概率與統(tǒng)計(jì)，是歷年高考的必考點(diǎn)，尤其是新高考改革后，各卷都有考查，其主要考查內(nèi)容有：數(shù)字特征與概率的計(jì)算問題、隨機(jī)變量的均值與方差、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)、二項(xiàng)分布及其應(yīng)用等。例如：2021年全國高考甲卷（文）、（理）[17]，2022年全國新高考卷Ⅰ[20]，2022年全國乙卷（文）、（理）[19]，2022年全國甲卷（文）[17]等都對數(shù)字特征與概率的計(jì)算問題進(jìn)行了考查。
〔1〕樣本的數(shù)字特征：
1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或者最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
平均數(shù)：.
2.樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差，其中是樣本數(shù)據(jù)的第i項(xiàng)，n是樣本容量，是平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是反映數(shù)據(jù)總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，樣本方差是樣本標(biāo)準(zhǔn)差的平方。
3.在頻率分布直方圖中，每個(gè)小矩形的面積就是數(shù)據(jù)在對應(yīng)區(qū)間的頻率，所有小矩形的面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識(shí)圖的基礎(chǔ).準(zhǔn)確理解頻率分布直方圖的特點(diǎn)，頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組對應(yīng)的頻率除以組距，不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率，不要和條形圖混淆。
〔2〕概率計(jì)算：
1.古典概型：
2.互斥事件與對立事件：若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)，若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)+P(B)=1。
3.相互獨(dú)立事件：若事件A與事件B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)。
4.條件概率問題的解題步驟：第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“在······條件下”“在······前提下”等字眼，一般為條件概率；題目中若沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響所求事件發(fā)生的概率時(shí)，也需注意是否為條件概率。第二步，利用公式計(jì)算概率，若事件A與事件B相互獨(dú)立，且P(A)>0，則P(B|A)=P(B)。
5.全概率公式：，，，……，是一組兩兩互斥的事件，∪∪……∪=，且，i=1，2，……，n，則對任意的事件B?Ω，有。
例1．（2022年全國乙卷（文）、（理）·19）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：
并計(jì)算得．
(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．
附：相關(guān)系數(shù)．
例2．（2022·全國·高考甲卷（文）·17）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營，為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：
(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；
(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？
附：，
1．（2022·廣西·模擬預(yù)測（理））某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)知識(shí)競賽，其中男生200人.為了了解該校學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)競賽中的情況，采取按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450~950分之間.將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”.根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(2)若樣本中屬于“高分選手”的男生有10人，完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān).
參考公式：，其中.
2．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測（文））某地區(qū)對高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康測試（簡稱體測），現(xiàn)隨機(jī)抽取了900名學(xué)生的體測結(jié)果等級(jí)（“良好及以下”或“優(yōu)秀”）進(jìn)行分析．得到如下列聯(lián)表：
(1)計(jì)算并判斷是否有99％的把握認(rèn)為本次體測結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān)系？
(2)事先在本次體測等級(jí)為“優(yōu)秀”的學(xué)生中按照性別采用分層抽樣的方式隨機(jī)抽取了6人．若從這6人中隨機(jī)抽取2人對其體測指標(biāo)進(jìn)一步研究，求抽到的2人中至少有1名女生的概率．
附表及公式：
其中，．
3．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測（理））年月日，我國發(fā)表了《人類減貧的中國實(shí)踐》白皮書，白皮書提到占世界人口近五分之一的中國全面消除絕對貧困，提前年實(shí)現(xiàn)減貧目標(biāo)，為了鞏固脫貧成果，哈爾濱市某地區(qū)積極引導(dǎo)人們種植一種名貴中藥材，并成立藥材加工廠對該藥材進(jìn)行切片加工，包裝成袋出售，已知這種袋裝中藥的質(zhì)量以某項(xiàng)指標(biāo)值為衡量標(biāo)準(zhǔn)，值越大，質(zhì)量越好，該質(zhì)量指標(biāo)值的等級(jí)及出廠價(jià)如表所示；
該藥材加工廠為了解生產(chǎn)這種袋裝中藥的經(jīng)濟(jì)效益，從所生產(chǎn)的這種袋裝中藥中隨機(jī)抽取了袋，測量了每袋中藥成品的值，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)視頻率為概率，求該藥材加工廠所生產(chǎn)的袋裝中藥成品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表；
(2)現(xiàn)從質(zhì)量指標(biāo)值為到中分層抽取袋，某人在袋中抽取袋，已知其中一袋在指標(biāo)值為到內(nèi)的條件下，求另一袋指標(biāo)值在到內(nèi)的概率；
(3)假定該中藥加工廠一年的袋裝中藥的產(chǎn)量為萬袋，且全部都能銷售出去，若每袋袋裝中藥的成本為元，工廠的設(shè)備投資為萬元，問：該中藥加工廠是否有可能在一年內(nèi)通過加工該袋裝中藥收回投資？并說明理由．
4．（2022·廣西·模擬預(yù)測（文））某小學(xué)認(rèn)真貫徹教育部門“雙減”工作的精神，執(zhí)行相關(guān)措施一段時(shí)間后，為了解“雙減”工作的實(shí)際效果，在該校1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名小學(xué)生，調(diào)查他們周末完成作業(yè)的時(shí)間（以下簡稱作業(yè)時(shí)間，單位：)，將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按[0，0.5)，[0.5，1)，，[4，4.5]分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，
(1)求直方圖中的值；
(2)估計(jì)全校學(xué)生作業(yè)時(shí)間不低于2的人數(shù)；
(3)按照分層抽樣的方法，從全校學(xué)生作業(yè)時(shí)間不低于2和低于2的學(xué)生中抽取5人組成核心素養(yǎng)考察團(tuán)，若從考察團(tuán)中選取2人作為團(tuán)長和副團(tuán)長求這2人都來自作業(yè)時(shí)間低于2的學(xué)生的概率．
5．新冠肺炎疫情期間，為確?！巴Ｕn不停學(xué)”，各校精心組織了線上教學(xué)活動(dòng).開學(xué)后，某校采用分層抽樣的方法從高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本進(jìn)行關(guān)于線上教學(xué)實(shí)施情況的問卷調(diào)查.已知該校高二年級(jí)共有學(xué)生840人，高三年級(jí)共有960人，抽取的樣本中高一年級(jí)有50人.如表是根據(jù)抽樣調(diào)查情況得到的高一學(xué)生日睡眠時(shí)間（單位：h）的頻率分布表.
(1)求該校高一學(xué)生的總數(shù)；
(2)求頻率分布表中實(shí)數(shù)m，n，s的值；
(3)已知日睡眠時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的6名高一學(xué)生中，有2名女生，4名男生，若從中任選2人進(jìn)行面談，求選中的2人恰好為一男一女的概率.
6．（2022·黑龍江·佳木斯一中三模（理））某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識(shí)普及實(shí)踐活動(dòng)”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，并將得分分成以下6組：、、、…、，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：
(1)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)；
(2)從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記其得分在的人數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)以樣本估計(jì)總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認(rèn)為參加知識(shí)競賽的學(xué)生的得分X近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算.所有參加知識(shí)競賽的2000名學(xué)生中，試問得分高于77分的人數(shù)最有可能是多少？
參考數(shù)據(jù)：，，.
7．第六屆遵義冬至羊肉粉旅游文化美食節(jié)于2021年12月18日至23日在鳳凰山文化廣場舉辦，本次活動(dòng)旨在從地本產(chǎn)業(yè)特色，歷史文化、消費(fèi)習(xí)慣出發(fā)，打造商旅文體、吃住行娛嘗試融合的消費(fèi)場景，活動(dòng)組委會(huì)隨機(jī)邀請100位市民，均分為A、B兩個(gè)評(píng)委組，分別對甲、乙兩店羊肉粉進(jìn)行品嘗評(píng)分（滿分100分，分?jǐn)?shù)越高表示越受歡迎），A、B兩組的評(píng)分結(jié)果如下：
(1)若以50名市民評(píng)分的平均值為作評(píng)判依據(jù)，甲、乙兩店羊肉粉哪家更受歡迎？
(2)采用分層抽樣的方法，從A組評(píng)分在區(qū)間[80，84）和[96，100]的市民中抽取5人，再從這5人中抽取2人對甲店羊肉粉的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，求這兩人的評(píng)分在同一區(qū)間的概率.
8．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室一模（文））今年5月以來，世界多個(gè)國家報(bào)告了猴痘病例，我國作為為人民健康負(fù)責(zé)任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒提前做出防控部署．同時(shí)國家衛(wèi)生健康委員會(huì)同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5—21天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護(hù)力．據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊(duì)針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀察21天．在醫(yī)學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染猴痘病毒的比例較大．對該國家200個(gè)密切接觸者樣本醫(yī)學(xué)觀察結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：
(1)是否有99%的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；
(2)現(xiàn)從樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察后未感染猴痘病毒的密切接觸者中，按照是否接種過天花疫苗分層抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人都接種過天花疫苗的概率．
附：，其中．
9．（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測（理））基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，也稱強(qiáng)基計(jì)劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，年有名學(xué)生報(bào)考某試點(diǎn)高校，若報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績．筆試成績高于分的學(xué)生進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．
(1)從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，求這人中至少有一人進(jìn)入面試的概率；
(2)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、．設(shè)這名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：若，則，，，．
10．（2022·四川廣安·模擬預(yù)測（理））近年來隨著我國在教育科研上的投入不斷加大，科學(xué)技術(shù)得到迅猛發(fā)展，國內(nèi)企業(yè)的國際競爭力得到大幅提升.伴隨著國內(nèi)市場增速放緩，國內(nèi)有實(shí)力企業(yè)紛紛進(jìn)行海外布局，第二輪企業(yè)出海潮到來.如在智能手機(jī)行業(yè)，國產(chǎn)品牌已在趕超國外巨頭，某品牌手機(jī)公司一直默默拓展海外市場，在海外共設(shè)30多個(gè)分支機(jī)構(gòu)，需要國內(nèi)公司外派大量80后、90后中青年員工.該企業(yè)為了解這兩個(gè)年齡層員工是否愿意被外派工作的態(tài)度，按分層抽樣的方式從80后和90后的員工中隨機(jī)調(diào)查了200位，得到數(shù)據(jù)如下表：
(1)根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，是否有99%的把握認(rèn)為“是否愿意被外派與年齡有關(guān)”，并說明理由；
(2)該公司舉行參觀駐海外分支機(jī)構(gòu)的交流體驗(yàn)活動(dòng)，擬安排6名參與調(diào)查的80后、90后員工參加.80后員工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人報(bào)名參加，從中隨機(jī)選出3人，記選到愿意被外派的人數(shù)為x；90后員工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人報(bào)名參加，從中隨機(jī)選出3人，記選到愿意被外派的人數(shù)為y，求的概率.
參考數(shù)據(jù)：
（參考公式：，其中）
11．（2022·江西·九江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測（理））某公司舉辦一次募捐愛心演出，有1000人參加，每人一張門票，每張100元．在演出過程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第一輪抽獎(jiǎng)從這1000張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品，并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)數(shù)x，y（x，），滿足電腦顯示“中獎(jiǎng)”，且抽獎(jiǎng)?wù)攉@得9000元獎(jiǎng)金；否則電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)．
(1)已知小明在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中，求小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率；
(2)若小白參加了此次活動(dòng)，求小白參加此次活動(dòng)收益的期望．
12．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））隨著日益增長的市場需求，某公司最初設(shè)計(jì)的生產(chǎn)能力已不能滿足生產(chǎn)的需求，公司新安裝了A，B兩條生產(chǎn)線．在生產(chǎn)線試運(yùn)行階段，為檢測生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率，對兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品采取不同的方式進(jìn)行檢測．其中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品分三次隨機(jī)抽檢，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，第一次抽取了30件產(chǎn)品，合格率為，第二次抽取了40件，合格率為，第三次抽取了30件產(chǎn)品，合格率為；對B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品隨機(jī)抽取了100件，并測量了每件產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)值．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知產(chǎn)品的質(zhì)量以該項(xiàng)指標(biāo)值為衡量標(biāo)準(zhǔn)，且指標(biāo)值時(shí)為合格產(chǎn)品．兩條生產(chǎn)線之間生產(chǎn)的產(chǎn)品及各生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立．
(1)估計(jì)A，B兩條生產(chǎn)線在試運(yùn)行階段產(chǎn)品的合格率．
(2)以（1）中的估計(jì)值為A，B兩條生產(chǎn)線試運(yùn)行階段生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率．在A，B兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，記合格產(chǎn)品的個(gè)數(shù)和為X．若其中至少有3件產(chǎn)品合格，則可判定兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)狀況安全穩(wěn)定．
（i）求；
（ii）求可判定兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)狀況穩(wěn)定的概率．
樣本號(hào)ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
屬于“高分選手”
不屬于“高分選手”
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
良好及以下
優(yōu)秀
合計(jì)
男
450
200
650
女
150
100
250
合計(jì)
600
300
900
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
質(zhì)量指標(biāo)值

等級(jí)
三級(jí)
二級(jí)
一級(jí)
優(yōu)級(jí)
出廠價(jià)（元/袋）
分組
頻數(shù)
頻率
m
n
6
0.12
8
0.16
s
0.24
11
0.22
9
0.18
合計(jì)
50
1
感染猴痘病毒
未感染猴痘病毒
未接種天花疫苗
30
60
接種天花疫苗
20
90
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
愿意被外派
不愿意被外派
合計(jì)
80后
40
40
80
90后
80
40
120
合計(jì)
120
80
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.072
2.706
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