易錯點一：忽略切點所在位置及求導簡化形式（導數(shù)的概念及應(yīng)用）
一、導數(shù)的概念和幾何性質(zhì)
1．概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或．
詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；
②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；
③導數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．
2．幾何意義函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．
3．物理意義函數(shù)在點處的導數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．
二、導數(shù)的運算
1．求導的基本公式
2．導數(shù)的四則運算法則
（1）函數(shù)和差求導法則：；
（2）函數(shù)積的求導法則：；
（3）函數(shù)商的求導法則：，則．
3．復合函數(shù)求導數(shù)
復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)，的導數(shù)間關(guān)系為：
應(yīng)用1．在點的切線方程
切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．
應(yīng)用2．過點的切線方程
設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）
注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．
易錯提醒：1．求函數(shù)導數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導．注意以下幾點：
連乘形式則先展開化為多項式形式，再求導；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導；分式形式，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導；復合函數(shù)，先確定復合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元
2．利用導數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：
（1）函數(shù)在切點處的導數(shù)值是切線的斜率，即已知切點坐標可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標．
（2）切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點．
（3）曲線“在”點處的切線與“過”點的切線的區(qū)別：曲線在點處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為，是唯一的一條切線；曲線過點的切線，是指切線經(jīng)過點P，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條．
3．利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法
利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），進而求出參數(shù)的值或取值范圍．
4．求解與導數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點
（1）注意曲線上橫坐標的取值范圍；
（2）謹記切點既在切線上又在曲線上．
例 ．已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若，都有，求的取值范圍．
【詳解】（1）解：當時，，
因為，
所以，曲線在處的切線方程是，即．
（2）因為，都有，所以．
設(shè)，則．
記，設(shè)，則，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，所以在上單調(diào)遞減．
因為，當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，．
變式1．已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）顯然，要使方程有兩個不等的實根，
只需當時，有且僅有一個實根，
當時，由方程，得.
令，則直線與的圖象有且僅有一個交點..
又當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，
所以當時，取得極小值，
又當時，，所以，即，
當時，，即，
所以作出的大致圖象如圖所示.

由圖象，知要使直線與的圖象有且僅有一個交點，
只需或.
綜上，若有兩個不等的實根，則的取值范圍為.
變式2．已知函數(shù).
(1)當時，求過原點且與的圖象相切的直線方程；
(2)若有兩個不同的零點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）易知的定義域為，
設(shè)切點坐標，則切線方程為：，
把點帶入切線得：，所以，的切線方程為：；
（2），
又有兩個不同零點，
則 有兩個不同零點，
構(gòu)造函數(shù)，
則為增函數(shù)，且，
即方程有兩個不等實根，
令，則， 則，
設(shè)，
方法一、原不等式恒成立等價于恒成立，
令，
由單調(diào)遞增，即，
若單調(diào)遞增，即恒成立，此時符合題意；
若有解，此時有時，單調(diào)遞減，則，不符合題意；綜上所述：的取值范圍為.
方法二、，
設(shè)，在恒成立，
在單調(diào)遞增，，則在單調(diào)遞增，所以，
，
所以的取值范圍為.
變式3．已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若對，恒成立．求實數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1）解：，
所求切線斜率為，切點為，
故所求切線方程為，即.
（2）方法一：分離變量
由得在恒成立，令，則，
， 當時，，即： ，
當時，；當時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當時，取最大值為 ，故，即的取值范圍是.
方法二：分類討論
由得在恒成立，
令，則，
①當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，
又，故當時，，不合題意；
②當時，令得，
令得，令得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當時，取最小值 ，
故，即的取值范圍是，綜上所述，的取值范圍是.
方法三：數(shù)形結(jié)合
由得在恒成立，
令，，則當時，恒成立，
，,
若，當時，，，，不合題意；
若，，
曲線與曲線有且只有一個公共點，且在該公共點處的切線相同．
設(shè)切點坐標為，

則，解得，
故當時，，即的取值范圍是.
1．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)與的圖象關(guān)于直線對稱，得到，設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點坐標為，與函數(shù)的圖象的切點坐標為，由斜率相等得到，然后再利用斜率和傾斜角的關(guān)系求解.
【詳解】解：因為函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，
所以與互為反函數(shù)，所以，
則．由，得，
設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點坐標為，
與函數(shù)的圖象的切點坐標為，
則直線的斜率，故，
顯然，故，
所以直線的傾斜角為，
故選：B．
2．若曲線存在與直線垂直的切線，則k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】對求導后根據(jù)題意可得在上有解. 令，求導判斷單調(diào)性求得值域，從而可得不等式，求解即可.
【詳解】對求導得，
當時，曲線不存在與直線垂直的切線，
當時，若曲線存在與直線垂直的切線，
只需在上有解.
令，求導得，
所以當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，且當時，，
所以，解得，
所以k的取值范圍是.
故選：D.
3．過點作曲線的切線有且只有兩條，切點分別為，，則（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)切點坐標為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義列式可得，再根據(jù)韋達定理即可得答案.
【詳解】由題意得，
過點作曲線的切線，設(shè)切點坐標為，
則，即，
由于，故，
因為過點作曲線的切線有且只有兩條，
所以為的兩個解，且，
所以，
所以.
故選：A.
4．曲線在點處的切線在y軸上的截距的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到切線方程，即可得到縱截距，然后構(gòu)造函數(shù)，求導，根據(jù)單調(diào)性求值域即可.
【詳解】因為，所以所求切線方程為，
令，則，
令，則.
所以當時，，此時單調(diào)遞減，
當時，，此時單調(diào)遞增，
所以.
因為，，所以該切線在y軸上的截距的取值范圍為.
故選：B.
5．已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在處的切線方程為B．函數(shù)有兩個零點
C．函數(shù)的極大值點在區(qū)間內(nèi)D．函數(shù)在上單調(diào)遞減
【答案】ACD
【分析】利用導函數(shù)求出在處的切線斜率，從而求切線方程，即可判斷選項A；令，由單調(diào)性和極值可判斷選項C、D；由零點存在定理可判斷選項B.
【詳解】由得，所以，又,
所以函數(shù)在處的切線方程為，即，所以A正確；
令，顯然在上單調(diào)遞減，且，，
所以存在使得，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處有極大值，極大值點，所以C正確；
因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以D正確
因為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上，函數(shù)有一個零點，
因為，所以當時，，所以函數(shù)在上無零點，所以函數(shù)只有一個零點，所以B錯誤.
故選：ACD
6．已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義和平行關(guān)系的斜率關(guān)系對選項一一分析即可.
【詳解】，，則，當且僅當即等號成立，
根據(jù)導數(shù)的幾何意義知，切線的斜率，因為切線與直線l平行，所以l的斜率，
選項A中直線的斜率為，符合題意；
選項B中直線的斜率為，不符合題意；
選項C中直線的斜率為，符合題意；
選項D中直線的斜率為，符合題意；
故選：ACD.
7．已知函數(shù)，則（ ）
A．的圖象關(guān)于原點中心對稱
B．在區(qū)間上的最小值為
C．過點有且僅有1條直線與曲線相切
D．若過點存在3條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】AD
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷A，求導得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值，進而判斷B，求解切點處的切線方程，將經(jīng)過的點代入，利用方程的根即可判斷DC.
【詳解】的定義域為，且，
所以為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點對稱，故A正確，
，令得或，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，最小值為，故B錯誤，
設(shè)切點為，則切點處切線方程為，
若切線經(jīng)過，則將代入可得，
所以或，故經(jīng)過會有兩條切線，C錯誤，
若切線經(jīng)過，則將代入得，
令，
則當因此在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減，
作出的圖象如下：，
要使過點存在3條直線與曲線相切，則直線過點與的圖象有三個不同的交點，
故，D正確，
故選：AD

8．已知函數(shù).
(1)若，求曲線在點處的切線；
(2)討論的單調(diào)性；
(3)當時，若對任意實數(shù)，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)答案見解析(3)
【分析】（1）代入函數(shù)解析式，利用導數(shù)的幾何意義求曲線在點處的切線；
（2）利用導數(shù)，對分類討論，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）由恒成立，結(jié)合函數(shù)的極值，求的取值范圍.
【詳解】（1）時，函數(shù)，則，切點坐標為，
，則曲線在點處的切線斜率為，
所求切線方程為，即.
（2），函數(shù)定義域為R，
①，解得或，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
②，解得或，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
③，恒成立，在上單調(diào)遞增.
（3）當時，由（2）可知為在上的極小值，也是最小值.
于是，所以
當且時，
由于函數(shù)的圖像拋物線開口向上，對稱軸大于0，
因此，此時，符合題意.
所以的取值范圍為.
9．已知函數(shù)，且，．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)設(shè)，，，討論函數(shù)的零點個數(shù)．
【答案】(1)(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，由導數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的求法，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由條件可得，然后化簡，換元，求導，由函數(shù)的值域，即可判斷零點個數(shù).
【詳解】（1）當時，定義域為R，，
所以，又，
所以曲線在點處的切線方程為．
（2）由，得，得，
所以，，
于是，，
由，得．
當時，，與題意不符，所以．
對兩端同時取自然對數(shù)，得，得．設(shè)，則，設(shè)，
則，令，得，所以當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，
且當時，，，當時，，
所以當或，即當或時，函數(shù)有一個零點；
當，即或時，函數(shù)有兩個零點．
綜上，當或時，函數(shù)有一個零點；
當或時，函數(shù)有兩個零點．
10．已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求得，求得，，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，即可求解；
（2）根據(jù)題意，把不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求得，轉(zhuǎn)化為存在唯一的，使，求得，得到，設(shè)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，再設(shè)，求得在上單調(diào)遞增，進而求得的取值范圍.
【詳解】（1）解：當時，，可得，
則，，即切線的斜率為，
所以切線方程為，即.
（2）解：由題意，函數(shù)的定義域為，，
即，
設(shè)，則，
因為，所以在上為增函數(shù)，當時，，
當時，，所以存在唯一的，使，
且當時，，當時，.
由，得，則，
所以
因為，所以.
設(shè)，可得，
所以在區(qū)間上為減函數(shù)，
又由，所以，
又因為，設(shè)，則，
可知在上單調(diào)遞增，則，即實數(shù)a的取值范圍是.
11．已知，函數(shù)，．
(1)當時，若斜率為0的直線l是的一條切線，求切點的坐標；
(2)若與有相同的最小值，求實數(shù)a．
【答案】(1)(2)1
【分析】（1）由得切點的橫坐標，再代入計算出縱坐標即得切點坐標；
（2）首先由導數(shù)求得與的最小值，由兩最小值相等求，為此方程變形后引入新函數(shù)，利用導數(shù)確定單調(diào)性得出零點．
【詳解】（1）由題意，，由得，此時，
所以切點為；
（2），時，，在上是增函數(shù)，無最小值，所以，
，
時，，遞減，時，，遞增，
所以有唯一的極小值也是最小值，
，，
，，遞減，時，，遞增，
所以有唯一的極小值也是最小值為，
由題意，，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
時，，遞增，時，，遞減，
所以，所以，即，是減函數(shù)，
又，因此是的唯一零點，
所以由得．
易錯點二：轉(zhuǎn)化為恒成立后參變分離變號的前提條件（利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）
1．求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
第一步：確定函數(shù)的定義域；
第二步：求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；
第三步：把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標和的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間；
第四步：確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.
注意①使的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為零，在其余點處均為正（或負）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當時，；當時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因為，即或，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：
單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.
技巧：1.利用導數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧
利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式．
2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路
第一步：由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增(減)可知 ()在區(qū)間上恒成立列出不等式；
第二步：利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題；
第三步：對等號單獨檢驗，檢驗參數(shù)的取值能否使在整個區(qū)間恒等于0，若恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若只有在個別點處有，則參數(shù)可取這個值．
易錯提醒：一：研究單調(diào)性問題
1．函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．
2．已知函數(shù)的單調(diào)性問題
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．
二：討論單調(diào)區(qū)間問題
類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；
（2）變號保留定號去(變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分)；
（3）求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；
（4）未得結(jié)論斷正負(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導函數(shù)整體的正負)；
（5）正負未知看零點(若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點)；
（6）一階復雜求二階(找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導)；
求二階導往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導．
（7）借助二階定區(qū)間(通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段)；
類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間)；
（2）變號保留定號去(變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分)；
（3）恒正恒負先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負)；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；
（5）導數(shù)圖像定區(qū)間。
例 ．已知函數(shù)為函數(shù)的導函數(shù)．
(1)若，討論在上的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)，且在內(nèi)有唯一的極大值，求實數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1）因為，所以，
設(shè)，
則．
當時，，當時，．
當時，令，則．
當時，，則即單調(diào)遞增；
當時，，則即單調(diào)遞減；
當時，，則即單調(diào)遞增．
綜上，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由（1）知，
，
．
（ｉ）當時，在內(nèi)，恒成立，
當時，令，得，
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
當時，在內(nèi)有唯一的極小值點，不存在極大值，不符合題意．
（ⅱ）當時，令，得，
當時，；當時，．
①當，即時，若，即，
則當時，單調(diào)遞增，
當時，單調(diào)遞減，
故在處取得內(nèi)的唯一極大值，符合題意．
若，即，則當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，
故在處取得內(nèi)的唯一極大值，符合題意．
②當，即時，
若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞減，
故在內(nèi)無極值，不符合題意．
③當，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，
在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
故在處取得內(nèi)的唯一極大值，符合題意．
④當，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
故在處取得內(nèi)的唯一極小值，不存在極大值，不符合題意．
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
變式1．已知函數(shù)．
(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(2)若有兩個不同的極值點（），求證：．
【詳解】（1）解：當時，，
所以，
設(shè)，則，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以，所以恒成立，
即，所以在上單調(diào)遞減．
（2）解：因為，所以，
因為有兩個不同的極值點，
所以有兩個不同的實根，
設(shè)，則，
設(shè)，可得，
所以在上是減函數(shù)，且，
所以當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，所以，
由，
設(shè)，則，
所以在上是增函數(shù)，所以，
所以，即，
因為，所以，
因為，，在上是增函數(shù)，所以，
所以，可得，所以．
變式2．已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求的取值范圍．
【詳解】（1）．
由題可知：，當時，令，解得，
當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增；.當時，令，解得，所以當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增；
綜上，當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）原不等式為，即．
因為，所以．
令，則其在區(qū)間上單調(diào)遞增，
取，則；取，則，所以存在唯一使得，令，則．
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；
所以，即，．
故．故，
所以．
當且僅當即時，等號成立，故，解得或，
即的取值范圍為.
變式3．設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若正數(shù)，滿足，證明：.
【詳解】（1）的定義域是，.
令，解得；令，解得或.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)增.
（2）證明：因為，所以.
設(shè)，定義域為，則，
當時，.單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.
因此，所以對任意的恒成立.
令，有
，當且僅當時，等號成立.
因此，即，解得，即.
1．若方程在上有實根，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，化簡得到，設(shè)，得到，求得，得到為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在上有實根，設(shè)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，進而求得的范圍.
【詳解】由，可得，即，
因為，可得，所以，其中，
設(shè)，則，
又因為，所以在上為增函數(shù)，
所以，即，
所以問題轉(zhuǎn)化為方程在上有實根，
設(shè)（），則，所以在上是減函數(shù)，
所以，解得．
故選：C．
2．已知函數(shù)，則不等式成立的x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判斷的對稱性，然后利用導數(shù)討論其單調(diào)性，結(jié)合對稱性即可求解，注意最后的范圍要考慮定義域..
【詳解】由得的定義域為，
因為
，，所以，所以的圖象關(guān)于對稱.
記，
當時，由復合函數(shù)單調(diào)性易知單調(diào)遞增，
記，則，
記，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
綜上，在上單調(diào)遞增，圖象關(guān)于對稱，
由此可知，要使，必有，兩邊平方整理得，解得，
又，得或，
所以的解集為.
故選：D.
3．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】觀察，可考慮構(gòu)造函數(shù)，求得的奇偶性，再由時，的單調(diào)性確定整個增減性，由與的正負反推正負即可求解.
【詳解】設(shè)，則，∵當時，，
∴當時，，即在上單調(diào)遞減.
由于是奇函數(shù)，所以，是偶函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增.
又，
當或時，；
當或時，，
所以當或時，.
即不等式的解集為.
故選：B.
4．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，，，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】構(gòu)建，求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解不等式.
【詳解】令，則，
因為，則，且，
可知，且僅當時，則在上單調(diào)遞增，
又因為為偶函數(shù)，，
可得
令，可得，
注意到，
不等式，等價于，
可得，解得，
所以不等式的解集為.
故選：D.
5．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得出其單調(diào)性，然后由單調(diào)性比較大小，從而判斷各選項．
【詳解】令，則．
∵在上恒成立，∴，
故在單調(diào)遞增．由，得，即，故A正確；
由，得，即，故B錯誤；
由，得，即，故C正確；
由得，即，故D錯誤．
故選：AC．
6．已知是定義域為的函數(shù)的導函數(shù)，，，，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．（為自然對數(shù)的底數(shù)，）
C．存在，
D．若，則
【答案】ABD
【分析】由原函數(shù)和導函數(shù)的對稱性判斷A；令，結(jié)合題設(shè)條件判斷其單調(diào)性后可判斷B，C，D.
【詳解】因為是定義域為的函數(shù)的導函數(shù)，所以是定義域為的可導函數(shù)，
因為，所以的圖像關(guān)于點對稱，
所以，而，故，
所以的圖像關(guān)于對稱，
因為，故時，，
所以，設(shè)，
故時，，故在上為增函數(shù)，
同理在上為減函數(shù)，
對于A，因為，故，故A正確；
對于B，，故，故B正確；
對于C，當時，；
當時，，而時，，
故恒成立，故C錯誤；
對于D，當時，單調(diào)遞減，
，， 所以，
故時，，而，故，故D正確；
故選：ABD
7．設(shè)，若，，，下列說法正確的是（ ）
A．B．無極值點
C．的對稱中心是D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意，建立三元方程組，結(jié)合函數(shù)解析式，利用代入法，求導研究單調(diào)性、函數(shù)對稱性判斷、倒序相加法，可得答案.
【詳解】由題意可得，解得，
則，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
對于C，由，故C正確；
對于D，由，
則與關(guān)于對稱，
所以，
設(shè)，
，兩式相加可得：
，解得，故D正確.
故選：BCD.
8．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，
B．當時，
C．若是增函數(shù)，則
D．若和的零點總數(shù)大于2，則這些零點之和大于5
【答案】ABD
【分析】直接代入即可判斷A，令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B，由在上恒成立，利用導數(shù)求出，即可求出的取值方程，即可判斷C，首先說明，得到在和上各有一個零點，，利用對數(shù)均值不等式得到，即可得到，再說明在和上各有一個零點、且，最后利用基本不等式證明即可.
【詳解】對于A：當時，
則，
，
所以，故A正確；
對于B：，
令，
則，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，又，
所以當時，當時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以當時，，故B正確；
對于C：在上恒成立，
令，則，
所以當時，當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，解得，故C錯誤；
對于D：因為，即為的一個零點，
當時，有且僅有一個根，此時在上單調(diào)遞增，
所以和都只有個零點，不符合題意；
當時，則無零點，只有一個零點，不符合題意；
當時在和上各有一個零點，，
所以，所以，所以，
所以，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，所以，，
所以在和上各有一個零點、，
又，
所以，
所以，故D正確.
其中：不等式的證明如下：
要證，只需證，令，只需證，，設(shè)，，
則，可得在上單調(diào)遞減，
∴，得證.
故選：ABD
9．已知函數(shù)且．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，求得，再構(gòu)造函數(shù)并求導，對分類討論，即可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）不等式恒成立，即恒成立，接下來研究的值域，從而分離參數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，并結(jié)合導數(shù)求得的最大值．
【詳解】（1）函數(shù)且的定義域為，．
記，
則，
若，則當時，單調(diào)遞增，
當時，單調(diào)遞減，
則，
所以在上單調(diào)遞減；
若，則當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
則，
所以在上單調(diào)遞增．
綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減．
優(yōu)解：由題意設(shè)，則，
令，則，
令，則；令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，而且，
所以當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減．
（2）恒成立，即恒成立．
記，則，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，所以在上恒成立．
所以恒成立．設(shè)，則．
，
因為恒成立，所以恒成立，當時取等號，
所以當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，所以．
所以，故實數(shù)的最大值為．
優(yōu)解:不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，
即恒成立． 令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．
即，即，
令，則單調(diào)遞增，所以，
所以，故實數(shù)的最大值為．
10．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性．
(2)若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）分，，，四種情況討論，分別求出對應(yīng)單調(diào)性．
（2）運用同構(gòu)和換元，再通過分離參數(shù)求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由題意函數(shù)的定義域為．
當時，若，則單調(diào)遞增；
若，則單調(diào)遞減．
當時，令，得或．
①當時，，則在上單調(diào)遞增．
②當時，，則當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增．
③當時，，則當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增．
綜上，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由，得，
即．
設(shè)，則，
所以為增函數(shù)，且的值域為．
令，
所以可化為，則．
令．
因為關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，
所以直線與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點．
因為，
所以當時，，則單調(diào)遞增；
當時，，則單調(diào)遞減．
所以，且當時，，
當時，，
所以，
即實數(shù)的取值范圍為．
11．已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若存在極小值點，且，求的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接利用求導求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求導得到，然后對分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值即可.
【詳解】（1），
當時，，
由得或，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和．
（2）．
當時，令，得，
則當時，，當時，，
所以函數(shù)僅有唯一的極小值點，
此時，顯然符合題意．
當時，令，得或，
若，即，則，
此時單調(diào)遞增，無極值點，不符合題意；
若，即，
則當時，，
當時，，
所以函數(shù)的極小值點，
由得，所以；
若，即，
則當時，，
當時，，
所以函數(shù)的極小值點，
由得．
綜上所述，的取值范圍為．
易錯點三：誤判最值與極值所在位置（利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值）
1．函數(shù)的極值
函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．
求可導函數(shù)極值的一般步驟
第一步：先確定函數(shù)的定義域；
第二步：求導數(shù)；
第三步：求方程的根；
第四步：檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．
2．函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．
導函數(shù)為
（1）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
（2）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進行：
第一步：求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
第二步：將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
技巧：
1．由圖象判斷函數(shù)的極值，要抓住兩點：（1）由的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)的可能極值點；（2）由導函數(shù)的圖象可以看出的值的正負，從而可得函數(shù)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點．
2．已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：（1）根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）因為導數(shù)值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗．
3．求函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值的思路
（1）若所給的閉區(qū)間不含有參數(shù)，則只需對函數(shù)求導，并求在區(qū)間內(nèi)的根，再計算使導數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
（2）若所給的閉區(qū)間含有參數(shù)，則需對函數(shù)求導，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．
結(jié)論：1、若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
2、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，且值域為，則
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
3、若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
4、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域為，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
5、對于任意的，總存在，使得；
6、對于任意的，總存在，使得；
7、若存在，對于任意的，使得；
8、若存在，對于任意的，使得；
9、對于任意的，使得；
10、對于任意的，使得；
11、若存在，總存在，使得
12、若存在，總存在，使得
易錯提醒：（1）①可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導號．
②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數(shù)，在極小值點是不可導的，于是有如下結(jié)論：為可導函數(shù)的極值點；但為的極值點．
（2）①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；
③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.
例 ．已知函數(shù)存在兩個極值點，且.
(1)求的取值范圍；
(2)若，求的最小值.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且.
因為函數(shù)存在兩個極值點，且，
所以方程在區(qū)間上有兩個不等根.
所以有，解得.所以的取值范圍為.
（2）由（1）知，即，
所以可化為.因為，
所以，所以
令，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.因為，所以，
所以若恒成立，則，即實數(shù)的最小值為0.
變式1．已知函數(shù)，其中．
(1)若是函數(shù)的極值點，求a的值；
(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性．
【詳解】（1） ，
因為是函數(shù)的極值點，所以，解得，
當時，，
若，則，若，則或.
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即是函數(shù)的極值點.
故．
（2），，
當時，令，解得或，當，即時，
當時，，當或時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當時，
當時，，當或時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當，即時，，所以在上單調(diào)遞減.
綜上，當時，在上遞減，在上遞增，在上遞減；
當時，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
變式2．若函數(shù)，為函數(shù)的極值點.
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的極值.
【詳解】（1）因為，所以.
因為是的一個極值點，所以，即，則，
當時，，
令，得或；令，得；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點，滿足題意，故.
（2）由（1）知，且是的極小值點，是的極大值點，所以的極小值為，的極大值為.
變式3．已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的極值；
(2)若有兩個極值點，求證：.
【詳解】（1）當時，函數(shù)，
易知在定義域上單調(diào)遞增，且，
所以當時，，即此時單調(diào)遞減，
當時，，即此時單調(diào)遞增，
故在時取得極小值，；
（2）由，
令，即，
由題意可知是方程的兩個根，則，
欲證，
即證，即證，
令，
若，定義域上單調(diào)遞增，不存在兩個零點，舍去；
則，可知在時，單調(diào)遞減，
在時，單調(diào)遞增，
要符合題意則需，
又時，，時，，此時不妨令，
構(gòu)造函數(shù)
，
即在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即，
所以，因為，所以，
且在時，單調(diào)遞增，故，得證.
1．已知函數(shù)，在有且只有一個極值點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出導函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上只有一個變號零點，再求導數(shù)確定單調(diào)性，利用零點存在定理求解．
【詳解】，由題意在上只有一個變號零點，
設(shè)，，
時，在上沒有極值點，
，
時，恒成立，遞減，時，，因此，，所以，
時，恒成立，遞增，時，，因此，，所以，
時，時，，遞增，時，，遞減，
，時，，，
因此若，則在上至多只有一個不變號零點，所以且，由得，此時滿足題意．
綜上，的范圍是．
故選：C．
2．已知是函數(shù)的一個極值點，則的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)極值點的定義求解即可.
【詳解】據(jù)題意，應(yīng)是的一個變號零點，
由于，
所以，解得，
當時，時，，當時，，符合題意.
故選：C.
3．若函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依題意，求出導函數(shù)，可求得極值點分別為或，再分類討論，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極小值的定義，從而可得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為，則函數(shù)的定義域為，
則，
令，解得：或，
當時，即，令，解得：，令，解得：，此時函數(shù)在處取得極大值，不符合題意，舍去；
當時，即，則恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值，不符合題意，舍去；
當時，即，令，解得：，令，解得：，此時函數(shù)在處取得極小值，符合題意.
故選：C.
4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，無極值點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先得到，根據(jù)題目條件得到不等式，求出，故，，分兩種情況，得到不等式，求出答案.
【詳解】因為，，所以，
因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，無極值點，
故，解得，
則，，
要想滿足要求，則或，
解得，或，
故的取值范圍是.
故選：D
5．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．0是的極值點
C．在上有且僅有1個零點D．的值域是
【答案】C
【分析】利用偶函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)極值點定義判斷B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C，取特殊值判斷D.
【詳解】的定義域為，關(guān)于原點對稱，
又，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤；
，，當時，當時，故不是函數(shù)的極值點，故B錯誤；
由B知，當時，單調(diào)遞增，又，所以在上有且僅有1個零點，故C正確；
當時，，故D錯誤.
故選：C
6．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點，令極值點屬于已知區(qū)間即可.
【詳解】
所以時遞減，
時，遞增，是極值點，
因為函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，
所以，即，
故選：B.
7．已知函數(shù)的極值點為，函數(shù)的最大值為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題目條件求出，，即可判斷．
【詳解】的定義域為，
在上單調(diào)遞增，且，，
所以，，
所以當時，當時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則在處取得極小值且．
的定義域為，由，
當時，，當時，，
故在處取得極大值，也是最大值，，
即．所以．
故選：A
8．當時，函數(shù)取得極值，則在區(qū)間上的最大值為（ ）
A．8B．12C．16D．32
【答案】C
【分析】先利用極值點的定義求得，再利用導數(shù)求得的最值，從而得解.
【詳解】因為，所以，
又在取極值，所以，
所以，，，
令，得或；令，得；
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故滿足題意，
又，故，
故選：C．
9．已知函數(shù).
(1)當時，求的極值；
(2)當時，求在上的最小值；
(3)若在上存在零點，求的取值范圍.
【答案】(1)極大值為，沒有極小值.
(2)0
(3)
【分析】（1）利用導函數(shù)求函數(shù)的極值；
（2）根據(jù)導函數(shù)求函數(shù)的最值；
（3）根據(jù)的導數(shù)，對進行分類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值可得的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，定義域：，，
令，則，變化時，，的變化情況如下表：
則的極大值為：，沒有極小值；
（2）當時，，定義域：，
，
令，定義域：，，
則在上是增函數(shù)，則，所以，
即在上是增函數(shù)，則.
（3），定義域：，
，
令，定義域：，，
（1）當時，，則在上是減函數(shù)，則，
當時，，則在上是減函數(shù)，，不合題意；
當時，，，則存在，使，即，
變化時，，的變化情況如下表：
則，只需，即；
（2）當時，由（1）知在上是增函數(shù)，，不合題意；
（3）當時，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，
則在上是增函數(shù)，，不合題意，
綜上所述，的取值范圍是.
10．已知函數(shù).
(1)若為函數(shù)的導函數(shù)，求的極值；
(2)若有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導得到導函數(shù)，再次求導，考慮和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性計算極值即可.
（2）確定，變換得到，構(gòu)造新函數(shù)，求導得到單調(diào)區(qū)間和極值，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到取值范圍.
【詳解】（1），故，則，
當時，在上單調(diào)遞增，所以無極值；
當時，令，得，
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
所以當時，取得極小值，無極大值，.
綜上所述：
當時，無極值；
當時，有極小值，無極大值.
（2）顯然，要使方程有兩個不等的實根，
只需當時，有且僅有一個實根.
當時，由方程，得，令，
則直線與的圖象有且僅有一個交點，
.
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增，
所以當時，取得極小值.
又當時，，所以，
當時，，
所以作出的大致圖象如圖所示.

由圖象知要使直線與的圖象有且僅有一個交點，
只需或，
綜上所述：
若有兩個不等的實根，則實數(shù)的取值范圍為.
11．已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）對給定函數(shù)求導，利用函數(shù)極值點的意義求出并驗證即得.
（2）由（1）的結(jié)論，利用導數(shù)求出在指定區(qū)間上的最大最小值即可得解.
【詳解】（1）函數(shù)，求導得，
由在處取得極值，得，解得，
此時，當時，，當時，，
即函數(shù)在處取得極值，
所以.
（2）由（1）知，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，而，即，
所以函數(shù)在上的值域為.
易錯點四：零點不易求時忽略設(shè)零點建等式（利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題）
1．判斷函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間上是否存在零點，主要利用函數(shù)零點的存在性定理進行判斷．首先看函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，然后看是否有．若有，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點．
2．判斷函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)時，常用以下方法：
（1）解方程：當對應(yīng)方程易解時，可通過解方程，判斷函數(shù)零點的個數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件進行判斷；
（3）通過數(shù)形結(jié)合進行判斷，畫函數(shù)圖象，觀察圖象與軸交點的個數(shù)來判斷．
3．已知函數(shù)有零點（方程有根），求參數(shù)的取值范圍常用的方法：
方法1：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．
方法2：分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．
方法3：數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，再數(shù)形結(jié)合求解．
4．解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟
第一步：審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；
第二步：建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型；
第三步：解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；
第四步：還原：將數(shù)學結(jié)論還原為實際問題的意義．
技巧：判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：
方法1：利用零點存在性定理判斷法；
方法2：代數(shù)法：求方程的實數(shù)根；
方法3：幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點或利用兩個函數(shù)圖象的交點求解．在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性．
方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決
2、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解
結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)或
②，構(gòu)造函數(shù)或
③，構(gòu)造函數(shù)或
易錯提醒：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得也就是方程的根
例 ．已知函數(shù)．
(1)若在區(qū)間上有極值，求實數(shù)的取值范圍；
(2)當時，求證：有兩個零點，，且．
【詳解】（1）因為，，
所以.
①當時，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，在上無極值點；
②當時，當時，，所以在上單調(diào)遞減；
當時，，所以在上單調(diào)遞增．
所以的極小值點為，無極大值點.
因為在上有極值，所以，所以.
綜上所述，當時，在區(qū)間上有極值.
（2）由已知，定義域為.
當時，，由（1）知：，
因為，所以.令，，則.
因為在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
所以，即.
因為，，
由（1）知：在上單調(diào)遞減，且，
根據(jù)零點存在定理，可知在，即上存在唯一的零點，使，.
因為.
令，，則.
當時，有，所以在上單調(diào)遞增；
當時，有，所以在上單調(diào)遞減.
所以，在處取得唯一極大值，也是最大值.因為，所以，
所以，即，所以，所以.
由（1）知在上單調(diào)遞增，且，
所以在上存在唯一的零點，使．
所以有兩個零點，.
下面證明：
設(shè)，則
．
兩式相減：，
即，所以.
因為，
所以
.
要證：，即證：，
只要證：，即證：.
令，即證：，．令，，
則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
所以． 即成立，
故有兩個零點，，且.
變式1．已知函數(shù).
(1)試討論的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個零點，求的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，
當時，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減；
當時，令，解得，
當時，，當時，，
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當時，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，最多只有1個零點，
當時，的最小值為，若有兩個零點，則，
由，得，
，
令函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，
又，即當時，，則當，即時，，
令函數(shù)，
當時，，當時，，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，
，
令函數(shù)，
由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)得，，
即，
于是當，即時，有2個零點，
所以若有兩個零點，則的取值范圍為.
變式2．若函數(shù)在處有極小值．
(1)求c的值．
(2)函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【詳解】（1）因為，所以，
又因為函數(shù)在處有極小值，
所以，解得或，
當時，，
則時，，時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可得函數(shù)在處取得極小值；當時，，
則時，，時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得函數(shù)在處取得極大值，不合題意，舍去．所以c的值為3.
（2），
函數(shù)定義域為R，，
當時，恒成立，在R上單調(diào)遞增，時，有一個零點-1；時，，，恰有一個零點.
當時，解得或，解得，
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
時，有極大值，時，有極小值，
恰有一個零點，或
解得，
綜上可知，函數(shù)恰有一個零點，實數(shù)a的取值范圍為.
變式3．已知函數(shù).
(1)求的極值：
(2)若有兩個零點，求a的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
令，解得，
當時，則，當時，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以當時，有極小值，無極大值.
（2）因為函數(shù)有兩個零點，
所以直線與函數(shù)有兩個交點，
，令，解得，
當時，則，當時，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
因為，，當時，，當時，
當時，，當時，，，
所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，
結(jié)合圖象可知，當時，有兩個零點，故a的取值范圍為.
1．已知函數(shù)（）.
(1)求在上的最大值；
(2)若函數(shù)恰有三個零點，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用導數(shù)明確函數(shù)的單調(diào)性，求出極值和端點值，可得答案；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得其極大值和極小值，結(jié)合零點存在性定理，可得答案.
【詳解】（1），
可知時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，
由，，，，
則.
（2）由（1）知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，
因為有三個零點，所以，即，
解得，故的取值范圍為.
2．已知函數(shù)有兩個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)，為的兩個零點，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合有兩個零點可得解；
（2）分析法轉(zhuǎn)化要證問題，只要證，即證，即證 ，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出最值判斷證明.
【詳解】（1）因為，則，
當時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，不符合題意，
當時，的解集為，的解集為，
即的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，
因為函數(shù)有兩個零點，且時，，，依題意，解得，
即的取值范圍為.
（2）不妨設(shè)，則，要證，則只要證，
即證，即證，
即證，，
而即，即證，，
令，，則，
設(shè)，，則，
即在上單調(diào)遞增，則有，
即，在上單調(diào)遞減，而，
當時，，
則當時，成立，
故有成立.
3．已知是函數(shù)的一個極值點．
(1)求的值；
(2)若有3個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）函數(shù)的極值點為導函數(shù)的零點，可求的值并檢驗；
（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，由函數(shù)極值的符號確定零點的個數(shù).
【詳解】（1）因為，所以．
因為是的一個極值點，所以，解得．
經(jīng)檢驗知，當時，是的一個極值點，故．
（2）由（1）可知，．
當或時，；當時，．
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因為有3個零點，所以
解得，故的取值范圍為．
4．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若在上存2個零點，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；
（2）討論當時，方程變形為，設(shè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為與有2個交點，利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且.
當時，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減；
當時，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）若，在上無零點，不合題意；
若，由，得，
令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，
，當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以，
又，
所以要使直線與的圖象有兩個交點，則，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
5．已知函數(shù).
(1)若存在實數(shù)，使成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若有兩個不同零點，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在有解，求導得最值，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由函數(shù)的單調(diào)性可得，再構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性可得，即可得，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1）由得即在有解，
令，只需，
，當時，遞增，
當時，遞減，
.
（2）有兩個不同零點有兩個不同實根，
令，則，又，
當時，遞增，當時，遞減，
又，不妨設(shè)，
令，
，
在遞增，，即，
又，
，
，
下證，
設(shè)，直線的方程在處的切線為，
設(shè)，則，
即，
設(shè)則.
在遞增，，
，.綜上.
6．已知．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個零點，求整數(shù)的最大值．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導可得分兩種情況討論，由導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得解；
（2）由（1）可知，當時，在上單調(diào)遞增，所以至多有一個零點．要使函數(shù)有兩個零點，則，且，令，結(jié)合單調(diào)性即可得解.
【詳解】（1）．
當時，，則在上單調(diào)遞增；
當時，令，可得，
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增．
（2）由（1）得，當時，在上單調(diào)遞增，所以至多有一個零點，
要使函數(shù)有兩個零點，
則，且，
令，則，
令，則，
∴即在上單調(diào)遞減．
∵，，
∴，使得，
且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當時，，
且，
且，
所以函數(shù)有兩個零點，符合題意；
當時，，不符合題意,所以整數(shù)a的最大值為-2．
7．已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值
(2)若在區(qū)間內(nèi)恰好有兩個零點，求的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為，無極大
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求導得，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分與討論，列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由得，且定義域為
∵，令，即，解得，
令，解得，
則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
在處的極小值為，無極大值.
（2）當，恒成立，在上單調(diào)遞增，
故在區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點；
當時，由（1）得在上最小值為，
若在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，則需滿足，整理得.
8．已知函數(shù)．
(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)有兩個零點且，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)最小值解決不等式恒成立問題，列不等式求實數(shù)的取值范圍；
（2）由函數(shù)的兩個零點，可得，令，可得，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)求最值，可證得不等式.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
對其求導得，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的最大值為，解得，
因此實數(shù)的取值范圍是．
（2）由題意可知，所以（*）
因，令，則，
于是由（*）式可得，
構(gòu)造函數(shù)，，
對其求導得，
令，，對其求導得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
因此，，
于是，得證．
9．已知．
(1)若當時函數(shù)取到極值，求的值；
(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)．
【答案】(1)1(2)答案見解析
【分析】（1）求得，由，得到，進而結(jié)合函數(shù)極值點的定義，即可求解；
（2）當時，求得，令，利用導數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到在區(qū)間上沒有零點；當時，求得，令，求得，令，利用導數(shù)求得在單調(diào)遞增．，結(jié)合，，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由，得出在沒有零點，在由，得到存在唯一，使得，即可得到答案.
【詳解】（1）解：函數(shù)，可得
因為時函數(shù)取到極值，可得，解得，
當時，可得，
令，
可得，
令，可得，所以單調(diào)遞增，
又因為，所以在區(qū)間上，即單調(diào)遞增，
所以是的變號零點，所以當時函數(shù)取到極值．
（2）解：當時，因為，
所以，
令，
則，
所以在單調(diào)遞增，則，
所以，當時，在區(qū)間上沒有零點．
當時，可得，
令，
可得，
令，則，
所以在單調(diào)遞增，，則，
所以在單調(diào)遞增．
因為，，
當時，，
所以存在使得．則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又因為，所以當時，，故在沒有零點，
因為在單調(diào)遞增，且，而，
所以，
則，
所以存在唯一，使得，
故在存在唯一零點，因此當時，在存在唯一零點，
綜上所述，當時，在區(qū)間上沒有零點；
當時，在存在唯一零點．
10．設(shè)函數(shù)，其中．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在兩個極值點，設(shè)極大值點為，為的零點，求證：．
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）先對函數(shù)求導得，對分類討論，求出和的解，得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）分和兩種情況討論，時，易得零點為0，直接比較即可，時，，再由，可得，再結(jié)合基本不等式即可證明.
【詳解】（1），
當時，，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，令，解得或，
所以時，或，
時，，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時， ， 所以在上單調(diào)遞增；
當時，令，解得或，
所以時， 或，
時，，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述，
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）可知時，存在兩個極值點，
由為的零點，則，則，故，
若，由（1）可知，則；
若，則，故,化簡得
即，又，所以，
故，
當且僅當，即時等號成立，所以，
故，當且僅當時取等號，
綜上所述，恒成立．
11．已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)討論的零點個數(shù)．
【答案】(1)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；極大值，無極小值
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值的定義進行求解即可；
（2）根據(jù)的正負性，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點存在原理分類討論進行求解即可.
【詳解】（1）由題設(shè)，，．
令，解得；令，解得．
所以，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
當時，有極大值；無極小值．
（2）．
當時，．
令，則．
因為，所以．
又因為，所以，在單調(diào)遞減．
，
．
所以在上存在唯一零點．
當時，．
由（1）知，，當且僅當時，“”成立．
令，，則．
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．
所以，即，當且僅當時，“”成立．
所以，當且僅當且時，“”成立．
所以，當時，存在唯一零點；當且時，不存在零點．
綜上，當或時，存在唯一零點；當且時，不存在零點．基本初等函數(shù)
導函數(shù)
（為常數(shù)）
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學二輪復習易錯題專項訓練專題04 導數(shù)及其應(yīng)用（4大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學二輪復習易錯題專項訓練專題04 導數(shù)及其應(yīng)用（4大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學二輪復習易錯題專項訓練專題04導數(shù)及其應(yīng)用4大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)原卷版docx、新高考數(shù)學二輪復習易錯題專項訓練專題04導數(shù)及其應(yīng)用4大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共92頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學二輪復習專題突破訓練專題04 平面向量（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學二輪復習專題突破訓練專題04 平面向量（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學二輪復習專題突破訓練專題04平面向量原卷版doc、新高考數(shù)學二輪復習專題突破訓練專題04平面向量解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共22頁， 歡迎下載使用。

高考數(shù)學二輪復習專題04 導數(shù)及其應(yīng)用（4大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）（新高考專用）（原卷版）：

這是一份高考數(shù)學二輪復習專題04 導數(shù)及其應(yīng)用（4大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）（新高考專用）（原卷版），共19頁。試卷主要包含了導數(shù)的概念和幾何性質(zhì)，導數(shù)的運算等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

備戰(zhàn)2024新高考數(shù)學易錯題專題04導數(shù)及其應(yīng)用Word版附解析

備戰(zhàn)2024新高考數(shù)學易錯題專題04導數(shù)及其應(yīng)用Word版附解析
【二輪復習】高考數(shù)學專題04 導數(shù)及其應(yīng)用 （易錯題）（新高考專用）.zip

【二輪復習】高考數(shù)學專題04 導數(shù)及其應(yīng)用 （易錯題）（新高考專用）.zip
易錯點04 導數(shù)及其應(yīng)用-備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學考試易錯題（原卷版）（全國通用）

易錯點04 導數(shù)及其應(yīng)用-備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學考試易錯題（原卷版）（全國通用）
專題04 導數(shù)及其應(yīng)用【多選題】（原卷版）+解析版

專題04 導數(shù)及其應(yīng)用【多選題】（原卷版）+解析版
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部