(1)求的頂點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與（1）的軌跡相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
(3)若為點(diǎn)的軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
2．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長.某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）：
步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為；
步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)；
步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；
步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.
已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)到圓心的距離為4，按上述方法折紙.以點(diǎn)、所在的直線為軸，線段中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線，斜率之積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
3．已知橢圓：，設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上不同于點(diǎn)A的任意一點(diǎn).
(1)若，求的取值范圍；
(2)若，記直線，，的斜率分別為，，，問是否存在，，的某種排列，，（其中，使得，，成等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，寫出結(jié)論，并加以證明；若不存在，說明理由.
4．橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，且橢圓過點(diǎn)，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，則該橢圓在點(diǎn)處的切線方程為.已知是橢圓上除頂點(diǎn)之外的任一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)處的切線和過點(diǎn)垂直于該切線的直線分別與軸交于點(diǎn)、.
（i）求證：.
（ii）在橢圓上是否存在點(diǎn)，使得的面積等于1，如果存在，試求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.
5．如圖所示，由半橢圓和兩個(gè)半圓、組成曲線，其中點(diǎn)依次為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為的下頂點(diǎn)，點(diǎn)依次為的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)分別為曲線的圓心．
(1)求的方程；
(2)若過點(diǎn)作兩條平行線分別與和交與和，求的最小值．
6．已知拋物線（p為常數(shù)，）．
(1)若直線與H只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k；
(2)貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對(duì)貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測試，提出了De Casteljau算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的比例，使用遞推畫法，可以畫出地物線．反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論．如圖，A，B，C是H上不同的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，證明：．
7．已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，與拋物線交于兩點(diǎn)，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.
(1)若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；
(2)①證明：；
②設(shè)，的面積分別為，，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，求.
8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的離心率為，直線與雙曲線C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上.
(1)求線段中點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若，過點(diǎn)D作斜率為的直線與直線交于點(diǎn)P，與直線交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)滿足，求的值.
9．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上的射影分別為D，C．當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，四邊形ABCD的面積為4．
(1)求p的值；
(2)過拋物線上兩點(diǎn)的弦和拋物線弧圍成一個(gè)拋物線弓形，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論：以拋物線弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線弓形的內(nèi)接三角形，則拋物線弓形的面積等于該內(nèi)接三角形面積的倍．已知點(diǎn)P在拋物線E上，且E在點(diǎn)P處的切線平行于AB，根據(jù)上述理論，從四邊形ABCD中任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)位于圖中陰影部分的概率為時(shí)直線l的斜率．
10．某城市決定在夾角為30°的兩條道路EB、EF之間建造一個(gè)半橢圓形狀的主題公園，如圖所示，千米，O為AB的中點(diǎn)，OD為橢圓的長半軸，在半橢圓形區(qū)域內(nèi)再建造一個(gè)三角形游樂區(qū)域OMN，其中M，N在橢圓上，且MN的傾斜角為45°，交OD于G．
(1)若千米，為了不破壞道路EF，求橢圓長半軸長的最大值；
(2)若橢圓的離心率為，當(dāng)線段OG長為何值時(shí)，游樂區(qū)域的面積最大？
11．法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，他創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間解析幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學(xué)的寬厚基礎(chǔ)，根據(jù)他的研究成果，我們定義：給定橢圓：，則稱圓心在原點(diǎn)，半徑是的圓為“橢圓的伴隨圓”，已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.
(1)若點(diǎn)為橢圓的“伴隨圓”與軸正半軸的交點(diǎn)，，是橢圓的兩相異點(diǎn)，且軸，求的取值范圍.
(2)在橢圓的“伴隨圓”上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，，使得，與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷，是否垂直？并說明理由.
12．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上的射影分別為D，C，當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，四邊形ABCD的面積為4．
(1)求p的值；
(2)過拋物線上兩點(diǎn)的弦和拋物線弧圍成一個(gè)拋物線弓形，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論：以拋物線弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線弓形的內(nèi)接三角形，則拋物線弓形的面積等于該內(nèi)接三角形面積的倍．已知點(diǎn)P在拋物線E上，且E在點(diǎn)P處的切線平行于AB，根據(jù)上述理論，從四邊形ABCD中任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)位于圖中陰影部分的概率的取值范圍．
13．已知橢圓方程為，過橢圓的的焦點(diǎn)分別做軸的垂線與橢圓交于四點(diǎn)，依次連接這四個(gè)點(diǎn)所得的四邊形恰好為正方形.
(1)求該橢圓的離心率.
(2)若橢圓的頂點(diǎn)恰好是雙曲線焦點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)恰好是雙曲線頂點(diǎn)，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)，雙曲線的焦點(diǎn)為與的一個(gè)公共點(diǎn)，記，，求的值.
14．如圖，已知橢圓的離心率為，直線l與圓相切于第一象限，與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相交于M，N兩點(diǎn)，．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．
15．在平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)連線斜率之積為．
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)P作軌跡E的切線其斜率記為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)分別記為．探索是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
16．已知雙曲線為雙曲線的右焦點(diǎn)，過作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線垂直的直線交直線于點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn).
(1)若直線的斜率為，求的值；
(2)設(shè)直線的斜率分別為，且，記，試探究與滿足的方程關(guān)系，并將用表示出來.
17．在xOy平面上．設(shè)橢圓：，梯形的四個(gè)頂點(diǎn)均在上，且．設(shè)直線的方程為
(1)若為的長軸，梯形的高為，且在上的射影為的焦點(diǎn)，求的值；
(2)設(shè)，直線經(jīng)過點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)設(shè)，，與的延長線相交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
18．已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)都在軸上，離心率為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線交于點(diǎn)、．設(shè)．
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若點(diǎn)、都在雙曲線的右支上，求的最大值以及取最大值時(shí)的正切值；（關(guān)于求的最值．某學(xué)習(xí)小組提出了如下的思路可供參考：①利用基本不等式求最值；②設(shè)為，建立相應(yīng)數(shù)量關(guān)系并利用它求最值；③設(shè)直線l的斜率為k，建立相應(yīng)數(shù)量關(guān)系并利用它求最值）.
(3)若點(diǎn)在雙曲線的左支上（點(diǎn)不是該雙曲線的頂點(diǎn)，且，求證：是等腰三角形．且邊的長等于雙曲線的實(shí)軸長的2倍．
19．某小區(qū)有塊綠地，綠地的平面圖大致如下圖所示，并鋪設(shè)了部分人行通道．
為了簡單起見，現(xiàn)作如下假設(shè)：
假設(shè)1：綠地是由線段，，，和弧圍成的，其中是以點(diǎn)為圓心，圓心角為的扇形的弧，見圖1；
假設(shè)2：線段，，，所在的路行人是可通行的，圓弧暫時(shí)未修路；
假設(shè)3：路的寬度在這里暫時(shí)不考慮；
假設(shè)4：路用線段或圓弧表示，休息亭用點(diǎn)表示．
圖1-圖3中的相關(guān)邊、角滿足以下條件：
直線與的交點(diǎn)是， ，．米．
小區(qū)物業(yè)根據(jù)居民需求，決定在綠地修建一個(gè)休息亭．根據(jù)不同的設(shè)計(jì)方案解決相應(yīng)問題，結(jié)果精確到米．
(1)假設(shè)休息亭建在弧的中點(diǎn)，記為，沿和線段修路，如圖2所示．求的長；
(2)假設(shè)休息亭建在弧上的某個(gè)位置，記為，作交于，作交于．沿、線段和線段修路，如圖3所示．求修建的總路長的最小值；
(3)請(qǐng)你對(duì)（1）和（2）涉及到的兩種設(shè)計(jì)方案做個(gè)簡明扼要的評(píng)價(jià)．
20．從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線，從點(diǎn)發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點(diǎn)，經(jīng)過拋物線兩次反射后，反射光線由G點(diǎn)射出，經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知圓，在拋物線C上任取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E向圓M作兩條切線EA和EB，切點(diǎn)分別為A、B，求的取值范圍．
21．如圖，小明同學(xué)先把一根直尺固定在畫板上，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細(xì)繩，它的長度與另一直角邊相等，讓細(xì)繩的一端固定在三角板的頂點(diǎn)處，另一端固定在畫板上點(diǎn)F處，用鉛筆尖扣緊繩子，讓細(xì)繩緊貼住三角板的直角邊，然后將三角板沿著直尺上下滑動(dòng)，這時(shí)筆尖在平面上留下軌跡.已知細(xì)繩長度為，經(jīng)測量，當(dāng)筆尖運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，.設(shè)直尺邊沿所在直線為，以過垂直于直尺的直線為軸，以過垂直于的垂線段的中垂線為軸，以為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，的取值范圍為，探究：是否存在，使得，若存在，求出.的取值范圍，若不存在，說明理由.
22．已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，Р為漸近線上一點(diǎn)，且，.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)若雙曲線E實(shí)軸長為2，過點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線C的右支不同的A，B兩點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)且滿足，試探究是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
23．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，焦距為，過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的周長為8.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線的方程為.過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn).記的面積分別為，，.問是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
24．在數(shù)學(xué)中常有“數(shù)形結(jié)合”的思想，即找到代數(shù)式的幾何意義，比如： 的幾何意義便是拋物線上的點(diǎn)P到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，進(jìn)而可以簡化計(jì)算．現(xiàn)在，已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為．
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，證明：；
(2)當(dāng)a≥1時(shí)，證明：．
25．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長．某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）
步驟1：設(shè)圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為F；
步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)F；
步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；
步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕．
已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓．若取半徑為4的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)F到圓心E的距離為，按上述方法折紙．
(1)以點(diǎn)F、E所在的直線為x軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓C的下頂點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線，，這兩條直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．設(shè)的斜率為，△DMN的面積為S，當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍．
26．如圖，在矩形中，，，，，，分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足．設(shè)直線與相交于點(diǎn)．
(1)證明：點(diǎn)始終在某一橢圓上，并求出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)，為該橢圓上兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)，且直線，的傾斜角互補(bǔ)，證明：為定值．
27．?dāng)?shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日創(chuàng)立的《畫法幾何學(xué)》對(duì)世界各國科學(xué)技術(shù)的發(fā)展影響深遠(yuǎn).在雙曲線中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實(shí)半軸長與虛半軸長的平方差的算術(shù)平方根，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A.已知雙曲線的實(shí)軸長為，其蒙日?qǐng)A方程為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，不過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，求直線的斜率值.
28．如圖，、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，設(shè)與在第一象限的交點(diǎn)為，且，，為鈍角.
(1)求雙曲線與拋物線的方程；
(2)過作不垂直于軸的直線l，依次交的右支、于A、B、C、D四點(diǎn)，設(shè)M為AD中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，試探究是否為定值.若是，求此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
29．①離心率為；②經(jīng)過點(diǎn)；③，請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，回答下列問題．
已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，_________．
(1)求橢圓的方程；
(2)過的斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)(異于點(diǎn))，過與直線垂直的直線交橢圓于點(diǎn)，，記中點(diǎn)為，記的中點(diǎn)為，求滿足的直線的斜率．
30．人造地球衛(wèi)星在以地球的球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道上運(yùn)行，運(yùn)行軌道離地面的最近距離為600千米，離心率為，將地球看作一個(gè)半徑為6400千米的球體，以運(yùn)行軌道的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)行軌道的中心與近地點(diǎn)所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，記該衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡為曲線，定義千米為.
(1)以為單位，求曲線的方程；
(2)已知三顆衛(wèi)星在軌道上運(yùn)行，當(dāng)軌道中心恰好為的重心時(shí)，則稱此時(shí)為“三星對(duì)中”狀態(tài).則當(dāng)三顆衛(wèi)星成“三星對(duì)中”狀態(tài)時(shí)，的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值并給出證明；若不是，請(qǐng)說明理由.

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高考數(shù)學(xué)微專題集專題24圓錐曲線中的存在性、探索性問題微點(diǎn)3圓錐曲線中的存在性、探索性問題綜合訓(xùn)練(原卷版+解析)

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高考數(shù)學(xué)微專題集專題24圓錐曲線中的存在性、探索性問題微點(diǎn)2圓錐曲線中的探索性問題(原卷版+解析)

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新高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)專題 圓錐曲線中的探索性和綜合性問題（原卷版+解析版）

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