命題?審題：長(zhǎng)沙市一中高三數(shù)學(xué)備課組
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，
用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷
上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試卷和答題卡一并收回.
一?選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1. 已知數(shù)列 滿(mǎn)足 ，若 ，則 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè) ，將 把 分別表示出來(lái)，結(jié)合不等式的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】設(shè) ，則 ，
得 ，
所以 ．
故選：B
2. 雙曲線(xiàn) 的一個(gè)焦點(diǎn)為 ，則 （ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
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【分析】由雙曲線(xiàn)中的平方關(guān)系 即可得出答案.
【詳解】由題意得 ，所以 ．
故選：A.
3. 已知 ，則 的值為（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用齊次化思想化簡(jiǎn) ，代值計(jì)算即得.
【詳解】 .
故選：C
4. 函數(shù) 的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】采用排除法，根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除 D，根據(jù) 且 時(shí) ，可排除 A，C.
【詳解】記 ，函數(shù)的定義域是 ，
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，所以函數(shù) 為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)，故 D 錯(cuò)誤；
當(dāng) 且 時(shí)， ， ，即 ，圖像在 軸下方，故 A，C 錯(cuò)誤．
故選：B.
5. 已知 是平面向量， 是單位向量．若非零向量 與 的夾角為 ，向量 滿(mǎn)足
，則 的最小值是（ ）
A 4 B. C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先確定向量 所表示的點(diǎn)的軌跡，一個(gè)為直線(xiàn)，一個(gè)為圓，再根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求最小值．
【詳解】設(shè) ， 共起點(diǎn)，
由 可得 得 ，
如圖 終點(diǎn)在 直徑的圓上，
設(shè) 中點(diǎn)為 ， ， 夾角為 ，
因此， 的最小值為圓心 到向量 所在直線(xiàn)的距離 2 減去半徑 1，為 1.
故選：D.
6. 已知函數(shù) ，且 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
第 3頁(yè)/共 22頁(yè)
【分析】根據(jù)函數(shù) 的奇偶性、單調(diào)性，由 得 ，可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以函數(shù) 的定義域?yàn)?，
則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且 ，
所以 為偶函數(shù)，
又 時(shí)， 是單調(diào)遞增函數(shù)，而 是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以 是單調(diào)遞減函數(shù)，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知 時(shí)，所以 是單調(diào)遞增函數(shù)，
函數(shù) 中， ，
由 得 ，解得 或 .
故選：D.
7. 如圖，用 6 種不同的顏色把圖中 A，B，C，D 四塊區(qū)域分開(kāi)，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同
的涂法共有（ ）
A. 400 種 B. 460 種 C. 480 種 D. 496 種
【答案】C
【解析】
【分析】完成此事可能使用 4 種顏色，也可能使用 3 種顏色，當(dāng)使用 3 種顏色時(shí)， 和 涂一種顏色，利
用分類(lèi)加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.
【詳解】完成此事可能使用 4 種顏色，也可能使用 3 種顏色，
當(dāng)使用 4 種顏色時(shí)， 有 6 種涂法， 有 5 種涂法， 有 4 種涂法， 有 3 種涂法，
所以共有 種方法；
當(dāng)使用 3 種顏色時(shí)， 和 涂一種顏色，共有 6 種涂法，
有 5 種涂法， 有 4 種涂法，
所以共有 種方法；
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所以不同的涂法共有 種.
故選： .
8. 用平面 截圓柱面，圓柱的軸與平面 所成的角記為 ，當(dāng) 為銳角時(shí)，圓柱面的截線(xiàn)是一個(gè)橢圓，數(shù)
學(xué)家 Dandelin 創(chuàng)立的雙球模型證明了上述結(jié)論．如圖所示，將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別
位于 的上方和下方，并且與圓柱面和 均相切，切點(diǎn)分別為 ．下列關(guān)于截口曲線(xiàn)的橢圓的結(jié)論中
不正確的有（ ）
A. 橢圓的短軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的球的直徑相等
B. 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的兩球的球心距 相等
C. 所得橢圓的離心率
D. 其中 為橢圓長(zhǎng)軸， 為球 的半徑，有
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用橢圓定義可判斷 AB；結(jié)合圖形的幾何特征利用橢圓的離心率定義可判斷 C；結(jié)合圖
形的幾何特征利用解三角形可判斷 D.
【詳解】設(shè) P 為截口曲線(xiàn)的橢圓的一點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn) 作線(xiàn)段 分別與球 切于點(diǎn) ，
故有 ，
由橢圓定義可知，該橢圓以 ， 為焦點(diǎn)， 為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，故 B 正確．
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設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 ，半焦距為 ，設(shè) O 為 的中點(diǎn)，
與球 切于點(diǎn) ， ， ，故 ，
有 ，則
即橢圓的短軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的球的直徑相等，故 A 正確．
由題意可得 ，則 ，故 C 正確．
由題意知 （這是因?yàn)?），
則 ，故 ，
即 ，故 D 錯(cuò)誤．
故選：D．
二?多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目
要求.全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 已知函數(shù) 則（ ）
A. 有兩個(gè)極值點(diǎn)
B. 有 3 個(gè)零點(diǎn)
C. 點(diǎn) 是曲線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)中心
D. 直線(xiàn) 是曲線(xiàn) 的切線(xiàn)
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【答案】AC
【解析】
【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷 A，結(jié)合 的單調(diào)性、極值可判斷 B，利用奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和平移可
判斷 C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷 D.
詳解】由題， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞減，
所以 是極值點(diǎn)，故 A 正確；
因 ， ， ，
所以，函數(shù) 在 上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng) 時(shí)， ，即函數(shù) 在 上無(wú)零點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù) 有一個(gè)零點(diǎn)，故 B 錯(cuò)誤；
令 ，該函數(shù)的定義域?yàn)?，
，
則 是奇函數(shù)， 是 的對(duì)稱(chēng)中心，
將 的圖象向上移動(dòng) 6 個(gè)單位得到 的圖象，
所以點(diǎn) 是曲線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)中心，故 C 正確；
令 ，可得 ，又 ，
當(dāng)切點(diǎn)為 時(shí)，切線(xiàn)方程為 ，
當(dāng)切點(diǎn)為 時(shí)，切線(xiàn)方程為 ，故 D 錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若 ，則 、 、 成等比數(shù)列
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B. 若 為等差數(shù)列，則 為等差數(shù)列
C. 若 為等比數(shù)列，則 為等差數(shù)列
D. 若 ， ， ，則 為等比數(shù)列
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)特殊數(shù)列法判斷 A；利用等差數(shù)列的定義判斷 B；取 判斷 C；利用等比數(shù)列的定義
判斷 D.
【詳解】對(duì)于 A，當(dāng) 時(shí)有 ，此時(shí) 、 、 不成等比數(shù)列，A 錯(cuò)；
對(duì)于 B，設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ，則 ，
所以， ，則 ，
因此，若 為等差數(shù)列，則 為等差數(shù)列，B 對(duì)；
對(duì)于 C，若 為等比數(shù)列，取 ，則當(dāng) 為正奇數(shù)時(shí)， 無(wú)意義，C 錯(cuò)；
對(duì)于 D，因?yàn)?，所以 ，
而 ， ， ， ，
因此數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，D 對(duì)
故選：BD.
11. 若復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若 ，則 在第二象限
B. 若 為純虛數(shù)，則 在虛軸上
C. 若 ，則點(diǎn) 的集合所構(gòu)成的圖形的面積為
D. 若 ，則 為實(shí)數(shù)
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【答案】BD
【解析】
【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)除法計(jì)算可判斷 A 項(xiàng)，由純虛數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)可判斷 B 項(xiàng)，運(yùn)用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算可判
斷 C 項(xiàng)，設(shè) ，則 ，計(jì)算 即可判斷 D 項(xiàng).
【詳解】對(duì)于 A， ，故 ， 點(diǎn)在實(shí)軸上，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，若 為純虛數(shù)，則 在虛軸上，故 B 正確；
對(duì)于 C， ，則點(diǎn) 的集合所構(gòu)成的圖形是半徑為 3 的圓，面積為 ，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，設(shè) ，則 ，
則 ，故 D 正確.
故選：BD.
三?填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 如圖：在 中， ， ， 三點(diǎn)分別在邊 ， ， 上，則 ， ，
外接圓交于一點(diǎn) ，稱(chēng)點(diǎn) 為密克點(diǎn).運(yùn)用上述結(jié)論解決如下問(wèn)題：在梯形 中， ，
， ， 為 邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) 在 邊上， 與 的外接圓交于點(diǎn) （異于
點(diǎn) ），則 的最小值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件確定正三角形，利用外接圓公共點(diǎn)確定點(diǎn) Q 的位置，再結(jié)合外心和外接圓半徑等條
件，通過(guò)余弦定理求出線(xiàn)段 BD 的長(zhǎng)度，最后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求出 BQ 的最小值.
【詳解】延長(zhǎng) ， 交于點(diǎn) ，則由題可知 正三角形， 為正三角形，
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由題設(shè)結(jié)論 ， ， 的外接圓有唯一公共點(diǎn)，該公共點(diǎn)即為題中的點(diǎn) ，故點(diǎn) 在
的外接圓上，
如上圖，又由題可知 ，即 為 的外心，且 外接圓半徑為 2，
，
在 中，由余弦定理 ，所以 的最小值為 .
故答案為： .
13. 已知平面向量 、 、 滿(mǎn)足 ， ， ， ，則 __________.
【答案】
【解析】
【分析】如圖，設(shè) ， ，則 ，可知四邊形 為菱形，求出
，利用平面向量數(shù)量積的定義可求出 的值.
【詳解】如圖，設(shè) ， ，以 為鄰邊作 ，
則 .
由 ， ， ，可得 ，
故 為菱形，且 ，
故 .
故答案為： .
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14. 已知事件 A， 滿(mǎn)足 ， ， ，則
的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件概率公式和已知條件得 ，設(shè) ， ，列出
關(guān)于 x，y 的函數(shù)式，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出最值即可.
【詳解】因?yàn)?， ，
所以 ，
所以 ，又 ，
，
所以 ，
設(shè) ，則 ，所以 ，
所以 ，
設(shè) ，
所以 ，
令 ，
則 ，
令 ，得 ，得 ，
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又 ，即 ，符合題意，
令 ，解得 ； ，解得 ，
所以 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，
所以 ， 取得最大值，
所以 ，
的取值范圍為 ，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過(guò)條件概率的定義，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于 和 的表達(dá)式，通過(guò)求導(dǎo)和極值分
析，找到 的最大值.
四?解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù) （ 為常數(shù)），曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)平行于直
線(xiàn) .
（1）求函數(shù) 的解析表達(dá)式；
（2）求函數(shù) 的極值.
【答案】（1）
（2）極大值為 ，極小值為
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，由 求得 的值，得解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出極值.
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【小問(wèn) 1 詳解】
根據(jù)題意， ，則 ，
解得 ，
.
【小問(wèn) 2 詳解】
由（1） ，
令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
所以當(dāng) 或 時(shí)， 單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減，
所以當(dāng) 時(shí)， 取得極大值，極大值為 ，
當(dāng) 時(shí)， 取得極小值，極小值為 .
16. 記銳角 內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ，且 .
（1）證明： ；
（2）求 的最大值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和差化積公式及和差角的余弦公式計(jì)算推理得
證.
（2）由（1）可得 ，再利用和角的正切公式及基本不等式求出 的最小值即可.
【小問(wèn) 1 詳解】
在 中，由 及正弦定理，得 ，
則 ，
而 ，則 ，于是 ，
整理得 ，因此
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，
所以 .
【小問(wèn) 2 詳解】
在銳角 中，由（1）知， ，則 ，
而 ，則
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
因此 ， ，所以 的最大值為 1.
17. 預(yù)防接種是預(yù)防掌握傳染病最經(jīng)濟(jì)、最有效的手段，是預(yù)防疾病傳播和保護(hù)群眾的重要措施.為了考查
一種新疫苗預(yù)防某一疾病的效果，研究人員對(duì)一地區(qū)某種動(dòng)物（數(shù)量較大）進(jìn)行試驗(yàn)，從該試驗(yàn)群中隨機(jī)
抽查了 50 只，得到如下的樣本數(shù)據(jù)（單位；只）：
發(fā)病 沒(méi)發(fā)病 合計(jì)
接種疫苗 7 18 25
沒(méi)接種疫苗 19 6 25
合計(jì) 26 24 50
（1）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 0.001 的前提下，認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān)？
（2）從該地區(qū)此動(dòng)物群中任取一只，記 表示此動(dòng)物發(fā)病， 表示此動(dòng)物沒(méi)發(fā)病， 表示此動(dòng)物接種疫苗，
定義事件 的優(yōu)勢(shì) ，在事件 發(fā)生的條件下 的優(yōu)勢(shì) ，利用抽樣的樣本數(shù)
據(jù)，求 的估計(jì)值.
（3）若把表中的頻率視作概率，現(xiàn)從該地區(qū)沒(méi)發(fā)病的動(dòng)物中抽取 3 只動(dòng)物，記抽取的 3 只動(dòng)物中接種疫苗
的只數(shù)為 ，求隨機(jī)變量 的分布列、數(shù)學(xué)期望.
附： ，其中 .
第 14頁(yè)/共 22頁(yè)
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān).
（2）
（3）分布列見(jiàn)解析， .
【解析】
【分析】（1）求得卡方值，比較臨界值即可判斷；
（2）由條件概率計(jì)算公式即可求解；
（3）由題意確定 ，進(jìn)而可求解；
【小問(wèn) 1 詳解】
根據(jù)列聯(lián)表可得
，
所以，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 0.001 的前提下，認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān).
【小問(wèn) 2 詳解】
由于 .
所以 ， ，
,
由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得 ， ，所以 .
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【小問(wèn) 3 詳解】
由題可知，抽取的 24 只沒(méi)發(fā)病的動(dòng)物中接種疫苗和沒(méi)接種疫苗的動(dòng)物分別為 18 人和 6 人，所以從沒(méi)發(fā)病
的動(dòng)物中隨機(jī)抽取 1 只，抽取的是接種了疫苗的概率為 ，
則由題意可知 ，且 ，
， ，
， ，
所以隨機(jī)變量 的分布列為
0 1 2 3
所以隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望為 .
18. 如圖 1，已知拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線(xiàn)交 軸于點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn) 作傾斜角為 的直
線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 兩點(diǎn)（點(diǎn) 在第一象限）．當(dāng) 時(shí)， ．
（1）求拋物線(xiàn) 的方程；
（2）如圖 2，把 沿 翻折為 ，使得二面角 的大小為 ．
①若 ，求直線(xiàn) 與平面 所成角的正弦值；
②證明：三棱錐 的體積為定值．
【答案】（1）
第 16頁(yè)/共 22頁(yè)
（2）① ；②證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)傾斜角得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)間距離求出 ，進(jìn)而得出拋物線(xiàn)；
（2）①聯(lián)立方程得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再應(yīng)用空間向量法計(jì)算線(xiàn)面角正弦即可；②應(yīng)用三棱錐體積公式結(jié)合三角
形面積公式計(jì)算求解.
【小問(wèn) 1 詳解】
當(dāng) 時(shí)， ，所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，
因?yàn)?，所以 ，
解得 ，
所以?huà)佄锞€(xiàn) 的方程為 ．
【小問(wèn) 2 詳解】
①在平面直角坐標(biāo)系中，若 ，則直線(xiàn) 的方程為 ，
聯(lián)立
所以點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為 ．
過(guò) O 點(diǎn)作平面 的垂線(xiàn)為 軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，
當(dāng)二面角 的大小為 時(shí)，點(diǎn) ，即
，
所以 ，
設(shè)平面 的法向量為 ，
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則 即 解得 取 ，得 ，
設(shè)直線(xiàn) 與平面 所成角為 ，則 ，
所以直線(xiàn) 與平面 所成角的正弦值為 ．
②由題意得 ．
，
當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線(xiàn) 的斜率為 ，則直線(xiàn) 的方程為 ，
設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為 ，
聯(lián)立 得 ，
則 ，
因?yàn)?，所以 ，得 ，
所以 ，
第 18頁(yè)/共 22頁(yè)
，
綜上所述，三棱錐 的體積為定值 ．
19. 已知函數(shù) 圖像如圖 1 所示， ， 分別為圖像的最高點(diǎn)
和最低點(diǎn)，過(guò) ， 作 軸的垂線(xiàn)，分別交 軸于 ， ，點(diǎn) 為該部分圖像與 軸的交點(diǎn)，且
， 與 軸的交點(diǎn)為 ．將繪有該圖像的紙片沿 軸折成如圖 2 所示的二面角
．折疊后，當(dāng)二面角 的值為 時(shí)， ．
（1）求函數(shù) 的解析式；
（2）在圖 2 中， 的圖像上存在點(diǎn) ，使得 平面 ，請(qǐng)確定點(diǎn) 的個(gè)數(shù)，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
（3）如圖 3，在折疊過(guò)程中，若二面角 的范圍是 ，求二面角 的余弦值的
取值范圍．
【答案】（1）
（2）可確定存在兩個(gè)點(diǎn) 滿(mǎn)足條件，理由見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由題意： ， ，利用繪有圖像的紙片折疊前，存在關(guān)系
第 19頁(yè)/共 22頁(yè)
，以及折疊后存在關(guān)系 ，列方程組求得： 與 的
值，從而求得 ，再由 與 軸的交點(diǎn)為 ，求得 ，從而求得解析式；
（2）①在平面 內(nèi)，過(guò)點(diǎn) 作 圖象的切線(xiàn)，斜率為 ， 連線(xiàn)的斜率 ， 連線(xiàn)的
斜率 ，過(guò)點(diǎn) 作 交 軸于 ，則直線(xiàn) 斜率為-2，由 可得直
線(xiàn) 一定交 的圖像于 ，②在平面 上，過(guò) 作 平行于 的交 于 ，連接 ．可
證得平面 平面 ，從而證得 平面 ，故可確定存在兩個(gè)點(diǎn) 滿(mǎn)足條件.
（3）以過(guò) 且平行于 的直線(xiàn)為 軸， 所在直線(xiàn)為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角
， ，通過(guò)空間向量法求得二面角 的余弦值為
，令 ， ，則 ，即可得解.
【小問(wèn) 1 詳解】
由題意： ， ，
當(dāng)繪有圖像的紙片折疊前，有 ，
于是 ①
又當(dāng)二面角 的值為 時(shí)，可得
，代入上式： ②
聯(lián)立①②，解得： ， ．
所以 ，
又 與 軸的交點(diǎn)為 ，可得 ，解得 (舍)或 ，
所以 .
【小問(wèn) 2 詳解】
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①在平面 內(nèi)，過(guò)點(diǎn) 作 圖象 切線(xiàn)，斜率為 ，
又點(diǎn) ， ，
故 連線(xiàn)的斜率 ， 連線(xiàn)的斜率 ，
于是，過(guò)點(diǎn) 作 交 軸于 ，則直線(xiàn) 斜率為-2，
因?yàn)?，故直線(xiàn) 一定交 的圖像于 ，
②在平面 上，過(guò) 作 平行于 的交 于 ，連接 ．
由 ， ，且 ，可得平面 平面 ，
又 平面 ，
從而 平面 ，
綜上，可確定存在兩個(gè)點(diǎn) 滿(mǎn)足條件，即 ， 平面 ．
【小問(wèn) 3 詳解】
根據(jù)題意，依圖 3，以過(guò) 且平行于 的直線(xiàn)為 軸， 所在直線(xiàn)為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二
面角 ， ，
于是， ， ， ，
第 21頁(yè)/共 22頁(yè)
所以 ， ，
設(shè)平面 的法向量
于是
令 ，得
設(shè)平面 的法向量
于是
令 ，得
結(jié)合法向量方向可判斷，二面角 的余弦值為
令
化簡(jiǎn)得：
令 ， ，
于是 ．
易知，該函數(shù)為定區(qū)間上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以， ，
二面角 的余弦值的取值范圍是 ．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于折疊問(wèn)題，要注意折疊前后不變的量以及其內(nèi)在聯(lián)系.
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