注意事項：
1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式求得集合，由，可得，求解即可.
【詳解】由，得，解得，所以，
，
由，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)虛數(shù)單位的運(yùn)算性質(zhì)化簡分母，再對進(jìn)行化簡，最后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出.
【詳解】，其共軛復(fù)數(shù).
故選：A.
3. “”是“橢圓的焦點(diǎn)在軸上”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可求解焦點(diǎn)在軸時，即可根據(jù)必要充分條件的定義求解.
【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上,則，解得，
故“”是“橢圓的焦點(diǎn)在軸上”的必要不充分條件，
故選：B
4. 某統(tǒng)計數(shù)據(jù)共有13個樣本，它們依次成公差的等差數(shù)列，若這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是26，則它們的平均數(shù)為（ ）
A. 25B. 23C. 21D. 19
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)百分位數(shù)的概念確定的值，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求其平均數(shù).
【詳解】因為數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，且，
所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，由.
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，它們的平均數(shù)為.
故選：A
5. 在平行四邊形中，，，，，則（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】以為基底，表示，，結(jié)合向量數(shù)量積的概念和運(yùn)算律可求的值.
【詳解】如圖：
以為基底，則，，.
且，，
所以.
故選：D
6. 將編號為的4個小球隨機(jī)放入編號為的4個凹槽中，每個凹槽放一個小球，則至少有1個凹槽與其放入的小球編號相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用排列組合，先求出將編號為的4個小球隨機(jī)放入編號為的4個凹槽中的放法數(shù)，再求出4個凹槽與其放入小球編號互不相同的放法數(shù)，再利用對立事件的概率公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】將編號為的4個小球隨機(jī)放入編號為的4個凹槽中，共有種放法，
4個凹槽與其放入小球編號互不相同的有種放法，
所以至少有1個凹槽與其放入小球編號相同的概率是.
故選：C.
7. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動（不與頂點(diǎn)重合），設(shè)與雙曲線的左支交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)與雙曲線的定義，列式化簡求解可得，進(jìn)而求得離心率.
【詳解】
設(shè)分別切內(nèi)切圓于，則由雙曲線的定義可得，即，
根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，
故，兩式相加化簡可得，即，故.
故雙曲線的離心率為.
故選：C
8. 利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決新問題是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要目的，同學(xué)們利用我們所學(xué)數(shù)學(xué)知識，探究函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 有且只有一個極大值點(diǎn)B. 在上單調(diào)遞增
C. 存在實(shí)數(shù)，使得D. 有最小值，最小值為
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)恒等式將函數(shù)變形轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得單調(diào)性、極值與最值，再分別判斷選項即可.
【詳解】由，則，
令，則，令，解得，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
由函數(shù)與復(fù)合而成，而在上單調(diào)遞增；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以在處取極小值，且無極大值，
又，故不存在實(shí)數(shù)，使得.
故ABC錯誤，D正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用對數(shù)恒等式轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)是解題關(guān)鍵.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A. 存在實(shí)數(shù)，使圓關(guān)于直線對稱
B. 直線過定點(diǎn)
C. 對任意實(shí)數(shù)，直線與圓有兩個不同的公共點(diǎn)
D. 當(dāng)時，直線被圓所截弦長為2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)直線是否過圓心判斷A的真假；把點(diǎn)代入方程判斷B的真假；根據(jù)B的結(jié)論可判斷C的真假；利用幾何法求弦長可判斷D的真假.
【詳解】對A：因為圓的圓心為，因為，所以不存在，使得直線經(jīng)過圓心，即不存在實(shí)數(shù)，使圓關(guān)于直線對稱.故A錯誤；
對B：因為恒成立，所以直線過定點(diǎn)，故B正確；
對C：因為，所以點(diǎn)在圓：內(nèi)部，又直線過定點(diǎn)，所以直線與圓必有兩個不同的公共點(diǎn)，故C正確；
對D：當(dāng)時，直線：即.
圓心到直線的距離為：，所以弦長為：，故D正確.
故選：BCD
10. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減
B. 若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為5
C. 若函數(shù)的最小正周期為，則
D. 當(dāng)時，若關(guān)于的方程的兩個不相等實(shí)根為，，則
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)輔助角公式化簡fx=2csωx+π4ω>0，即可根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷A，根據(jù)平移的性質(zhì)，可得求出即可判斷B，根據(jù)周期公式即可求判斷C，由題可求得方程的根計算可判斷D.
【詳解】由fx=csωx?sinωxω>0可得fx=2csωx+π4ω>0，
對于A，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，A正確；
對于B，將函數(shù)的圖象向左平移得fx+π4=2csωx+ωπ4+π4ω>0，
則，可得，
解得，故的最小值為5，B正確；
對于C，的最小正周期為，故，解得，故C錯誤；
對于D，當(dāng)時，，由可得，
故，
則 ，故，因此，故D錯誤.
故選：AB
11. 在棱長為2的正方體中，點(diǎn)滿足，，，則下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
C. 當(dāng)時，的最小值為
D. 當(dāng)，時，若點(diǎn)為四邊形（含邊界）內(nèi)一動點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡長度為
【答案】ABD
【解析】
【分析】當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為線段，證明平面即可判斷選項A正確；
當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為線段，由平面，得出三棱錐的體積為定值，所以選項B正確；
當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為線段，將三角形旋轉(zhuǎn)至平面內(nèi)，由余弦定理可得選項C錯誤；
當(dāng)，時，點(diǎn)為的中點(diǎn)，由，可得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，所以選項D正確.
【詳解】對于A，如圖所示，當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為線段，連接、，可得，，
所以平面，所以，同理可證得，所以平面，所以，所以選項A正確；
對于B，如圖所示，取、的中點(diǎn)、，當(dāng)時，
點(diǎn)軌跡為線段，，，
因為平面，所以到平面的距離，
所以三棱錐的體積為定值，所以選項B正確；
對于C，如圖所示，當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為線段，將三角形旋轉(zhuǎn)至平面內(nèi)，
可知，
由余弦定理可得，
所以選項C錯誤；

對于D，如圖所示，當(dāng)，時，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，
所以，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡長度為，
所以選項D正確
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面關(guān)系、體積、軌跡等知識，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力，考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若展開式中的常數(shù)項為，則實(shí)數(shù)______.
【答案】1
【解析】
【分析】求得二項展開式的通項，結(jié)合通項求得的值，代入列出方程即可求解.
【詳解】由二項式展開式的通項為，
令，可得，
代入通項公式可得，解得.
故答案為：1.
13. 已知函數(shù)，則不等式的解集為______．
【答案】
【解析】
【分析】先證明函數(shù)的對稱中心，即，化簡不等式得到，然后由導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，然后由單調(diào)性得到不等式，就不等式即可.
【詳解】,
則，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴，即，∴，
即.
故答案為：.
14. 已知為數(shù)列的前項和，，，則的通項公式為______；令，則______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)的關(guān)系即可求解為等差數(shù)列，即可求解空1， 根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.
【詳解】由可得，
當(dāng)時，，
故，
化簡可得，（），
故為等差數(shù)列，且公差為1，故，
，故，
故，
故為等比數(shù)列且公比為，首項為，
故，
故答案為：，
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，．
（1）求；
（2）若，邊上的高為，求的周長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合二倍角公式求角.
（2）根據(jù)，可求，根據(jù)正弦定理可得的數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合余弦定理，可求的值，進(jìn)而可求的周長.
【小問1詳解】
由，
所以.
由正弦定理可得：，因為，所以.
所以，又，所以.
【小問2詳解】
因為，邊上的高為，
所以.
根據(jù)正弦定理：.
由余弦定理：，
所以或（舍去），所以.
所以的周長為：.
16. 如圖，在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，與平面相交于點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用可確定點(diǎn)的位置，確定的值.
（2）利用空間向量求二面角的余弦，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求二面角的正弦.
【小問1詳解】
取中點(diǎn)，連接，，因為三棱柱為正三棱柱，所以，，兩兩垂直.
故可以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.
因為三棱柱為正三棱柱，且,
所以,，，，，
因為為的中點(diǎn)，所以.
所以，.
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，
設(shè)，，即，
所以，.
因為點(diǎn)在平面內(nèi)，所以，
所以.
所以.
【小問2詳解】
由（1）得：，所以，又.
設(shè)平面的法向量為，
則，取.
設(shè)二面角的平面角為，則由圖，
所以.
17. 已知函數(shù)．
（1）若曲線在處的切線的斜率為，求的值；
（2）若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值可求得結(jié)果；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)極小值點(diǎn)得到原函數(shù)為先增后減，導(dǎo)函數(shù)值為零，則導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)函數(shù)大于零，據(jù)此可求得取值.
【小問1詳解】
已知，
根據(jù)求導(dǎo)公式，，，
可得，
因為曲線在處的切線的斜率為，
所以，解得；
【小問2詳解】
由（1）可得，令
則，
若是的極小值點(diǎn)，則，
則在左側(cè)附近小于0，在右側(cè)附近大于0，
這意味著在處的導(dǎo)數(shù)，
把代入得，解得；
當(dāng)時，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以恒成立，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)；
當(dāng)時，此時，令，
則，此時，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以恒成立，
則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，；
所以是的極小值點(diǎn)；
當(dāng)時，
令，即，設(shè)，
則，整理得，
由一元二次方程求根公式，
因為，所以，，
存在，使得在附近，當(dāng)在到0之間或0到之間時，，單調(diào)遞減，
此時在兩側(cè)不滿足左負(fù)右正，則不是的極小值點(diǎn)；
綜上的取值范圍是.
18. 已知點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，過點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求的方程；
（2）過曲線上一點(diǎn)的直線分別交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），設(shè)的斜率分別為．
（Ⅰ）若，求證：直線過定點(diǎn)；
（Ⅱ）若，且的縱坐標(biāo)均不大于0，求的面積的最大值．
【答案】（1）
（2）（Ⅰ）證明見解析，（Ⅱ）6
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，
（2）聯(lián)立直線與拋物線方程可得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)斜率公式，化簡即可求解（Ⅰ），根據(jù)斜率關(guān)系可得，進(jìn)而根據(jù)弦長公式以及點(diǎn)到直線的距離得面積的表達(dá)式，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)，則，
根據(jù)可得，故，
【小問2詳解】
設(shè)直線，
聯(lián)立與可得，
設(shè),
則y1+y2=4my1y2=?4nΔ=16m2+16n>0，
故，
將代入拋物線方程中可得，
（Ⅰ）若，則，
化簡可得，
故，故或，
當(dāng)時，直線的方程為，故，此時直線經(jīng)過點(diǎn)，不符合題意，故舍去，
當(dāng)時，直線的方程為，故，此時直線經(jīng)過點(diǎn)，故直線過定點(diǎn)；
（Ⅱ）由于的縱坐標(biāo)均不大于0，則y1y2=?4n≥0Δ=16m2+16n>0，
由，則,
故，
則，
故，
則，
可得，故，
由（Ⅰ）知，故，
故y1y2=?4n≥0Δ=16+16n>0，故，
故，
點(diǎn)到直線的距離為，
故，
記，
則，
當(dāng)?10,fn單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，此時取最大值為9
故的面積的最大值6
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
19. 2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行了夏季奧運(yùn)會．為了普及奧運(yùn)知識，大學(xué)舉辦了一次奧運(yùn)知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽．
（1）初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進(jìn)入決賽．已知這6道題中小王能答對其中4道題，求小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率；
（2）大學(xué)為鼓勵大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績，決定對進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎勵．獎勵規(guī)則如下：對于進(jìn)入決賽的每名大學(xué)生允許連續(xù)抽獎3次，中獎1次獎勵120元，中獎2次獎勵180元，中獎3次獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元，假定每次中獎的概率均為，且每次是否中獎相互獨(dú)立．
（Ⅰ）記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎1次的概率為，求的極大值；
（Ⅱ）大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎金的期望值不小于1120元，試求此時的取值范圍．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用條件概率的概率公式計算即可得解；
（2）（I）由，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究其極大值即可.（II）分析每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎金的期望，解不等式即可.
【小問1詳解】
記事件：小王已經(jīng)答對一題，事件：小王未進(jìn)入決賽，
則小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率.
【小問2詳解】
（I）由題意知，，，
則，令，得或1（舍），
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，有極大值，且極大值為.
（II）設(shè)每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎金為隨機(jī)變量，則的可能取值為，
則，
，
，
，
所以，
令，即，整理得，
因為，
易知，所以，即，
又，所以取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是求出，，利用導(dǎo)數(shù)求極值.

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2023屆江西省上饒市高三第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析
2023屆江西省上饒市高三第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題含解析

2023屆江西省上饒市高三第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題含解析
江西省上饒市2023屆高三數(shù)學(xué)（理）第一次高考模擬考試試題（Word版附解析）

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