新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義專題12 平面向量 （2份打包，原卷版+解析版）

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考的一．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
考點(diǎn)二．向量的線性運(yùn)算
考點(diǎn)三.向量共線定理
向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.
考點(diǎn)四．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，
使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
考點(diǎn)五．平面向量的坐標(biāo)表示
(1)向量及向量的模的坐標(biāo)表示
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
(2)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．
考點(diǎn)六．平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0.
考點(diǎn)七.向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π].
考點(diǎn)八.平面向量的數(shù)量積
考點(diǎn)九.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
考點(diǎn)十.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
【方法技巧】
求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．
【核心題型】
題型一：平面向量的基礎(chǔ)知識
1．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列說法中正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．平行向量不一定是共線向量
C．對于任意向量 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 同向，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】對于A：根據(jù)單位向量的概念即可判斷；對于B：根據(jù)共線向量的定義即可判斷；對于C：分類討論向量的方向，根據(jù)三角形法則即可判斷；對于D：根據(jù)向量不能比較大小即可判斷.
【詳解】依題意，
對于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯誤；
對于B，平行向量就是共線向量，故錯誤；
對于C，若 SKIPIF 1 < 0 同向共線， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 反向共線， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及
兩邊之和大于第三邊知 SKIPIF 1 < 0 .
綜上可知對于任意向量 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 ，故正確；
對于D，兩個向量不能比較大小，故錯誤.
故選：C.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是單位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根據(jù)向量模的定義可得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量模的定義即可求解.
【詳解】解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A．
3．（2022·河南·校聯(lián)考一模）下列關(guān)于平面向量的說法正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 共線，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一直線上
B．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若G為 SKIPIF 1 < 0 的外心，則 SKIPIF 1 < 0
D．若O為 SKIPIF 1 < 0 的垂心，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】A向量共線知向量所在直線平行或共線；B由零向量與任意向量都平行；C由向量相加不可能等于標(biāo)量；D利用向量減法的幾何含義，結(jié)合垂心的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】A：若 SKIPIF 1 < 0 共線，則A，B，C，D在同一直線上或 SKIPIF 1 < 0 ，錯誤；
B：若 SKIPIF 1 < 0 為零向量，由任意向量都與零向量平行知，此時 SKIPIF 1 < 0 不一定平行，錯誤；
C：若G為 SKIPIF 1 < 0 的外心，有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 不可能等于標(biāo)量0，錯誤；
D：O為 SKIPIF 1 < 0 的垂心，由 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，正確.
故選：D.
題型二：平面向量的線性運(yùn)算
4．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）設(shè) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 所在平面內(nèi)一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】運(yùn)用平面向量加法規(guī)則計(jì)算.
【詳解】
依題意作上圖，則 SKIPIF 1 < 0 ；
故選：D.
5．（2023秋·廣西河池·高三統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，M為線段BC的中點(diǎn)，G為線段AM上一點(diǎn)且 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn)G的直線分別交直線AB、AC于P、Q兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三點(diǎn)共線向量性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果．
【詳解】由于M為線段BC的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線，則 SKIPIF 1 < 0 ，化得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，即 SKIPIF 1 < 0 時，等號成立， SKIPIF 1 < 0 的最小值為1
故選：B
6．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直線AM交BN于點(diǎn)Q， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】把 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示，然后由三點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 共線可得．
【詳解】由題意得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)镼，M，A三點(diǎn)共線，故 SKIPIF 1 < 0 ，化簡整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C．
題型三：平面向量的共線定理
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)） SKIPIF 1 < 0 的外心 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【分析】從 SKIPIF 1 < 0 這個條件可以考慮設(shè) SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線可求.
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 可化為 SKIPIF 1 < 0
即為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形，
由垂徑定理得 SKIPIF 1 < 0 ，代入數(shù)據(jù)得 SKIPIF 1 < 0 ,
解之： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，M，N分別是線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D，E是線段 SKIPIF 1 < 0 上的兩個動點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的的最小值是（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量共線定理可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，最后運(yùn)用基本不等式可求解.
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時等號成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相交于不同兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，若平面上一動點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由題意，判斷得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 外，從而得 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，進(jìn)而表示出 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線，
且點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 外，因?yàn)辄c(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由數(shù)量積的定義可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故選:C.
題型四：平面向量的基本定理
10．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┰谄叫兴倪呅?SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)題意過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，先利用三角形相似求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選： SKIPIF 1 < 0 .
11．（2022秋·甘肅武威·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用向量的線性運(yùn)算求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求得 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D
12．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于O．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先以 SKIPIF 1 < 0 為基底表示 SKIPIF 1 < 0 ，再利用向量的數(shù)量積把 SKIPIF 1 < 0 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的長
【詳解】在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于O．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的長為4
故選：C
題型五：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
13．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 分別為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．0
【答案】D
【分析】根據(jù)題意分析可得數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 均是周期為6的數(shù)列，運(yùn)算求解即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 均是周期為6的數(shù)列，而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故選：D.
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】B
【分析】方法1：由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 代入可反解得 SKIPIF 1 < 0 ，最后根據(jù) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
方法2：建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.
【詳解】方法1：在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（平面向量基本定理的應(yīng)用）
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B.
方法2：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
即： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
由②得 SKIPIF 1 < 0 ，將其代入①得 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)D滿足 SKIPIF 1 < 0 ，E為 SKIPIF 1 < 0 的外心，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用向量的數(shù)量積求得 SKIPIF 1 < 0 ，以O(shè)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得解.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，垂直于OA所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又E為 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A
題型六：平面向量的數(shù)量積問題
16．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】在平面內(nèi)一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，利用向量三角不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【詳解】在平面內(nèi)一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，則 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 同向時，等號成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
17．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在線段BD上取點(diǎn)E，使得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】分析得到∠AEB是 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角，利用向量基本定理得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用向量數(shù)量積公式得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，從而利用夾角余弦公式求出答案.
【詳解】由題意知：∠AEB是 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
18．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為2的等邊 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為中線 SKIPIF 1 < 0 的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ），點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由已知可推得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可得出結(jié)果.
【詳解】由已知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
由已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
題型七：平面向量的幾何應(yīng)用
19．（2022·福建廈門·廈門市湖濱中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知A，B是圓 SKIPIF 1 < 0 上的動點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，P是圓 SKIPIF 1 < 0 上的動點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由題意得 SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 上，則 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)形結(jié)合即可求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍，即可得解.
【詳解】由題意可得 SKIPIF 1 < 0 是圓心為 SKIPIF 1 < 0 半徑為1的圓， SKIPIF 1 < 0 是圓心為 SKIPIF 1 < 0 半徑為1的圓，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由垂徑定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 上，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
由圖可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C
20．（2022·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┰谄矫鎯?nèi)，定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，動點(diǎn)P，M滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得到 SKIPIF 1 < 0 為正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中心，結(jié)合題設(shè)條件求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 為邊長為 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【詳解】由題意知 SKIPIF 1 < 0 ，即點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)的距離相等，可得 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的外心，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的垂心，
所以 SKIPIF 1 < 0 的外心與垂心重合，所以 SKIPIF 1 < 0 為正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中心，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為邊長為 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，
如圖所示，以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，可得設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，PQ為 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切圓的一條直徑，M為 SKIPIF 1 < 0 邊上的動點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】易知 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，利用等面積法可得內(nèi)切圓半徑 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)內(nèi)切圓圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 為直徑，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而根據(jù) SKIPIF 1 < 0 的運(yùn)動情況來求解.
【詳解】由題可知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)內(nèi)切圓圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切圓的一條直徑，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)镸為 SKIPIF 1 < 0 邊上的動點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 重合時， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C
題型八：平面向量的綜合問題
22．（2022·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， 函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值域;
(2)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有 10 個零點(diǎn)， 求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角恒等變換得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解即可；
（2）由題知 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可得答案.
【詳解】（1）解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的值域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：令 SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)楹瘮?shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有10個零點(diǎn)，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有10個實(shí)數(shù)根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以， SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
23．（2023·高三課時練習(xí)）已知點(diǎn)G為 SKIPIF 1 < 0 的重心．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)過G作直線與AB、AC兩條邊分別交于點(diǎn)M、N，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)3
【分析】（1）根據(jù)已知得出 SKIPIF 1 < 0 與三邊所在向量的關(guān)系，即可根據(jù)向量的運(yùn)算得出答案；
（2）根據(jù)已知得出 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)M、N、G三點(diǎn)共線，結(jié)合向量運(yùn)算與向量相等的定義列式整理，即可得出答案.
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)G為 SKIPIF 1 < 0 的重心，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
（2） SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)G為 SKIPIF 1 < 0 的重心，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線，
SKIPIF 1 < 0 存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)向量相等的定義可得 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
兩邊同除 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
24．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點(diǎn)M，N．
(1)若Q是BC的中點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍；
(2)若P是平面上一點(diǎn)，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由向量的加法和數(shù)量積運(yùn)算將 SKIPIF 1 < 0 轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 的值和 SKIPIF 1 < 0 的范圍可求得結(jié)果.
（2）令 SKIPIF 1 < 0 可得點(diǎn)T 在BC上，再將 SKIPIF 1 < 0 轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的范圍可求得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)橹本€l過中心O且與兩邊AB、CD分別交于點(diǎn)M、N．
所以O(shè)為MN的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)镼是BC的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即的 SKIPIF 1 < 0 取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴點(diǎn)T 在BC上，
又因?yàn)镺為MN的中點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【高考必刷】
一、單選題
25．（2023·四川·石室中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．7B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，先求 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系是求 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】由已知，得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為銳角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
26．（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）若非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角 SKIPIF 1 < 0 為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】對 SKIPIF 1 < 0 兩邊同時平方可求出 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，由向量的夾角公式代入即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
27．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知 SKIPIF 1 < 0 的外接圓圓心為O，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知△ SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，△ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊中點(diǎn)，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是△ SKIPIF 1 < 0 的外接圓圓心，所以△ SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，
且 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以△ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C.
28．（2023·全國·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖,在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分點(diǎn),若 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．8
【答案】A
【分析】將 SKIPIF 1 < 0 通過平面向量基本定理轉(zhuǎn)化到 SKIPIF 1 < 0 上,展開計(jì)算,再將 SKIPIF 1 < 0 代入即可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】解:由題知 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
記 SKIPIF 1 < 0 ,因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 (舍)或 SKIPIF 1 < 0 .
故選:A
29．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考開學(xué)考試）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，求出 SKIPIF 1 < 0 ，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求出軌跡方程，利用幾何意義即可求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 可知, SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
如圖建立坐標(biāo)系， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的終點(diǎn)在以 SKIPIF 1 < 0 為圓心,1為半徑的圓上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，幾何意義為 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 距離的2倍，
由兒何意義可知 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D.
30．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中?？寄M預(yù)測）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)D在線段 SKIPIF 1 < 0 上，點(diǎn)E在線段 SKIPIF 1 < 0 上，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由已知可得AB＝4，AC＝3，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，推出 SKIPIF 1 < 0 ，由B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線求得λ，再將 SKIPIF 1 < 0 表示成以 SKIPIF 1 < 0 為基底的向量，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則得答案．
【詳解】
如圖：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得AB＝4，AC＝3，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故選：C.
31．（2022·四川眉山·統(tǒng)考一模）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與C交于點(diǎn)M，N，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取最小值時，橢圓C的離心率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)直線和橢圓的對稱性可得 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形,再由 SKIPIF 1 < 0 及向量的數(shù)量積可求 SKIPIF 1 < 0 ,再應(yīng)用基本不等式,取等條件計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)橹本€ SKIPIF 1 < 0 與C交于點(diǎn)M，N，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn),由 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn),故四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形.
則 SKIPIF 1 < 0 ,由橢圓定義得 SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,又因 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ，應(yīng)用余弦定理
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 時 SKIPIF 1 < 0 取最小值,此時, SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0
故選: SKIPIF 1 < 0 .
32．（2022·吉林·東北師大附中?？寄M預(yù)測）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上任一點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D．8
【答案】D
【分析】利用共線定理求出定值，再用基本不等式即可求解.
【詳解】由題知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上任一點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時等號成立，此時 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
二、多選題
33．（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】畫出三角形，應(yīng)用向量線性表示，三角形法則，數(shù)量積關(guān)系逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】如圖所示：
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選項(xiàng)A正確，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故C選項(xiàng)錯誤，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)D正確，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確，
故選：ABD.
34．（2023·福建·統(tǒng)考一模）平面向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，對任意的實(shí)數(shù)t， SKIPIF 1 < 0 恒成立，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 為定值
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】由題意可得： SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)向量的運(yùn)算逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.
【詳解】設(shè)平面向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)閷θ我獾膶?shí)數(shù)t， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，又 SKIPIF 1 < 0 ，
也即 SKIPIF 1 < 0 對任意的實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 正確；
對于 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 隨 SKIPIF 1 < 0 的變化而變化，故選項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 錯誤；
對于 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 錯誤；
對于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 向量上的一個單位向量 SKIPIF 1 < 0 ，由向量夾角公式可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由投影向量的計(jì)算公式可得： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 正確，
故選： SKIPIF 1 < 0 .
35．（2023春·廣東揭陽·高三校考開學(xué)考試）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐標(biāo)表示與旋轉(zhuǎn)角的定義推得 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，從而對選項(xiàng)逐一分析判斷即可.
【詳解】對于A，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，則 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；
對于B，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是正三角形， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
對于C， SKIPIF 1 < 0 ，故C正確；
對于D，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯誤.
故選：ABC．
.
36．（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABCD
【分析】根據(jù)向量共線以及三角形的面積公式可判斷A，根據(jù)不等式即可求解BCD.
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 所對的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
進(jìn)而得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 故A正確，
由A知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取等號，因此 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確，
SKIPIF 1 < 0 ,
同理 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時取等號,
因此存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正確,
故選：ABCD
三、填空題
37．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，請寫出一個符合題意的向量 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，分析 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系，利用特殊值法可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)Q滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)為M，則 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得 SKIPIF 1 < 0 ，得當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 最大，此時 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
求出 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)為M，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知P點(diǎn)軌跡是以 SKIPIF 1 < 0 為弦，圓周角為 SKIPIF 1 < 0 的優(yōu)弧，
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 最大，此時 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
39．（2023·陜西商洛·?？既＃┮阎矫嫦蛄?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為單位向量，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】建立如圖所示坐標(biāo)系，不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由題意 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程，由 SKIPIF 1 < 0 的幾何意義可得 SKIPIF 1 < 0 即為 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)的距離，從而可得出答案．
【詳解】解：建立如圖所示坐標(biāo)系，
不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 上，
由題意 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由定弦所對的角為頂角可知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡是兩個關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 軸對稱的圓弧，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由對稱性不妨只考慮第一象限的情況，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 的幾何意義為：圓弧 SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn)到直線 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn)的距離，
所以最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出動點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合解析幾何的知識求出向量模的取值范圍.
40．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面向量，滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影的數(shù)量的最小值是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合條件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合條件可得 SKIPIF 1 < 0 ，表示出向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影的數(shù)量，從而求得最小值.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，則
故向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影的數(shù)量為 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影的數(shù)量的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
41．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 和直線 SKIPIF 1 < 0 的所有交點(diǎn)從左到右依次記為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ____________.
【答案】10
【分析】根據(jù)題意作出兩個函數(shù)的圖象分析交點(diǎn)個數(shù)，利用對稱性化簡向量的和即可求解.
【詳解】如圖可知：函數(shù) SKIPIF 1 < 0 和直線 SKIPIF 1 < 0 共有5個交點(diǎn)，依次為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
∵函數(shù) SKIPIF 1 < 0 和直線 SKIPIF 1 < 0 均關(guān)于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對稱，則 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對稱，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：10.
四、解答題(共0分)
42．（2023·全國·高三專題練習(xí)） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長度；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 為角平分線，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）從向量角度，以 SKIPIF 1 < 0 為基底，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再用向量法計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 的模長，即 SKIPIF 1 < 0 的長度；
（2）用正弦定理的面積公式分別A表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面積，列出等式計(jì)算即可求出A的正弦值，繼而求出面積.
【詳解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 .
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的內(nèi)接四邊形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，BC=2， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求四邊形ABCD的面積；
(2)設(shè)邊AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由余弦定理與面積公式求解
（2）以 SKIPIF 1 < 0 為基底分解，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解
（1）解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2）解：由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 即外接圓的直徑，設(shè) SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
44．（2022秋·廣東廣州·高三廣州市第一一三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點(diǎn)O是 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角A；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 外接圓的周長為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周長的取值范圍，
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由三角形外心的定義和向量數(shù)量積的幾何意義對條件化簡，然后利用正弦定理邊化角，整理化簡可得；
（2）先求外接圓半徑，結(jié)合（1）和正弦定理將三角形周長表示為角C的三角函數(shù)，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得.
【詳解】（1）過點(diǎn)O作AB的垂線，垂足為D，
因?yàn)镺是 SKIPIF 1 < 0 的外心，所以D為AB的中點(diǎn)
所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理邊化角得：
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
（2）記 SKIPIF 1 < 0 外接圓的半徑為R，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 外接圓的周長為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 周長 SKIPIF 1 < 0
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 周長的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0
向量運(yùn)算
定義
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個向量和的運(yùn)算
交換律：
a＋b＝b＋a；
結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算
|λa|＝|λ||a|，
當(dāng)λ>0時，λa與a的方向相同；
當(dāng)λ