易錯(cuò)點(diǎn)一：易忽視三角形解的個(gè)數(shù)（解三角形多解情況）
1．方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：
2．在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；
（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到．
技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個(gè)重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問題
問題1：已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時(shí)有且只有一解。
問題2：已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此時(shí)三角形解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個(gè)數(shù)。
題設(shè)三角形中，已知一個(gè)角和兩個(gè)邊，判斷三角形個(gè)數(shù)，遵循以下步驟
第一步：先畫一個(gè)角并標(biāo)上字母
第二步：標(biāo)斜邊（非對角邊）
第三步：畫角的高，然后觀察（）
易錯(cuò)提醒：利用正弦定理解三角形時(shí)，若已知三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時(shí)，易忽視三角形解的個(gè)數(shù).
例 ．設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則為鈍角三角形
C．若，則符合條件的有兩個(gè)
D．若，則為等腰三角形或直角三角形
【詳解】A：由正弦定理可知：，因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確；
B：根據(jù)余弦定理由，
因?yàn)?，所以有，因此該三角形是鈍角三角形，所以本選項(xiàng)正確；
C：由正弦定理可知：，
所以不存在這樣的三角形，因此本選項(xiàng)不正確；
D：
，或，
當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)該三角形是等腰三角形；
當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)該三角形是直角三角形，
故選：ABD
變式1．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．若，且，則為等邊三角形
C．若，則是等腰三角形
D．在中，，則使有兩解的的范圍是
【詳解】對A，即，即，
因?yàn)?，故原式成立，故A正確；
對B，則，即，
故，由可得.
又可得，
即，故，由可得.
故，則為等邊三角形，故B正確；
對C，當(dāng)時(shí)，滿足，則或，
所以或，故不一定為等腰三角形，故C錯(cuò)誤；
對D，要使有兩解，則需，故，即，故D正確.

故選：ABD
變式2．在中，內(nèi)角的對邊分別為．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則角為鈍角
C．若均不為直角，則
D．若，則唯一確定
【詳解】A選項(xiàng)，，，，
，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，，
即，即，
由正弦定理得，
則，由于，所以，所以，
所以為鈍角，所以B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，
，
，
所以，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，，所以，
所以有兩解，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC
變式3．在中，角，，所對的邊分別是，，，下列敘述正確的是（ ）
A．若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個(gè)
B．若，則為鈍角三角形
C．若，則為等腰三角形
D．若不是直角三角形，則
【詳解】對于A，由，則，又，知滿足條件的三角形只有一個(gè)，故A正確；
對于B，，即，為鈍角，故B正確；
對于C，，
即，由正弦定理可得，
則，所以或，故C錯(cuò)誤．
對于D，因?yàn)椴皇侵苯侨切?，所以，，均有意義，
又，所以，
所以，故D正確；故選：ABD．
1．在中，已知，，若有唯一值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由可求，對的取值進(jìn)行討論，求出使得B唯一時(shí)的取值范圍，此時(shí)有唯一值.
【詳解】由可得：，且，
若，則，由正弦定理可得,
則，所以B為銳角，
此時(shí)B唯一，則C也唯一，所以有唯一值.
當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)B唯一，則C也唯一，所以有唯一值.
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，根?jù)正弦函數(shù)圖像易知，在上存在兩個(gè)根，所以存在兩個(gè)值滿足，所以不成立.
故選：C
2．在中，角所對的邊為，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．若，則為等腰直角三角形
B．若，則
C．若，則符合條件的有兩個(gè)
D．在銳角三角形中，不等式恒成立
【答案】BD
【分析】A選項(xiàng)，由得到或，得到答案；B選項(xiàng)，由正弦定理得到，從而得到；C選項(xiàng)，，故無解；D選項(xiàng)，為銳角，由余弦定理得到恒成立.
【詳解】A選項(xiàng)，，，
故或，解得或，
所以為等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，由正弦定理得，
因?yàn)椋?br>所以，
故，
因?yàn)?，所以，故，?br>因?yàn)?，故，B正確；
C選項(xiàng)，若，則，
則符合條件的有0個(gè)，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，為銳角三角形，故為銳角，
由余弦定理得，，故不等式恒成立，D正確.
故選：BD
3．在中，角所對的邊分別為，以下說法中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則符合條件的三角形有一個(gè)
C．若，則為鈍角三角形
D．若，則直角三角形
【答案】AD
【分析】利用正弦定理以及余弦定理逐一判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】對于A，若，則，所以由正弦定理，可得，故A正確；
對于B，若，
根據(jù)正弦定理可得，，又，
所以有兩解，可以是銳角，也可以是鈍角，所以符合條件的三角形有兩個(gè)，故B錯(cuò)誤
對于C，若，，，由得為的最大角，
因?yàn)?，由余弦定理?br>所以角為銳角，即為銳角三角形，故C錯(cuò)誤；
對于D，由得，即，
又，所以,
因?yàn)?，，所以?br>所以，所，故D正確.
故選：AD
4．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，，，則有兩解
C．若為鈍角三角形，則
D．若，則此三角形為等腰三角形
【答案】AB
【分析】利用大角對大邊及正弦定理，結(jié)合余弦定理及三角方程即可求解.
【詳解】對于A，因?yàn)椋?，由正弦定理得，故A正確；
對于B，因?yàn)?，，，所?即,
所以有兩解，所以有兩解，故B正確；
對于C，因?yàn)闉殁g角三角形，但不一定是鈍角，所以不一定成立，故C錯(cuò)誤；
對于D，因?yàn)椋裕?br>由，得或，解得或，
所以此三角形為等腰三角形或此三角形為直角三角形，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
5．對于△ABC，有以下判斷，其中正確的是（ ）
A．若，則△ABC為等腰三角形
B．若，則
C．若，，，則符合條件的三角形有兩個(gè)
D．若，則△ABC是銳角三角形
【答案】BC
【分析】根據(jù)正弦值相等，即可判斷角的關(guān)系，即可判斷A；根據(jù)正弦定理，即可判斷B；根據(jù)判斷三角形個(gè)數(shù)的公式，即可判斷C；根據(jù)正弦定理，化為邊的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理，即可判斷D.
【詳解】對于A：若，則或,
所以或，即是等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；
對于B：，則，根據(jù)正弦定理可知，，故B正確；
對于C：若，，，則，則符合條件的三角形有兩個(gè)，故C正確；
對于D：根據(jù)正弦定理可知，若，即，
，則為銳角，但不能說明角的情況，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
6．對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．若，則
C．若，則符合條件的有兩個(gè)
D．若，則是鈍角三角形
【答案】BD
【分析】A項(xiàng)，可能為直角三角形；B項(xiàng)，由大角對大邊及正弦定理可得；C項(xiàng)，由，可知為銳角，滿足條件的三角形只有一個(gè)；D項(xiàng)，由正弦定理得，得為鈍角.
【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，則，
滿足，即不一定是等腰三角形，可能為直角三角形，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，由大角對大邊可得，，
由正弦定理，得，
則，即，故B項(xiàng)正確；
選項(xiàng)C，由正弦定理得，即，
又，則，故為銳角，
由此唯一確定，邊也唯一確定，故有唯一解，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，已知，
由正弦定理得，則，
所以，則角為鈍角，
故是鈍角三角形，D項(xiàng)正確.
故選：BD.
7．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則為等腰三角形
D．若，，，則只有一解
【答案】AB
【分析】對于A，先求出，然后利用正弦定理可求出三邊的比，對于B，利用正弦定理分析判斷，對于C，利用余弦定理統(tǒng)一成邊的形式，然后化簡可判斷三角形的形狀，對于D，先求出邊上的高，然后結(jié)合已知條件分析判斷
【詳解】對于A，因?yàn)?，所以?br>所以由正弦定理得，所以A正確，
對于B，因?yàn)?，所以由正弦定理得（為三角形外接圓半徑），
所以，所以A正確，
對于C，因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼茫?br>所以，化簡得，
所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，所以C錯(cuò)誤，
對于D，設(shè)邊上的高為，則，
因?yàn)?，，所以，所以有兩解，所以D錯(cuò)誤，

故選：AB
8．已知的內(nèi)角的對邊分別為則下列說法正確的是（ ）
A．若，則有一個(gè)解
B．若，則有兩個(gè)解
C．若，則為等腰三角形
D．若，則為鈍角三角形
【答案】ABD
【分析】運(yùn)用正弦定理、結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對于A，由正弦定理，，因?yàn)椋?br>因此，有唯一解，故A正確；
對于B，由正弦定理，，因?yàn)椋?br>所以或，有兩解，故B正確；
對于C，因?yàn)?，?br>所以或，即或，因此為等腰或直角三角形，
故C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)為鈍角時(shí)，為鈍角三角形，
當(dāng)為直角時(shí)，不滿足條件，
當(dāng)為銳角時(shí)，，因此，，
因此為鈍角三角形，故D正確.
故選：ABD.
9．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，，，則有兩解
C．若為鈍角三角形，則
D．若，，則的面積是3
【答案】AB
【分析】利用正弦定理可以判斷A正確；由正弦定理與三角形大角對大邊的性質(zhì)，可判斷B正確；由余弦定理，可得C錯(cuò)誤；由余弦定理和三角形面積公式可得D錯(cuò)誤.
【詳解】A.因?yàn)?，由大角對大邊得?br>所以由正弦定理可得，故A正確.
B.由正弦定理得， ，
又，是銳角，，
所以角可以是銳角或者鈍角，所以有兩解，故B正確.
C.若為鈍角三角形，若為鈍角，為銳角，
則由余弦定理，此時(shí)，故C錯(cuò)誤.
D.由余弦定理且，得；
又，所以；
又；故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10．的內(nèi)角的對邊分別為、，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則有兩解
C．若為鈍角三角形，則
D．若三角形為斜三角形，則
【答案】ABD
【分析】由三角形的性質(zhì)和正弦定理，可判定A正確；利用正弦定理求得，進(jìn)而得到有兩解，可判定B正確；當(dāng)為鈍角時(shí)，得到，可判定C錯(cuò)誤；結(jié)合兩角和的正切公式，可判定D正確.
【詳解】對于A中，由，可得,由正弦定理得，所以A正確；
對于B中，因?yàn)椋烧叶ɡ恚?br>可得，因?yàn)榍遥裕?br>所以有兩解，即有兩解，所以B正確；
對于C中，若為鈍角三角形，當(dāng)為鈍角時(shí)，由余弦定理可得，所以C錯(cuò)誤；
對于D中，因?yàn)椋傻茫?br>又因?yàn)椋?br>可得，
所以，
所以D正確；
故選：ABD.
11．對于中，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．若，，，則符合條件的有兩個(gè)
B．若，則為等腰三角形或直角三角形
C．若，則的最小值為
D．若點(diǎn)在所在平面且，，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心
【答案】BCD
【分析】利用正弦定理可判斷A選項(xiàng)；利用余弦定理可判斷B選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可得出，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，由正弦定理可得，則，
故不存在，A錯(cuò)；
對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，由余弦定理可得?br>整理可得，所以，或，
故為等腰三角形或直角三角形，B對；
對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋驗(yàn)?，則，則，
由余弦定理可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，C對；
對于D選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，
由，可得，所以，，
由，
可得，
所以，
，即，
所以，點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心，D對.
故選：BCD.
易錯(cuò)點(diǎn)二：解三角形時(shí)，出現(xiàn)類似于sin2A=sin2B易漏解（解三角形問題）
《正弦定理》
①正弦定理：
②變形：
③變形：
④變形：
⑤變形：
《余弦定理》
①余弦定理：
②變形：
核心問題：什么情況下角化邊?什么情況下邊化角?
⑴當(dāng)每一項(xiàng)都有邊且次數(shù)一樣時(shí)，采用邊化角
⑵當(dāng)每一項(xiàng)都有角《》且次數(shù)一樣時(shí)，采用角化邊
⑶當(dāng)每一項(xiàng)都是邊時(shí)，直接采用邊處理問題
⑷當(dāng)每一項(xiàng)都有角《》及邊且次數(shù)一樣時(shí)，采用角化邊或變化角均可
三角形面積公式
①
②其中分別為內(nèi)切圓半徑及的周長
推導(dǎo)：將分為三個(gè)分別以的邊長為底，內(nèi)切圓與邊相交的半徑為高的三角形，利用等面積法即可得到上述公式
③（為外接圓的半徑）
推導(dǎo)：將代入可得
將代入
可得
④
⑤海倫公式（其中）
推導(dǎo)：根據(jù)余弦定理的推論
令，整理得
正規(guī)方法：面積公式+基本不等式
①
②
③
易錯(cuò)提醒：當(dāng)解題過程中出現(xiàn)類似于sin2A=sin2B這樣的情況要注意結(jié)合三角形內(nèi)角范圍進(jìn)行討論，另外當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)銳角三角形時(shí)一定要注意條件之間的相互“限制”
例 ．對于，有如下命題：①若，則為等腰三角形；②若，則為直角三角形；③若，則為鈍角三角形．其中正確命題的序號(hào)是（ ）
A．①②B．①③C．③D．②③
【詳解】解:對于①，由可得或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；
對于②，取，滿足，但不是直角三角形，故錯(cuò)誤；
對于③，由可得，，所以，
即，所以，所以，所以為鈍角三角形，故正確.故選：C.
變式1．在ΔABC中，已知，那么ΔABC一定是（ ）
A．等腰或直角三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等邊三角形
【詳解】，由正弦定理可得：，
，
所以，所以或，
即或.所以ΔABC是等腰或直角三角形.
變式2．在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則是（ ）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【詳解】，由正弦定理化簡得，
即，故，，
則或，即或，
故選：C
變式3．在中，角所對的邊分別為，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)（ ）
（1）若，則
（2）若，則一定為等腰三角形
（3）若，則一定為直角三角形
（4）若，且該三角形有兩解，則邊的范圍是
A．1B．2C．3D．4
【詳解】對于（1）：因?yàn)椋傻?，由正弦定理可得?br>所以，所以（1）正確；
對于（2）：由，可得或，
即或，所以三角形為等腰三角形或直角三角形，所以（2）不正確；
對于（3）：若，由正弦定理可得，
即，所以，即，
又因?yàn)椋?，所以一定為直角三角形，所以?）正確；
對于（4）：若，可得，
要使得該三角形有兩解，可得，即邊的范圍是，所以（4）不正確.故選：B.
1．在中，，則（ ）
A．為直角B．為鈍角C．為直角D．為鈍角
【答案】C
【分析】由正弦定理邊化角得，結(jié)合余弦定理和化解，可求出.
【詳解】由，即，，
又，所以，化簡得，
則，故在中，，
故選：C
2．在中，若 ，則該三角形的形狀一定是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等邊三角形
【答案】C
【分析】由正弦定理化簡為，然后在分析，即，或，從而得到結(jié)論.
【詳解】，，
根據(jù)正弦定理可知：，
，
在中，，或，即，即.
為等腰三角形或直角三角形.
故選：C
3．在中，角、、的對邊分別為、、，若，則的形狀為（ ）
A．正三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用二倍角公式和余弦定理可得出、、所滿足的等式，進(jìn)而可判斷出的形狀.
【詳解】，，
由正弦定理和余弦定理得，
變形整理得，即，
即，即，
或，因此，是等腰三角形或直角三角形.
故選：B.
4．在中，三個(gè)內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理與二倍角公式化簡后判斷即可.
【詳解】，由正弦定理化簡得，
即，故，，
則或，即或，則的形狀為等腰或直角三角形.
故選：D.
5．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，則是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式可得出，求出、，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可得出、的關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?，則，
因?yàn)橹兄辽儆袃蓚€(gè)銳角，則、中至少一個(gè)為銳角，
不妨設(shè)為銳角，則，從而可知為銳角，
由正弦定理可得，即，
因?yàn)?、，則、，
所以，或，即或，
因此，為等腰三角形或直角三角形.
故選：D.
6．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且，則一定是（ ）
A．等腰三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．銳角三角形
【答案】C
【分析】由正弦定理邊角互化，化簡可得角的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形形狀即可.
【詳解】由正弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以或，又?br>所以，所以為直角三角形．
故選：C.
7．在中，已知，則的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利二倍角公式展開，再由正余弦定理角化邊，然后因式分解可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
由正余弦定理可得，
整理得，
所以或，
所以為等腰三角形或直角三角形.
故選：D
8．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b 、c， 若 則該三角形一定是（ ）
A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】利用正弦邊角關(guān)系及倍角正弦公式可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)有或，即可判斷形狀.
【詳解】由正弦邊角關(guān)系知：，則，即，
又，所以或，即或，
所以三角形一定是等腰三角形或直角三角形.
故選：D
9．在中，角的對邊分別為，且滿足，則的形狀是（ ）.
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】先用正弦定理將邊化為角，再把倍角公式及商數(shù)關(guān)系代入化簡即可得出結(jié)果.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>在中由正弦定理代入可得：
，
將代入可得：
，
化簡可知，即，
因?yàn)椋杂谢?，解得或?br>所以為等腰三角形或直角三角形.
故選：D
10．在中，若，則這個(gè)三角形是（ ）
A．底角不等于的等腰三角形B．銳角不等于的直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】已知等式利用正弦定理化簡，整理后根據(jù)，得到，確定出與的關(guān)系，即可判斷.
【詳解】由正弦定理及題意，得，
．
∵，∴，
∴或，
即或．
∴這個(gè)三角形為直角三角形或等腰三角形．
故選：D
11．的三內(nèi)角的對邊分別為且滿足，且，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】B
【分析】對已知條件結(jié)合正弦定理進(jìn)行邊換角，另一個(gè)條件說明三角形是等腰三角形，兩者結(jié)合起來判斷.
【詳解】根據(jù)條件：，利用正弦定理可得：，
整理得：，，則，
化簡得：，故，
在中，由于，所以（不可能），
故.所以為等邊三角形.
故選：B.
易錯(cuò)點(diǎn)三：實(shí)際問題中題意不明致誤（利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題）
解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題的類型及解題策略
1、求距離、高度問題
（1）選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的量．
（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．
2、求角度問題
（1）分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，畫圖時(shí)，要明確仰角、俯角、方位角以及方向角的含義，并能準(zhǔn)確找到這些角．
（2）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的綜合應(yīng)用．
易錯(cuò)提醒：實(shí)際問題應(yīng)用中有關(guān)名詞、術(shù)語也是容易忽視和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具體含義
例 ．如圖所示，，兩處各有一個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站，在的正東方向18km處，的南面為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾，政府決定在的北面處建一個(gè)發(fā)電廠，利用垃圾發(fā)電.要求發(fā)電廠到兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站的距離（單位：km）與它們每天集中的生活垃圾量（單位：噸）成反比，現(xiàn)估測得，兩處中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為40噸和50噸.

(1)當(dāng)時(shí)，求的值；
(2)發(fā)電廠盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)，也即要求的面積最大，問此時(shí)發(fā)電廠與垃圾中轉(zhuǎn)站的距離為多少?
【詳解】（1）由題意，，可得，
可得，
所以．
（2），設(shè)，則，
可得，可得，
到距離，
當(dāng)，即，取得最大值為，
因此選址方案滿足，．
變式1．為了應(yīng)對日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣候觀測，B，C，D三地位于同一水平面上，這種儀器在B地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，兩地相距，，在C地聽到彈射聲音的時(shí)間比D地晚秒，在C地測得該儀器至最高點(diǎn)A處的仰角為．（已知聲音的傳播速度為），求：

(1)B，C兩地間的距離；
(2)這種儀器的垂直彈射高度AB．
【詳解】（1）設(shè)，
∵在C地聽到彈射聲音的時(shí)間比D地晚秒，
∴，
在中，由余弦定理，
∴，解得，
故B，C兩地間的距離為420米；
（2）在中，，
∴米，
故該儀器的垂直彈射高度為米．
變式2．南京市人民中學(xué)創(chuàng)建于1887年，是南京市辦學(xué)歷史最長的中學(xué)之一，位于南京市的珠江路南側(cè)，中山路東側(cè)，長江路北側(cè)如圖所示的位置.南京人民中學(xué)到長江路和中山路十字路口約330米，長江路和中山路夾角約為70.5°，現(xiàn)小王和小張正位于如圖所示的位置分別距長江路和中山路十字路口200米，300米，并分別按如圖所示的方向散步，速度均為60米/分鐘

(1)起初兩人直線距離多少米？（參考數(shù)據(jù)：）；
(2)t分鐘后兩人間直線的距離是多少？（從現(xiàn)位置開始計(jì)時(shí)到小張到南京市人民中學(xué)大門結(jié)束）；
(3)什么時(shí)候兩人間的直線距離最短，最短距離時(shí)多少？（忽略路寬?等侯紅綠燈時(shí)間）
【詳解】（1）設(shè)起初兩人直線距離為，由題意可得，
即起初兩人直線距離為300米；
（2）設(shè)t分鐘后兩人間直線的距離是，則當(dāng)時(shí)，易知小王此時(shí)仍在中山路東側(cè)，此時(shí)由余弦定理可知，
當(dāng)時(shí)，易知小王此時(shí)在中山路與長江路十字路口，顯然兩人相距米，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)小王在中山路西側(cè)，小張仍在長江路南側(cè)，
則由余弦定理可得，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)小張?jiān)谥猩铰放c長江路十字路口，兩人相距米，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)小張?jiān)陂L江路北側(cè)，小王在中山路西側(cè)，
則由余弦定理可知，
又當(dāng)和時(shí)，兩人的直線距離也符合關(guān)系式，
故綜上所示t分鐘后兩人間直線的距離是；
（3）由二次函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)分鐘時(shí)，此時(shí).
變式3．如圖，某城市有一條從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北方向的公路，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路，并在上分別設(shè)置兩個(gè)出口在的東偏北的方向（兩點(diǎn)之間的高速公路可近似看成直線段），由于之間相距較遠(yuǎn)，計(jì)劃在之間設(shè)置一個(gè)服務(wù)區(qū)．

(1)若在的正北方向且，求到市中心的距離和最小時(shí)的值；
(2)若在市中心的距離為，此時(shí)在的平分線與的交點(diǎn)位置，且滿足，求到市中心的最大距離．
【詳解】（1）設(shè)，在中，
在中，由正弦定理得
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)
到市中心的距離和最小時(shí)，．
（2），
，即
，
又
即
當(dāng)時(shí)，
1．某景區(qū)有一人工湖，湖面有兩點(diǎn)，湖邊架有直線型棧道，長為，如圖所示．現(xiàn)要測是兩點(diǎn)之間的距離，工作人員分別在兩點(diǎn)進(jìn)行測量，在點(diǎn)測得，；在點(diǎn)測得．（在同一平面內(nèi)）

(1)求兩點(diǎn)之間的距離；
(2)判斷直線與直線是否垂直，并說明理由．
【答案】(1)
(2)直線與直線不垂直，理由詳見解析.
【分析】（1）先求得，利用余弦定理求得.
（2）先求得，然后根據(jù)向量法進(jìn)行判斷.
【詳解】（1）依題意，，，，
所以，
，所以，
在三角形中，由正弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得.

（2）在三角形中，由余弦定理得，
，
在三角形中，由正弦定理得，
，
直線與直線不垂直，理由如下：
,
所以直線與直線不垂直.
2．如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選取A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，使得，測得，，．
(1)若B，D選在兩個(gè)村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且，，求A，C兩點(diǎn)間距離；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理證得為等腰直角三角形，再由余弦定理求即可；
（2）設(shè)，利用正弦定理可得，展開化簡即可得其正切值.
【詳解】（1）在中，由正弦定理得，
即，
解得，所以，
則為等腰直角三角形，所以，
則．
在中，由余弦定理得
，
故．
故A，C兩點(diǎn)間距離為．
（2）設(shè)，則由題意可知，，．
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以，
解得，所以．
3．某數(shù)學(xué)建模活動(dòng)小組在開展主題為“空中不可到達(dá)兩點(diǎn)的測距問題”的探究活動(dòng)中，抽象并構(gòu)建了如圖所示的幾何模型，該模型中，均與水平面垂直.在已測得可直接到達(dá)的兩點(diǎn)間距離，的情況下，四名同學(xué)用測角儀各自測得下列四組角中的一組角的度數(shù)，①，，，②，，，③，，，④，，.
(1)請同學(xué)們指出其中一定能唯一確定，之間的距離的組號(hào)；（指出所有滿足條件的組號(hào)）
(2)若已知，，，，，，，請你結(jié)合自己在（1）中的選擇，從中選出一組利用所給數(shù)據(jù)，求的值.（若多做，按第一種方案給分）
【答案】(1)③④
(2)按方案③；按方案④.
【分析】（1）綜合應(yīng)用正弦定理和余弦定理解三角形，結(jié)合提供的角逐個(gè)分析；
（2）綜合應(yīng)用正弦定理和余弦定理解三角形.
【詳解】（1）不妨記，，，，，，，，，，，，.
①中，已知，在中，由，可確定，同理在中，可確定，
在中，已知，利用余弦定理解三角形可能有兩解，
例如若，，，則，解得或，
由可得有兩個(gè)值，故①錯(cuò)誤；
②中，已知，在中，由，可確定，，
在中，利用余弦定理可得，在中，由勾股定理可得，
在中，由余弦定理得，
又，解此關(guān)于的二元二次方程組，可得，但此二元二次方程組可能有兩解，故②錯(cuò)誤；
③中，已知，在中，由，可確定，
同理在中，可確定，在中，由余弦定理可唯一確定，故③正確；
④中，已知，由及余弦定理，可確定，在中，由，可確定，
同理在中，可確定，再由可唯一確定，故④正確.
（2）若按方案③，在中，，，可得，
在中，，，可得；
又因?yàn)?，在中?br>由余弦定理可得，所以.
若按方案④，在中，，，可得，
在中，，，可得，，
在中，，，，可得；
過點(diǎn)向作垂線，垂足為，
在中，，，
所以，
所以.
4．如圖，某觀察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出發(fā)的一條公路走向是南偏東40°，在B處測得公路上距B處32km的C處有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到達(dá)D處，此時(shí)B，D間的距離為21km．這個(gè)人還要走多少路才能到達(dá)A城？

【答案】16.41km
【分析】由余弦定理得到，進(jìn)而求出，由正弦定理求出，在中，由余弦定理得到，進(jìn)而求出，得到答案.
【詳解】由題意得，km，km，km，
在中，由余弦定理得，
故，
在中，由正弦定理得，
故km，
在中，由余弦定理得，
即，解得km，負(fù)值舍去，
故km.
故這個(gè)人還要走km的路才能到達(dá)A城.
5．如圖，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏東40°的方向駛離碼頭，下午3：00到達(dá)地．下午1：00乙船沿北偏東125°的方向勻速駛離碼頭，下午3：00到達(dá)地．若在的正南方向，則乙船的航行速度是多少？（精確到1km/h）

【答案】
【分析】畫出平面圖形，求出角度，再利用正弦定理即可解決．
【詳解】由題可知，，，，
設(shè)乙船速度為，則.
于是在中，由正弦定理可得：，
即，解得，
所以，乙船的航行速度大約是.

6．如圖，某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西方向且與該港口相距的處，并以的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以的航行速度勻速行駛，經(jīng)過與輪船相遇.

(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．
【答案】(1)航行速度為
(2)航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30,理由見解析
【分析】（1）利用余弦定理和二次函數(shù)的最值求解；
（2）要用時(shí)最小，則首先速度最高，然后是距離最短，則由(1)利用余弦定理得到方程解得對應(yīng)的時(shí)間，再解得相應(yīng)角，即可求解.
【詳解】（1）
如圖設(shè)小艇的速度為，時(shí)間為相遇，
則由余弦定理得:,
叩:,
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)速度，
此時(shí)小艇的航行方向?yàn)檎狈较?，航行速度?
（2）要用時(shí)最小，則首先速度最高，即為:30 ，
則由(1)可得:
,
即:,解得:，
此時(shí),
此時(shí)，在中，，
故可設(shè)計(jì)航行方案如下:
航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.
7．一顆人造地球衛(wèi)星在地球上空1600km處沿著圓形的軌道運(yùn)行，每2h沿軌道繞地球旋轉(zhuǎn)一圈．假設(shè)衛(wèi)星于中午12點(diǎn)正通過衛(wèi)星跟蹤站A點(diǎn)的正上空，地球半徑約為6400km．

(1)求人造衛(wèi)星與衛(wèi)星跟蹤站在12：03時(shí)相隔的距離是多少．
(2)如果此時(shí)跟蹤站天線指向人造衛(wèi)星，那么天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角的余弦值是多少？（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)1950km
(2)0.64．
【分析】（1）設(shè)人造衛(wèi)星在時(shí)位于C點(diǎn)，得到，在中，由余弦定理求得的長，即可求解；
（2）設(shè)此時(shí)天線的瞄準(zhǔn)方向與水平線的夾角為，則，利用正弦定理求得，從而得到，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，設(shè)人造衛(wèi)星在時(shí)位于C點(diǎn)，其中，則，
在中，，，，
由余弦定理得，
解得，
因此，在時(shí)，人造衛(wèi)星與跟蹤站相距約．
（2）解：如圖所示，設(shè)此時(shí)天線的瞄準(zhǔn)方向與水平線的夾角為，則，
由正弦定理得，
故，即，
因此，天線瞄準(zhǔn)方向與水平線的夾角的余弦值約為．
8．如圖，某海產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域，AB，AC為直線海岸線，，，.

(1)求B與C之間的直線距離.
(2)在海面上有一點(diǎn)D（A，B，C，D在同一平面上），沿線段DB和DC修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，若DB和DC上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益，且，求這兩段網(wǎng)箱獲得的最高經(jīng)濟(jì)總收益.
【答案】(1)100m
(2)6000元
【分析】（1）根據(jù)題意，先求，再利用正弦定理即可計(jì)算.
（2）需要獲得的最高經(jīng)濟(jì)總收益，求這兩段網(wǎng)箱和的最大長度，即求的最大值，所以利用余弦定理，基本不等式即可計(jì)算最大值.
【詳解】（1）在中，.
由正弦定理，
得.
故B與C之間的直線距離為100m.
（2）在中，由余弦定理，
即，
得，
，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故這兩段網(wǎng)箱獲得的最高經(jīng)濟(jì)總收益為元.
9．山東省濱州市的黃河樓位于蒲湖水面內(nèi)東南方向的東關(guān)島上，渤海五路以西，南環(huán)路以北.整個(gè)黃河樓顏色質(zhì)感為灰紅，意味黃河樓氣勢恢宏，更在氣勢上體現(xiàn)黃河的宏壯.如圖，小張為了測量黃河樓的實(shí)際高度，選取了與樓底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)，現(xiàn)測得，在點(diǎn)處測得黃河樓頂?shù)难鼋菫?，求黃河樓的實(shí)際高度（結(jié)果精確到，取）.
【答案】
【分析】利用正弦定理即可求解.
【詳解】由題知，
，
在中，由正弦定理得，
則.
在中，，
所以，
故黃河樓的實(shí)際高度約為.
10．在長江某渡口處，江水以5km/h的速度向東流．一渡船從長江南岸的A碼頭出發(fā)，預(yù)定要在0.1h后到達(dá)北岸的B碼頭（如圖）．設(shè)為正北方向，已知B碼頭在A碼頭北偏東的方向上，并與A碼頭相距1.2km．該渡船應(yīng)按什么方向航行？速度是多少（角度精確到，速度確到0.1km/h）？

【答案】渡船應(yīng)按北偏西的方向，并以11.7km/h的速度航行．
【分析】根據(jù)題意，以AC為邊，AB為對角線作，結(jié)合余弦定理可得，然后再由余弦定理即可得到，即可得到結(jié)果.
【詳解】如圖所示，船按方向開出，方向?yàn)樗鞣较颍?br>以AC為邊，AB為對角線作，其中，．
在中，由余弦定理，得
，
所以．
因此，船的航行速度為．
在中，由余弦定理，得
，
所以．
因此．
即渡船應(yīng)按北偏西的方向，并以11.7km/h的速度航行．
11．如圖，為了測量河對岸兩點(diǎn)之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)，測得，，，，．設(shè)在同一平面內(nèi)，試求兩點(diǎn)之間的距離（精確到1m）．

【答案】57m
【分析】利用正弦定理，在中，求，在中，求，用余弦定理，在中求即可.
【詳解】解在中，，，則．
又，由正弦定理，得：
．
在中，，，則．又，
由正弦定理，得：．
在中，由余弦定理，得：
，
所以．
故A，B兩點(diǎn)之間的距離約為57m．A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
解的個(gè)數(shù)
一解
兩解
一解
一解
無解

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備戰(zhàn)2024新高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專題06解三角形及應(yīng)用Word版附解析

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【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)專題06 解三角形及應(yīng)用 （易錯(cuò)題）（新高考專用）.zip

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