一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“橢圓的焦點在軸上”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．某統(tǒng)計數(shù)據(jù)共有13個樣本，它們依次成公差的等差數(shù)列，若這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是26，則它們的平均數(shù)為（ ）
A．25B．23C．21D．19
5．在平行四邊形中，，，，，則（ ）
A．1B．C．2D．3
6．將編號為的4個小球隨機放入編號為的4個凹槽中，每個凹槽放一個小球，則至少有1個凹槽與其放入的小球編號相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線右支上運動（不與頂點重合），設與雙曲線的左支交于點，的內(nèi)切圓與相切于點．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
8．利用所學數(shù)學知識解決新問題是我們學習數(shù)學的一個重要目的，同學們利用我們所學數(shù)學知識，探究函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．有且只有一個極大值點B．在上單調(diào)遞增
C．存在實數(shù)，使得D．有最小值，最小值為
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．存在實數(shù)，使圓關(guān)于直線對稱
B．直線過定點
C．對任意實數(shù)，直線與圓有兩個不同的公共點
D．當時，直線被圓所截弦長為2
10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，在上單調(diào)遞減
B．若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為5
C．若函數(shù)的最小正周期為，則
D．當時，若關(guān)于的方程的兩個不相等實根為，，則
11．在棱長為2的正方體中，點滿足，，，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，
B．當時，三棱錐的體積為定值
C．當時，的最小值為
D．當，時，若點為四邊形（含邊界）內(nèi)一動點，且，則點的軌跡長度為
三、填空題（本大題共3小題）
12．若展開式中的常數(shù)項為，則實數(shù) .
13．已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
14．已知為數(shù)列的前項和，，，則的通項公式為 ；令，則 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知的內(nèi)角的對邊分別為，．
(1)求；
(2)若，邊上的高為，求的周長．
16．如圖，在正三棱柱中，，是的中點，點分別是，的中點，與平面相交于點．
(1)求的值；
(2)求二面角的正弦值．
17．已知函數(shù)．
(1)若曲線在處的切線的斜率為，求的值；
(2)若是的極小值點，求的取值范圍．
18．已知點是直線上的動點，為坐標原點，過點作軸的垂線，過點作直線的垂線交直線于點，記點的軌跡為曲線．
(1)求的方程；
(2)過曲線上一點的直線分別交于兩點（異于點），設的斜率分別為．
（Ⅰ）若，求證：直線過定點；
（Ⅱ）若，且的縱坐標均不大于0，求的面積的最大值．
19．2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行了夏季奧運會．為了普及奧運知識，大學舉辦了一次奧運知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽．
(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進入決賽．已知這6道題中小王能答對其中4道題，求小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進入決賽的概率；
(2)大學為鼓勵大學生踴躍參賽并取得佳績，決定對進入決賽的參賽大學生給予一定的獎勵．獎勵規(guī)則如下：對于進入決賽的每名大學生允許連續(xù)抽獎3次，中獎1次獎勵120元，中獎2次獎勵180元，中獎3次獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元，假定每次中獎的概率均為，且每次是否中獎相互獨立．
（Ⅰ）記一名進入決賽的大學生恰好中獎1次的概率為，求的極大值；
（Ⅱ）大學數(shù)學系共有9名大學生進入了決賽，若這9名大學生獲得的總獎金的期望值不小于1120元，試求此時的取值范圍．
參考答案
1．【答案】D
【詳解】由，得，解得，所以，
，
由，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
2．【答案】A
【詳解】，其共軛復數(shù).
故選：A.
3．【答案】B
【詳解】橢圓的焦點在軸上,則，解得，
故“”是“橢圓的焦點在軸上”的必要不充分條件，
故選：B
4．【答案】A
【詳解】因為數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，且，
所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，由.
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，它們的平均數(shù)為.
故選：A
5．【答案】D
【詳解】如圖：
以為基底，則，，.
且，，
所以.
故選：D
6．【答案】C
【詳解】將編號為的4個小球隨機放入編號為的4個凹槽中，共有種放法，
4個凹槽與其放入小球編號互不相同的有種放法，
所以至少有1個凹槽與其放入小球編號相同的概率是.
故選：C.
7．【答案】C
【詳解】
設分別切內(nèi)切圓于，則由雙曲線的定義可得，即，
根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，
故，兩式相加化簡可得，即，故.
故雙曲線的離心率為.
故選：C
8．【答案】D
【詳解】由，則，
令，則，令，解得，
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增；
由函數(shù)與復合而成，而在上單調(diào)遞增；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以在處取極小值，且無極大值，
又，故不存在實數(shù)，使得.
故ABC錯誤，D正確.
故選：D.
9．【答案】BCD
【詳解】對A：因為圓的圓心為，因為，所以不存在，使得直線經(jīng)過圓心，即不存在實數(shù)，使圓關(guān)于直線對稱.故A錯誤；
對B：因為恒成立，所以直線過定點，故B正確；
對C：因為，所以點在圓：內(nèi)部，又直線過定點，所以直線與圓必有兩個不同的公共點，故C正確；
對D：當時，直線：即.
圓心到直線的距離為：，所以弦長為：，故D正確.
故選：BCD
10．【答案】AB
【詳解】由可得，
對于A，當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，A正確；
對于B，將函數(shù)的圖象向左平移得，
則，可得，
解得，故的最小值為5，B正確；
對于C，的最小正周期為，故，解得，故C錯誤；
對于D，當時，，由可得，
故，
則 ，故，因此，故D錯誤.
故選：AB
11．【答案】ABD
【詳解】對于A，如圖所示，當時，點的軌跡為線段，連接、，可得，，
所以平面，所以，同理可證得，所以平面，所以，所以選項A正確；
對于B，如圖所示，取、的中點、，當時，
點的軌跡為線段，，，
因為平面，所以到平面的距離，
所以三棱錐的體積為定值，所以選項B正確；
對于C，如圖所示，當時，點的軌跡為線段，將三角形旋轉(zhuǎn)至平面內(nèi)，
可知，
由余弦定理可得，
所以選項C錯誤；

對于D，如圖所示，當，時，點為的中點，，，
所以，即點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，所以點的軌跡長度為，
所以選項D正確.
故選：ABD.
12．【答案】1
【詳解】由二項式展開式的通項為，
令，可得，
代入通項公式可得，解得.
故答案為：1.
13．【答案】
【詳解】,
則，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴，即，∴，
即.
故答案為：.
14．【答案】
【詳解】由可得，
當時，，
故，
化簡可得，（），
故為等差數(shù)列，且公差為1，故，
，故，
故，
故為等比數(shù)列且公比為，首項為，
故，
故答案為：，
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由，
所以.
由正弦定理可得：，因為，所以.
所以，又，所以.
（2）因為，邊上的高為，
所以.
根據(jù)正弦定理：.
由余弦定理：，
所以或（舍去），所以.
所以的周長為：.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）取中點，連接，，因為三棱柱為正三棱柱，所以，，兩兩垂直.
故可以為原點，建立如圖空間直角坐標系.
因為三棱柱為正三棱柱，且,
所以,，，，，
因為為的中點，所以.
所以，.
設平面的法向量為，
則，
取，
設，，即，
所以，.
因為點在平面內(nèi)，所以，
所以.
所以.
（2）由（1）得：，所以，又.
設平面的法向量為，
則，取.
設二面角的平面角為，則由圖，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）已知，
根據(jù)求導公式，，，
可得，
因為曲線在處的切線的斜率為，
所以，解得；
（2）由（1）可得，令
則，
若是的極小值點，則，
則在左側(cè)附近小于0，在右側(cè)附近大于0，
這意味著在處的導數(shù)，
把代入得，解得；
當時，
因為，當且僅當，即時，等號成立，
所以恒成立，則在上單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點；
當時，此時，令，
則，此時，
因為，
當且僅當，即時，等號成立，所以恒成立，
則在上單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減；當時，；
所以是的極小值點；
當時，
令，即，設，
則，整理得，
由一元二次方程求根公式，
因為，所以，，
存在，使得在附近，當在到0之間或0到之間時，，單調(diào)遞減，
此時在兩側(cè)不滿足左負右正，則不是的極小值點；
綜上的取值范圍是.
18．【答案】(1)
(2)（Ⅰ）證明見解析，（Ⅱ）6
【詳解】（1）設，則，
根據(jù)可得，故，
（2）設直線，
聯(lián)立與可得，
設,
則，
故，
將代入拋物線方程中可得，
（Ⅰ）若，則，
化簡可得，
故，故或，
當時，直線的方程為，故，此時直線經(jīng)過點，不符合題意，故舍去，
當時，直線的方程為，故，此時直線經(jīng)過點，故直線過定點；
（Ⅱ）由于的縱坐標均不大于0，則，
由，則,
故，
則，
故，
則，
可得，故，
由（Ⅰ）知，故，
故，故，
故，
點到直線的距離為，
故，
記，
則，
當單調(diào)遞增，
故當時，此時取最大值為9
故的面積的最大值6
19．【答案】(1)
(2)；
【詳解】（1）記事件：小王已經(jīng)答對一題，事件：小王未進入決賽，
則小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進入決賽的概率.
（2）（I）由題意知，，，
則，令，得或1（舍），
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當時，有極大值，且極大值為.
（II）設每名進入決賽的大學生獲得的獎金為隨機變量，則的可能取值為，
則，
，
，
，
所以，
令，即，整理得，
因為，
易知，所以，即，
又，所以的取值范圍為.

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