〔1〕求離散型隨機(jī)變量的均值與方差
1.基本方法
(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值和方差，可直接按定義(公式)求解；
(2)已知隨機(jī)變量的均值和方差，求線性函數(shù)的均值和方差，可直接運(yùn)用均值和方差的性質(zhì)求解；
(3)若能分析出所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等），可直接利用它們的均值、方差公式求解。
2.一般步驟
(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；
(2)求X取每個(gè)值的概率；
(3)寫出X的分布列；
(4)由均值定義求出E(X)，進(jìn)一步由公式求出D(X)。
〔2〕二項(xiàng)分布的均值與方差
1.如果~，則用公式求解，可大大減少計(jì)算量。
2.以特殊分布(兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布)為背景的均值與方差的計(jì)算.
先根據(jù)隨機(jī)變量的特點(diǎn)判斷出隨機(jī)變量服從什么特殊分布，然后可以根據(jù)特殊分布的概率公式列出分布列，根據(jù)計(jì)算公式計(jì)算出均值和方差，也可以直接應(yīng)用離散型隨機(jī)變量服從特殊分布時(shí)的均值與方差公式來計(jì)算。若X沒有告訴服從特殊分布，但服從特殊分布，可利用有關(guān)性質(zhì)、公式及，求X的均值和方差。
〔3〕均值（期望）與方差在決策中的應(yīng)用
1.求離散型隨機(jī)變量的期望與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能取值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用期望、方差公式進(jìn)行計(jì)算。
2.要注意觀察隨機(jī)變量的概率分布特征，若屬于二項(xiàng)分布，則用二項(xiàng)分布的期望與方差公式計(jì)算，更為簡(jiǎn)單。
3.在實(shí)際問題中，若兩個(gè)隨機(jī)變量，，有或與較為接近時(shí)，則需要用與來比較兩個(gè)隨機(jī)變量的穩(wěn)定程度.即一般將期望最大（或最?。┑姆桨缸鳛樽顑?yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最?。ɑ蜃畲螅┑姆桨缸鳛樽顑?yōu)方案。
例1．（2022·全國(guó)·高考真題（理）·19）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，.
【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；
（2）依題可知，的可能取值為，再分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望．
【詳解】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為
．
（2）依題可知，的可能取值為，所以，
,
，
，
.
即的分布列為
期望.
例2．（2022·北京·高考·18）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．
(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；
(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；
(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)0.4；(2)；(3)丙
【分析】(1) 由頻率估計(jì)概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.
(3) 計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.
【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得
甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，
故答案為0.4
（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列為
∴
（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.
因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.
1．（2022·廣西北?！ひ荒＃ɡ恚┠承榱肆私鈱W(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需的時(shí)間收集了相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，學(xué)生完成數(shù)學(xué)作業(yè)的時(shí)間的范圍是．其統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，．
(1)求直方圖中x的值；
(2)以直方圖中的頻率作為概率，從該校學(xué)生中任選4人，這4名學(xué)生中完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需時(shí)間少于20分鐘的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1.
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解；
（2）由題意可知，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布.
【詳解】（1）由直方圖小矩形面積之和為1，
可得:，
解得；
（2）X的可能取值為0，1，2，3，4．
由直方圖可知，每位學(xué)生完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需時(shí)間少于20分鐘的概率為，
則，，
，，
．
所以的分布列為：
因?yàn)?br>所以．
2．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）某校組織校園科技文化節(jié)活動(dòng)，5名參賽選手組成一隊(duì)參與積分答題活動(dòng)，答題規(guī)則：每人答3道題，每道題答對(duì)得3分，答錯(cuò)扣1分．若第一道題答錯(cuò)，不能繼續(xù)答題，答題結(jié)束；若第一道題答對(duì)，后2道題均需作答．5名選手積分成績(jī)之和為該隊(duì)積分成績(jī)，高三1班的“領(lǐng)航隊(duì)”的每位選手答對(duì)每道題的概率均為，且每人答每道題都是相互獨(dú)立的．
(1)若“領(lǐng)航隊(duì)”中恰有3名選手答對(duì)第一道題的概率為，求的最大值和最大值點(diǎn)的值；
(2)以（1）中確定的作為p的值，求“領(lǐng)航隊(duì)”積分成績(jī)的數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)在處取得最大值，最大值；(2)．
【分析】(1)由獨(dú)立事件的概率乘法公式求，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值和最大值點(diǎn)；(2)設(shè)“領(lǐng)航隊(duì)”的每個(gè)成員積分成績(jī)?yōu)?，由已知求隨機(jī)變量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求的期望，再由隨機(jī)變量與的關(guān)系結(jié)合期望的性質(zhì)求的數(shù)學(xué)期望．
【詳解】（1），，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
故在處取得最大值，最大值．
（2）“領(lǐng)航隊(duì)”的每個(gè)成員積分成績(jī)?yōu)閅，則，所以“領(lǐng)航隊(duì)”積分成績(jī)X的數(shù)學(xué)期望，
每個(gè)成員積分成績(jī)Y的可能取值為，1，5，9，
記第i道題目答對(duì)為事件，
則，
，
，
．
Y的分布列為
則，
故．
3．（2022·河北唐山·三模）某景區(qū)內(nèi)有一項(xiàng)“投球”游戲，游戲規(guī)則如下：游客投球目標(biāo)為由近及遠(yuǎn)設(shè)置的A，B，C三個(gè)空桶，每次投一個(gè)球，投進(jìn)桶內(nèi)即成功，游客每投一個(gè)球交費(fèi)10元，投進(jìn)A桶，獎(jiǎng)勵(lì)游客面值20元的景區(qū)消費(fèi)券；投進(jìn)B桶，獎(jiǎng)勵(lì)游客面值60元的景區(qū)消費(fèi)券；投進(jìn)C桶，獎(jiǎng)勵(lì)游客面值90元的景區(qū)消費(fèi)券；投不進(jìn)則沒有獎(jiǎng)勵(lì)．游客各次投球是否投進(jìn)相互獨(dú)立．
(1)向A桶投球3次，每次投進(jìn)的概率為p，記投進(jìn)2次的概率為，求的極大值點(diǎn)；
(2)游客甲投進(jìn)A，B，C三桶的概率分別為，，，若他投球一次，他應(yīng)該選擇向哪個(gè)桶投球更有利？說明理由．
【答案】(1)
(2)游客甲選擇向B桶投球更有利；理由見解析
【分析】（1）根據(jù)概率公式求得概率，利用導(dǎo)數(shù)求得極大值點(diǎn)即可；
（2）分別求出游客投進(jìn)A，B，C三桶的純收入的期望，比較其大小即可得到結(jié)論.
【詳解】（1）3次向A桶投球投進(jìn)2次的概率．
則．令，得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
∴所以的極大值點(diǎn)．
（2）由（1）得游客甲投進(jìn)A，B，C三桶的概率分別為，，．
設(shè)投進(jìn)A桶的純收入為X元，；
設(shè)投進(jìn)B桶的純收入為Y元．；
設(shè)投進(jìn)C桶的純收入為Z元，；
因?yàn)?，所以游客甲選擇向B桶投球更有利．
4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）臺(tái)灣是中國(guó)固有領(lǐng)土，臺(tái)海局勢(shì)牽動(dòng)每個(gè)人的心．某次海軍對(duì)抗演習(xí)中，紅方飛行員甲負(fù)責(zé)攻擊藍(lán)方艦隊(duì)．假設(shè)甲距離藍(lán)方艦隊(duì)100海里，且未被發(fā)現(xiàn)，若此時(shí)發(fā)射導(dǎo)彈，命中藍(lán)方戰(zhàn)艦概率是0.2，并可安全返回．若甲繼續(xù)飛行進(jìn)入到藍(lán)方方圓50海里的范圍內(nèi)，有0.5的概率被敵方發(fā)現(xiàn)，若被發(fā)現(xiàn)將失去攻擊機(jī)會(huì)，且此時(shí)自身被擊落的概率是0.6．若沒被發(fā)現(xiàn)，則發(fā)射導(dǎo)彈擊中藍(lán)方戰(zhàn)艦概率是0.8，并可安全返回．命中戰(zhàn)艦紅方得10分，藍(lán)方不得分；擊落戰(zhàn)機(jī)藍(lán)方得6分，紅方不得分．
(1)從期望角度分析，甲是否應(yīng)繼續(xù)飛行進(jìn)入到藍(lán)方方圓50海里的范圍內(nèi)？
(2)若甲在返回途中發(fā)現(xiàn)敵方兩架轟炸機(jī)，此時(shí)甲彈艙中還剩6枚導(dǎo)彈，每枚導(dǎo)彈命中轟炸機(jī)概率均為0.5．
（i）若甲同時(shí)向每架轟炸機(jī)各發(fā)射三枚導(dǎo)彈，求恰有一架轟炸機(jī)被命中的概率；
（ii）若甲隨機(jī)向一架轟炸機(jī)發(fā)射一枚導(dǎo)彈，若命中，則向另一架轟炸機(jī)發(fā)射一枚導(dǎo)彈，若不命中，則繼續(xù)向該轟炸機(jī)發(fā)射一枚導(dǎo)彈，直到兩架轟炸機(jī)均被命中或?qū)椨猛隇橹梗笞罱K剩余導(dǎo)彈數(shù)量的分布列．
【答案】(1)甲應(yīng)繼續(xù)飛行進(jìn)入到藍(lán)方方圓50海里的范圍內(nèi)，詳見解析；
(2)（i）；（ii）詳見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意分別計(jì)算不進(jìn)入 50 海里及進(jìn)入 50 海里時(shí)甲相對(duì)得分的期望值，進(jìn)而即得；
（2）（i）根據(jù)對(duì)立事件概率公式及獨(dú)立重復(fù)事件概率公式即得；（ii）由題可得的可能取值，然后分別計(jì)算概率，進(jìn)而可得分布列.
【詳解】（1）由題可知，若不進(jìn)入 50 海里，甲相對(duì)得分的期望為 0.2 × 10 = 2，
若進(jìn)入 50 海里，甲相對(duì)得分的期望為 0.5 × 0.8 × 10 + 0.5 × 0.6 × (?6) = 2.2，
所以甲應(yīng)繼續(xù)飛行進(jìn)入到藍(lán)方方圓50海里的范圍內(nèi)；
（2）（i）因?yàn)槊棵秾?dǎo)彈命中轟炸機(jī)概率均為0.5，
所以一架轟炸機(jī)被命中的概率為，
所以恰有一架轟炸機(jī)被命中的概率為；
（ii）由題可知的可能取值為 0,1,2,3,4，
因?yàn)椋?br>，
，
，
.
所以的分布列為：
5．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校團(tuán)委組織團(tuán)員參加知識(shí)競(jìng)賽.根據(jù)成績(jī)，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)計(jì)算的值；
(2)采用按比例分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?，的兩組中共抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取3人，記為這3人中成績(jī)落在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
【分析】（1）直接由頻率和為1即可求解；
（2）先由分層抽樣求得各層人數(shù)，進(jìn)而求得的所有可能取值及對(duì)應(yīng)概率，列出分布列，由期望公式求解即可.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖知：，
所以；
（2）按比例分層抽樣抽取7人，成績(jī)?cè)冢娜藬?shù)分別為3人，4人.所以的所有可能取值為：0，1，2，3；
則，，，；
則的分布列為：
所以的數(shù)學(xué)期望為：.
6．（2022·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)（理））2022年北京冬奧會(huì)即第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在2022年2月4日至2月20日在北京和張家口舉行.某研究機(jī)構(gòu)為了解大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)是否有興趣，從某大學(xué)隨機(jī)抽取男生、女生各200人，對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的人數(shù)占總數(shù)的，女生中有80人對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)沒有興趣.
(1)完成上面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)是否有興趣與性別有關(guān)？
(2)按性別用分層抽樣的方法從對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的學(xué)生中抽取9人，若從這9人中隨機(jī)選出2人作為冰壺運(yùn)動(dòng)的宣傳員，設(shè)X表示選出的2人中女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：.
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)是否有興趣與性別有關(guān)．
(2)分布列見解析，.
【分析】（1）根據(jù)題干所給數(shù)據(jù)求出冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的男女人數(shù)，即可得到列聯(lián)表，再計(jì)算出卡方，即可判斷；
（2）首先利用分層抽樣求出男、女抽取的人數(shù)，依題意的所有可能取值為，，，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望；
【詳解】（1）解：依題意對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的人數(shù)為人，
則女生中對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的有人，
男生中對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的有人，
所以男生中對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)無興趣的有人，
所以列聯(lián)表：
，
有的把握認(rèn)為對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)是否有興趣與性別有關(guān)．
（2）解：從對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的學(xué)生中抽取人，抽到的男生人數(shù)、女生人數(shù)分別為：（人，（人，
則的所有可能取值為，，，
所以，
，
，
故的分布列是：
故．
7．（2022·湖北·黃岡中學(xué)三模）2022世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽將于2022年9月30日至10月9日在成都舉行．近年來，乒乓球運(yùn)動(dòng)已成為國(guó)內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動(dòng)之一．今有甲、乙兩選手爭(zhēng)奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時(shí)比賽結(jié)束．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)， 甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為、，且每局比賽相互獨(dú)立．
(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；
(2)比賽開始前，工作人員買來兩盒新球，分別為“裝有2個(gè)白球與1個(gè)黃球”的白盒與“裝有1個(gè)白球與2個(gè)黃球”的黃盒．每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄．裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球．記甲、乙決出冠軍后，兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)；(2)分布列見解析，
【分析】（1）甲獲得乒兵球比賽冠軍這個(gè)事件為前兩局甲全獲勝，或前兩局中甲勝一局第三局甲勝，由獨(dú)立事件與互斥事件概率公式計(jì)算；
（2）甲乙決出冠軍共進(jìn)行了局比賽，易知或，記表示第局從白盒中抽取的白色球，表示第局從黃盒中抽取的黃色球，的所有可能取值為，根據(jù)和分類討論確定事件，，的情形，求出概率得分布列，再由期望公式計(jì)算期望．
【詳解】（1）記事件:“甲在第局比賽中獲勝”，，事件:“甲在第局比賽中末勝” .
.記事件“甲奪得冠軍"，
則.
（2）設(shè)甲乙決出冠軍共進(jìn)行了局比賽，易知或.
則，故.
記表示第局從白盒中抽取的白色球，表示第局從黃盒中抽取的黃色球，
的所有可能取值為;
;
;
.
綜上可得，的分布列如下:
數(shù)學(xué)期望為
8．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））某職業(yè)中專開設(shè)的一門學(xué)科的考試分為理論考試和實(shí)踐操作考試兩部分，當(dāng)理論考試合格才能參加實(shí)踐操作考試，只有理論考試與實(shí)踐操作考試均合格，才能獲得技術(shù)資格證書，如果一次考試不合格有1次補(bǔ)考機(jī)會(huì).學(xué)校為了掌握該校學(xué)生對(duì)該學(xué)科學(xué)習(xí)情況，進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)選取了100位同學(xué)的一次考試成績(jī)，將理論考試與實(shí)踐操作考試成績(jī)折算成一科得分（百分制），制成如下表格：
(1)①求表中a的值，并估算該門學(xué)科這次考試的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
②在[40，50)， [50，60)， [60，70)這三個(gè)分?jǐn)?shù)段中，按頻率分布情況，抽取7個(gè)學(xué)生進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，學(xué)校的教務(wù)主任要在這7名學(xué)生中隨機(jī)選2人進(jìn)行教學(xué)調(diào)查，求這2人均來自[60，70)的概率；
(2)該校學(xué)生小明在歷次該學(xué)科模擬考試中，每次理論合格的概率均為，每次考實(shí)踐操作合格的概率均為，這個(gè)學(xué)期小明要參加這門學(xué)科的結(jié)業(yè)考試，小明全力以赴，且每次考試互不影響.如果小明考試的次數(shù)的期望不低于2.5次，求的取值范圍.
【答案】(1)①a=20，平均分74；②；(2)
【分析】（1）①利用樣本總量為100求出，從而估計(jì)出平均分，②利用分層抽樣得到[40，50)， [50，60)， [60，70)分別抽取1人，2人，4人，利用列舉法求出古典概型的概率；
（2）求出小明考試的考試次數(shù)的可能取值及相應(yīng)的概率，得到考試次數(shù)的期望值，列出不等式，求出的取值范圍.
【詳解】（1）①由題意得：，解得：，
，
②[40，50)， [50，60)， [60，70)頻率之比為1:2:4，抽取7個(gè)學(xué)生進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，
故[40，50)， [50，60)， [60，70)分別抽取1人，2人，4人，
設(shè)抽取的[40，50)的學(xué)生為， [50，60)的學(xué)生為， [60，70)的學(xué)生為，
這7名學(xué)生中隨機(jī)選2人進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，則一共的選法有，
，
共有21種情況，其中這2人均來自[60，70)的情況有，共6種情況，
所以這2人均來自[60，70)的概率為.
（2）小明考試的次數(shù)為2次的概率為，
考試次數(shù)為3次的概率為，
考試次數(shù)為4次的概率為，
考試次數(shù)的期望值為，
所以，解得：，
因?yàn)?，所?br>即的取值范圍是.
9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））九連環(huán)是中國(guó)傳統(tǒng)的有代表性的智力玩具，凝結(jié)著中國(guó)傳統(tǒng)文化，具有極強(qiáng)的趣味性九連環(huán)既能練腦又能練手，對(duì)開發(fā)人的邏輯思維能力及活動(dòng)手指筋骨大有好處．同時(shí)它還可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)工作的專注精神和耐心，實(shí)為老少咸宜．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載，曾以玉石為材料制成兩個(gè)互貫的圓環(huán)，“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)換，解之為二，又合而為一”．后來，以銅或鐵代替玉石．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行九連環(huán)比賽，每局不存在平局．比賽規(guī)則規(guī)定，領(lǐng)先3局者獲勝．若比賽進(jìn)行了7局，仍然沒有人領(lǐng)先3局，比賽結(jié)束，領(lǐng)先者也獲勝．已知甲同學(xué)每局獲勝的概率為，且每局之間相互獨(dú)立．現(xiàn)比賽已經(jīng)進(jìn)行了2局，甲同學(xué)2局全輸．
(1)由于某種原因，比賽規(guī)則改為“五局三勝制”，試判斷新規(guī)則對(duì)誰更有利，并說明理由；
(2)設(shè)比賽總局?jǐn)?shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及期望．
【答案】(1)對(duì)乙有利，理由見解析；
(2)分布列見解析，期望為.
【分析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式及互斥概率求法求規(guī)則不變或“五局三勝制”情況下甲獲勝的概率，判斷大小關(guān)系，即可得結(jié)論.
（2）由題設(shè)分析有，求出對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而寫出分布列，并求期望.
【詳解】(1)比賽已經(jīng)進(jìn)行了2局，甲同學(xué)2局全輸，
若規(guī)則不變，要使甲同學(xué)勝出，則第3局甲勝，后4局情況如下：
第4、5局甲乙各勝一局，則第6、7局甲全勝，此情況概率為；
第4、5局甲全勝，則第6、7局甲乙各勝一局或甲全勝，此情況概率為；
綜上，甲獲勝的概率為，故乙獲勝概率為；
若改為“五局三勝制”，要使甲要?jiǎng)俪?，后三局必須全勝?br>所以甲獲勝的概率為，故乙獲勝的概率為；
顯然，甲獲勝的概率變小，而乙獲勝概率變大，故對(duì)乙有利.
(2)比賽總局?jǐn)?shù)，且，，，
所以的分布列如下：
所以.
10．某紫砂壺加工工坊在加工一批紫砂壺時(shí)，在出窯過程中有的會(huì)因?yàn)闅鉁伢E冷、泥料膨脹率不均等原因?qū)е伦仙皦爻霈F(xiàn)一定的瑕疵而形成次品，有的直接損毀．通常情況下，一把紫砂壺的成品率為，損毀率為．對(duì)于燒窯過程中出現(xiàn)的次品，會(huì)通過再次整形調(diào)整后入窯復(fù)燒，二次出窯，其在二次出窯時(shí)不出現(xiàn)次品，成品率為．已知一把紫砂壺加工的泥料成本為500元/把，每把壺的平均燒窯成本為50元/次，復(fù)燒前的整形工費(fèi)為100元/次，成品即可對(duì)外銷售，售價(jià)均為1500元．
(1)求一把紫砂壺能夠?qū)ν怃N售的概率；
(2)某客戶在一批紫砂壺入窯前隨機(jī)對(duì)一把紫砂壺坯料進(jìn)行了標(biāo)記，求被標(biāo)記的紫砂壺的最終獲利X的數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）計(jì)算出第一次為次品，經(jīng)過復(fù)燒，二次出窯為成品的概率，加上第一次即為正品的概率，求出答案；（2）求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列，計(jì)算出期望.
【詳解】（1）設(shè)一把紫砂壺第一次出窯為次品為事件A，則，
則第一次為次品，經(jīng)過復(fù)燒，二次出窯為成品的概率為，
則一把紫砂壺能夠?qū)ν怃N售的概率，
（2）X的可能取值為1500-500-50=950,1500-500-50-100-50=800，-500-50=-550，
-500-50-100-50=-700，
則，，
，，
則X的分布列為：
所以最終獲利X的數(shù)學(xué)期望為：
11．（2022·北京市第五中學(xué)三模）2022 年春節(jié)后，新冠肺炎的新變種奧密克戎在我國(guó)部分地區(qū)爆發(fā). 該病毒是一種人傳人，不易被人們直接發(fā)現(xiàn)，潛伏期長(zhǎng)且傳染性極強(qiáng)的病毒. 我們把與該病毒感染者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者. 一旦發(fā)現(xiàn)感染者，社區(qū)會(huì)立即對(duì)其進(jìn)行流行性病醫(yī)學(xué)調(diào)查，找到其密切接觸者進(jìn)行隔離觀察. 調(diào)查發(fā)現(xiàn)某位感染者共有 10 位密切接觸者，將這 10 位密切接觸者隔離之后立即進(jìn)行核酸檢測(cè). 核酸檢測(cè)方式既可以采用單樣本檢測(cè)，又可以采用 “ 合 1 檢測(cè)法”. “ 合 1 檢測(cè)法” 是將 個(gè)樣本混合在一起檢測(cè)，若混合樣本呈陽性，則該組中各個(gè)樣本再全部進(jìn)行單樣本檢測(cè); 若混合樣本呈陰性，則可認(rèn)為該混合樣本中每個(gè)樣本都是陰性. 通過病毒指標(biāo)檢測(cè)，每位密切按觸者為陰性的概率為 ，且每位密切接觸者病毒指標(biāo)是否為陰性相互獨(dú)立.
(1)現(xiàn)對(duì) 10 個(gè)樣本進(jìn)行單樣本檢測(cè)，求檢測(cè)結(jié)果最多有1個(gè)樣本為陽性的概率 的表達(dá)式;
(2)若對(duì) 10 個(gè)樣本采用 “5合1檢測(cè)法” 進(jìn)行核酸檢測(cè). 用 表示以下結(jié)論:
①求某個(gè)混合樣本呈陽性的概率;
②設(shè)總檢測(cè)次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望 .
【答案】(1)；
(2)①；②分布列見解析，.
【分析】（1）對(duì)10個(gè)樣本進(jìn)行逐個(gè)檢測(cè)屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率即可求解；
（2）采用“5合1檢測(cè)法”，“某個(gè)混合樣本呈陰性”仍然屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可求出該事件的概率，利用互為對(duì)立事件的概率和為1即可求出；此時(shí)總檢測(cè)次數(shù)可能為2,7,12，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）由題意可知，對(duì)10個(gè)樣本進(jìn)行逐個(gè)檢測(cè)屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以最多有1個(gè)陽性樣本的概率為：
，
所以
（2）①設(shè)“某個(gè)混合樣本呈陽性”為事件，則表示事件“某個(gè)混合樣本呈陰性”，而混合樣本呈陰性即為該混合樣本全部為陰性，．
故
②X的可能取值為2，7，12．
當(dāng)兩個(gè)混合樣本都呈陰性時(shí)，.
當(dāng)兩個(gè)混合樣本一個(gè)呈陽性，一個(gè)呈陰性時(shí)，．
當(dāng)兩個(gè)混合樣本都呈陽性時(shí)，．
故X的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望，
所以的數(shù)學(xué)期望為
12．（2022·北京·101中學(xué)三模）作為北京副中心，通州區(qū)的建設(shè)不僅成為京津冀協(xié)同發(fā)展戰(zhàn)略的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，也肩負(fù)著醫(yī)治北京市“大城市病”的歷史重任，因此，通州區(qū)的發(fā)展備受矚目．2017年12月25日發(fā)布的《北京市通州區(qū)統(tǒng)計(jì)年鑒（2017）》顯示：2016年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資939.9億元，比上年增長(zhǎng)，下面給出的是通州區(qū)2011~2016年全社會(huì)固定資產(chǎn)投資及增長(zhǎng)率，如圖一．又根據(jù)通州區(qū)統(tǒng)計(jì)局2018年1月25日發(fā)布：2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資1054.5億元，比上年增長(zhǎng)．
(1)在圖二中畫出2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資（柱狀圖），標(biāo)出增長(zhǎng)率并補(bǔ)全折線圖；
(2)通過計(jì)算2011~2017這7年的平均增長(zhǎng)率約為，現(xiàn)從2011~2017這7年中隨機(jī)選取2個(gè)年份，記X為“選取的2個(gè)年份中，增長(zhǎng)率高于的年份的個(gè)數(shù)”，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)設(shè)2011~2017這7年全社會(huì)固定資產(chǎn)投資總額的中位數(shù)為，平均數(shù)為，比較和與的大小（只需寫出結(jié)論）．
【答案】(1)見解析，(2)見解析，(3)
【分析】（1）根據(jù)“2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資1054.5億元，比上年增長(zhǎng)”補(bǔ)全折線圖
（2）根據(jù)題意寫出的取值并計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列即可
（3）根據(jù)題意分別計(jì)算，直接寫出答案即可
【詳解】(1)
(2)依題意，的可能取值為
； ；
的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望
(3)
13．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學(xué)校三模（理））2022年我國(guó)部分地區(qū)零星出現(xiàn)新冠疫情，為了有效快速做好爆發(fā)地區(qū)的全員核酸檢測(cè)，我們把受檢驗(yàn)者分組，假設(shè)每組有k個(gè)人，把這k個(gè)人的血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k個(gè)人的血液全為陰性，因而這k個(gè)人只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果為陽性，為了明確這個(gè)k個(gè)人中究竟是哪幾個(gè)人為陽性，就要對(duì)這k個(gè)人再逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，這時(shí)k個(gè)人的檢驗(yàn)次數(shù)為次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人群中，每個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性是獨(dú)立的，且每個(gè)人是陽性結(jié)果的概率為p．
(1)為熟悉檢驗(yàn)流程，先對(duì)3個(gè)人進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)（即為一人一檢），若，求3人中恰好有1人檢測(cè)結(jié)果為陽性的概率；
(2)設(shè)X為個(gè)人一組混合檢驗(yàn)時(shí)所需要的檢驗(yàn)總次數(shù)．
①當(dāng)時(shí)，求X的分布列及平均檢驗(yàn)次數(shù)（不必計(jì)算，只列式即可）；
②某地區(qū)共10萬人，發(fā)現(xiàn)有輸入性病例，需要進(jìn)行全員核酸檢測(cè)，預(yù)估新冠病毒感染率為萬分之一，即為，先進(jìn)行“10合1混采檢測(cè)”，試估計(jì)這10萬人所需檢測(cè)的平均次數(shù)．并估計(jì)對(duì)這個(gè)地區(qū)，這樣的混檢比一人一檢大約能少使用多少份檢測(cè)試劑？（注：感染率，即為每個(gè)人受感染的概率；）
【答案】(1)0.243；
(2)①見解析；
②；89900.
【分析】（1）利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求概率即可；
（2）①寫出所以取值和概率，然后列分布列，求期望即可；
②利用期望來估計(jì)總的檢測(cè)次數(shù)，然后再跟100000作差即可.
【詳解】（1）設(shè)3人中恰好有1人檢測(cè)結(jié)果為陽性為事件，.
（2）①的值可取1，11，
，，
.
②，
所以進(jìn)行“10合1混采檢測(cè)”，10萬人所需檢測(cè)的平均次數(shù)大概為，
這樣混檢比一人一檢大約少使用份檢測(cè)試劑.
14．（2022·廣東廣州·一模）某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個(gè)“AI作業(yè)”項(xiàng)目，并且在甲、乙兩個(gè)學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測(cè)試.經(jīng)過一個(gè)階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對(duì)他們的“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)掌握的情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：
假設(shè)每位學(xué)生是否掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)相互獨(dú)立.
(1)從樣本中沒有掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，用表示抽取的2名學(xué)生中使用“AI作業(yè)”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)用樣本頻率估計(jì)概率，從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生，用“X=1”表示該名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“X=0”表示該名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”，用“Y=1”表示該名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“Y=0”表示該名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”.比較方差DX和DY的大小關(guān)系.
【答案】(1)分布列見解析，；(2).
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布列分布列，求解期望；
（2）由二項(xiàng)分布的方差公式求解.
【詳解】（1）依題意，沒有掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生有60人，其中，使用“AI作業(yè)”的人數(shù)為20人，不使用“AI作業(yè)”的人數(shù)為40，
所以，1，2，且，
，，
所以的分布列為：
故
（2）由題意，易知服從二項(xiàng)分布，，
服從二項(xiàng)分布，，故.
15．（2022·四川省巴中中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））自《“健康中國(guó)2030”規(guī)劃綱要》頒布實(shí)施以來，越來越多的市民加入到綠色運(yùn)動(dòng)“健步走”行列以提高自身的健康水平與身體素質(zhì)．某調(diào)查小組為了解本市不同年齡段的市民在一周內(nèi)健步走的情況，在市民中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，部分結(jié)果如下表所示，其中一周內(nèi)健步走少于5萬步的人數(shù)占樣本總數(shù)的，45歲以上（含45歲）的人數(shù)占樣本總數(shù)的．
(1)請(qǐng)將題中表格補(bǔ)充完整，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年齡有關(guān)；
(2)現(xiàn)從樣本中45歲以上（含45歲）的人群中按一周內(nèi)健步走的步數(shù)是否少于5萬步用分層抽樣法抽取8人做進(jìn)一步訪談，然后從這8人中隨機(jī)抽取2人填寫調(diào)查問卷，記抽取的兩人中一周內(nèi)健步走步數(shù)不少于5萬步的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：
，其中．
【答案】(1)完善表格見解析；有90%的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年齡有關(guān)；
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.
【分析】（1）根據(jù)樣本總數(shù)200，以及所給比例可完善表格，計(jì)算卡方，結(jié)合臨界值進(jìn)行判斷；
（2）先根據(jù)分層抽樣明確各層人數(shù)，然后確定的所有取值，逐個(gè)求解概率，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）
，所以有90%的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年齡有關(guān)；
（2）由題意知，從45歲及以上的市民中按分層抽樣法抽取一周內(nèi)健步走的步數(shù)不少于5萬步的市民6人，一周內(nèi)健步走的步數(shù)少于5萬步市民的2人；
從這8人隨機(jī)抽取2人，則的所有取值為0,1,2.
，，；
所以分布列為
數(shù)學(xué)期望.
16．（2022·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)（理））W企業(yè)D的產(chǎn)品p正常生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品p尺寸服從正態(tài)分布，從當(dāng)前生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取200件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，產(chǎn)品尺寸匯總?cè)缦卤恚?br>根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和生產(chǎn)線的實(shí)際情況，產(chǎn)品尺寸在以外視為小概率事件．一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，產(chǎn)品尺寸在以內(nèi)為正品，以外為次品．， ，．
(1)判斷生產(chǎn)線是否正常工作，并說明理由；
(2)用頻率表示概率，若再隨機(jī)從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢，正品檢測(cè)費(fèi)10元/件，次品檢測(cè)費(fèi)15元/件，記這3件產(chǎn)品檢測(cè)費(fèi)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望及方差．
【答案】(1)生產(chǎn)線沒有正常工作；理由見解析
(2)數(shù)學(xué)期望是（元）；方差是
【分析】（1）求出正常產(chǎn)品尺寸范圍，再由超出正常范圍以外的零件數(shù)即可判斷生產(chǎn)線有沒有正常工作．
（2）記這3件產(chǎn)品中次品件數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，求出，因?yàn)?，由均值和方差的性質(zhì)即可求出
【詳解】（1）依題意，有 ，
所以正常產(chǎn)品尺寸范圍為(78.5，81.5]．
生產(chǎn)線正常工作，次品不能多于，而實(shí)際上，超出正常范圍以外的零件數(shù)為10，故生產(chǎn)線沒有正常工作．
（2）依題意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率為．
記這3件產(chǎn)品中次品件數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，
，
則， ，
所以的數(shù)學(xué)期望是（元），
方差是．
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4
Y
1
5
9
P
0
1
2
3
4
0.1875
0.125
0.1875
0.25
0.25
0
1
2
3
有興趣
沒有興趣
合計(jì)
男
女
80
合計(jì)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
有興趣
沒有興趣
合計(jì)
男
女
合計(jì)
0
1
2
X
1
2
3
分段
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
人數(shù)
5
10
a
30
a+5
10
3
5
7
950
800
-550
-700
2
7
12
1
11
甲校
乙校
使用AI作業(yè)
不使用AI作業(yè)
使用AI作業(yè)
不使用AI作業(yè)
基本掌握
32
28
50
30
沒有掌握
8
14
12
26
0
1
2
P
一周內(nèi)健步走萬步
一周內(nèi)健步走＜5萬步
總計(jì)
45歲以上（含45歲）
90
45歲以下
總計(jì)
0.150
0.100
0.050
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
一周內(nèi)健步走萬步
一周內(nèi)健步走＜5萬步
總計(jì)
45歲以上（含45歲）
90
30
120
45歲以下
50
30
80
總計(jì)
140
60
200
0
1
2
產(chǎn)品尺寸/mm
[76，78.5]
(78.5，79]
(79，79.5]
(79.5，80.5]
件數(shù)
4
27
27
80
產(chǎn)品尺寸/mm
(80.5，81]
(81，81.5]
(81.5，83]
件數(shù)
36
20
6

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