題型一：平面向量的概念
【典例例題】
例1.（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)校考一模）下列說法正確的是（ ）
A．若，則與的方向相同或者相反
B．若，為非零向量，且，則與共線
C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得
D．若，是兩個(gè)單位向量，且．則
【答案】B
【分析】對于A，當(dāng)時(shí)，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B， 表示與方向相同的單位向量，表示與方向相同的單位相同，所以與共線，所以該選項(xiàng)正確；對于C，當(dāng)，為非零向量時(shí)，不存在，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D，計(jì)算得，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤．
【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，與的方向可以既不相同也不相反，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B，，為非零向量，表示與方向相同的單位向量，表示與方向相同的單位相同，由于，所以與共線，所以該選項(xiàng)正確；
對于C，當(dāng)，為非零向量時(shí)，不存在，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D，由得，所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【變式訓(xùn)練】
1.（2023·北京大興·校考三模）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.
【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，則，
所以“”是“”的必要而不充分條件.
故選：B
2.（2023·上海長寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的模長關(guān)系以及共線，即可結(jié)合必要不充分條件進(jìn)行判斷.
【詳解】若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，故，而，
存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分條件，
若且，則與方向相同，故此時(shí)，所以“”是“存在，使得”的必要條件，
故“”是“存在，使得”的充分必要條件，
故選：C
3.（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？级＃┮阎橇阆蛄繚M足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得方向相反，且，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.
【詳解】由得，因此可知方向相反，且，
對于A, ，由于與的關(guān)系不確定，故A錯(cuò)誤，
對于B，由于，故B錯(cuò)誤，
對于C，，所以，故C錯(cuò)誤，
對于D，，故D正確，
故選：D
4.（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若向量滿足，則向量一定滿足的關(guān)系為（ ）
A．B．存在實(shí)數(shù)，使得
C．存在實(shí)數(shù)，使得D．
【答案】C
【分析】對于A,B,D通過舉反例即可判斷，對于C需分與是否為討論即可.
【詳解】，兩邊同平方得
，，
對A，時(shí)，為任一向量，故A錯(cuò)誤，
對B，若，時(shí)，此時(shí)不存在實(shí)數(shù)，使得，故B錯(cuò)誤，
對于C，因?yàn)?，?dāng)與至少一個(gè)為零向量時(shí)，此時(shí)
一定存在實(shí)數(shù),,使得，
具體分析如下：
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)為任意實(shí)數(shù)，，
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)為任意實(shí)數(shù)，，
當(dāng)，時(shí)，為任意實(shí)數(shù)，
當(dāng)，時(shí)，因?yàn)?，則有，根據(jù)，
則，此時(shí)共線，且同向，則存在實(shí)數(shù)使得（），
令，其中同號，即，即，則存在實(shí)數(shù),,使得，故C正確，
對于D，當(dāng)，時(shí)，，故D錯(cuò)誤，
故選：C.
5.（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列說法中正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．平行向量不一定是共線向量
C．對于任意向量，必有
D．若滿足且與同向，則
【答案】C
【分析】對于A：根據(jù)單位向量的概念即可判斷；對于B：根據(jù)共線向量的定義即可判斷；對于C：分類討論向量的方向，根據(jù)三角形法則即可判斷；對于D：根據(jù)向量不能比較大小即可判斷.
【詳解】依題意，
對于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；
對于B，平行向量就是共線向量，故錯(cuò)誤；
對于C，若同向共線，，
若反向共線，，
若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及
兩邊之和大于第三邊知.
綜上可知對于任意向量，必有，故正確；
對于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤.
故選：C.
6.（2020·山東日照·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)是非零向量，則是成立的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【分析】利用充分條件和必要條件的定義分析判斷
【詳解】因?yàn)?，所以共線且方向相同，
因?yàn)楸硎痉较蛏系膯挝幌蛄浚?br>所以，
而當(dāng)時(shí)，可得共線且方向相同，但不一定是，
所以是成立的充分不必要條件，
故選：B
題型二：平面向量的線性運(yùn)算
【典例例題】
例1.（2023春·廣東省韶關(guān)市二模）已知是平行四邊形，，若，則（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，又，所以，
．
故選：C．
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·廣東省深圳市二模） 已知中，，，與相交于點(diǎn)，，則有序數(shù)對（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到，，利用、分別表示出，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得、，再代入計(jì)算可得.
【詳解】依題意、、三點(diǎn)共線，故，
所以
，
又、、三點(diǎn)共線，故，
則
，
所以，解得，
所以，又，所以，
所以有序數(shù)對.
故選：D
2. （2023春·廣東省深圳市龍崗區(qū)德琳學(xué)校二模）在正六邊形ABCDEF中，F(xiàn)D與CE相交于點(diǎn)G，設(shè)，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由平面向量基本定理表示出，即可得到結(jié)果.
【詳解】
如圖，連接，
因?yàn)闉檎呅?，所以，?br>所以，所以.
故選：C
3.（2023秋·河北省邢臺市四校質(zhì)檢聯(lián)盟模擬）在中，，，E是AB的中點(diǎn)，EF與AD交于點(diǎn)P，若，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的線性運(yùn)算求得，由此求得m，n，進(jìn)而求得.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br>則.
因?yàn)锳，P，D三點(diǎn)共線，所以.
因?yàn)椋?
因?yàn)镋是邊AB的中點(diǎn)，
所以.因?yàn)镋，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
所以，
則，解得，從而，，故.
故選：A
題型三：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
【典例例題】
例1.（2023春·遼寧省丹東市等2地大石橋市第三高級中學(xué)模擬）對任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】因?yàn)?，所以選項(xiàng)A正確；當(dāng)與方向相反時(shí)，不成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項(xiàng)C正確；，所以選項(xiàng)D正確．故選B．
例2.（2023春·廣西壯族自治區(qū)玉林市模擬）已知的外心為，且，，向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，確定的形狀，并求出角C，再利用投影向量的意義求解作答.
【詳解】在中，由，得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，而為的外心，
則，即有，又，則為正三角形，因此 ，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：A
【變式訓(xùn)練】
1. （2023春·江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬）在中，，點(diǎn)E滿足，則（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題中所給的條件 利用相應(yīng)公式求得結(jié)果.
【詳解】中，，所以，
，
故選：B.
2. （2023秋·湖湘名校教育聯(lián)合體模擬）已知四邊形，設(shè)E為的中點(diǎn)，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則得到，利用，求出，從而得到答案.
【詳解】在平面（空間同樣）四邊形中，
，
因?yàn)?，所以?br>故選：A．
3.（2023春·江蘇省南京市六校模擬）已知菱形中，，為中點(diǎn)，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用菱形的性質(zhì)，由向量加法、數(shù)乘的幾何意義可得、，再應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律列方程求參數(shù).
【詳解】菱形中，，
因?yàn)?，又，?br>所以，可得.
故選：B
4.（2023春·河北省秦皇島市青龍滿族自治縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）已知，，，則向量與向量的夾角為__________.
【答案】
【解析】
【分析】通過先求出，再求出，進(jìn)而通過平面向量夾角公式即可求得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又，設(shè)向量與向量的夾角為，所以，
所以.
故答案為：.
5.（2023春·山東省聊城市聊城一中東校中學(xué)模擬） 已知、為單位向量，當(dāng)與夾角最大時(shí)，=______.
【答案】
【解析】
【分析】方法一：利用向量夾角公式，結(jié)合換元法及求二次函數(shù)最值分析求解即可得；
方法二：畫圖分析即可.
【詳解】方法一：設(shè)的夾角為，
則
，
令，則，
當(dāng)取最小值時(shí)，兩向量與夾角最大，
所以當(dāng)，即時(shí)，兩向量與夾角最大，
此時(shí).
故答案為：.
方法二：由圖所示：
可知與夾角最大為，所以，
故答案為：.
6．（2023春·廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）已知向量，滿足，，則在方向上的投影向量的模為（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意和向量數(shù)量積的運(yùn)算得出，然后代入公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以，又?br>所以，則在方向上的投影向量的模為，
故選：B．
題型四：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【典例例題】
例1.（2023春·黑龍江省牡丹江市第二高級中學(xué)模擬）（多選）已知向量，則（ ）
A. B.
C. 可以作為平面向量的一個(gè)基底D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)向量的模公式計(jì)算可判斷A；由向量坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B；由向量共線的坐標(biāo)表示可判斷C；先求坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示可判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A，，即，A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，，B正確；
選項(xiàng)C，，即不共線，即可以作為平面向量的一個(gè)基底，C正確；
選項(xiàng)D，，由，即與不共線，D錯(cuò)誤．
故選：BC
例2.（2023春·廣東省汕頭市一模）已知向量，，．若，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. －3C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】直接根據(jù)夾角的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解即可.
【詳解】，
，
,，
解得.
故選：B．
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·遼寧省朝陽市模擬）已知向量，若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，求出的值，即可得到、的坐標(biāo)，再求出，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.
【詳解】解：因?yàn)?，且?br>所以，解得，所以，，
則，所以.
故答案為：
2.（2023秋·湖南省部分校模擬） 在平面直角坐標(biāo)系中，將向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出的模及對應(yīng)的角，即可得旋轉(zhuǎn)后的角，進(jìn)而算出坐標(biāo).
【詳解】設(shè)以軸正半軸為始邊，為終邊對應(yīng)的角為，
根據(jù)題意得，，，則，
向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，，從而.
故答案為：4
3. （2023秋·江西省南昌市南昌縣蓮塘第一中學(xué)模擬）已知，向量，，則“”是“”的（ ）
A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用向量平行的坐標(biāo)表示求，再根據(jù)充分，必要條件的定義判斷.
【詳解】若向量，則，即
解得：或,
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B
4.（2023秋·山東省德州市第一中學(xué)模擬）已知向量，，則（ ）
A. 30°B. 150°C. 60°D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示求出向量夾角，進(jìn)而求解幾何角.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，?br>所以，
又，所以，所以，
所以.
故選：B.
5.（2023春·廣東省潮州市二模）（多選）設(shè)向量，，則下列說法正確的是（ ）
A. B. C. D. 在上的投影向量為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，可求得的坐標(biāo)，結(jié)合向量模的計(jì)算，可判斷A；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷B；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷C；根據(jù)向量的投影向量的定義可求出在上的投影向量判斷D.
【詳解】由題意可知，，故，A正確；
因?yàn)?，故不平行，B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，C正確；
由于，，
故在上的投影向量為，D正確，
故選：ACD
6.（2023春·廣東省梅州市二模）（多選） 已知向量，，，則下列命題正確的是（ ）
A. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，B. 在上的投影向量為
C. 存在θ，使得D. 存在θ，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標(biāo)表示判斷A；求出投影向量判斷B；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷C；利用數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算判斷D作答.
【詳解】向量，，，
對于A，，A正確；
對于B，因?yàn)椋瑒t在上的投影向量為，B正確；
對于C，，假定存在θ，使得，則有，
而，即不成立，因此不存在θ，使得，C錯(cuò)誤；
對于D，，即，
則，因此存在θ，使得，D正確.
故選：ABD
題型五：建立直角坐標(biāo)系
【典例例題】
例1.（2023·全國·高三專題）如圖所示，正方形的邊長為2，點(diǎn)，，分別是邊，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則的最小值為（ ）

A．B．3C．D．48
【答案】A
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，（），即可得到、，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則、、、，
設(shè)，，（），則，
所以，
所以，即，
所以，，
所以
，
又，所以當(dāng)時(shí)取得最小值為.

故選：A
【變式訓(xùn)練】
1.（2023秋·廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級中學(xué)模擬）兩個(gè)單位向量與滿足，則向量與的夾角為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量夾角公式，以及向量夾角坐標(biāo)公式，或者根據(jù)向量運(yùn)算法則求解畫圖即可.
【詳解】法一：，
設(shè)與的夾角為，則，
又，；
法二：根據(jù)，，取，
設(shè)， 與的夾角為，
從而，
又，；
法三：利用運(yùn)算法則，設(shè)，，，則，如圖 ，
則設(shè)向量與夾角為，則，
，，，
又，.
故選：A
2.（2023秋·新疆烏魯木齊市第四十中學(xué)模擬）如圖，在的方格紙中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量滿足，則（ ）
A. 0B. 1C. D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】建立坐標(biāo)系，可得的坐標(biāo)，再由建立方程求解即可．
【詳解】解：將向量放入如圖所示的坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形的邊長為1，
則，
，
，
即，解得，
..
故選：D.
3.（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)是圓弧上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，結(jié)合基本不等式即可求得最值.
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系

則，設(shè)，則，
所以，
因?yàn)?，所以，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立
則的最大值為，所以的最大值為，即的最小值為.
故選：A.
4.（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知定點(diǎn)在邊長為1的正方形外，且，對正方形上任意點(diǎn)，都有的面積，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，依題意在線段的垂直平分線上，根據(jù)面積公式及數(shù)量積的定義得到，即可確定的坐標(biāo)，設(shè)，表示出，再由不等式的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，
因?yàn)?，所以在線段的垂直平分線上，又，
即，所以，
則，所以，即，
設(shè)，則，，
所以，解得或，
又定點(diǎn)在邊長為1的正方形外，所以，
設(shè)，則，，
所以，
若在線段上，則，，
此時(shí)，
因?yàn)?，則，
所以，則，
若在線段上，則，，
此時(shí)，
因?yàn)?，則，
所以，則，
若在線段上，則，，
此時(shí)，
因?yàn)?，則，
所以，則，
若在線段上，則，，
此時(shí)，
因?yàn)?，則，
所以，則，
綜上可得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)取得最大值.

故選：C
5.（2023秋·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）已知，，均為單位向量，滿足，，，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】首先確定向量的夾角，從而構(gòu)建單位圓，確定向量的坐標(biāo)，并利用三角函數(shù)表示，并利用三角函數(shù)求最小值.
【詳解】，所以，

根據(jù)，，則,,
如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，
由，可知，，
得，，
，
由，可知，
所以的最小值是.
故選：B
6.（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）正八邊形上存在一動點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合），已知正八邊形邊長為2，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由平面向量數(shù)量積的幾何意義分析可知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，取得最大值，然后建立平面直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算即可.
【詳解】，由平面向量數(shù)量積的幾何意義可知，當(dāng)最大，即在方向上投影最大時(shí)，最大，由圖可知當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，在方向上投影取得最大.
如圖：建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，
所以，.
所以的最大值為
故選：D
題型六：平面向量的新定義
【典例例題】
例1.（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)向量與的夾角為，定義.已知向量為單位向量，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出向量與的夾角，代入新定義求解即可.
【詳解】由題意得，
解得，
又，所以，
所以.
故選：C
【變式訓(xùn)練】
1.（2023·全國·模擬預(yù)測）定義為兩個(gè)向量，間的“距離”，若向量，滿足下列條件：(ⅰ)；(ⅱ)；(ⅲ)對于任意的，恒有，現(xiàn)給出下面結(jié)論的編號，
①.②.③.④.⑤.
則以上正確的編號為（ ）
A．①③B．②④C．③④D．①⑤
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得，轉(zhuǎn)化為對于任意的恒成立，即，整理得，再利用向量的數(shù)量積逐一判斷即可.
【詳解】由于，又對于，恒有，
顯然有，即，
則對于任意的恒成立，
顯然有成立，
即，則，故序號①錯(cuò)誤，
進(jìn)而，
∵，于是，得，即序號④正確.
再由得，得，
∴，顯然序號②正確.從而序號③錯(cuò)誤，
再由②，故序號⑤錯(cuò)誤.
綜上知本題正確的序號為②④.
故選：B.
2.（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．如圖，在斜坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P作兩坐標(biāo)軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點(diǎn)P的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，記，則在x軸正方向和y軸正方向的夾角為的斜坐標(biāo)系中，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)與距離為
B．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為
C．向量與平行的充要條件是
D．點(diǎn)到直線的距離為
【答案】D
【分析】根據(jù)“斜坐標(biāo)系”的定義，結(jié)合向量運(yùn)算對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】設(shè)軸正方向的單位向量為，軸正方向的單位向量為，
對于A選項(xiàng)：由已知得，所以.
由及斜坐標(biāo)的定義可知，
，
故A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)：根據(jù)“斜坐標(biāo)系”的定義可知：點(diǎn)，則，設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則，
由于不共線，所以，
故B選項(xiàng)正確；
對于C選項(xiàng)：，
若是零向量，則成立，同時(shí)，所以成立，
此時(shí)；
若是非零向量，則存在非零常數(shù)，使，所以.
故C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)：設(shè)直線上的動點(diǎn)為,，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則點(diǎn)在直線上，
所以直線過點(diǎn)，
因?yàn)?，則，
，
由于，所以.
所以，所以，
所以點(diǎn)A到直線的距離為，
故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：D
3.（2023·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義空間兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中：
①；
②；
③；
④若，則．
其中恒成立的有
A．①④B．①③C．②③D．②④
【答案】A
【分析】由新定義逐一判斷即可求解
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，故成立，所以①正確；
，，
故當(dāng)時(shí)，不成立，所以②錯(cuò)；
，，
顯然當(dāng)不共面時(shí)不成立，例如為兩兩垂直的單位向量，則，所以③錯(cuò)；
由，可知
，
所以，
，故④正確
故選：A
1.（新課標(biāo)全國Ⅰ卷）1．已知向量，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
2.（新課標(biāo)全國Ⅱ卷）2．已知向量，滿足，，則______．
【答案】
【詳解】法一：因?yàn)?，即?br>則，整理得，
又因?yàn)?，即?br>則，所以.
法二：設(shè)，則，
由題意可得：，則，
整理得：，即.
故答案為：.
3.（全國乙卷數(shù)學(xué)（文））3．正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【詳解】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
4.（全國乙卷數(shù)學(xué)（理））4．已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)，設(shè)，
則：
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值.

當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，
則：
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
6.（全國甲卷數(shù)學(xué)（文））5．已知向量，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則，，
所以.
故選：B.
7.（全國甲卷數(shù)學(xué)（理））6．向量，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)?所以,
即,即,所以.
如圖,設(shè),
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
8.（新高考天津卷）7．在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．
【答案】
【詳解】空1：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，
兩式相加，可得到，
即，則；
空2：因?yàn)椋瑒t，可得，
得到，
即，即.
于是.
記，
則，
在中，根據(jù)余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，
則時(shí)，有最大值.
故答案為：；.

1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）以下說法正確的是（ ）
A．零向量與任意非零向量平行B．若，，則
C．若(為實(shí)數(shù))，則必為零D．和都是單位向量，則
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)和定義即可逐一判斷.
【詳解】解：對于A,零向量與任意向量平行，故A正確；
對于B，時(shí)，滿足，，但不一定成立，故錯(cuò)誤；
對于C,時(shí)，或，故錯(cuò)誤；
對于D，和都是單位向量，則，但不一定成立，故錯(cuò)誤．
故選：A．
2.（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）有關(guān)平面向量的說法，下列錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，，則
B．若與共線且模長相等，則
C．若且與方向相同，則
D．恒成立
【答案】ABC
【分析】取，可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量的概念可判斷B選項(xiàng)；利用向量不能比大小可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，取，滿足，，但、不一定共線，A錯(cuò)；
對于B選項(xiàng)，若與共線且模長相等，則或，B錯(cuò)；
對于C選項(xiàng)，任何兩個(gè)向量不能比大小，C錯(cuò)；
對于D選項(xiàng)，恒成立，D對.
故選：ABC.
3．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列命題中正確的有（ ）
A．若，則存在實(shí)數(shù)使得
B．若，則
C．若，則在方向上的投影向量為
D．若存在實(shí)數(shù)使得，則
【答案】ABC
【分析】根據(jù)平面向量的模、及線性運(yùn)算的概念即可判斷.
【詳解】當(dāng)時(shí)，的方向相反且，則存在負(fù)實(shí)數(shù)，
使得，故A正確D錯(cuò)誤；
若，則以為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這
個(gè)矩形的兩條對角線長，所以，故B正確；
若則的方向相同．在方向上的投影向量為，故C正確．
故選：ABC.
4.（2023春·廣東省佛山市一模）在中，設(shè)，那么動點(diǎn)的軌跡必通過的（ ）
A. 垂心B. 內(nèi)心C. 重心D. 外心
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，推導(dǎo)出，結(jié)合外心的定義可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，則、互為相反向量，
所以，，
因?yàn)?，即?br>所以，，即，
即，即，
所以，垂直且平分線段，
因此動點(diǎn)的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心.
故選：D.
5.（2023春·黑龍江省雞西市密山市第四中學(xué)模擬） 已知向量，的夾角為，且，，則（ ）
A. 10B. C. 14D.
【答案】B
【解析】
【分析】先計(jì)算出，從而得到.
【詳解】，
故.
故選：B
6.（2023春·黑龍江省綏化市海倫市第一中學(xué)模擬）已知平面向量，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 與的夾角為鈍角D. 與垂直
【答案】D
【解析】
【分析】對于A直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算判斷；對于B利用向量模的公式來計(jì)算判斷；對于C通過計(jì)算的正負(fù)來判斷；對于D通過計(jì)算的值來判斷.
【詳解】對于A：，A錯(cuò)誤；
對于B：，B錯(cuò)誤；
對于C：，則，故與的夾角不為鈍角，C錯(cuò)誤；
對于D：，則，D正確；
故選：D.
7. （2023春·黑龍江省雞西市雞東縣第二中學(xué)模擬）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（ ）
A. 的最小值為B. 的最大值為
C. 的最小值為1D. 的最大值為2
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)向量的幾何意義判斷點(diǎn)的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合，以及向量數(shù)量積的幾何意義，判斷選項(xiàng).
【詳解】由，可得點(diǎn)A的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，根據(jù)向量減法的幾何意義，由，可得點(diǎn)B的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓，
如圖所示．當(dāng)點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn)位置時(shí)，取最小值0，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)點(diǎn)B在直線與圓A的交點(diǎn)位置且不是原點(diǎn)時(shí)，取最大值2，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當(dāng)點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn)位置時(shí)，在方向上的投影取最小值0，此時(shí)取最小值0，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
當(dāng)點(diǎn)B在直線與圓A的交點(diǎn)位置且不是原點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影取最大值2，此時(shí)取最大值2， D選項(xiàng)正確．
故選:D
8. （2023春·河北省唐山市邯鄲市等2地模擬）已知向量，，則等于（ ）
A. 52B. C. D. 76
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】，
所以，
故選：B
9.（2023春·山西省運(yùn)城市稷山縣稷王中學(xué)模擬） 已知，則向量與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由數(shù)量積的性質(zhì)求得，再代夾角公式即可求解
【詳解】
所以
所以向量與的夾角為
故選：C
10.（2023春·廣東省深圳市2023屆高三下學(xué)期4月高考沖刺卷）如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，P為AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，EF是以B為圓心，3為半徑的圓的直徑，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知條件，把用基底表示，再利用向量數(shù)量積公式可得，再根據(jù)的范圍便可求出的取值范圍.
【詳解】如圖可知,，，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
所以，
即，
所以，
由條件可得，，，
因?yàn)镻為AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，
故當(dāng)P為AC中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，
當(dāng)P為A或C時(shí)，最大，，
所以，
所以，又因?yàn)椋?br>所以.
故選：C.
11.（2023春·山東省青島萊西市模擬）（多選）已知向量，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】先求出，由平行向量的坐標(biāo)表示可判斷A；由垂直向量的坐標(biāo)表示可判斷B；由數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算可判斷C；由數(shù)量積的定義結(jié)合基本不等式可判斷D.
【詳解】對于A，因，
則，若，，
由可得：，解得：，故A不正確；
對于B，若，，
由可得：，解得：，故B正確；
對于C，，，即，
解得：，故C正確；
對于D，，，
由可得：，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故D正確.
故選：BCD.
12.（2023春·廣東省汕頭市潮陽區(qū)七校聯(lián)合體模擬）已知非零向量 滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由垂直關(guān)系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由兩式得出，進(jìn)而得出夾角.
【詳解】因?yàn)?，所以，即?
因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较虻耐队跋蛄渴?，所?
所以②，將①代入②得，，又，
所以.
故選：B
13.（2023春·廣東省江門市一模）設(shè)非零向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量模的性質(zhì)由已知可求得，則按照在方向上的投影向量的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>則，解得，
所以在方向上的投影向量為.
故選：B.
14.（2023春·廣東省揭陽市二模）已知向量，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求出，然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，得，
所以.
故選：B.
15.（2023春·廣東省廣州市二模） 已知兩個(gè)非零向量，滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律和夾角公式求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
，
故選:D.
16.（2023春·廣東省高州市二模）已知向量，，若與平行，則實(shí)數(shù)值為（ ）
A. B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求與的坐標(biāo)，然后由向量平行的坐標(biāo)表示可得.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
又與平行，
所以，解得.
故選：D
17.（2023春·廣東省佛山市二模） 已知的頂點(diǎn)，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四邊形可得進(jìn)而即得．
【詳解】因?yàn)?，，，由平行四邊形可得?br>設(shè)，則，
所以，即的坐標(biāo)為.
故選：B.
18.（2023春·廣東省大灣區(qū)二模） 已知平面向量，則在上的投影向量為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出，，再根據(jù)在上的投影向量為計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
所以在上的投影向量為，
故選：D.
19. （2023春·廣東省二模）已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若，則的最大值為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題設(shè)易知且、，進(jìn)而判斷最大時(shí)的關(guān)系即可得答案.
【詳解】由圓O是△ABC的外接圓，且，故，
所以，則，
所以，故反向共線時(shí)最大，
所以.
故選：C
20.（2023春·廣東省深圳市一模） 已知，為單位向量，且，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)與夾角為，利用求出，在利用夾角公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，為單位向量?br>由，
所以，
即，
設(shè)與夾角為，
則，
又，所以，
故選：C.
21.（2022·湖南長沙·長沙一中?？家荒＃ǘ噙x）已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點(diǎn)，對于內(nèi)任意一點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，則稱有序?qū)崝?shù)對為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)．若點(diǎn)A，B的廣義坐標(biāo)分別為，，關(guān)于下列命題正確的是（ ）
A．線段A，B的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為
B．A，B兩點(diǎn)間的距離為
C．若向量平行于向量，則
D．若向量垂直于向量，則
【答案】AC
【分析】由題目給的定義結(jié)合向量的線性運(yùn)算、向量的模長、向量的平行及垂直依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】根據(jù)題意得，設(shè)A，B的中點(diǎn)為，則，
故線段A，B的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為，A正確；
，故，
當(dāng)向量，是相互垂直的單位向量時(shí)，A，B兩點(diǎn)間的距離為，否則距離不為，B錯(cuò)誤；
與平行，當(dāng)與存在時(shí)，結(jié)論顯然成立，當(dāng)與都不為時(shí)，設(shè)，
則，即，，，所以，故C正確；，當(dāng)與為相互垂直的單位向量時(shí)，
與垂直的充要條件是，故D不正確.
故選：AC．
22．（2021·江蘇南京·二模）（多選）引入平面向量之間的一種新運(yùn)算“”如下：對任意的向量，，規(guī)定，則對于任意的向量，，，下列說法正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出每個(gè)等式等號左右兩邊的值，由此判斷出AB是否正確；理解C選項(xiàng)中“”的含義，由此可判斷是否正確；將不等號兩邊同時(shí)平方結(jié)合坐標(biāo)形式下向量的模長公式，采用作差法判斷是否正確.
【詳解】A．因?yàn)椋?，故正確；
B．因?yàn)?，故正確；
C．，此時(shí)不恒成立，故錯(cuò)誤；
D．因?yàn)椋?br>所以，
所以，且，，所以，故正確，
故選：ABD.
23.（2023春·福建省廈門第六中學(xué)模擬）已知向量,，若的夾角為，則=___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的夾角公式可求出結(jié)果.
【詳解】由,得,得.
故答案為：.
24.（2023春·廣東省一模）已知向量滿足，則與的夾角為___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，
，
故答案為：
25.（2023春·廣東省廣州市一模）已知向量與共線，則__________.
【答案】.
【解析】
【分析】運(yùn)用平面向量共線及向量的模的坐標(biāo)計(jì)算公式求解即可.
【詳解】由題意知，
又因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以，
所以.
故答案為：.
26.（2023春·湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟模擬）已知向量，，若，則______.
【答案】100
【解析】
【分析】先根據(jù)向量平行列出方程，求出，從而利用數(shù)量積公式求出答案.
【詳解】由題意得：，解得：，
故.
故答案為：100
27.（2023春·安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校模擬）定義是向量和的“向量積”，其長度為，其中為向量和的夾角.若，，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積求出夾角的余弦值，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求夾角的正弦值，然后再根據(jù)向量積的定義即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以
因?yàn)椋?br>所以
故答案為：
28.（2023春·廣東省惠州市一模）已知點(diǎn)在線段上，是的角平分線，為上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)則在上的投影向量為__________．（結(jié)果用表示）．
【答案】
【解析】
【分析】由可設(shè)，結(jié)合雙曲線的定義可得點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)內(nèi)心的向量性質(zhì)可得為的內(nèi)心，進(jìn)而根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由，可設(shè)，由，
得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支（不含右頂點(diǎn)）.
因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，且
故也為的角平分線，為的內(nèi)心.
如圖，設(shè)，，
則由雙曲線與內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，
又，所以，，在上的投影長為，
則在上的投影向量為．
故答案為：
29.（2023秋·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交，于點(diǎn)，．當(dāng)點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動時(shí)，的最小值為 ．
【答案】/
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
則，
則，
由，得，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
30．（2023·上海楊浦·同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)校考三模）對任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義，若平面向量、滿足，與的夾角，且和都在集合中，則
【答案】
【分析】由題意可設(shè)，，，，得，對，進(jìn)行賦值即可得出，的值，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】因?yàn)?，故?br>又由，則，，可設(shè)，，令，，且，
又夾角，所以，
對，進(jìn)行賦值即可得出，所以．
故答案為：．

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