江西省新余市2025屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，則；
由，得，則，
所以.
故選：B
2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D(zhuǎn). 第一象限
【答案】D
【解析】由，得，
故在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限，
故選：．
3. 已知直線與直線平行，則m的值為（）
A. 3B. C. 3或D. 3或4
【答案】B
【解析】由題設(shè)，，可得或，
當(dāng)時(shí)，、平行，符合題設(shè)；
當(dāng)時(shí)，、重合，不合題設(shè)；
∴.
故選：B.
4. 設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由得，故是遞增數(shù)列，反之也成立，所以為充要條件．選C．
5. 已知拋物線恰好經(jīng)過(guò)圓的圓心，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由圓的方程可得圓心，
拋物線恰好經(jīng)過(guò)圓心M，，解得，
拋物線C的方程為，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：D.
6. 已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，求得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>再根據(jù)函數(shù)滿足，可得函數(shù)為奇函數(shù)，
故關(guān)于的不等式，即．
再由函數(shù)、在的定義域上單調(diào)遞增，可得函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，可得，
解得，
故選：A．
7. 已知球與圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面都相切．若圓臺(tái)的側(cè)面積為；上、下底面的面積之比為，則球的表面積為（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依據(jù)題意，球內(nèi)切與圓臺(tái)，畫出兩者的軸截面，球的截面為圓，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，如圖所示，
過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)球的半徑為，則，
設(shè)圓臺(tái)的母線為，即，上、下底面的面積之比為，即，，由圓的切線長(zhǎng)定理可知，，
圓臺(tái)的側(cè)面積為，解得，則，即，
則球的表面積.
故選：A.
8. 若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，對(duì)任意恒成立，
即，
令，，則，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
，即，，
又由切線放縮可知，，，即，
所以的最大值為.
故選：A.
二、多選題；本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 某農(nóng)科院研制出了一種防治玉米病蟲(chóng)害的新藥．為了解該藥的防治效果，科研人員選用了100粒玉米種子（其中一部分用該藥做了處理）進(jìn)行試驗(yàn)，從中任選1粒，發(fā)現(xiàn)此粒種子抗病蟲(chóng)害的概率為0.8．未填寫完整的列聯(lián)表如下，則（）
附：．
A. 這100粒玉米種子中經(jīng)過(guò)該藥處理且不抗病蟲(chóng)害的有6粒
B. 這100粒玉米種子中抗病蟲(chóng)害的有84粒
C. 的觀測(cè)值約為13.428
D. 根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為該新藥有效
【答案】AD
【解析】由題可將列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：抗病蟲(chóng)害
由上表可知A正確，B錯(cuò)誤；
由表可知，
因此根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為該新藥有效，故C錯(cuò)誤，D 正確.
故選：AD
10. 已知遞增數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且其前項(xiàng)和為，則（）
A. 存在公差為1的等差數(shù)列，使得
B. 存在公比為2的等比數(shù)列，使得
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，設(shè)公差為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，．
根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得．
若，則，解得，所以不存在這樣的等差數(shù)列，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．
對(duì)于B，設(shè)公比為的等比數(shù)列的首項(xiàng)為，．
根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得．
若，則，解得，所以存在這樣的等比數(shù)列，B選項(xiàng)正確．
對(duì)于C，已知，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列且各項(xiàng)均為正整數(shù)．
要使盡可能大，則前面的項(xiàng)要盡可能小，設(shè)，，，，，．
則．
由，可得，即，解得．
所以，所以成立，C選項(xiàng)正確．
對(duì)于D，同樣因?yàn)椋贡M可能小，則前面的項(xiàng)要盡可能小，設(shè)，，，，．
由前面計(jì)算可知，解得，所以，所以成立，D選項(xiàng)正確．
故選：BCD
11. 已知，，，，，，記．當(dāng)，，，，中含個(gè)6時(shí)，所有不同值的個(gè)數(shù)記為．下列說(shuō)法正確的有（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 對(duì)于任意奇數(shù)
D. 對(duì)于任意整數(shù)
【答案】AC
【解析】當(dāng)，，故，A正確；
當(dāng)，，，
當(dāng)時(shí)，，解得，B錯(cuò)誤；
，設(shè)，，則，
于，C正確；
因?yàn)?，?gòu)造二項(xiàng)分布，則，
因此，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知點(diǎn)是橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為_(kāi)____.
【答案】
【解析】由題意得，且
所以
當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
故答案為：
13. 函數(shù)=的最小值為_(kāi)________．
【答案】
【解析】由函數(shù)
，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值.
14. 已知正四面體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P滿足，用所有這樣的點(diǎn)P構(gòu)成的平面截正四面體，則所得截面的面積為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】建立正四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
設(shè)四個(gè)頂點(diǎn)為，
每條棱長(zhǎng)均為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
因?yàn)椋?br>所以，即所有滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的平面為平面（平面），

而為正方體的頂點(diǎn)（如圖所示），且該正方體的中心為原點(diǎn)，
由對(duì)稱性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于，
截面四邊形的頂點(diǎn)為，
在平面上形成一個(gè)菨形，其對(duì)角線的長(zhǎng)度為，故面積為2.
故答案為：.
四、解答題；本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 某人工智能研究實(shí)驗(yàn)室開(kāi)發(fā)出一款全新聊天機(jī)器人，它能夠通過(guò)學(xué)習(xí)和理解人類的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行對(duì)話．聊天機(jī)器人的開(kāi)發(fā)主要采用（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，在測(cè)試它時(shí)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則它的回答被采納的概率為80%，當(dāng)出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤時(shí)，它的回答被采納的概率為40%．
（1）在某次測(cè)試中輸入了8個(gè)問(wèn)題，聊天機(jī)器人的回答有5個(gè)被采納，現(xiàn)從這8個(gè)問(wèn)題中抽取4個(gè)，以X表示抽取的問(wèn)題中回答被采納的問(wèn)題個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）設(shè)輸入問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為p，若聊天機(jī)器人的回答被采納的概率為70%，求p的值．
解：（1）由題可知X的所有取值為1，2，3，4，
，
，
，
，
故X的分布列為：
則．
（2）記“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件A，記“輸入的問(wèn)題有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件B，記“回答被采納”為事件C，
由已知得，，，，，，
所以由全概率公式得，
解得．
16. 在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架，的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在平面互相垂直，活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且和的長(zhǎng)度保持相等，記，活動(dòng)彈子在上移動(dòng).

（1）求證：直線平面；
（2）為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.
（1）證明：在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，

由，得，而，，
則，，，于是，
又，則，而平面，，平面，
因此平面，同理平面，又平面，平面，，
則平面平面，而平面，
所以直線平面.
（2）由平面平面，平面平面，，
平面，得平面，又，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，，
，，，
設(shè)是平面的法向量，則，取，得，
設(shè)與平面所成的角為，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，
因此，，
所以與平面所成角的正弦值的最大值為.
17. 已知點(diǎn)分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，.
（1）求雙曲線的離心率；
（2）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)向該雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，若的面積為，求該雙曲線的方程；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)分別為雙曲線的左?右頂點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上.
（1）解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)，所以，
所以，即，所以，即，
所以，即，解得（舍去.
（2）解：由（1）可得，，所以可設(shè)，計(jì)算可得，點(diǎn)，
該雙曲線的一條漸近線的方程為，即，
利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，
又，所以，可得，所以
因此，可得該雙曲線的方程為.
（3）證明：由（2）可知，，設(shè)，
則直線，直線，
聯(lián)立
兩式相除可得，所以，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不滿足題意，所以設(shè)直線，
則，
代入可得，
聯(lián)立整理得，所以
所以，
則
，注意到，
所以，解得，
所以點(diǎn)在直線上.
18. 已知函數(shù).
（1）若，求在處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；
（3）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：.
（1）解：當(dāng)時(shí)，，
則，所以，，
所以切線方程為；，即.
（2）解：由，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（3）證明：由（2）知若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則，
且gxmax=g-12a=ln-12a>0?0>a>-12，
由過(guò)原點(diǎn)的切線方程為，則，則，即，
所以，，
∴在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，，
且時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
∴，是的兩個(gè)極值點(diǎn).
fx2x2+fx1x1>0?lnx2+ax2+lnx1+ax1>0?lnx1x2+ax1+x2>0?a>-lnx1x2x1+x2，
且，
∴-lnx1x2-22x1+x2>-lnx1x2x1+x2?lnx1x2>2?x1x2>e2，
而，
∴，
令φt=t2-1t-2lntt>1，則φ't=1+1t2-2t=1t-12>0，
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，令t=x2x1>1，
可得，即，即，
，
.
19. 如圖，已知給定線段長(zhǎng)為2，以為底邊作頂角為的等腰三角形，取的腰的三等分點(diǎn)，（靠近），以為底邊向外部作頂角為的等腰三角形……依次類推，取的腰的三等分點(diǎn)，（靠近），以為底邊向外部作頂角為的等腰三角形，得到三角形列.

（1）用表示出的外接圓半徑；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：各頂點(diǎn)均在外接圓上或其內(nèi)部；
（3）若各頂點(diǎn)均在外接圓上或其內(nèi)部，求的取值范圍.
（1）解：設(shè)的外接圓半徑為，由題意知，
，，
又，故.
故的外接圓半徑為.
（2）證明：設(shè)的外心為，外接圓半徑為，的中點(diǎn)為，，
則，，.

注意到的中點(diǎn)也為，故的中垂線與中垂線重合.
由題意知，，均在的中垂線上.
而，
，
故.
另一方面，，
故的外接圓內(nèi)切于的外接圓.
從而的外接圓各點(diǎn)位于的外接圓上或其內(nèi)部.①
反復(fù)使用結(jié)論①可得，的外接圓位于外接圓上或其內(nèi)部.
故各頂點(diǎn)均在外接圓上或其內(nèi)部.
（3）解：若滿足題意，則位于在外接圓上或其內(nèi)部，故.
由（2）知，
，
由題意，，即，解得.
故.
當(dāng)，同上可得.
由（2）知，，共線，故，即.
故，故的外接圓位于外接圓上或其內(nèi)部.
故各頂點(diǎn)均在外接圓上或其內(nèi)部，故的范圍為.
抗病蟲(chóng)害
不抗病蟲(chóng)害
合計(jì)
種子經(jīng)過(guò)該藥處理
60
種子未經(jīng)過(guò)該藥處理
14
合計(jì)
100
0.1
0.01
0.005
0.001
2.706
6.635
7879
10.828
抗病蟲(chóng)害
不抗病蟲(chóng)害
合計(jì)
種子經(jīng)過(guò)該藥處理
60
6
66
種子未經(jīng)過(guò)該藥處理
20
14
34
合計(jì)
80
20
100
X
1
2
3
4
P

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