上饒市2023屆第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題卷1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，答在本試卷上無效．4．本試卷共22題，總分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知集合 ，，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式可求得集合A，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由可得或，故或，而，故，故選：B2. 若復(fù)數(shù)，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算可得，利用模長公式即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，所以.故選：A3. 設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，，則（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得，即可求得答案【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，故，由可得，故，所以，所以故選：C4. 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A. -240 B. -160 C. 240 D. 160【答案】C【解析】【分析】求得二項(xiàng)式的通項(xiàng)，令，代入即可求解展開式的常數(shù)項(xiàng)，即可求解.【詳解】由題意，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，即展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5. 若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（）A. 3 B. 7 C. 8 D. 10【答案】C【解析】【分析】作出可行域，確定目標(biāo)函數(shù)取到最大值的點(diǎn)，代入可得答案.【詳解】由題意可行域如圖，由圖可知在點(diǎn)處取到最大值；聯(lián)立，可得，所以的最大值為.故選：C.6. 已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，，是拋物線的焦點(diǎn)，且，則的值為（）A. 1 B. 2 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可得，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可計(jì)算出的值.【詳解】易知，由點(diǎn)在拋物線上，可設(shè)；又，由可得即，計(jì)算可得；又，可得.故選：D7. 已知，為鈍角，，則（）A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出，從而求出，再根據(jù)利用兩角差的正切公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>為鈍角，所以，則，所以.故選：B8. 矗立在上饒市市民公園的四門通天銅雕有著“四方迎客、通達(dá)天下”的美好寓意，也象征著上饒四省通衢，連南接北，通江達(dá)海，包容八方．某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共線三點(diǎn)，，處測得銅雕頂端處仰角分別為，，，且，則四門通天的高度為（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)的投影為，且，利用銳角三角函數(shù)表示出、、，再在和中分別用余弦定理得到方程，解得即可.【詳解】解：設(shè)的投影為，且，在中，，所以，在中，，所以，在中，，所以，在和中分別用余弦定理得，解得或（舍去），即四門通天的高度為.故選：B9. 在正方體中，，為棱的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），為棱的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過點(diǎn)，，作該正方體的截面，則該截面的周長是（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方體的特征，作出過點(diǎn)，，的該正方體的截面，計(jì)算相關(guān)線段的長，即可求得答案.【詳解】設(shè)為的三等分點(diǎn)，靠近B點(diǎn)，連接,并延長交延長線于P，設(shè)為的三等分點(diǎn)，靠近點(diǎn)，連接,并延長交延長線于Q，則∽，由于，故,同理求得,故兩點(diǎn)重合，則,故，而，故,同理可得,即四邊形為平行四邊形，連接,則五邊形即為過點(diǎn)，，所作的正方體的截面，由題意可知故該截面的周長是 ，故選：C10. 已知函數(shù)滿足，若在至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)條件求出，然后求出零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得；所以；令，則，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：C.11. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作圓的切線，交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（　?。?/span>A.  B. 2 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)N，連接ON，作作，垂足為A，由，得到，在直角三角形中，可得，得到，再由雙曲線的定義，解得，利用雙曲線的離心率的定義，即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為N，連接ON，作作，垂足為A，由，且為的中位線，可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，由雙曲線的定義可得，可得，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．12. 設(shè)，，，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】若，則，，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷，再由二項(xiàng)式定理得到，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，，從而得到，即可得解.【詳解】解：若，則，，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，即，又，所以，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，.又，所以，即，所以.故選：A第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩個(gè)部分．第（13）題-第（21）題為必考題，每個(gè)考生都必須作答．第（22）題-第（23）題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在答題卡上．13. 已知平面向量，滿足，它們的夾角為，則__________．【答案】【解析】【分析】由數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又向量與的夾角為，所以，所以.故答案為：14. 已知一個(gè)圓錐底面積為，體積為，則該圓錐側(cè)面積為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)該圓錐的底面圓半徑為高為根據(jù)面積和體積可求出，繼而算出母線長，即可求出答案【詳解】設(shè)該圓錐的底面圓半徑為高為由底面積為，體積為可得，解得，所以圓錐母線長為，所以該圓錐側(cè)面積為故答案為：15. 已知數(shù)列中，，，，記數(shù)列前項(xiàng)和為，則__________．【答案】【解析】【分析】由題意可得出該數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以，公比為的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，令，則，所以，則該數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以，公比為的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以，公比為的等比數(shù)列，.故答案為：.16. 三個(gè)元件，，獨(dú)立正常工作的概率分別是，，，把它們隨意接入如圖所示電路的三個(gè)接線盒，，中（一盒接一個(gè)元件），各種連接方法中，此電路正常工作的最大概率是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知電路正常工作的條件為正常工作，，中至少有一個(gè)正常工作，然后利用獨(dú)立事件乘法公式分類討論，，接入的元件不同的情況下電路正常工作的概率，結(jié)合，，的大小關(guān)系判斷最大概率.【詳解】由題意，元件，，不正常工作的概率分別為，，電路正常工作的條件為正常工作，，中至少有一個(gè)正常工作，（1）若，，接入元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是；（2）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是；（3）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是因?yàn)?/span>，所以，所以此電路正常工作的最大概率是.故答案為：三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17. 如圖，平面四邊形中，，，，，．（1）求的長；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求出，然后利用兩角差的余弦公式得到，接著在中即可求解；（2）以為原點(diǎn)，為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，可得到，即可得證【小問1詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以在中，【小問2詳解】以為原點(diǎn)，為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，，即所以18. 為了解某高校學(xué)生每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖，將每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“運(yùn)動(dòng)族”．（1）用樣本估計(jì)總體，已知某學(xué)生每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于20分鐘，求該學(xué)生是“運(yùn)動(dòng)族”的概率；（2）從樣本里的“運(yùn)動(dòng)族”學(xué)生中隨機(jī)選取兩位同學(xué)，用隨機(jī)變量表示每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間在40-50分鐘之間的學(xué)生數(shù)，求的分布列及期望．【答案】（1）（2）分布列見詳解，期望為1.6【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖先求出，再根據(jù)條件概率求出該學(xué)生是“運(yùn)動(dòng)族”的概率；（2）樣本中共有“運(yùn)動(dòng)族”學(xué)生25人，運(yùn)動(dòng)時(shí)間在40-50分鐘學(xué)生為20人，根據(jù)超幾何分布寫出其的分布列及數(shù)學(xué)期望即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，，解得.設(shè)某學(xué)生每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于20分鐘事件，；該學(xué)生是“運(yùn)動(dòng)族”為事件，，所以該學(xué)生每天平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于20分鐘的條件下是“運(yùn)動(dòng)族”的概率.【小問2詳解】由題意可知，樣本中共有“運(yùn)動(dòng)族”學(xué)生25人，運(yùn)動(dòng)時(shí)間在40-50分鐘學(xué)生為20人，所以.；；.的分布列為012.19. 如圖，四棱錐中，是邊長為的正三角形，平面與矩形所在的平面互相垂直，且．（1）求的長；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用垂直關(guān)系求出的長；（2）利用平面的法向量求出二面角的余弦值.【小問1詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>是邊長為的正三角形，所以，且；在矩形中，均為中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?/span>與矩形所在的平面互相垂直，平面平面，所以平面；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則；，因?yàn)?/span>，所以，所以，即的長為4.【小問2詳解】由（1）知，,,;設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，可得；同理可求平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，易知為鈍角，.20. 已知橢圓的離心率為，焦距為4．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線，與軸分別交于點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，求解即可得答案；（2）由題意，設(shè)直線的方程為，，，則，，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得，易得，，由化簡即可得答案.【小問1詳解】由題意，有，解得，，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】由橢圓可得右焦點(diǎn)，由題意，點(diǎn)在軸上方且過點(diǎn)，則直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，則，，由，可得，所以，，所以，即，由，，所以，則直線的方程為，令，得，所以，所以，則直線的方程為，令，得，所以，所以，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21. 已知，．（1）討論單調(diào)性；（2）若，，試討論在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）答案見解析.（2）當(dāng)時(shí)，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn).【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，可得答案；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，再次求導(dǎo)，分和討論的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【小問1詳解】由已知可知,當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí)，,在單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【小問2詳解】由已知，，令,則,當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，，，①當(dāng)時(shí)， ，，存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞減，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，由零點(diǎn)存在性定理可得，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，，使得，當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>， 所以，而，由零點(diǎn)存性定理可得，在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有2個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，難點(diǎn)在于設(shè)出,求導(dǎo)后,要進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).請考生在第22.23兩題中任選一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑．注意所做題目必須與所涂題目一致，并在答題卡選答區(qū)域指定位置答題．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22. 在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)直角的轉(zhuǎn)化，運(yùn)算求解；（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【小問1詳解】∵，則，∴，即，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為.【小問2詳解】將直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得，整理得，設(shè)A，B兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)為，則，∵，則，聯(lián)立，解得，將代入得，解得，故直線l的斜率為. [選修4-5：不等式選講]23. 已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對任意，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將絕對值函數(shù)表示為分段函數(shù)，解不等式即可求解；（2）根據(jù)三角不等式的性質(zhì)求出的最小值，即可求解.小問1詳解】由題知，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?/span>，所以或或，解得或或，所以不等式的解集為.【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，即，所以，解得，所以a的取值范圍為.

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