同的角組成的集合為_______．（用弧度制表示）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)角度與弧度的轉(zhuǎn)化關(guān)系及終邊相同的角的表示規(guī)則計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，又?br>所以與的終邊相同，
所以與的終邊相同，
則與終邊相同的角組成的集合為.
故答案為：
4. 已知，則角x的取值集合為_________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意，可得或或或，求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋曰蚧蚧颍?br>所以或或或，
所以角x的取值集合為.
故答案為：.
5. 集合，集合，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】解不等式求得集合，進(jìn)而求得集合，利用交集的意義可求得.
【詳解】由，可得，解得或，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以.
故答案為：.
6. 若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式對(duì)所求進(jìn)行化簡(jiǎn)，把條件代入求值即可.
【詳解】
又，所以原式
故答案為：
7. 已知某扇形的周長(zhǎng)是，面積為，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是______.
【答案】2
【解析】
【分析】由扇形的周長(zhǎng)和面積，可求出扇形的半徑及弧長(zhǎng)，進(jìn)而可求出該扇形的圓心角.
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，所對(duì)弧長(zhǎng)為，則有，解得，故.
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式、弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
8. 函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______.
【答案】
【解析】
【分析】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)論.
【詳解】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，
因此，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷，在判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根，或轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.
9. 在中，角所對(duì)邊分別為，若，則__________．
【答案】
【解析】
【詳解】
又A為銳角，所以A=
10. 小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為______________．
【答案】
【解析】
【分析】由直角三角形中正弦得出，再結(jié)合正弦定理得到，進(jìn)而能求．
【詳解】由題意知：，，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，所以，
且
在中，
故答案為：
11. 如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是銳角，大小為β；則圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意首先確定面積最大時(shí)點(diǎn)的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.
【詳解】觀察圖象可知，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)為弧的中點(diǎn)時(shí)，到的距離最大，
此時(shí)陰影部分的面積取最大值，
此時(shí)，
面積最大值為
.
故答案為：.
12. 已知在中，角的對(duì)邊分別為則為等腰三角形的一個(gè)必要不充分條件可以為_______．
① ②方程的兩根之積等于兩根之和
③． ④ ⑤ （選填所有滿足題意的序號(hào)）
【答案】③⑤
【解析】
【分析】利用三角恒等變換由可得，可判斷①；由正弦定理由可得，可判斷②；由，利用三角恒等變換可得，計(jì)算可判斷③；由，利用正弦定理與三角恒等變換可得，可判斷④；由，可得，分類討論計(jì)算可判斷⑤.
【詳解】①
，
所以是為等腰三角形的一個(gè)充要條件，故①不符合條件；
由兩根之和等于兩根之積，可得，
所以②是為等腰三角形的一個(gè)充要條件，故②不符合條件；
當(dāng)時(shí)，可得，
反過(guò)來(lái)，由，可得，所以，
所以，所以，
所以或，所以或，
故③是為等腰三角形的一個(gè)必要不充分條件，故③符合題意；
，
所以④是為等腰三角形的一個(gè)充要條件，故④不符合題意；
，
若，則，可得，所以，
當(dāng)時(shí)，則，
若，
所以⑤是為等腰三角形的一個(gè)必要不充分條件，故⑤符合題意.
故答案為：③⑤.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換計(jì)算化簡(jiǎn)，得到角的關(guān)系，進(jìn)而可得邊的關(guān)系，可判斷三角形的形狀.
二．選擇題（4題共18分，13~14每題4分，15~16每題5分）
13. 是成立的（ ）
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既非充分也非必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】判斷和之間的邏輯推理關(guān)系，即得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
即推不出成立；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
即推不出成立；
故是成立既非充分也非必要條件，
故選：D
14. 已知△ABC不是直角三角形，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. △ABC所有內(nèi)角余弦值的和等于所有內(nèi)角余弦值的積
B. △ABC所有內(nèi)角正弦值的和等于所有內(nèi)角正弦值的積
C. △ABC所有內(nèi)角正切值的和等于所有內(nèi)角正切值的積
D. 以上說(shuō)法都不正確
【答案】C
【解析】
【分析】利用賦值法可判斷AB，利用兩角和與差的正切公式計(jì)算可判斷C.
【詳解】對(duì)于A，取時(shí)，，
又，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，取時(shí)，，
又，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
所以，
所以，故C正確.
故選：C.
15. 在中，已知，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由條件可得，然后逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所?br>因?yàn)?br>所以，即，即
所以
當(dāng)時(shí)可驗(yàn)證A，B，C不成立
因?yàn)?，所以，故D正確
故選：D
16. 設(shè)是某地區(qū)平均氣溫（攝氏度）關(guān)于時(shí)間（月份）的函數(shù).下圖顯示的是該地區(qū)1月份至12月份的平均氣溫?cái)?shù)據(jù)，函數(shù)近似滿足.下列函數(shù)中，最能近似表示圖中曲線的函數(shù)是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合題意和函數(shù)圖象，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意，，即.
由圖可知，，解得，，
此時(shí)，
將點(diǎn)代入解析式，
可得，即，
所以，，
即，取，，
所以.
故選：A.
三．解答題（共78分，17~19每題14分，20~21每題18分）
17. （1）上課不認(rèn)真聽(tīng)講的某同學(xué)將兩角和的余弦定理錯(cuò)誤地記憶為：，老師給定了和值，該同學(xué)用錯(cuò)誤的公式計(jì)算的值，結(jié)果居然與正確答案相同，請(qǐng)問(wèn)：老師給出的和值分別是什么？（請(qǐng)寫出至少三組答案）
（2）有了上次僥幸的喜悅后，該同學(xué)繼續(xù)我行我素，又想當(dāng)然的認(rèn)為，請(qǐng)問(wèn)：是否存在某些和，可以讓該同學(xué)繼續(xù)“混對(duì)”答案？若存在和，請(qǐng)求出，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）或，等；（2）不存在和能讓該同學(xué)能繼續(xù)“混對(duì)”.
【解析】
【分析】（1）化簡(jiǎn)即得解；
（2）化簡(jiǎn)已知得，即得解.
【詳解】解：由，
錯(cuò)誤公式得，
當(dāng)時(shí)，，
得，
所以或.
所以老師給出的可能是等.
【點(diǎn)睛】解：因?yàn)椋?br>若該同學(xué)能繼續(xù)“混對(duì)”，則，得到，顯然無(wú)解，則不存在和能讓該同學(xué)能繼續(xù)“混對(duì)”.
18. 已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的最大值；
（3）證明：函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.
【答案】（1）
（2）最大值為
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）解分式不等式來(lái)求得不等式的解集.
（2）通過(guò)求在上的值域來(lái)求得的取值范圍，進(jìn)而求得的最大值.
（3）通過(guò)證明、都在的圖象上來(lái)證得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.
【小問(wèn)1詳解】
的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>所以 ，即，
所以，
因?yàn)?，所以，解得?br>由，解得，
所以不等式的解集為.
【小問(wèn)2詳解】
由題意得關(guān)于的方程在上有解，
則的取值范圍即在上的值域.
因?yàn)椋裕?br>所以，
即，所以實(shí)數(shù)的最大值為.
【小問(wèn)3詳解】
在函數(shù)的圖象上任意取一點(diǎn)，
關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，
由得，即 ,
把代入得
,
所以對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.
即函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱.
19. 某個(gè)公園有個(gè)池塘，其形狀為直角三角形，，米，米.
（1）現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在上取點(diǎn)D?E?F，并且，，（如圖1），游客要在內(nèi)喂魚，希望面積越大越好.設(shè)（米），用x表示面積S，并求出S的最大值；
（2）現(xiàn)在準(zhǔn)備新建造一個(gè)走廊，方便游客通行，分別在上取點(diǎn)D?E?F，建造正走廊（不考慮寬度）（如圖2），游客希望周長(zhǎng)越小越好.設(shè)，用表示的周長(zhǎng)L，并求出L的最小值.
【答案】（1），平方米；
（2）（其中是滿足的銳角），米.
【解析】
【分析】（1）因?yàn)?，則可求CE，BE，DE，求得，利用基本不等式可求的面積的最大值；
（2）設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為，在中，由正弦定理可得（其中是滿足的銳角），即可求得的周長(zhǎng)及其最小值．
【小問(wèn)1詳解】
在中，，米，米，
所以，，
因?yàn)椋?，所以?br>在中，因?yàn)?，則，故，
所以在中，，
所以，
由基本不等式得，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，的面積有最大值平方米；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)正的邊長(zhǎng)為，因?yàn)椋?br>則，，
在中，，，
因?yàn)闉槠浇?，所以?br>所以，
所以在中，，
整理得（其中是滿足的銳角），
所以的周長(zhǎng)，
當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)有最小值米.
20. 已知函數(shù)（常數(shù)）.
（1）當(dāng)時(shí)，用定義證明在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；
（2）根據(jù)的不同取值，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（3）令，設(shè)在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）當(dāng)時(shí)，奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，非奇非偶函數(shù)，理由見(jiàn)解析.
（3）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，得到函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可作出證明；
（2）分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義，即可得出結(jié)論.
（3）根據(jù)正負(fù)性,結(jié)合具體類型的函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)行分類討論可以求出的表達(dá)式；
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
設(shè)且，
則
，
因?yàn)?，可?br>又由，可得，所以
所以，即，
所以函數(shù)是上是嚴(yán)格增函數(shù).
【小問(wèn)2詳解】
由函數(shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)且，
所以時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).
【小問(wèn)3詳解】
，
當(dāng)時(shí), ,函數(shù)在區(qū)間的最小值為；
當(dāng)時(shí),函數(shù)的對(duì)稱軸為：.
若,在區(qū)間的最小值為；
若,在區(qū)間的最小值為
;
若,在區(qū)間的最小值為；
當(dāng)時(shí), ,在區(qū)間的最小值為.
綜上所述：；
21. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)的公差為d，前n項(xiàng)和為，，
（1）若，，求：數(shù)列的前n項(xiàng)和
（2）若數(shù)列中的任意項(xiàng)均為正整數(shù)，無(wú)窮等比數(shù)列滿足，公比，求：數(shù)列中所有項(xiàng)的和
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（其中且），設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論
【答案】（1）
（2）
（3）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）先確定的終邊在第三象限，進(jìn)而計(jì)算得到，進(jìn)一步得到公差，進(jìn)而可求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（2）先利用及已知確定，，進(jìn)而可求數(shù)列中所有項(xiàng)的和；
（3）由（1）可求得，先比較與的大小，取特殊值確定猜想大小關(guān)系，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法求解即可.
小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以的終邊在第二，三象限及的負(fù)半軸上，
又，所以的終邊在第三象限，
所以
，
又，解得，
所以只有，其余各均大于0，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
所以的前n項(xiàng)和；
【小問(wèn)2詳解】
由，可得，
所以，所以，
因?yàn)閿?shù)列中的任意項(xiàng)均為正整數(shù)，所以，所以或，
又，所以，，所以，所以，
所以數(shù)列中所有項(xiàng)的和為；
【小問(wèn)3詳解】
由（2）可得，，所以，
，
，因此要比較與的大小，
可先比較與的大小，
取時(shí)，有，取時(shí)，，
由此推測(cè)①，
若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式，
（i）當(dāng)時(shí)已驗(yàn)證①式成立，
（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，①式成立，
即，
那么當(dāng)時(shí)，
，
又33k+13k+1(3k+2)3-33k+43=(3k+2)3-(3k+4)3k+123k+12=9k+43k+12>0，
所以，
所以，
這就是說(shuō)①式當(dāng)時(shí)成立，
由（i）（ii）知①式對(duì)任何正整數(shù)均成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是取幾個(gè)特殊值，猜想，再進(jìn)一步利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.

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