上饒市2023屆第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題卷 1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每個小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，答在本試卷上無效．4．本試卷共22題，總分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 已知集合 ，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式可求得集合A，根據(jù)集合的交集運算即可求得答案.【詳解】由可得或，故或，而，故，故選：B2. 若復(fù)數(shù)，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則計算可得，利用模長公式即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，所以.故選：A3. 設(shè)等差數(shù)列前項和為，若，，則（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得，即可求得答案【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由可得，故，由可得，故，所以，所以故選：C4. 的展開式中常數(shù)項為A. -240 B. -160 C. 240 D. 160【答案】C【解析】【分析】求得二項式的通項，令，代入即可求解展開式的常數(shù)項，即可求解.【詳解】由題意，二項式展開式的通項為，當(dāng)時，，即展開式的常數(shù)項為，故選C.【點睛】本題主要考查了二項式的應(yīng)用，其中解答中熟記二項展開式的通項，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5. 若實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（    ）A. 3 B. 7 C. 8 D. 10【答案】C【解析】【分析】作出可行域，確定目標(biāo)函數(shù)取到最大值的點，代入可得答案.【詳解】由題意可行域如圖，由圖可知在點處取到最大值；聯(lián)立，可得，所以的最大值為.故選：C.6. 已知點是拋物線上的一點，，是拋物線的焦點，且，則的值為（    ）A. 1 B. 2 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可得，設(shè)出點的坐標(biāo)利用向量的坐標(biāo)運算即可計算出的值.【詳解】易知，由點在拋物線上，可設(shè)；又，由可得即，計算可得；又，可得.故選：D7. 已知，為鈍角，，則（    ）A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出，從而求出，再根據(jù)利用兩角差的正切公式計算可得.【詳解】解：因為，所以，因為為鈍角，所以，則，所以.故選：B8. 矗立在上饒市市民公園的四門通天銅雕有著“四方迎客、通達(dá)天下”的美好寓意，也象征著上饒四省通衢，連南接北，通江達(dá)海，包容八方．某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共線三點，，處測得銅雕頂端處仰角分別為，，，且，則四門通天的高度為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)的投影為，且，利用銳角三角函數(shù)表示出、、，再在和中分別用余弦定理得到方程，解得即可.【詳解】解：設(shè)的投影為，且，在中，，所以，在中，，所以，在中，，所以，在和中分別用余弦定理得，解得或（舍去），即四門通天的高度為.故選：B9. 在正方體中，，為棱的四等分點（靠近點），為棱的四等分點（靠近點），過點，，作該正方體的截面，則該截面的周長是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方體的特征，作出過點，，的該正方體的截面，計算相關(guān)線段的長，即可求得答案.【詳解】設(shè)為的三等分點，靠近B點，連接,并延長交延長線于P，設(shè)為的三等分點，靠近點，連接,并延長交延長線于Q，則∽，由于，故,同理求得,故兩點重合，則,故，而，故,同理可得,即四邊形為平行四邊形，連接,則五邊形即為過點，，所作的正方體的截面，由題意可知 故該截面的周長是 ，故選：C10. 已知函數(shù)滿足，若在至少有兩個零點，則實數(shù)的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)條件求出，然后求出零點，根據(jù)零點個數(shù)確定.【詳解】因為，所以，解得；所以；令，則，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以實數(shù)的最小值為.故選：C.11. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作圓的切線，交雙曲線右支于點，若，則雙曲線的離心率為（　?。?/span>A.  B. 2 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)切點為N，連接ON，作作，垂足為A，由，得到，在直角三角形中，可得，得到，再由雙曲線的定義，解得，利用雙曲線的離心率的定義，即可求解.【詳解】設(shè)切點為N，連接ON，作作，垂足為A，由，且為的中位線，可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，由雙曲線的定義可得，可得，所以，所以，故選A.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出 ，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．12. 設(shè)，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】若，則，，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷，再由二項式定理得到，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，，從而得到，即可得解.【詳解】解：若，則，，令，則，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，即，又，所以，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，.又，所以，即，所以.故選：A第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩個部分．第（13）題-第（21）題為必考題，每個考生都必須作答．第（22）題-第（23）題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在答題卡上．13. 已知平面向量，滿足，它們的夾角為，則__________．【答案】【解析】【分析】由數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】因為，所以，又向量與的夾角為，所以，所以.故答案為：14. 已知一個圓錐底面積為，體積為，則該圓錐側(cè)面積為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)該圓錐的底面圓半徑為高為根據(jù)面積和體積可求出，繼而算出母線長，即可求出答案【詳解】設(shè)該圓錐的底面圓半徑為高為由底面積為，體積為可得，解得，所以圓錐母線長為，所以該圓錐側(cè)面積為故答案為：15. 已知數(shù)列中，，，，記數(shù)列前項和為，則__________．【答案】【解析】【分析】由題意可得出該數(shù)列奇數(shù)項是以，公比為的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前項和公式即可得出答案.【詳解】因為，所以，令，則，所以，則該數(shù)列奇數(shù)項是以，公比為的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以，公比為的等比數(shù)列，.故答案為：.16. 三個元件，，獨立正常工作的概率分別是，，，把它們隨意接入如圖所示電路的三個接線盒，，中（一盒接一個元件），各種連接方法中，此電路正常工作的最大概率是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知電路正常工作的條件為正常工作，，中至少有一個正常工作，然后利用獨立事件乘法公式分類討論，，接入的元件不同的情況下電路正常工作的概率，結(jié)合，，的大小關(guān)系判斷最大概率.【詳解】由題意，元件，，不正常工作的概率分別為，，電路正常工作的條件為正常工作，，中至少有一個正常工作，（1）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是；（2）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是；（3）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是因為，所以，所以此電路正常工作的最大概率是.故答案為：三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17. 如圖，平面四邊形中，，，，，．（1）求的長；（2）證明：．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求出，然后利用兩角差的余弦公式得到，接著在中即可求解；（2）以為原點，為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)，可得到，即可得證【小問1詳解】因為，，所以，所以，所以在中，【小問2詳解】以為原點，為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，，即所以18. 為了解某高校學(xué)生每天的運動時間，隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每天平均運動時間的頻率分布直方圖，將每天平均運動時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“運動族”．（1）用樣本估計總體，已知某學(xué)生每天平均運動時間不低于20分鐘，求該學(xué)生是“運動族”的概率；（2）從樣本里的“運動族”學(xué)生中隨機選取兩位同學(xué)，用隨機變量表示每天平均運動時間在40-50分鐘之間的學(xué)生數(shù)，求的分布列及期望．【答案】（1）    （2）分布列見詳解，期望為1.6【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖先求出，再根據(jù)條件概率求出該學(xué)生是“運動族”的概率；（2）樣本中共有“運動族”學(xué)生25人，運動時間在40-50分鐘學(xué)生為20人，根據(jù)超幾何分布寫出其的分布列及數(shù)學(xué)期望即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，，解得.設(shè)某學(xué)生每天平均運動時間不低于20分鐘事件，；該學(xué)生是“運動族”為事件，，所以該學(xué)生每天平均運動時間不低于20分鐘的條件下是“運動族”的概率.【小問2詳解】由題意可知，樣本中共有“運動族”學(xué)生25人，運動時間在40-50分鐘學(xué)生為20人，所以.；；.的分布列為012.19. 如圖，四棱錐中，是邊長為的正三角形，平面與矩形所在的平面互相垂直，且．（1）求的長；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）4    （2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用垂直關(guān)系求出的長；（2）利用平面的法向量求出二面角的余弦值.【小問1詳解】分別取的中點，連接，因為是邊長為的正三角形，所以，且；在矩形中，均為中點，所以；又因為平面與矩形所在的平面互相垂直，平面平面，所以平面；以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則；，因為，所以，所以，即的長為4.【小問2詳解】由（1）知，,,;設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，可得；同理可求平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，易知為鈍角，.20. 已知橢圓的離心率為，焦距為4．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過橢圓的右焦點的動直線與橢圓交于、兩點（點在軸上方），、為橢圓的左、右頂點，直線，與軸分別交于點、，為坐標(biāo)原點，求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，求解即可得答案；（2）由題意，設(shè)直線的方程為，，，則，，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得，易得 ，，由化簡即可得答案.【小問1詳解】由題意，有，解得，，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】由橢圓可得右焦點，由題意，點在軸上方且過點，則直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，則，，由，可得，所以，，所以，即，由，，所以，則直線的方程為，令，得，所以，所以，則直線方程為，令，得，所以，所以，所以．【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21. 已知，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，，試討論在內(nèi)的零點個數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）答案見解析.    （2）當(dāng)時，在上僅有一個零點，當(dāng) 時，在上有2個零點.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，可得答案；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，再次求導(dǎo)，分和討論的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合零點存在定理判斷函數(shù)零點的個數(shù).【小問1詳解】由已知可知,當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減,當(dāng)時，,在單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.小問2詳解】由已知，，令,則,當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，，，①當(dāng)時， ，，存在唯一的，使得，當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)時，在上遞減，因為，所以，又因為，由零點存在性定理可得，在上僅有一個零點；②當(dāng)時，，，使得，當(dāng)和時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，因為，所以，又因為， 所以，而，由零點存在性定理可得，在和上各有一個零點，即在上有2個零點，綜上所述，當(dāng)時，在上僅有一個零點，當(dāng)時，在上有2個零點．【點睛】難點點睛：解答在內(nèi)的零點個數(shù)問題，難點在于設(shè)出,求導(dǎo)后,要進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理，判斷零點個數(shù).請考生在第22.23兩題中任選一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑．注意所做題目必須與所涂題目一致，并在答題卡選答區(qū)域指定位置答題．如果多做，則按所做的第一題計分． [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22. 在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線相交于，兩點，．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若，求直線的斜率．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)直角的轉(zhuǎn)化，運算求解；（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理運算求解.【小問1詳解】∵，則，∴，即，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為.【小問2詳解】將直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得，整理得，設(shè)A，B兩點所對應(yīng)參數(shù)為，則，∵，則，聯(lián)立，解得，將代入得，解得，故直線l的斜率為. [選修4-5：不等式選講]23. 已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若對任意，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）將絕對值函數(shù)表示為分段函數(shù)，解不等式即可求解；（2）根據(jù)三角不等式的性質(zhì)求出的最小值，即可求解.【小問1詳解】由題知，當(dāng)時，，所以，因為，所以或或，解得或或，所以不等式的解集為.【小問2詳解】因為，所以，所以，所以，即，所以，解得，所以a的取值范圍為.
 
 

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