1．已知橢圓，連接E的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為4，是E上一點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，D為線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若E上存在點(diǎn)C，使得，求三角形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面積和的坐標(biāo)建立方程組待定即可；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，由 D為線段的中點(diǎn)，利用韋達(dá)定理得到，即的坐標(biāo)，又，則點(diǎn)坐標(biāo)也可用表示，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，化簡(jiǎn)得到的關(guān)系，由點(diǎn)線距及弦長(zhǎng)公式求解面積，再由比例關(guān)系即可得到三角形的面積.
【詳解】（1）由題意知連接E的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為，
又點(diǎn)在E上，得，
解得，，
故橢圓E的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，
由，消去得，
又，
得，設(shè)，，，則
，．
由，可得為三角形的重心，
所以，且，
，，
故由在橢圓E上，得，得，
，
又原點(diǎn)到直線的距離為，
所以，故．
【點(diǎn)睛】面積計(jì)算的一般方法就是弦長(zhǎng)乘以點(diǎn)到直線距離（高），當(dāng)然注意到弦過(guò)定點(diǎn)的話，我們可以將其拆分成鉛錘高或水平長(zhǎng)的計(jì)算，而四邊形面積一般轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)計(jì)算.而有關(guān)面積比的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，關(guān)鍵則在觀察已知條件中等底或等高或公共邊的特點(diǎn)，化為共線長(zhǎng)度比或點(diǎn)線距離比或夾角正弦比等問(wèn)題再加以探求.
2．已知是橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是橢圓上異于的一點(diǎn)，直線和的斜率滿足.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若斜率存在且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)異于橢圓的上、下頂點(diǎn)），當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算化簡(jiǎn)即可；
（2）設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式計(jì)算面積，結(jié)合基本不等式求出面積最大時(shí)的關(guān)系式，再計(jì)算斜率之積即可.
【詳解】（1）設(shè)，易知，由，
得，
化簡(jiǎn)得，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
設(shè)的方程為，，，
將代入橢圓方程整理得，
，，
，，
則，
又原點(diǎn)到的距離為，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)，的面積最大.
故
.
3．設(shè)拋物線：，直線與交于，兩點(diǎn)，且.
(1)求；
(2)若在軸上存在定點(diǎn)，使得，求定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）設(shè)，，直線與拋物線方程聯(lián)立利用弦長(zhǎng)公式可得答案；
（2）假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，直線與拋物線方程聯(lián)立，由的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.
【詳解】（1）設(shè)，，由可得，
，所以，，所以
，
即，因?yàn)椋獾茫海?br>（2）假設(shè)軸上存在定點(diǎn)使得，
由可得，，
所以，，
由題知，
即，
化簡(jiǎn)得：，解得，
則存在定點(diǎn)或.
4．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)等于焦距．
(1)求的方程；
(2)過(guò)的直線交于，交直線于點(diǎn)，記的斜率分別為，若，求的值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）由題目條件得到，進(jìn)而求出，得到橢圓方程；
（2）考慮過(guò)的直線斜率不存在和斜率存在情況，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出與，從而得到方程，求出，進(jìn)而得到.
【詳解】（1）根據(jù)題意得到，，解得，
故，
故橢圓方程為；
（2）當(dāng)過(guò)的直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)該直線與直線無(wú)交點(diǎn)，舍去；
當(dāng)過(guò)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)為，令，得，
故，
聯(lián)立與得，，
其中，
設(shè)，
則，
，
故
，
故，即，解得，
不妨令，則直線方程為，
，則，
，
故
，
當(dāng)時(shí)，同理可得，

綜上：.
【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線結(jié)合問(wèn)題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再根據(jù)題目條件列出方程，或得到弦長(zhǎng)或面積，注意考慮直線的斜率存在和不存在兩種情況.
5．設(shè)拋物線，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且.
(1)求p；
(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可；
（2）設(shè)直線：，，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，，注意，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）設(shè)，
由，可得，
所以，，
所以，
即，因?yàn)椋獾茫?br>（2）由（1）得拋物線，
因?yàn)椋@然直線的斜率不可能為零，
設(shè)直線：，，，
由，可得，所以，，
，
因?yàn)椋裕?br>即，
亦即，
將，代入得，
，，
所以，且，解得或，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，
，
所以的面積，
而或，
所以當(dāng)時(shí)，的面積.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．
6．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，且直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2.
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程；
(2)若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）變形得到，由得到的直角坐標(biāo)方程為，利用其與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積求出，得到答案；
（2）消去參數(shù)得到曲線的普通方程，聯(lián)立直線方程，求出坐標(biāo)，求出.
【詳解】（1）直線的極坐標(biāo)方程為，
即，
因?yàn)椋裕?br>令得，令得，
故直線與兩坐標(biāo)系圍成的三角形的面積為，
解得或（舍去），
故直線的直角坐標(biāo)方程為；
（2）由于，故曲線的普通方程為，
聯(lián)立與得，解得或4，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
不妨設(shè)，
.
7．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，且的坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上．
(1)求的周長(zhǎng)；
(2)斜率為的直線與圓相切于第一象限，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)6
(2)4
【分析】（1）根據(jù)已知列關(guān)于a，b的方程組求解可得標(biāo)準(zhǔn)方程，再由橢圓定義可得周長(zhǎng)；
（2）利用直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立橢圓方程，由弦長(zhǎng)公式可得，再由兩點(diǎn)間距離公式得，，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.
【詳解】（1）由題得，得，
所以橢圓C的方程為，
所以，
又，所以的周長(zhǎng)為6．
（2）設(shè)直線AB的方程為，
因?yàn)锳B與圓相切，所以，所以．
由得，
設(shè)，，則，，

所以．
又，
同理，
所以．
所以的周長(zhǎng)為．
8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，是（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的中點(diǎn)，且.
(1)求的方程；
(2)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與軸的交點(diǎn)分別為，若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析，定點(diǎn)為
【分析】（1）根據(jù)可構(gòu)造方程求得，結(jié)合橢圓關(guān)系可求得橢圓方程；
（2）設(shè)，可表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由向量線性運(yùn)算可得，平方后可整理得到；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，由此可整理求得所過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由可求得直線；綜合兩種情況可得結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，
是的中點(diǎn)，，，解得：，
，，
橢圓的方程為：.
（2）由（1）得：，，
設(shè)，
則直線的方程為，直線的方程為，
，，
，，即，
，又，，
，即，
整理可得：；
①若直線的斜率存在，設(shè)直線，
由得：，其中，
，，
代入式得：，
整理可得：，或，
當(dāng)時(shí)，直線，恒過(guò)點(diǎn)，如圖所示，

此時(shí)點(diǎn)與在軸的同一側(cè)，不滿足，故舍去；
當(dāng)時(shí)，直線，恒過(guò)點(diǎn)，符合題意，如圖所示，

②若直線的斜率不存在，則，
由得：，解得：或，
此時(shí)直線的方程為或，
又直線與橢圓不相交，故舍去，滿足條件，，恒過(guò)點(diǎn).
綜上所述：直線恒過(guò)定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路如下：
①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；
③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)直線方程；
④根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.
9．已知圓：，圓：，圓M與圓外切，且與圓內(nèi)切．
(1)求圓心M的軌跡C的方程；
(2)若A，B，Q是C上的三點(diǎn)，且直線AB不與x軸垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為，由圓與圓的位置關(guān)系分析可得，由橢圓的定義分析可得軌跡M是以，為焦點(diǎn)的橢圓，由橢圓的定義分析可得軌跡M的方程，即可得答案；
（2）設(shè)，，直線AB的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以表示的值，進(jìn)而可以表示面積，由基本不等式的性質(zhì)求得△AOB面積的最大值，由，得，代入，整理可得的值．
【詳解】（1）由題意設(shè)圓M的半徑為r，則，，所以，
故圓心M的軌跡是以，為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，
所以，，則，
所以C的方程為．

（2）設(shè)，，，直線AB的方程為．
將代入，整理得，
，即，
則，，
所以
，
故．
又原點(diǎn)O到直線AB的距離為，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即（*）時(shí)，等號(hào)成立．
由，得，
代入，整理得，
即（**）．
而
，
由（*）可知，代入（**）式得．
故的值為1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．
10．已知點(diǎn)在橢圓C：上，點(diǎn)在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，B為C的短軸的上、下端點(diǎn)，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用斜率乘積建立方程，把點(diǎn)代入求解橢圓方程；
（2）先求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，然后求出線段比例，最后代入三角形面積公式化簡(jiǎn)求解即可.
【詳解】（1）設(shè)，依題意，，
可得，整理可得，
又橢圓C過(guò)點(diǎn)，所以，故橢圓C的方程為；
（2）依題意，可知AM：，代入橢圓方程，
整理得，從而得到，
又BM：，代入橢圓方程，
整理得，從而得到，
所以，
，
則
,
由于，所以，解得.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.
11．已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，拋物線E上一點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為5，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．
(1)求拋物線E的方程；
(2)拋物線上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，當(dāng)AB的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離最短時(shí)，求弦AB所在直線方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義結(jié)合條件求解即可；
（2）根據(jù)拋物線弦長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）∵H縱坐標(biāo)為5，不妨設(shè)在第一象限內(nèi)，
∴，過(guò)H做軸于M，
∵，
∴，
∴，解得．
∴所以拋物線E的方程為．

（2）根據(jù)題意直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，
設(shè)，，AB中點(diǎn)，
由，
，，，
，
∴，
則
∴，
∵AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于，
∴當(dāng)最小時(shí)，AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最短．
∵，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，解得，則．
所以直線AB的方程為或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合拋物線弦長(zhǎng)公式、基本不等式是解題的關(guān)鍵.
12．橢圓的離心率，過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為，求直線與直線的斜率之積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由橢圓離心率，得到，再由橢圓過(guò)點(diǎn)，得到求解；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求得M，N的坐標(biāo)驗(yàn)證即可；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的離心率，
所以 ，即，
又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以橢圓的方程為；
（2）如圖所示：

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立求得，
又，
所以，
所以；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由，消去y得：，
，
由韋達(dá)定理得，
所以，
，
.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)容易忽視過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在的情況，一般知道一個(gè)點(diǎn)求直線方程時(shí)，利用點(diǎn)斜式方程，設(shè)直線方程時(shí)，要分斜率不存在和存在兩種情況求解.
13．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且、位于第一象限，在線段上，直線與直線相交于點(diǎn)，連接、，直線、的斜率分別記為、，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；
（2）不妨設(shè)、，設(shè)直線的方程為，可得，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)在直線上，得出，然后利用斜率公式以及韋達(dá)定理可求出的值.
【詳解】（1）解：由題意知，，橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，
即，解得，，，
因此，橢圓的方程為．
（2）解：如下圖所示：
不妨設(shè)、，由圖可知，直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，則，則，
聯(lián)立可得，
，可得，即，
解得，
由韋達(dá)定理可得，解得，
所以，，易知、，
由于在直線上，設(shè)，
又由于在直線上，則，所以，，
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．
14．已知直線軸，垂足為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)E，點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為F，且，直線，垂足為A，線段AF的垂直平分線與直線交于點(diǎn)B，記點(diǎn)B的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)已知點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)P的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，以線段MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，若的面積是，求直線的斜率.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）分析給定的條件，結(jié)合拋物線的定義求出曲線的方程，即可求解；
（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)，結(jié)合三角形面積及向量的垂直的坐標(biāo)表示，即可求解.
【詳解】（1）解：由線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，可得，
即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，
又因?yàn)?，的方程為，所以?br>所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
所以點(diǎn)的軌跡的方程為.
（2）解：根據(jù)題意，直線的斜率不為，設(shè)直線，且，
聯(lián)立方程組，可得，則，
所以，
所以，
又點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
又以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，所以，
所以，
又，所以，
所以，
所以，所以，
即，所以，
所以或，
又直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，此時(shí)滿足，
所以，
解得或，所以直線的斜率為或.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決拋物線問(wèn)題的方法與策略：
1、涉及拋物線的定義問(wèn)題：拋物線的定義是解決拋物線問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問(wèn)題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那么用拋物線定義就能解決問(wèn)題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問(wèn)題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．
2、涉及直線與拋物線的綜合問(wèn)題：通常設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)注意向量、基本不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在解答中的應(yīng)用.
15．已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有共同的焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓的方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，由求得的坐標(biāo).
【詳解】（1）對(duì)于橢圓，，則對(duì)于橢圓，也有，
由于橢圓過(guò)點(diǎn)，
故，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）依題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則，
由消去并化簡(jiǎn)得①，
設(shè)，則，
，
由于，
所以，
整理得，
，
，，
整理得，則，
此時(shí)，對(duì)于①，.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要的思路是根據(jù)已知條件求得，是兩個(gè)未知量，所以需要找到個(gè)已知條件來(lái)求解.如本題中，焦點(diǎn)以及橢圓所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)，這就是兩個(gè)已知條件，由此列方程來(lái)求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為雙曲線C左支上一點(diǎn)，．
(1)求雙曲線C的離心率；
(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，D為雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，求雙曲線C的方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用雙曲線定義結(jié)合條件中等式，即可求得答案；
（2）設(shè)，，，從而表示出直線的方程，繼而求得的表達(dá)式，利用即可求得a的值，即得答案.
【詳解】（1）由于A為雙曲線C左支上一點(diǎn)，
由雙曲線的定義可知，
所以．
整理，得，所以，
所以雙曲線C的離心率為．
（2）由（1）可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

設(shè)，，．
直線AD的方程為．
令，則．
直線BD的方程為，
令，則．
所以．
因?yàn)?，滿足方程，
所以，,
所以,
所以雙曲線C的方程為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解雙故曲線方程時(shí)，關(guān)鍵在于利用的方程求出的表達(dá)式，進(jìn)而利用求出參數(shù)a.
17．圓，圓心為，點(diǎn)，作圓上任意一點(diǎn)與點(diǎn)連線的中垂線，交于.
(1)求的軌跡的方程；
(2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，直線分別交曲線于兩點(diǎn)，，求的值.
【答案】(1)
(2)14
【分析】（1）作出輔助線，根據(jù)橢圓的定義得到的軌跡為以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，求出橢圓方程；
（2）設(shè)出，得到直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到，進(jìn)而得到，由得到，同理得到，從而得到.
【詳解】（1）連接，則，
其中，則，
所以，
故的軌跡為以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
其中，故，，
所以的方程為；
（2）設(shè)，則，設(shè)，
因?yàn)椋?br>直線的方程為，所以，與橢圓方程聯(lián)立得
，即，
故，所以，
同理可得，
因?yàn)椋?br>所以，故，同理可得，
所以
.
【點(diǎn)睛】求軌跡方程常用的方法：直接法，相關(guān)點(diǎn)法，交軌法，定義法，特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡方程中的應(yīng)用，只要?jiǎng)狱c(diǎn)滿足已知曲線的定義，就可直接得到所求軌跡方程，求解過(guò)程中要注意一些軌跡問(wèn)題中包含隱含條件，也就是曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍，有時(shí)還要補(bǔ)充特殊點(diǎn)的坐標(biāo).
18．已知，，對(duì)于平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)M，且.
(1)求點(diǎn)Р的軌跡C的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，直線與曲線C交于不同兩點(diǎn)Q，R，與直線交于點(diǎn)S，與直線交于點(diǎn)T，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.
【答案】(1)當(dāng)，；當(dāng)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得到，分類討論即可；
（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線方程得，，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達(dá)定理式，再利用弦長(zhǎng)公式得到關(guān)系式，最后將其代入面積表達(dá)式化簡(jiǎn)即可.
【詳解】（1）設(shè)，則，
從而
由，有，
若，化簡(jiǎn)整理得；
若，化簡(jiǎn)整理得.
（2）當(dāng)，則
設(shè)直線，
直線與直線相交，聯(lián)立得，則解得；
直線與直線相交，聯(lián)立得，得；
由，得，
由得：，即，且，
，
因?yàn)椋?，即?br>所以，
整理得，則，
又，，
所以.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，從而得到，，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達(dá)定理式，利用弦長(zhǎng)公式和弦長(zhǎng)關(guān)系得到，再寫出面積表達(dá)式代入上式化簡(jiǎn)即可.
19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)設(shè)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)記的面積為的面積為，求的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，設(shè)點(diǎn)，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解作答.
（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、三角形面積公式結(jié)合均值不等式求解作答.
【詳解】（1）依題意，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，設(shè)，
則，
因此，
而，即有，則當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以的取值范圍是.
（2）顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，
由消去并整理得，顯然，
設(shè)，，則，即，

令為點(diǎn)，于是的面積為，的面積為，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
20．已知雙曲線，在雙曲線的右支上存在不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，，記直線的斜率分別為，且，，成等差數(shù)列．
(1)求的取值范圍；
(2)若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）設(shè)，，直線，代入雙曲線方程，根據(jù)，，得，根據(jù)以及斜率公式推出，，代入可求出結(jié)果；
（2）利用弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，再利用三角形面積列式求出可得直線的方程.
【詳解】（1）設(shè)，，直線，
由，消去得,
依題意可得，得，
又，，成等差數(shù)列，
所以
，
所以，
因?yàn)椴煌?，即不在直線上，
所以，即，
所以，即，即，
所以，即，代入，得，
得，因?yàn)?，所以，即?br>所以或.
（2）
，
點(diǎn)到直線PQ的距離，
，
所以，
兩邊平方得，
由得，代入，
得，因?yàn)?，所以?br>將代入得，整理得，
所以，解得或，
由（1）知，，所以,,
當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，
當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，
綜上所述：直線PQ方程為或.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)以及斜率公式推出是本題解題關(guān)鍵.
二、證明問(wèn)題
21．設(shè)拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為4.
(1)求拋物線的方程：
(2)若直線與交于另一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與交于另一點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)與拋物線的位置分類討論最值，由最小值為，求解；
（2）由三點(diǎn)都在拋物線上，設(shè)，，.結(jié)合直線求解的同理性，求出直線方程，再由，分別在直線，上，代入方程消去可得，代入方程化簡(jiǎn)可得定點(diǎn).
【詳解】（1）若和在拋物線的同側(cè)，則，解得.
設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，于是.
過(guò)作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，由此得，符合題意.

若和在拋物線的異側(cè)或在拋物線上，則.
由，
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線（或與重合）時(shí)取等號(hào)，得到（舍去）.
綜上所述，拋物線的方程為.

（2）設(shè)，，.
直線的斜率，
則其方程為.
同理可得直線的方程為，直線的方程為.
將，分別代入直線，的方程可得
，消去可得，
代入直線的方程，化簡(jiǎn)得，
故直線過(guò)定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】定點(diǎn)問(wèn)題的求解思路：一是從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)；二是直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn).
22．如圖，已知橢圓()的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(非左右頂點(diǎn))，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，且與的離心率相等，為與異于的交點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，證明：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由的周長(zhǎng)為和面積的最大值為2，有，，解出得橢圓方程；
（2）由已知求出橢圓的方程，設(shè)的方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，表示出和，化簡(jiǎn)為定值．
【詳解】（1）的周長(zhǎng)為，由橢圓的定義得，即，
又面積的最大值為2，，即，
，，，解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）可知，，橢圓的離心率，
設(shè)橢圓的方程為，則有，，解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)，，，點(diǎn)在曲線上，，
依題意，可設(shè)直線，的斜率分別為，
則的方程分別為，，
于是，
聯(lián)立方程組，消去整理，得，
，，
，
同理可得：，
，，
為定值.
【點(diǎn)睛】解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．
23．已知橢圓過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)，橢圓的離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)M，直線與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形的面積為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率和可解得，可寫出橢圓的方程；
（2）設(shè)分別求出直線，的方程并解出的坐標(biāo)，可得四邊形的面積.
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，
又，即可得，結(jié)合，
解得；
即橢圓的方程為.
（2）證明：由（1）可知，如下圖所示：

設(shè)，且；
易知直線的斜率，所以的直線方程為；
同理直線的斜率，所以的直線方程為；
由題意解得；
所以可得，
四邊形的面積
又，可得，
故，
即四邊形的面積為定值.
24．已知橢圓的離心率是，上、下頂點(diǎn)分別為，.圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，且.
(1)求的方程；
(2)直線與圓相切且與相交于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）寫出向量的坐標(biāo)，帶入求解即可；
（2）設(shè)直線后，和圓相切可得，和橢圓方程聯(lián)立后，觀察可得，從而判段出以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).
【詳解】（1）由已知得，，.
則，，，所以.
因?yàn)?，又，所以?
故的方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，即.
因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即.
設(shè)，，則，.
由化簡(jiǎn)，得，
由韋達(dá)定理，得
所以 ，
所以，
故，即以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為或.
這時(shí)，或，.
顯然，以為直徑的圓也過(guò)原點(diǎn).綜上，以為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn).
25．已知?jiǎng)訄A恒過(guò)定點(diǎn)，圓心到直線的距離為．
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）設(shè)，由題意可得，化簡(jiǎn)整理即可；
（2）設(shè)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得為方程的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理求直線的方程，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)，則，
因?yàn)椋矗?br>當(dāng)，即時(shí)，則，整理得；
當(dāng)，即時(shí)，則，
整理得，不成立；
綜上所述：點(diǎn)的軌跡的方程.
（2）由（1）可知：曲線：，即，則，
設(shè)，
可知切線的斜率為，所以切線：，
則，整理得，
同理由切線可得：，
可知：為方程的兩根，則，
可得直線的斜率，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，
即，
所以直線：，整理得，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類型及解法
（1）動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)；
（2）動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€ C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．
26．已知雙曲線，漸近線方程為，點(diǎn)在上；

(1)求雙曲線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別與雙曲線交于，兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），且兩條直線的斜率，滿足，直線與直線，軸分別交于，兩點(diǎn)，求證：的面積為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.
（2）設(shè)出直線的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)列方程，判斷出點(diǎn)的位置，從而求得的面積為定值.
【詳解】（1），，依題意，，
所以雙曲線的方程為.
（2）依題意可知斜率存在，設(shè)方程為，，，
，
，①，
，
整理得.
1），，過(guò)舍去，
2），，過(guò)點(diǎn)，
此時(shí)，將代入①得，
與交于點(diǎn)，故（定值）
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)已知條件求得，是兩個(gè)未知數(shù)，所以題目往往給定兩個(gè)已知條件，如本題中的漸近線方程和點(diǎn)坐標(biāo)，有時(shí)候，還需要結(jié)合隱藏條件“”來(lái)進(jìn)行求解.
27．已知橢圓與橢圓的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．
(1)求實(shí)數(shù)和的值；
(2)若梯形的頂點(diǎn)都在橢圓上，，，直線與直線相交于點(diǎn)．且點(diǎn)在橢圓上，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）利用表示出橢圓的焦距和離心率，由此可構(gòu)造方程組求得結(jié)果；
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可表示出坐標(biāo)，將代入橢圓方程可整理得到，同理得到，由此可得直線方程，進(jìn)而得到定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）由橢圓方程可得其焦距為，離心率為；
由橢圓可得其焦距為，離心率為；
由題意知：，解得：（舍）或，
，.
（2）設(shè)，，，則，
，，分別為的中點(diǎn)，
，，，
，
，，，即，
同理可得：，直線的方程為，
直線恒過(guò)定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出坐標(biāo)，利用點(diǎn)在橢圓上可構(gòu)造方程組整理得到所滿足的直線方程，根據(jù)直線方程可確定定點(diǎn)坐標(biāo).
28．已知橢圓 的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且．
(1)求方程；
(2)已知點(diǎn)、均在直線上，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心為點(diǎn)，直線、分別交橢圓于另一點(diǎn)、，證明直線與直線垂直．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題設(shè)易知且，根據(jù)有即可求，進(jìn)而寫出橢圓方程.
（2）令，，則，而，即可寫出直線、的方程，聯(lián)立橢圓方程并設(shè)、，應(yīng)用韋達(dá)定理求、的坐標(biāo)，進(jìn)而可求，結(jié)合及，即可證直線與直線垂直.
【詳解】（1）由題意知：，，則，而，
∴，即，又，
∴，解得或（舍去），故，
∴的方程.

（2）令，，則，而，
∴，，
聯(lián)立橢圓方程，整理得，顯然，
若，則，得，則，即，
同理，整理得，顯然，
若，可得，則，即.
∴，
又，則，所以，故，而，
∴，則直線與直線垂直，得證.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
29．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A，B分別是C的右、上頂點(diǎn)，且，D是C上一點(diǎn)，周長(zhǎng)的最大值為8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦過(guò)，直線，分別交直線于M，N兩點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義結(jié)合三角形不等式求解即可；
（2）設(shè)，直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)過(guò)兩點(diǎn)圓的方程，結(jié)合圖形的對(duì)稱性可得定點(diǎn)在軸上，代入韋達(dá)定理求解即可.
【詳解】（1）依題意，，
周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故，

所以，所以的方程；
（2）設(shè)，直線，代入，整理得，
，，
易知，令，得，同得，
從而中點(diǎn)，
以為直徑的圓為，
由對(duì)稱性可知，定點(diǎn)必在軸上，
令得，，
，
所以，即，因?yàn)椋?br>所以，即，
解得，所以圓過(guò)定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為，（或，）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
30．已知拋物線C：的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點(diǎn)A，B．

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；
(2)設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，，證明：為定值．
【答案】(1)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為
(2)證明見解析
【分析】（1）求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，從而求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用相切得出，可得，再利用韋達(dá)定理可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以，可得橢圓的右焦點(diǎn)為，
可得拋物線C的焦點(diǎn)為，∴，
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為；
（2）由于點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，故可設(shè)，
因?yàn)橹本€MA，MB的分別與拋物線C相切于點(diǎn)A，B點(diǎn)可知直線MA，MB的斜率存在，
且不為0，
設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，
聯(lián)立，消去得：，
其判別式，令，得，
由韋達(dá)定理知，，故為定值－1．
【點(diǎn)睛】研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法分為兩類：一、聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，運(yùn)用判別式判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)從而得到兩者的位置關(guān)系，這一方法基本固定，在范圍問(wèn)題中，判別式是提供參數(shù)范圍的一個(gè)最常用的不等式，十分重要；二、針對(duì)中點(diǎn)弦這一特殊問(wèn)題的專用方法——點(diǎn)差法.
31．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓：，，P是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線l與直線交于點(diǎn)M．記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作與x軸不垂直的任意直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)H，求證：為定值．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合垂直平分線性質(zhì)即可得曲線的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，即可得弦長(zhǎng)，再由垂直平分線得點(diǎn)H的坐標(biāo)，從而得，即可證得結(jié)論.
【詳解】（1）如圖所示，

連結(jié)，根據(jù)題意，，
則，
點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，
設(shè)雙曲線方程為，
其中，，
，，，
故所求的方程為．
（2）證明：

設(shè)直線的方程為，
，，
所以，則，
所以中點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)， ，，此時(shí);
當(dāng)時(shí)，則垂直平分線方程為，令得，即，
所以，
又，
于是得;
綜上可得為定值．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
32．已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意得，再結(jié)合可求出，從而可求得橢圓方程，
（2）設(shè)，，，，設(shè)的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，再結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)可求出關(guān)于的方程，從而可證得結(jié)論.
【詳解】（1）由題意可知，因?yàn)椋越獾?，?br>所以所求橢圓的方程為
（2）設(shè)，，，，
直線的斜率顯然存在，設(shè)為，則的方程為．
因?yàn)椋?，，四點(diǎn)共線，不妨設(shè)，
則，，，，
由，可得，
化簡(jiǎn)得．（*）
聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，
消去，得，
，得，
由韋達(dá)定理，得，．代入（*）
化簡(jiǎn)得，即．
又，代入上式，得，化簡(jiǎn)得．
所以點(diǎn)總在一條定直線上．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式表示出，代入化簡(jiǎn)，再將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，幾個(gè)式子相結(jié)合可證得結(jié)論.
33．如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，線段與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與直線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接，且直線與的斜率之積為．

(1)求橢圓的方程．
(2)設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值．
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式，建立方程，可得答案；
（2）根據(jù)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線方程，聯(lián)立橢圓與直線，寫出韋達(dá)定理，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示處直線并求出交點(diǎn)，利用斜率公式，寫出代數(shù)式，化簡(jiǎn)可得答案.
【詳解】（1）設(shè)直線與的斜率分別為，則，
設(shè)，由橢圓，且分別為其左右頂點(diǎn)，則，，
因?yàn)樵跈E圓上，則，即，
設(shè)直線與的斜率分別為，
則，
由，則，化簡(jiǎn)可得，
解得，由，解得，
則橢圓.
（2）由（1）可得，，易知直線斜率存在，否則直線過(guò)點(diǎn)，就不在第一象限.
設(shè)直線，由在直線上，則，即，
設(shè)，，聯(lián)立可得，即，
化簡(jiǎn)可得：，，
由韋達(dá)定理，可得，，
直線，直線，
聯(lián)立可得：，則，，
即，故，則，
故，，
可得，由，，代入，
則，
由，則
，
將，代入上式，并分子分母同乘以，
則
，
將代入上式，則
.
【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵解題思想為“設(shè)而不求”，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橢圓與直線方程，建立等量關(guān)系，化簡(jiǎn)代數(shù)式，即可解題.
34．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)平行于軸時(shí)，.
(1)求拋物線的方程；
(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線與拋物線的另一交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，證明：三點(diǎn)共線.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，利用拋物線的焦半徑公式，可求得的值，由此可得出拋物線的方程；
（2）寫出直線的方程，將代入直線的方程，求出的坐標(biāo)，然后求出的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出、、三點(diǎn)共線.
【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，
當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
，解得，
所以，拋物線的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，
由韋達(dá)定理可得，，
又因?yàn)橹本€的方程為，

將代入直線的方程可得，可得，即點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)椋瑒t，
所以，直線的方程為，
聯(lián)立可得，則，
故，則，
由的中點(diǎn)為，可得，
故、、三點(diǎn)共線．
35．在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn) ，定直線，動(dòng)點(diǎn)在上的射影為，且滿足.
(1)記點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作斜率不為0 的直線與交于 兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，記直線和直線的斜率分別為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)，由列式化簡(jiǎn)即可得的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線為，，，聯(lián)立直線與曲線的方程，結(jié)合斜率公式和韋達(dá)定理即可證明.
【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)椋?br>所以，化簡(jiǎn)得，，
即的方程為.
（2）由題意知，
設(shè)過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線為，，，
聯(lián)立可得，，
則，，
又，，
則
，
所以得證.

36．已知雙曲線：（，）的離心率是，實(shí)軸長(zhǎng)是2，為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，的面積為.
(1)當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)，求的值；
(2)設(shè)，求證：為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）首先求雙曲線方程，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，得到，并利用兩
角和的正切公式表示，并求，最后代入三角形面積公式，
即可求解；（2）利用向量的坐標(biāo)表示關(guān)系，點(diǎn)的坐標(biāo)用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，并代入雙曲線方程求，再代入面積公式，即可證明定值.
【詳解】（1）由題意可知，，，，
則，.雙曲線C的方程為.
設(shè)，，，
把：代入，得，又，
，，
，.
，
.
（2）證明：雙曲線漸近線方程為，則，.
由，得，.
， ，
化簡(jiǎn)可得.
，
為定值.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線相交的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查弦長(zhǎng)公式，
三角恒等變換，以及韋達(dá)定理，本題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)的坐標(biāo)，正確表示.
37．已知點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)不過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析，定點(diǎn)為.
【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式求出，再將點(diǎn)代入雙曲線方程求出，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理得、，再根據(jù)斜率和為列式，推出，從而可得直線過(guò)定點(diǎn).
【詳解】（1）設(shè) 到漸近線，即的距離為，
則，結(jié)合得，
又在雙曲線上，所以，得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）聯(lián)立，消去并整理得，
則，，即，
設(shè)，，
則，，
則
，
所以 ，
所以，
所以，
整理得，
所以，
所以，
因?yàn)橹本€不過(guò)，即，，
所以，即，
所以直線，即過(guò)定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理和斜率公式推出是解題關(guān)鍵.
38．已知是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且，都在軸上方，問(wèn)：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在一條定直線上?請(qǐng)你給出結(jié)論并證明.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由題意可得點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線上，且焦距為，從而可求出曲線的方程；
（2）由條件可設(shè)：，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，可求得，則的平分線為定直線，從而可得結(jié)論.
【詳解】（1）圓的圓心為，半徑，
因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線上，
設(shè)雙曲線的方程為，
則，.
所以，，
又不可能在軸上，所以曲線的方程為.

（2）在軸上存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在一條定直線上.
證明如下：由條件可設(shè)：.代入，
得，
設(shè)，，則
，得，
所以
所以，
取，
則
又，都在軸上方，所以的平分線為定直線，
所以在軸上存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在定直線上.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線方程的求解，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是取，通過(guò)計(jì)算，可得定直線為，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.
39．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)，，圓，是圓內(nèi)或圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓與以線段為直徑的圓內(nèi)切.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)的軌跡為曲線，若直線與曲線相切，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，證明：為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)是以，為焦點(diǎn)的橢圓，即可求出橢圓方程；
（2）分直線的斜率存在不為，斜率為，斜率不存在三種情況討論，當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)得到，表示出的方程，聯(lián)立求出的坐標(biāo)，即可求出，其它情形直接求出，即可得證.
【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，
依題意圓的半徑，又兩圓相內(nèi)切，所以圓心距，
所以，
根據(jù)橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)是以，為焦點(diǎn)的橢圓，
且，，則，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立直線和橢圓的方程得，消去并整理得，
因?yàn)橹本€與曲線相切，所以，整理得，
因?yàn)榕c直線垂直，所以的方程為，
由，解得，即，
所以，
所以，

當(dāng)直線的斜率為時(shí)，則直線的方程為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，
則垂線方程為，此時(shí)或，則，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線的方程為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，
則垂線方程為，此時(shí)或，則，

綜上可得為定值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由平面幾何的性質(zhì)及橢圓的定義求出橢圓方程，再對(duì)直線的斜率分類討論，分別求出的值.
40．已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；
(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列出方程組求出，即可得出橢圓的方程；
（2）設(shè)，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到，代入的表達(dá)式，即可得出為定值；
（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論，設(shè)，則，求出直線AP、BQ的方程，聯(lián)立即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可知其在定直線上．
【詳解】（1）依題可得，解得，所以，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)，，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且斜率不為，
所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，
其判別式，所以，.
兩式相除得，即．
因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，．
從而．
（3）由（1）知，設(shè)，則，
所以直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立可得，
所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.

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