一?填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）
1. 已知全集，集合，則 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算即可得解.
【詳解】因為，，
所以.
故答案為：.
2. 不等式的解集是__________.
【答案】
【解析】
【分析】將分式不等式化為整式不等式，即可求解.
【詳解】不等式可化為，解得.
故答案為：.
3. 已知，是第四象限角，則_____.
【答案】
【解析】
【分析】由題意利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.
【詳解】因為，是第四象限角，
則，可得.
故答案為：.
4. 若函數(shù)，則__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值.
【詳解】因為，，故.
故答案為：
5. 周長為20的扇形的面積取到最大值時，扇形圓心角的大小是________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，依題意可得，再由扇形的面積公式及基本不等式計算可得.
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，
依題意可得，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
即扇形圓心角為時扇形的面積取得最大值.
故答案為：.
6. 已知冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)得到方程（不等式）組，解得即可.
【詳解】因為冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，
所以，解得.
故答案為：
7. 已知，則_________．
【答案】0
【解析】
【分析】將齊次正余弦的分式，利用同角三角函數(shù)商的關(guān)系化弦為切，代值計算即得.
【詳解】由.
故答案為：0.
8. 若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是______.
【答案】,
【解析】
【分析】先將方程變形為變形為，再利用程在,上有解，可得的不等式，從而可確定實數(shù)的取值范圍．
【詳解】方程可變形為，由于方程在上有解，
而當(dāng),時，，所以，解得，
即實數(shù)的取值范圍是,．
故答案為：,．
9. 設(shè)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為__________．
【答案】
【解析】
【分析】畫出函數(shù)圖象。利用對稱性即可求解.
【詳解】由一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知函數(shù)的圖象如圖所示，
根據(jù)圖象可知共有個零點(diǎn)，且個零點(diǎn)關(guān)于對稱，
所以零點(diǎn)之和為，
故答案為：
10. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上嚴(yán)格增函數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】先由定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱解得，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與對稱性，轉(zhuǎn)化不等式為求解可得.
【詳解】因為為偶函數(shù)，故即，
即為，
由為偶函數(shù)，則，
又在上嚴(yán)格增函數(shù)，且為偶函數(shù)，
故在上為嚴(yán)格減函數(shù)，
故，解得或.
則實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
11. 某物流公司為了擴(kuò)大業(yè)務(wù)量，計劃改造一間高為米，底面積為平方米，且背面靠墻的長方體形狀的倉庫. 因倉庫的背面靠墻，無須建造費(fèi)用，設(shè)倉庫前面墻體的長為米（）. 現(xiàn)有甲、乙兩支工程隊參加競標(biāo)，甲隊的報價方案為：倉庫前面新建墻體每平方米元，左右兩面新建墻體每平方米元，屋頂和地面以及其他共計元；乙隊給出的整體報價為元（）. 不考慮其他因素，若乙隊要確保競標(biāo)成功，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意得甲工程隊整體報價，由題意可得，孤立參數(shù)根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)單調(diào)性從而得最小值即可得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】若倉庫前面墻體的長為米（），則左右兩面墻寬度為，
則甲工程整體報價為，
若乙隊要確保競標(biāo)成功則，
所以，則，
因為，所以函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，函數(shù)有最小值，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，
故，則，所以實數(shù)取值范圍是.
故答案為：.
12. 設(shè)，，若存在，使得成立，則正整數(shù)的最大值為________
【答案】
【解析】
【分析】
由題設(shè)且上有，所以，使得成立，只需即可，進(jìn)而求得正整數(shù)的最大值.
【詳解】由題意知：，使成立，
而當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
∴，而，即，
∴僅需成立即可，有，故正整數(shù)的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)合基本不等式有，即，應(yīng)用對勾函數(shù)的性質(zhì)求值域，并將存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)閉區(qū)間內(nèi)有解，只要即可求最值.
二?選擇題（本大題共4題，滿分20分）
13. 已知，則“”是“”的（ ）條件．
A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分又非必要
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求出兩個條件的的值，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由題意，，
由，即，則或，
由，則，
所以“”是“”的必要非充分條件．
故選：C.
14. 設(shè)，則下列運(yùn)算中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷選項AB；根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷選項CD.
【詳解】由題中條件，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可知，，故選項A，B錯誤；
根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，可得，，，即選項C正確，選項D錯誤.
故選：C.
15. 存在使不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)絕對值的三角不等式和一元二次不等式計算即可.
【詳解】存在,不等式成立，變形即成立，
由于，
因此有，
兩邊平方，
解得或.
故選：A.
16. 已知函數(shù)，設(shè)（）為實數(shù)，且．給出下列結(jié)論：
①若，則；
②若，則．
其中正確的是（ ）
A. ①與②均正確B. ①正確，②不正確
C. ①不正確，②正確D. ①與②均不正確
【答案】A
【解析】
【分析】令，得到為遞增函數(shù)，且為奇函數(shù)，①中，不妨設(shè)，結(jié)合，利用直線的方程得到，進(jìn)而得到，可判斷①正確；②中，不妨設(shè)，得到點(diǎn)，利用直線的方程得到，進(jìn)而得到，可判定②正確.
【詳解】令函數(shù)，
可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，
又由，即，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，如圖（1）所示，
①中，因為，且，則，
不妨設(shè)，
則點(diǎn)，此時直線的方程為，
可得，
則，
可得，
又由，所以，
即，即，所以①正確；
②中，若，不妨設(shè)，則，
不妨設(shè)，
則點(diǎn)，此時直線的方程為，
可得，
則，
可得，
又由，所以，
即，即，
所以②正確.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：令函數(shù)，得到函數(shù)為遞增函數(shù)，且為奇函數(shù)，求得點(diǎn)和，結(jié)合直線和的方程，得出不等式關(guān)系式是解答的關(guān)鍵.
三?解答題（本大題共有5題，滿分76分）
17. 化簡：.
【答案】
【解析】
【分析】由誘導(dǎo)公式化簡即可.
【詳解】原式.
18. 已知函數(shù).
（1）求；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用二倍角公式與輔助角公式，化簡函數(shù)，再求函數(shù)值.
（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用換元思想求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【小問1詳解】
，
所以.
【小問2詳解】
由，
,
解得：，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
19. 已知函數(shù)的表達(dá)式為.
（1）當(dāng)時，求證：在上是嚴(yán)格減函數(shù)；
（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）任取、且，作差，因式分解后判斷的符號，由此可證得結(jié)論成立；
（2）由已知得出，令，，則，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出，即可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
任取、且，即，
，
，則，，所以，，，
因此，函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)；
（2）對任意的，，可得，
令，則，令，其中，
所以，，.
因此，實數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法：
（1）取值：設(shè)、是所給區(qū)間上的任意兩個值，且；
（2）作差變形：即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；
（3）定號：確定差的符號；
（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義得出結(jié)論.
即取值作差變形定號下結(jié)論.
20. 浦東某購物中心開業(yè)便吸引了市民紛紛來打卡（觀光或消費(fèi)），某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該購物中心開業(yè)一個月內(nèi)（以天計），每天打卡人數(shù)與第天近似地滿足函數(shù)（萬人），為正常數(shù)，且第天的打卡人數(shù)為萬人．
（1）經(jīng)調(diào)查，打卡市民（含觀光）的人均消費(fèi)（元）與第天近似地滿足下表：
現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①，②，③．請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來描述打卡市民（含觀光）的人均消費(fèi)（元）與第天的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；
（2）確定的值，并在問題（1）的基礎(chǔ)上，求出該購物中心日營業(yè)收入（，為正整數(shù)）的最小值（單位：萬元）．
（注：日營業(yè)收入日打卡人數(shù)人均消費(fèi)）．
【答案】（1）函數(shù)模型②滿足要求，
（2），該商場在第天日營業(yè)收入最小為萬元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)表格可知的值先增大，后減小，從而可得到函數(shù)模型②滿足要求；然后根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)的關(guān)系式即可求出答案；
（2）直接根據(jù)即可求出值，分且為正整數(shù)和且為正整數(shù)兩種情況分段討論去掉絕對值符號，從而可求函數(shù)的最小值.
【小問1詳解】
解：由表格，可知的值先增大，后減小，所以顯然，函數(shù)模型②滿足要求，
又由表格可知，
代入，得，解得，
所以
【小問2詳解】
解：因為第天的打卡人數(shù)為萬人，所有，解得.
易知，
當(dāng)且為正整數(shù)時，，
因為為減函數(shù)，所以；
當(dāng)且為正整數(shù)時，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
綜上知，該商場在第天時日營業(yè)收入最小，最小為萬元.
21. 已知，定義函數(shù)表示不小于的最小整數(shù).例如：.
（1）若，求實數(shù)的取值范圍；
（2）求函數(shù)值域，并求滿足的實數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，若對于任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用給定的定義求出范圍.
（2）利用單調(diào)性，結(jié)合不等式性質(zhì)求出值域，利用定義建立不等式并求出，進(jìn)而解不等式即可.
（3）求出函數(shù)的值域，再把問題轉(zhuǎn)化為恒成立，分離參數(shù)并分段討論求解.
【小問1詳解】
由表示不小于的最小整數(shù)，，得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
【小問2詳解】
函數(shù)定義域為，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為，
因此，即，
則函數(shù)的值域為，，由，
得，則有，而時，不等式不成立，則，
必有，即，因此，解得，
所以實數(shù)的取值范圍.
【小問3詳解】
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在是單調(diào)遞增，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在是單調(diào)遞減，，而，
于是在上的值域為，
依題意，，即，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，而恒成立，則，
所以實數(shù)的取值范圍.
（天）
10
14
18
22
26
30
（元）
131
135
139
143
139
135

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