〔1〕求空間幾何體的表面積
(1)求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積.
(2)求旋轉(zhuǎn)體的表面積：可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的長度關(guān)系.
(3)求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.
〔2〕求空間幾何體的體積
1.直接法：對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計算.
2.割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，把不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，再進(jìn)行計算.
3.等體積法：選擇合適的底面求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換.
例1．（2022·全國·高考乙卷（文）·18）如圖，四面體中，，E為AC的中點．
(1)證明：平面平面ACD；
(2)設(shè)，點F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明詳見解析，(2)
【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.
（2）首先判斷出三角形的面積最小時點的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.
【詳解】（1）由于，是的中點，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）[方法一]：判別幾何關(guān)系
依題意，，三角形是等邊三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以當(dāng)最短時，三角形的面積最小
過作，垂足為，
在中，，解得，
所以，
所以
過作，垂足為，則，所以平面，且，
所以，
所以.
[方法二]：等體積轉(zhuǎn)換
，，
是邊長為2的等邊三角形，
連接
例2．（2022·全國·高考甲卷（文）·18）小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．
(1)證明：平面；
(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．
【答案】(1)證明見解析；(2)．
【分析】（1）分別取的中點，連接，由平面知識可知，，依題從而可證平面，平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；
（2）再分別取中點，由（1）知，該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍，即可解出．
【詳解】（1）如圖所示：
分別取的中點，連接，因為為全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）[方法一]：分割法一
如圖所示：
分別取中點，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識可知，，，，所以該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍．
因為，，點到平面的距離即為點到直線的距離，，所以該幾何體的體積
．
[方法二]：分割法二
如圖所示：
連接AC,BD,交于O，連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體積加上三棱錐A-OEH的倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點P，連接AP,OP.則EH垂直平面APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長.所以該幾何體的體積
1．（2022·廣西南寧·模擬預(yù)測（文））如圖所示，在空間幾何體ABCDE中，△ABC與△ECD均為等邊三角形，，，且平面ABC和平面CDE均與平面BCD垂直．
(1)求證：平面ABC平面ECD；
(2)求空間幾何體ABCDE的體積.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）由幾何關(guān)系證，由平面CDE平面BCD證BC平面CDE，再證平面ABC平面ECD；
（2）如圖所示，取BC、CD、BD的中點M、N、，連接并延長使得，連接、，
證明及空間幾何體為三棱柱，則空間幾何體ABCDE的體積與三棱柱的體積相等，由幾何關(guān)系求三棱柱體積即可
【詳解】（1）證明：∵△ABC與△ECD均為等邊三角形，，，∴，∴為等腰直角三角形，.
∵平面CDE平面BCD，平面CDE平面BCD，平面BCD，∴BC平面CDE，
又平面ABC，∴平面ABC平面ECD；
（2）如圖所示，取BC、CD、BD的中點M、N、，連并延長使得，連接、，
則，，，
∵△ABC與△ECD均為等邊三角形，∴AM⊥BC，EN⊥CD，∴，
又平面CDE平面BCD，平面ABC 平面BCD，平面BCD，平面ABC，∴AM⊥平面BCD，EN⊥平面BCD，∴，
∴四邊形AMNE為平行四邊形，又四邊形為平行四邊形，故，，∴空間幾何體為三棱柱，
∴，故，∴，∴空間幾何體ABCDE的體積與三棱柱的體積相等，
由，故空間幾何體ABCDE的體積為.
2．（2022·廣西·模擬預(yù)測（文））如圖所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,側(cè)棱⊥底面且．
(1)指出棱與平面的交點的位置（無需證明）；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)點位于的中點位置，理由見解析；(2).
【分析】（1）作出輔助線，得到四棱柱為長方體，利用中位線得到線線平行，得到棱與平面的交點的位置為的中點；
（2）利用等體積法求解點到平面的距離.
【詳解】（1）延長至點F，且DF=CD，延長至點H，使得，連接FH，交于點Q，
因為四棱柱中，底面是等腰梯形，，
所以四棱柱為長方體，，且為的中點，
取的中點E，連接ED，則，
所以，
故棱與平面的交點的位置為的中點；
（2）取AB的中點M，連接DM，
因為,,
故△ADM為等邊三角形，
所以，
因為側(cè)棱⊥底面且，平面，
所以，
由勾股定理得：，
由余弦定理得：，
其中，
，
由余弦定理得：，
因為，
所以，
由三角形面積公式可知：，
設(shè)點到平面的距離為，
因為，即，
，解得：，
所以點到平面的距離為.
3．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知平面α和平面β是空間中距離為2的兩平行平面，球面M與平面α、平面β的交線分別為圓A、圓B．
(1)若平面γ與平面α、平面β的交線分別為，，證明：；
(2)若球面M的半徑為2，求以圓A為上底面，圓B為下底面的幾何體AB的體積的最大值．
【答案】(1)見解析；
(2)
【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理可證；
（2）設(shè)，由幾何關(guān)系可表示出，，根據(jù)圓臺體積公式結(jié)合均值不等式討論最大值即可
【詳解】（1）∵，平面γ與平面α、平面β的交線分別為，，則由面面平行的性質(zhì)定理得；
（2）∵，幾何體AB為圓臺或圓柱.
如圖所示，C、D分別為圓A、圓B上的點，則，平面α、平面β，
又∵，∴，則過M，，
設(shè)，則，，
則
當(dāng)時，等號成立，同時取得最大值為.
故幾何體AB的體積的最大值為.
4．（2022·四川省南充市高坪中學(xué)模擬預(yù)測（文））一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)的中點為，的中點為
(1)證明:直線平面.
(2)過點的平面將正方體分割為兩部分，求這兩部分的體積比.
【答案】(1)證明見解析；(2)3:1
【分析】（1）連接，設(shè)為的中點，連接，可得四邊形是平行四邊形，得∥，再由線面平行的判定定理可證得結(jié)論
（2）由∥，，連接，過點的平面就是平面，它將正方體分成兩個同高的棱柱，高都是，底面分別是四邊形和三角形，體積比等于底面積比
【詳解】（1）根據(jù)正方體側(cè)面展開圖的特點，點F，G，H的位置如圖所示
連接，設(shè)為的中點，連接，
因為BC的中點為M，GH的中點為N，
所以∥，，∥，，
所以∥，，
所以四邊形是平行四邊形，所以∥，
因為平面，平面，
所以∥平面
（2）由（1）知∥，，連接，則過點的平面就是平面，
它將正方體分成兩個同高的棱柱，高都是，底面分別是四邊形和三角形，
設(shè)正方體的棱長為2，則四邊形的面積為，三角形的面積為，
所以過點M，N，H的平面將正方體分割為兩部分的體積比為3：1
5．（2022·四川省巴中中學(xué)模擬預(yù)測（文））如圖，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，且.
(1)證明：平面；
(2)求四面體的體積.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）方法一：由線面平行的判定理可得平面，平面，再由面面平行的判定可得平面平面，然后由面面平行的性質(zhì)要得結(jié)論，方法二：在取點使得，連結(jié)，則可得四邊形是平行四邊形，再結(jié)合已知條件可得四邊形是平行四邊形，則，由線面平行的判定可得結(jié)論；
（2）由求解，根據(jù)已知條件求出和，從而可求出其體積.
【詳解】（1）證明：
方法一：
由正方形的性質(zhì)得：∥.
又平面平面，
平面.
平面平面，
平面.
平面，
平面平面，
平面，
平面，
方法二：
在取點使得，連結(jié)，如圖
，
四邊形是平行四邊形，
故，且，
又，
，
四邊形是平行四邊形，
.
又平面平面，
平面，
（2）由體積的性質(zhì)知：，
平面平面，平面平面，
平面，
平面.
又，
故點到平面的距離為2，即三棱錐底面上的高，
由題意，知且，
，
6．（2022·四川省南充高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））如圖，在直三棱柱中，點為的中點，點在上，且.
(1)證明：平面平面；
(2)若，且三棱錐的體積為，求.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【分析】（1）易證，，可證平面，進(jìn)而可證平面平面；
（2）設(shè)，求得， 即得解.
【詳解】（1）證明：在直三棱柱中，平面，，
點為的中點，，，，，
，平面，
平面，
平面，平面平面.
（2）解：，為正三角形，設(shè)，則，
由（1）可得，平面，
依題意得，故點到平面的距離為，
，，
三棱錐的體積為，，，∴.
7．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（文））如圖，底面是邊長為2的菱形，平面，，與平面所成的角為.
(1)求證：平面平面；
(2)求幾何體的體積
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）只須證明平面與平面構(gòu)成二面角的平面角為即可；
（2）將幾何體分割成兩部分，分別求體積即可．
【詳解】（1）證明：因為是邊長為2的菱形，，
所以和都是邊長為2的正三角形，
因為平面，所以、，
又因為與平面所成的角為，所以，所以，
取中點，連接、，
又因為，，所以四邊形為矩形，于是平面，，，
又因為，取中點，連接、，
因為，所以，
因為，所以，所以為平面與平面構(gòu)成二面角的平面角，
又因為，，，
所以，所以，
所以平面平面．
（2）解：因為平面平面
所以平面平面
設(shè)的中點，連接，有
因為平面平面
所以面，即是四棱錐B-CDEF的高
易求
所以
8．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，圓錐的底面半徑，高，點是底面直徑所對弧的中點，點是母線的中點．求：
(1)該圓錐的表面積；
(2)直線與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）求出圓錐母線長，求得圓錐側(cè)面積，即可求得答案；
（2）作輔助線，找到直線與平面所成角，解直角三角形可得答案.
【詳解】（1）由已知，得OA=2，PO=6，則 ,
所以圓錐的側(cè)面積為，
于是圓錐的表面積為 ,
即所求圓錐的表面積為．
（2）連接OD,由題意得平面，因為平面，
所以．又因為點是底面直徑所對弧的中點，所以．
而 、平面，，所以平面,
即是在平面上的射影，所以是直線與平面所成角．
在中，，，
則 ，由于為銳角，所以 ,
因此直線與平面所成角的大小為．
9．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））如圖，在三棱柱中，，．
(1)證明：平面平面．
(2)設(shè)P是棱上一點，且，求三棱錐體積．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）先利用線面垂直判定定理證明平面，再利用面面垂直判定定理證明平面平面；
（2）先求得三棱錐的體積，再利用三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而可求得三棱錐體積．
【詳解】（1）連接.
三棱柱中，，．
則，
則，則，∴，
又∵，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）取AB的中點D，連接CD，∵ ，∴ ，
又由（1）知平面平面，平面平面
則平面，且．
則三棱錐的體積為，
則三棱柱的體積為6，
∵，∴在四邊形中，，
又∵四棱錐的體積為，
∴三棱錐的體積為．
10．（2022·上海青浦·二模）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長為的正方形，是弧的中點．
(1)求該圓柱的表面積和體積；
(2)求異面直線與所成角的大小．
【答案】(1)表面積為，體積為.(2)
【分析】（1）根據(jù)圓柱的表面積公式和體積公式可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)，得到或其補(bǔ)角是直線與所成角，取弧的中點，連接、、，求出，進(jìn)一步可得.
【詳解】（1）由已知可得圓柱的底面半徑，高，

，
（2），
∴或其補(bǔ)角是直線與所成角，
取弧的中點，連接、、，
，
在中，，
∴.
所以異面直線與所成角的大小為.
11．（2022·上海長寧·二模）已知圓錐的頂點為，底面圓心為，母線的長為．
(1)若圓錐的側(cè)面積為，求圓錐的體積
(2)是底面圓周上的兩個點，， 為線段的中點，若圓錐的底面半徑為2，求直線與平面所成角的大?。?br>【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出底面半徑，即可求出圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式計算可得；
（2）設(shè)的中點為，連接、，即可得到，再由線面垂直的性質(zhì)得到，從而得到平面，即是直線與平面所成角，再由銳角三角函數(shù)計算可得．
【詳解】（1）解：設(shè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面母線長為，圓錐的高為，
則，
因為，所以，
所以，
所以圓錐的體積．
（2）解：設(shè)的中點為，連接、，則，
因為，所以，
因為底面，底面，所以，
由，平面，
所以平面，
所以即是直線與平面所成角． ．
因為圓錐的底面半徑為2，母線長為，所以高，
所以，．
因為，
所以，所以．
即直線與平面所成角為．
12．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點.
(1)證明：平面平面；
(2)若點在底面ABCD的投影是四邊形ABCD的中心，，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）根據(jù)四棱柱中的平行關(guān)系以及中點,可得線線平行,根據(jù)線線平行證明線面平行,進(jìn)而可證明面面平行.（2）可由四棱柱的體積,可得同底等高的三棱錐的體積,然后根據(jù)三棱錐中等體積法即可求解.
【詳解】（1）證明：連接EG，.
因為E，G分別是棱，的中點，所以，.
因為，，所以，，
所以四邊形是平行四邊形，則.
因為平面，平面，所以平面.
因為E，F(xiàn)分別是棱，的中點，所以.
因為，所以.
因為平面，平面，所以平面.
因為平面，平面，且，
所以平面平面.
（2）連接AC，BD，記，連接，則平面ABCD.
因為，所以，所以.
因為，所以，
則四棱柱的體積.
故三棱錐的體積，
即三棱錐的體積為.

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