新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題專項(xiàng)突破練習(xí)考點(diǎn)05 數(shù)列的新定義問(wèn)題（2份，原卷版+解析版）

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〔1〕新定義數(shù)列問(wèn)題的特點(diǎn)：
通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的概論，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情境，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的。
〔2〕新定義問(wèn)題的解題思路：
遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問(wèn)題得以解決。
例1．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．
(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；
(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；
(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．
【答案】(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．
(2)證明見(jiàn)解析．
(3)證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）直接利用定義驗(yàn)證即可；
（2）先考慮不符合，再列舉一個(gè)合題即可；
（3）時(shí)，根據(jù)和的個(gè)數(shù)易得顯然不行，再討論時(shí)，由可知里面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是，然后分類討論驗(yàn)證不行即可．
【詳解】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．
（2）若,設(shè)為,則至多，6個(gè)數(shù)字，沒(méi)有個(gè)，矛盾；
當(dāng)時(shí),數(shù)列，滿足，，，，，，，， ．
（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，
若，則至多可表個(gè)數(shù)，矛盾,
從而若,則，至多可表個(gè)數(shù)，
而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)（恰 21個(gè)），這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒(méi)有0，且這個(gè)負(fù)的在中絕對(duì)值最小，同時(shí)中沒(méi)有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為 ，
則所有數(shù)之和，，
，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個(gè)，
（僅一種方式），
與2相鄰，
若不在兩端,則形式，
若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故在一端，不妨為形式，
若,則 （有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，
，則 （有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，
由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、
故只能，①或，②
這2種情形，
對(duì)①：，矛盾，
對(duì)②：，也矛盾，綜上，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足題意，
．
例2．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無(wú)窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說(shuō)明理由；
（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；
（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說(shuō)明理由．
【答案】（1）不可以是數(shù)列；理由見(jiàn)解析；（2）；（3）存在；．
【分析】(1)由題意考查的值即可說(shuō)明數(shù)列不是數(shù)列；
(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項(xiàng)，然后討論計(jì)算即可確定的值；
(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實(shí)數(shù)的值.
【詳解】(1)因 為 所以，
因 為所 以
所以數(shù)列，不可能是數(shù)列.
(2)性質(zhì)①，
由性質(zhì)③，因此或，或，
若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因?yàn)榛?，所以?
若，則，
不滿足，舍去.
當(dāng)，則前四項(xiàng)為:0，0，0，1，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證命題成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，
當(dāng)時(shí)：
若，則，利用性質(zhì)③：
，此時(shí)可得：；
否則，若，取可得：，
而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因?yàn)椋?br>即當(dāng)時(shí)命題成立，證畢.
綜上可得：，.
(3)令，由性質(zhì)③可知：
，
由于，
因此數(shù)列為數(shù)列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此時(shí)，，滿足題意.
1．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，若無(wú)窮數(shù)列滿足以下性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，（且）．②的最大值為k．
(1)若數(shù)列為公比為q的等比數(shù)列，求q的取值范圍，使得為數(shù)列．
(2)若數(shù)列滿足：，使得成等差數(shù)列，
①數(shù)列是否可能為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；
②記數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，且，判斷與的單調(diào)性，并求出時(shí)，n的值．
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；
【分析】（1）由可得，再分與研究的最大值即可求解；
（2）①先假設(shè)數(shù)列能為等比數(shù)列，由（1）知，由條件求出有解即可；
②由“；”得，進(jìn)而可推得與即可得數(shù)列的單調(diào)性，由此進(jìn)而求的最值即可
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為公比為q的等比數(shù)列，且為數(shù)列，所以，所以，所以，又，在的大前提下，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，單增，無(wú)最大值；若，則，（當(dāng)時(shí)取等）故有最大值，綜上可知：q的取值范圍是
（2）①若數(shù)列能為等比數(shù)列，由（1）知，又成等差數(shù)列，則，即，所以，即，解得或（舍）所以數(shù)列能為等比數(shù)列；②由“；”得，首先，，所以，即，所以單調(diào)遞減；其次，，所以，即，所以單調(diào)遞增；最后，，，所以，所以時(shí)，.
2．（2022·山東青島·二模）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，，是與的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列滿足：（，2，3，…，n）我們稱其為n項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”.例如：數(shù)列1，2，2，1為4項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”.設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中，，，…，是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)等于.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求k.
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的基本量列式求解即可；
（2）先確定，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式結(jié)合求解即可
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意知：，
所以，解得或（舍），所以.
（2）由題知：，，，，…，是以8為末項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以，解得，
所以，
所以
所以，即，解得或.
3．（2022·上海崇明·二模）已知集合 （Z是整數(shù)集，是大于3的正整數(shù)）．若含有項(xiàng)的數(shù)列滿足：任意的，都有，且當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)有或，則稱該數(shù)列為數(shù)列．
(1)寫出所有滿足且的數(shù)列；
(2)若數(shù)列為數(shù)列，證明：不可能是等差數(shù)列；
(3)已知含有100項(xiàng)的數(shù)列滿足是公差為等差數(shù)列，求所有可能的值
【答案】(1)1，3，5，2，4；1，4，2，5，3
(2)證明見(jiàn)解析
(3)5
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義，可直接寫出答案；
（2）假設(shè)是等差數(shù)列，公差為，分和兩種情況，可得到與題意不符的結(jié)論，從而證明結(jié)論成立；
（3）由題意，，分類討論，說(shuō)明當(dāng)時(shí)，不符題意，同理可說(shuō)明 和時(shí)，推導(dǎo)出與題意不符的結(jié)論，繼而說(shuō)明，符合題意，從而求得答案.
【詳解】（1）由題意可得滿足且的數(shù)列為：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3..
（2）假設(shè)是等差數(shù)列，公差為，當(dāng)時(shí)，由題意，或，
此時(shí)，
所以不是等差數(shù)列中的項(xiàng)，與題意不符，所以不可能是等差數(shù)列
當(dāng)時(shí)，由題意，或，此時(shí)
所以不是等差數(shù)列中的項(xiàng)，與題意不符，所以不可能是等差數(shù)列
綜上所述，不可能是等差數(shù)列
（3）由題意，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，與題意不符；
當(dāng)時(shí)，記，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以中的最小項(xiàng)，所以，與題意不符，
當(dāng)時(shí)，，
又由題意，（*），其中，
且，
所以，所以 ，
所以，與不符；
當(dāng)時(shí)，取 ，此時(shí)的數(shù)列滿足題意，
綜上所述，.
4．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）定義：對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插人這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如的一階和數(shù)列是，設(shè)它的n階和數(shù)列各項(xiàng)和為．
(1)試求的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，并猜想的通項(xiàng)公式（無(wú)需證明）；
(2)若，求的前n項(xiàng)和，并證明：．
【答案】(1)，，
(2)，證明見(jiàn)解析
【分析】(1)根據(jù)定義求出的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，由此歸納出，(2)由(1)化簡(jiǎn)，再由裂項(xiàng)相消法求其前項(xiàng)和，并完成證明.
【詳解】（1）由題意得，
，
，
，
，
…
，
由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，，
所以的通項(xiàng)公式．
（2）由于，
所以，
則，
因?yàn)?，所以，所以?br>又隨n的增大而減小，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故．
5．（2022·北京東城·三模）已知無(wú)窮數(shù)列滿足：①；②（；；）.設(shè)為所能取到的最大值，并記數(shù)列.
(1)若，寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列A的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的值；
(3)若，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的新定義即得；
（2）由題可得或，分情況討論，進(jìn)而可得；
（3）由題可得，進(jìn)而猜想數(shù)列：1，2，4，5，7，8，，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明，再利用數(shù)列求和公式即得.
【詳解】（1）；
（2）因?yàn)椋?br>所以，所以或.
因此.
當(dāng)時(shí)，
且同時(shí)成立，
此時(shí).
當(dāng)時(shí)，
且同時(shí)成立，此時(shí)矛盾.
綜上，.
（3）因?yàn)椋?br>所以.
所以.
由知，.
事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，
與同時(shí)成立，
所以，從而.
猜想數(shù)列：1，2，4，5，7，8，，
即數(shù)列由不能被3整除的正整數(shù)從小到大排列組成，且滿足數(shù)A：的兩條性質(zhì).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.
②假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
由于；
；
上面各式均成立，此時(shí)有.
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
由于；
；
上面各式均成立，此時(shí)有.
綜上，數(shù)列是由不能被3整除的正整數(shù)從小到大排列組成.
數(shù)列的前100項(xiàng)和為：.
6．（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為無(wú)窮遞增數(shù)列，且．定義：
數(shù)列：表示滿足的所有i中最大的一個(gè)．
數(shù)列：表示滿足的所有i中最小的一個(gè)（，2，3…）
(1)若數(shù)列是斐波那契數(shù)列，即，，（，2，3，…），請(qǐng)直接寫出，的值；
(2)若數(shù)列是公比為整數(shù)的等比數(shù)列，且滿足且，求公比q，并求出此時(shí)，的值；
(3)若數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，求所有可能的d，使得，都是等差數(shù)列．
【答案】(1),
(2),,
(3)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列,的定義以及是斐波那契數(shù)列,即可求解.
（2）數(shù)列是公比為整數(shù)的等比數(shù)列,可對(duì)公比進(jìn)行檢驗(yàn),根據(jù),的定義以及的特征,可檢驗(yàn)出公比的值.
（3）根據(jù)數(shù)列,的公差是正整數(shù),以及數(shù)列,的定義,可列出不等式,求解公差的范圍,進(jìn)而得解.
【詳解】（1）數(shù)列是斐波那契數(shù)列,則的項(xiàng)分別是
當(dāng)時(shí),則;當(dāng)時(shí),則,當(dāng)時(shí),則;當(dāng)時(shí),則
以此類推,可知當(dāng)時(shí),表示滿足的所有i中最大的一個(gè),所以,表示滿足的所有i中最小的一個(gè),所以
（2）因?yàn)閿?shù)列是公比為整數(shù)的等比數(shù)列,故公比
當(dāng)時(shí),的項(xiàng)為,表示滿足的所有i中最大的一個(gè),所以,同理;表示滿足的所有i中最小的一個(gè),所以,同理,符合題意.
當(dāng)時(shí),的項(xiàng)為,表示滿足的所有i中最大的一個(gè)
，不符合,當(dāng)時(shí),的項(xiàng)增長(zhǎng)的更快速,此時(shí),故不符合題意.綜上,,,
（3）由數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列,且單調(diào)遞增,所以,又因?yàn)?
設(shè)數(shù)列,的公差分別為,則
則,
當(dāng)時(shí),滿足,
由于是任意正整數(shù),故可知
同理可知當(dāng)時(shí),滿足,
由于是任意正整數(shù),故可知,綜上可知,又因?yàn)?所以可以是任意一個(gè)正整數(shù).故
7．（2022·北京昌平·二模）已知數(shù)列，給出兩個(gè)性質(zhì)：
①對(duì)于任意的，存在，當(dāng)時(shí)，都有成立；
②對(duì)于任意的，存在，當(dāng)時(shí)，都有成立．
(1)已知數(shù)列滿足性質(zhì)①，且，，試寫出的值；
(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：數(shù)列滿足性質(zhì)①；
(3)若數(shù)列滿足性質(zhì)①②，且當(dāng)時(shí)，同時(shí)滿足性質(zhì)①②的存在且唯一.證明：數(shù)列是等差數(shù)列．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由性質(zhì)①，可求出且，所以，同理可求得的值；
（2）由，驗(yàn)證性質(zhì)①，即可證明；
（3）數(shù)列滿足性質(zhì)①②，帶入驗(yàn)證，即可得：當(dāng)時(shí)，，即可證明滿足條件的數(shù)列是等差數(shù)列.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足性質(zhì)①，且，所以，所以，又因?yàn)?，即，所以，同理可得?
（2）因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，
所以，對(duì)于任意的，令，則，
.
又，則，即.
又，所以，
即對(duì)于任意的.
所以，對(duì)于任意的，令，則當(dāng)時(shí)，都有成立，
所以，數(shù)列滿足性質(zhì)①.
（3）由題意，數(shù)列滿足性質(zhì)①②，且當(dāng)時(shí)，同時(shí)滿足性質(zhì)①②的存在,
即對(duì)于任意的，存在，當(dāng)時(shí)，都有成立，
所以，當(dāng)時(shí)，，
即.
對(duì)于任意的,有，
對(duì)于任意的,有,
，
又當(dāng)時(shí)，同時(shí)滿足性質(zhì)①②的存在且唯一,
所以，當(dāng)時(shí)，,
所以，滿足條件的數(shù)列是等差數(shù)列.
8．（2022·北京東城·一模）設(shè)數(shù)列.如果，且當(dāng)時(shí)，，則稱數(shù)列A具有性質(zhì).對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)列A，定義數(shù)列，其中.
(1)對(duì)，寫出所有具有性質(zhì)的數(shù)列A；
(2)對(duì)數(shù)列，其中，證明：存在具有性質(zhì)的數(shù)列A，使得與為同一個(gè)數(shù)列；
(3)對(duì)具有性質(zhì)的數(shù)列A，若且數(shù)列滿足，證明：這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個(gè).
【答案】(1)、、
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義，得到且，，，確定，按照或分別討論可得答案；
（2）設(shè)數(shù)列：中恰有項(xiàng)為1，在按照、、三種情況分別討論可證結(jié)論；
（3）按照的奇偶分類討論，結(jié)合數(shù)列的定義可證結(jié)論.
【詳解】(1)因?yàn)椋?，則
因?yàn)?，，，所以，，?br>又，
所以，或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，或，
綜上所述：所有具有性質(zhì)的數(shù)列A為：、、.
(2)由于數(shù)列：，其中，
不妨設(shè)數(shù)列：中恰有項(xiàng)為1，
若，則符合題意，
若，則符合題意，
若，則設(shè)這項(xiàng)分別為，
構(gòu)造數(shù)列，令分別為，
數(shù)列的其余各項(xiàng)分別為，
經(jīng)檢驗(yàn)數(shù)列符合題意.
(3)對(duì)于符合題意的數(shù)列，
①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，存在數(shù)列符合題意，
且數(shù)列與不同，與相同，
按這樣的方式可由數(shù)列構(gòu)造出數(shù)列，
所以為奇數(shù)時(shí)，這樣的數(shù)列有偶數(shù)個(gè)，
當(dāng)時(shí)，這樣的數(shù)列也有偶數(shù)個(gè)，
②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
如果是數(shù)列中不相鄰的兩項(xiàng)，交換與得到數(shù)列符合題意，
且數(shù)列與不同，與相同，
按這樣的方式可由數(shù)列構(gòu)造出數(shù)列，
所以這樣的數(shù)列有偶數(shù)個(gè)，
如果是數(shù)列中相鄰的兩項(xiàng)，由題設(shè)知，必有，，，
除這三項(xiàng)外，是一個(gè)項(xiàng)的符合題意的數(shù)列，
由①可知，這樣的數(shù)列有偶數(shù)個(gè)，
綜上，這樣的數(shù)列有偶數(shù)個(gè).
9．（2022·北京西城·一模）如果無(wú)窮數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足：①、，，使得；②，、，使得，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.
(1)下列無(wú)窮等差數(shù)列中，是“數(shù)列”的為_(kāi)__________；（直接寫出結(jié)論）
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(2)證明：若數(shù)列是“數(shù)列”，則且公差；
(3)若數(shù)列是“數(shù)列”且其公差為常數(shù)，求的所有通項(xiàng)公式.
【答案】(1)、
(2)證明見(jiàn)解析
(3)或
【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義可得出結(jié)論；
（2）驗(yàn)證成立，利用①②推導(dǎo)出，假設(shè)，可得出等差數(shù)列是遞減數(shù)列，結(jié)合①得出，結(jié)合可得出或，，再結(jié)合不等式的基本性質(zhì)以及數(shù)列的單調(diào)性推出矛盾，從而說(shuō)明不成立，即可證得結(jié)論成立；
（3）由（2）知，，可得知數(shù)列是遞增數(shù)列，推導(dǎo)出不成立，可得出，分、兩種情況討論，驗(yàn)證、滿足①②，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）解：由“數(shù)列”的定義可知，數(shù)列、為“數(shù)列”.
（2）證明：若，則由①可知，所以或，且公差，
以下設(shè).
由①，、，，，
兩式作差得，
因?yàn)?，所?
由①，、，，，
兩式作差得，
因?yàn)椋?，因此?
若，則等差數(shù)列是遞減數(shù)列，由①為中的項(xiàng)，因此，，
解得，
由且公差，所以或，，，
由①，為中的項(xiàng)，且，這與等差數(shù)列遞減矛盾，因此，不成立.
綜上，且公差.
（3）解：因?yàn)楣?，所以，即是遞增數(shù)列.
若，因?yàn)?，所以?br>則，且，
由①為中的項(xiàng)，這與等差數(shù)列是遞增數(shù)列矛盾.
因此，，又由（2），故.
由，知，且中存在一項(xiàng)為正整數(shù)，取最小的正整數(shù)項(xiàng).
則由②，，使得且，.
因此，解得，又，故.
因?yàn)槭沁f增數(shù)列，
（i）若，則，此時(shí).
因?yàn)?，?br>令，有，且，所以滿足條件①.
因?yàn)椋?，有，所以滿足條件②.
（ii）若，則，.
因?yàn)椋?br>.
令，則，且，所以滿足條件①.
因?yàn)?，令，，有，所以滿足條件②.
綜上，或.
10．（2022·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測(cè)）給定數(shù)列，若數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.
（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷是否為封閉數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（2）已知數(shù)列滿足且，設(shè)是該數(shù)列的前項(xiàng)和，試問(wèn)：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使得對(duì)任意都有，且，若存在，求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）證明等差數(shù)列成為“封閉數(shù)列”的充要條件是：存在整數(shù)，使．
【答案】（1）不是；見(jiàn)解析（2）或；（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）數(shù)列不為封閉數(shù)列．由，2時(shí)，，可得，，可得，即可得出結(jié)論．
（2）數(shù)列滿足且，可得數(shù)列為等差數(shù)列，公差為2．．又是“封閉數(shù)列”，得：對(duì)任意，，必存在使，得，故是偶數(shù)，又由已知，，故，可得．
（3）要證明充分必要條件的問(wèn)題，本題需要從兩個(gè)方面來(lái)證明，一是證明充分性，二是證明必要性，證明時(shí)注意所取得數(shù)列的項(xiàng)來(lái)驗(yàn)證時(shí)，項(xiàng)要具有一般性．
【詳解】解：（1）數(shù)列不為封閉數(shù)列．
∵，2時(shí)，，，
可得，，∴，因此不是封閉數(shù)列．
（2）數(shù)列滿足且，
∴數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，則．
又是“封閉數(shù)列”，
∴對(duì)任意，，必存在使，
得，故是偶數(shù)，
又由已知，，故，可得：，
可得或或，
經(jīng)過(guò)驗(yàn)證可得：或．
（3）證明：（必要性）若存在整數(shù)，使，則任取等差數(shù)列的兩項(xiàng)，，
于是，
由于，，為正整數(shù)，，
是封閉數(shù)列．
（充分性）任取等差數(shù)列的兩項(xiàng)，，若存在使，
則，
故存在，使，
下面證明．
當(dāng)時(shí)，顯然成立．
對(duì)，若，則取，對(duì)不同的兩項(xiàng)和，存在使，
即，這與，矛盾，
故存在整數(shù)，使．
12．（2022·上海靜安·二模）若數(shù)列同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)A”.
①()；②存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，有成立.
(1)設(shè)，試判斷是否具有“性質(zhì)A”；
(2)設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，證明：數(shù)列具有“性質(zhì)A”，并求出A的取值范圍；
(3)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，若數(shù)列具有“性質(zhì)A”，其滿足條件的A的最大值，求的值.
【答案】(1)數(shù)列具有“性質(zhì)A”，數(shù)列不具有“性質(zhì)A”；
(2)證明見(jiàn)解析，；
(3)
【分析】（1）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出，結(jié)合即可得數(shù)列具有“性質(zhì)A”；由可得數(shù)列不具有“性質(zhì)A”；
（2）先由條件解出首項(xiàng)和公比，寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出，結(jié)合，即可證明并求出A的取值范圍；
（3）先由求得對(duì)成立，進(jìn)而求得，又且當(dāng)時(shí)，，可得，即可求解.
【詳解】（1），所以當(dāng)時(shí)，有成立；又，
所以，所以數(shù)列具有“性質(zhì)A”；
，所以，所以數(shù)列不具有“性質(zhì)A”；
（2）設(shè)公比為，則，解得或，又等比數(shù)列遞增，則，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以恒成立，
又，所以對(duì)成立，
所以數(shù)列具有“性質(zhì)A”，且；
（3），由于數(shù)列具有“性質(zhì)A”，則，即，
整理得，得：，得對(duì)成立，
所以，得，又當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，
所以滿足條件的的最大值，所以.