學(xué)生注意：本練習(xí)共3道大題，25道小題，滿分120分，時量120分鐘
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. 下面四幅作品是某設(shè)計公司為學(xué)校文化墻設(shè)計的體育運(yùn)動簡筆畫，其中軸對稱圖形是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列計算或運(yùn)算中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 一年365天有31536000秒．?dāng)?shù)31536000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A. B. C. D.
4. 有理數(shù)這個概念最早源自《幾何原本》，以下各數(shù)中，有理數(shù)為（ ）
A B. C. D. 2.024002400024…
5. 第8個全國近視防控宣傳教育月主題是“有效減少近視發(fā)生，共同守護(hù)光明未來”．我校積極響應(yīng)，開展視力檢查．某班45名同學(xué)視力檢查數(shù)據(jù)如下表：
這45名同學(xué)視力檢查數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A. 4.6B. 4.7C. 4.8D. 4.9
6. 如圖，是的外角，，，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
7. 關(guān)于一次函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）
A. 函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大
B. 圖象經(jīng)過第一、三、四象限
C. 圖象與y軸交于點
D. 當(dāng)時，
8. 如圖，在中，，，則的度數(shù)為（ ）
A B. C. D.
9. 我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷七有下列問題：“今有共買物，人出八，盈三：人出七，不足四，問人數(shù)、物價幾何？”意思是：現(xiàn)在有幾個人共同出錢去買件物品，如果每人出8錢，則剩余3錢：如果每人出7錢，則差4錢．問有多少人，物品的價格是多少？設(shè)有x人，物品的價格為y元，可列方程（組）為（ ）
A. B. C. D.
10. 如圖①所示，一張紙片上有一個不規(guī)則的圖案（圖中畫圖部分），小雅想了解該圖案的面積是多少，她采取了以下的辦法：用一個長為5m，寬為3m的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地向長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計入試驗結(jié)果），她將若干次有效試驗的結(jié)果繪制成了圖②所示的折線統(tǒng)計圖由此她估計此不規(guī)則圖案的面積大約為（ ）
A. B. C. D.
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11. 因式分解x3－9x=__________．
12. 甲、乙兩人進(jìn)行射擊測試，每人20次射擊成績的平均數(shù)都是環(huán)，方差分別是 ，則射擊成績較穩(wěn)定的是________(填“甲”或“乙”)．
13. 式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_______________．
14. 某停車場入口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，已知，若欄桿的旋轉(zhuǎn)角，則線段掃過的圖形面積為_____________．（結(jié)果保留）
15. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)t的值為___________．
16. 已知：如圖，四邊形是邊長為1的正方形，對角線相交于點O．過點O作一直角，直角邊分別與重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，分別交于E、F兩點，連接交于點G，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，______________
三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分，解答寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 計算：．
18. 先化簡，再求值：，其中．
19. 長沙電視塔位于岳麓山頂峰，其功能集廣播電視信號發(fā)射與旅游觀光于一身．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)對長沙電視塔的高度進(jìn)行了測量，如圖，他們在A處仰望塔頂，測得仰角為，再往塔的方向前進(jìn)至B處，測得仰角為．（參考數(shù)據(jù)：）
（1）求證：；
（2）若學(xué)生的身高忽略不計，求該塔的高度？（結(jié)果精確到）
20. 為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識，某校初中開展了“陽光體育活動”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項球類活動，為了了解學(xué)生對這五項活動的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計圖提供的信息，請解答下列問題：
（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有______名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（2）扇形統(tǒng)計圖中“羽毛球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是______；
（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，用列表或樹狀圖法求甲和乙同學(xué)同時被選中的概率是多少？
21. 如圖，在□ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，EF過點O且垂直于AD．
（1）求證：OE＝OF；
（2）若S?ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的長．
22. 某店計劃采購甲、乙兩種不同型號的臺燈共30臺，甲、乙兩種型號的臺燈的進(jìn)價分別為160元每臺和250元每臺，售價分別是200元每臺和300元每臺．設(shè)采購甲型臺燈x臺，全部售出后獲利y元．
（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若要求采購甲型臺燈數(shù)量不小于乙型的2倍，如何采購才能使得獲利最大？最大利潤為多少？
23. 如圖1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分線，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓O
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）已知AO交圓O于點E，延長AO交圓O于點D，tan∠D=，求的值；
（3）如圖2，在（2）條件下，若AB與⊙O的切點為點F，連接CF交AD于點G，設(shè)⊙O的半徑為3，求CF的長．
24. 我們約定：平面直角坐標(biāo)系中，點，滿足，，則稱A，B為一對“等值點”．根據(jù)約定，解決下列問題：
（1）下列函數(shù)存在“等值點”的是 （填寫序號）
① ② ③ ④
（2）關(guān)于x的函數(shù)（k，b為常數(shù)）的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，請指出它有多少對“等值點”，如果不是，請說明理由；
（3）已知二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的圖象與x軸交于 C，D兩點，點和，點和是該函數(shù)圖象上的兩對“等值點”，且滿足．若以，，這三條線段的長為邊長的三角形是直角三角形，試求該直角三角形的面積．
25. 如圖1，四邊形內(nèi)接于，對角線，交于點P，為的直徑．
（1）求證：；
（2）如圖2，作于F，交于點E，若，，求的值；
（3）如圖3，分別過點B、D作的切線，過點P分別作、垂直兩條切線于點M、N．已知的直徑為4，令，，求y與x的關(guān)系
2025年上學(xué)期九年級3月錯題練習(xí)
九年級數(shù)學(xué)科目
學(xué)生注意：本練習(xí)共3道大題，25道小題，滿分120分，時量120分鐘
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. 下面四幅作品是某設(shè)計公司為學(xué)校文化墻設(shè)計的體育運(yùn)動簡筆畫，其中軸對稱圖形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用軸對稱圖形定義進(jìn)行解答即可．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【詳解】解：選項、、均不能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
選項能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：．
【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
2. 下列計算或運(yùn)算中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的除法、積的乘方與冪的乘方、平方差公式、完全平方公式．
根據(jù)同底數(shù)冪的除法、積的乘方與冪的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判斷可得．
【詳解】解：A、，此選項錯誤；
B、，此選項正確；
C、，此選項錯誤；
D、，此選項錯誤；
故選：B．
3. 一年365天有31536000秒．?dāng)?shù)31536000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法：把一個絕對值大于1的數(shù)表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)）；n的值為小數(shù)點向左移動的位數(shù)，確定，即可．
【詳解】解：∵，
故選： B．
4. 有理數(shù)這個概念最早源自《幾何原本》，以下各數(shù)中，有理數(shù)為（ ）
A. B. C. D. 2.024002400024…
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的概念，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，根據(jù)定義判斷即可．
【詳解】解：A、是分?jǐn)?shù)，為有理數(shù)，故本選項符合題意；
B、開方開不盡，是無理數(shù)，故本選項不符合題意；
C、是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，故本選項不符合題意；
D、2.024002400024…無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，故本選項不符合題意．
故選：A．
5. 第8個全國近視防控宣傳教育月的主題是“有效減少近視發(fā)生，共同守護(hù)光明未來”．我校積極響應(yīng)，開展視力檢查．某班45名同學(xué)視力檢查數(shù)據(jù)如下表：
這45名同學(xué)視力檢查數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A. 4.6B. 4.7C. 4.8D. 4.9
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查中位數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是熟知相關(guān)概念．將一列數(shù)從小到大排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．
根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可．
【詳解】總計為45名同學(xué)，則處在最中間為第23位，
根據(jù)：，
∴中位數(shù)落在具有11人的4.7的范圍內(nèi)，故中位數(shù)為4.7．
故選：B．
6. 如圖，是的外角，，，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得進(jìn)而即可求；
【詳解】∵,
∴
∵
∴．
故選：B.
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”定理是解題的關(guān)鍵．
7. 關(guān)于一次函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）
A. 函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大
B 圖象經(jīng)過第一、三、四象限
C. 圖象與y軸交于點
D. 當(dāng)時，
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項判斷即可．
【詳解】解：A、因為，所以函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，故本選項正確，不符合題意；
B、因為，，所以圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故本選項正確，不符合題意；
C、當(dāng)時，，所以圖象與y軸交于點，故本選項正確，不符合題意；
D、當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，故本選項錯誤，不符合題．
故選：D．
8. 如圖，在中，，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解題關(guān)鍵是熟記“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧”．由垂徑定理可得結(jié)合圓周角定理即可求解．
【詳解】解：在中，，，
，
故選：B
9. 我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷七有下列問題：“今有共買物，人出八，盈三：人出七，不足四，問人數(shù)、物價幾何？”意思是：現(xiàn)在有幾個人共同出錢去買件物品，如果每人出8錢，則剩余3錢：如果每人出7錢，則差4錢．問有多少人，物品的價格是多少？設(shè)有x人，物品的價格為y元，可列方程（組）為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)有x人，物品的價格為y元，根據(jù)所花總錢數(shù)不變列出方程即可．
【詳解】設(shè)有x人，物品的價格為y元，
根據(jù)題意，可列方程：，
故選：A．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系．
10. 如圖①所示，一張紙片上有一個不規(guī)則的圖案（圖中畫圖部分），小雅想了解該圖案的面積是多少，她采取了以下的辦法：用一個長為5m，寬為3m的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地向長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計入試驗結(jié)果），她將若干次有效試驗的結(jié)果繪制成了圖②所示的折線統(tǒng)計圖由此她估計此不規(guī)則圖案的面積大約為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先假設(shè)不規(guī)則圖案面積為，根據(jù)幾何概率知識求解不規(guī)則圖案占長方形的面積大??；繼而根據(jù)折線圖用頻率估計概率，綜合以上列方程求解．
【詳解】解：假設(shè)不規(guī)則圖案面積為，
由已知得：長方形面積為，
根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：，
當(dāng)事件A試驗次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時，故由折線圖可知，
綜上有：，
解得．
故選：A．
【點睛】本題考查幾何概率以及用頻率估計概率，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了題目創(chuàng)新，解題關(guān)鍵在于清晰理解題意，能從復(fù)雜的題目背景當(dāng)中找到考點化繁為簡，創(chuàng)新題目對基礎(chǔ)知識要求極高．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11. 因式分解x3－9x=__________．
【答案】x（x+3）（x－3）
【解析】
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式進(jìn)行分解．
【詳解】解：x3－9x，
=x（x2－9），
=x（x+3）（x－3）．
【點睛】本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本題要進(jìn)行二次分解，分解因式要徹底．
12. 甲、乙兩人進(jìn)行射擊測試，每人20次射擊成績的平均數(shù)都是環(huán)，方差分別是 ，則射擊成績較穩(wěn)定的是________(填“甲”或“乙”)．
【答案】乙
【解析】
【分析】本題考查了根據(jù)方差判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是掌握方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
【詳解】解：∵，
∴乙的射擊成績較穩(wěn)定，
故答案為：乙．
13. 式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，求不等式的解集，掌握二次根式被開方為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)得，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，
解得，，
故答案為： ．
14. 某停車場入口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，已知，若欄桿的旋轉(zhuǎn)角，則線段掃過的圖形面積為_____________．（結(jié)果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了扇形的面積公式，R是扇形半徑，n是弧所對圓心角度數(shù)，π是圓周率，那么扇形的面積為：．根據(jù)扇形面積公式計算即可．
【詳解】解：由題意得，部分掃過的圖形面積=，
故答案為：．
15. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)t的值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)關(guān)于一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可得，求解即可．
【詳解】關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，即一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
16. 已知：如圖，四邊形是邊長為1的正方形，對角線相交于點O．過點O作一直角，直角邊分別與重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，分別交于E、F兩點，連接交于點G，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，______________
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．證明，得到，，進(jìn)而得到，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，則最小，即當(dāng)時，最小，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：作，
∵四邊形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
當(dāng)?shù)拿娣e最大時，則最小，
∵，
∴由垂線段最短可知，當(dāng)點與重合時，最小，的面積最大，
∴此時；
故答案為：．
三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分，解答寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的乘方，負(fù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可求解．
詳解】解：
18. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查分式的化簡求值，先通分計算括號內(nèi)，除法變乘法，再約分化簡，最后代值計算即可．
【詳解】解：，
當(dāng)時，．
19. 長沙電視塔位于岳麓山頂峰，其功能集廣播電視信號發(fā)射與旅游觀光于一身．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)對長沙電視塔的高度進(jìn)行了測量，如圖，他們在A處仰望塔頂，測得仰角為，再往塔的方向前進(jìn)至B處，測得仰角為．（參考數(shù)據(jù)：）
（1）求證：；
（2）若學(xué)生的身高忽略不計，求該塔的高度？（結(jié)果精確到）
【答案】（1）見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意易得：，即可證得是等腰三角形，
（2）然后利用三角函數(shù)，求得答案．
【小問1詳解】
證明：根據(jù)題意得：，
∴，
∴，
∴，
【小問2詳解】
∵，，
∴，
【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．注意證得是等腰三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求解是關(guān)鍵．
20. 為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識，某校初中開展了“陽光體育活動”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項球類活動，為了了解學(xué)生對這五項活動的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計圖提供的信息，請解答下列問題：
（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有______名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（2）扇形統(tǒng)計圖中“羽毛球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是______；
（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，用列表或樹狀圖法求甲和乙同學(xué)同時被選中的概率是多少？
【答案】（1）100，見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，能夠讀懂條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
（1）用選擇籃球的人數(shù)除以其所占百分比，可得本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)：求出選擇“足球”的人數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖即可；
（2）用選擇羽毛球的人數(shù)除以本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)再乘以360度即可；
（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，以及甲和乙同學(xué)同時被選中的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意得本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)（人），
喜愛足球的人數(shù)為：（人），
條形圖如圖所示，
；
【小問2詳解】
解：“羽毛球”人數(shù)所占比例為：，
所以，扇形統(tǒng)計圖中“羽毛球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)，
【小問3詳解】
解：設(shè)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別用字母A，B，C，D表示，根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

∵一共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，它們都是等可能的，符合條件的有兩種，
∴P（甲、乙兩人被選中）．
21. 如圖，在□ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，EF過點O且垂直于AD．
（1）求證：OE＝OF；
（2）若S?ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的長．
【答案】（1）證明見解析 （2）9
【解析】
【分析】（1）先由平行四邊形的性質(zhì)得到AO=CO，AD∥BC，則∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，即可證明△AOE≌△COF得到OE=OF；
（2）由（1）得OE=OF=3.5，得到EF=7，再由AD∥BC，EF⊥AD，得到EF的長即為平行四邊形ABCD中AD邊上的高，即可利用平行四邊形面積公式求解．
【小問1詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是AC與BD的交點，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
【小問2詳解】
解：由（1）得OE=OF=3.5，
∴EF=7，
∵AD∥BC，EF⊥AD，
∴EF的長即為平行四邊形ABCD中AD邊上的高，
∵四邊形ABCD的面積為63，
∴，
∴AD=9．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
22. 某店計劃采購甲、乙兩種不同型號的臺燈共30臺，甲、乙兩種型號的臺燈的進(jìn)價分別為160元每臺和250元每臺，售價分別是200元每臺和300元每臺．設(shè)采購甲型臺燈x臺，全部售出后獲利y元．
（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若要求采購甲型臺燈數(shù)量不小于乙型的2倍，如何采購才能使得獲利最大？最大利潤為多少？
【答案】（1）；
（2）采購甲型臺燈20臺，乙型臺燈10臺時商店獲得最大利潤，最大利潤是1300元．
【解析】
【分析】此題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，不等式組的應(yīng)用，方案問題的解決方法，正確理解題意，根據(jù)題意列出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式或不等式組解答問題是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)利潤等于每臺臺燈的利潤乘以臺燈數(shù)量列得函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)題意求出x的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【小問1詳解】
解：由題意得：，
∴y與x之間函數(shù)表達(dá)式為；
【小問2詳解】
解：由題意得：，
解得：，
，
，且，
隨x的增大而減小，
∴當(dāng)時，y有最大值，最大值，
∴采購甲型臺燈20臺，乙型臺燈10臺時商店獲得最大利潤，最大利潤是1300元．
23. 如圖1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分線，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓O
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）已知AO交圓O于點E，延長AO交圓O于點D，tan∠D=，求的值；
（3）如圖2，在（2）條件下，若AB與⊙O的切點為點F，連接CF交AD于點G，設(shè)⊙O的半徑為3，求CF的長．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由于題目沒有說明直線AB與⊙O有交點，所以過點O作OF⊥AB于點F，然后證明OC=OF即可；
（2）連接CE，先求證∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，則，而tan∠D＝，即可求解；
（3）連接CF交AD于點M，由（2）可知，AC2=AE?AD，先求出AE，AC的長，則AO可求出，證△CMO∽△ACO，可得OC2=OM?OA，求出OM，CM，則CF=2CM可求解．
【詳解】（1）證明：如圖，過點O作OF⊥AB于點F
，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：如圖，連接CE，
∵ED是⊙O的直徑，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECO+∠OCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECO=90°，
∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴，
∵tan，
∴；
（3）由（2）可知：，
∴設(shè)AE=x，AC=2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴，
∴AC2=AE?AD，
∴（2x）2=x（x+6），
解得：x=2或x=0（不合題意，舍去），
∴AE=2，AC=4，
∴AO=AE+OE=2+3=5，
如圖，連接CF交AD于點M
，
∵AC，AF是⊙O的切線，
∴AC=AF，∠CAO=∠OAF，
∴CF⊥AO，
∴∠ACO=∠CMO=90°，
∵∠COM=∠AOC，
∴△CMO∽△ACO，
∴，
∴OC2=OM?OA，
∴OM=，
∴CM==，
∴．
【點睛】此題考查了圓的綜合問題，涉及勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解方程，圓的切線判定，切線長定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線才能解決問題．
24. 我們約定：平面直角坐標(biāo)系中，點，滿足，，則稱A，B為一對“等值點”．根據(jù)約定，解決下列問題：
（1）下列函數(shù)存在“等值點”的是 （填寫序號）
① ② ③ ④
（2）關(guān)于x的函數(shù)（k，b為常數(shù)）的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，請指出它有多少對“等值點”，如果不是，請說明理由；
（3）已知二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的圖象與x軸交于 C，D兩點，點和，點和是該函數(shù)圖象上的兩對“等值點”，且滿足．若以，，這三條線段的長為邊長的三角形是直角三角形，試求該直角三角形的面積．
【答案】（1）②③ （2）當(dāng)時，存在無數(shù)對“等值點”；當(dāng)時，不存在“等值點”，理由見解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；
（2）分兩種情況討論：當(dāng) 時，函數(shù)的圖象是一條平行于軸的直線，存在無數(shù)對“等值點”；當(dāng) 時，由于，則有此時，上不存在“等值點”；
（3）由題意求出，，再根據(jù)和，和是兩對“等值點”，則有，，，，然后表示出，，，然后根據(jù)勾股定理計算解題即可．
【小問1詳解】
解：①是一次函數(shù)，函數(shù)值隨的增大而增大，不存在“等值點”；
②和③是二次函數(shù)，存在“等值點”；
④是反比例函數(shù)，在每個象限函數(shù)值隨的增大而減少，不存在“等值點”；
故選：②③；
【小問2詳解】
解：當(dāng)時，函數(shù)的圖象是一條平行于軸的直線，其上的點的縱坐標(biāo)都相等，故存在無數(shù)對“等值點”；
當(dāng)時，假設(shè)函數(shù)圖象是一條與軸不平行的直線，其上任意兩點的縱坐標(biāo)都不相等，故不存在“等值點”；
【小問3詳解】
解：，
，
，，又和，和是兩對“等值點”，
，，，，
，為方程的兩根，
，
同理可知：，為方程的兩根，
，
設(shè)，的橫坐標(biāo)為，，它們?yōu)榉匠痰膬筛?br>，
顯然，又以，，這三條線段的長為邊長的三角形是直角三角形，
，即，
，
，，，
該直角三角形的面積為．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，能將所求問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖1，四邊形內(nèi)接于，對角線，交于點P，為的直徑．
（1）求證：；
（2）如圖2，作于F，交于點E，若，，求的值；
（3）如圖3，分別過點B、D作的切線，過點P分別作、垂直兩條切線于點M、N．已知的直徑為4，令，，求y與x的關(guān)系
【答案】（1）見解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)對頂角相等可得，即可證明；
（2）由為的直徑可得，設(shè)，則，利用勾股定理表示出的長，通過證明得到，表示出的長，再通過證明得到，表示出的長，最后在中利用正弦的定義即可求解；
（3）延長交于點，連接、，由（1）中結(jié)論推出，得到，通過證明得到和，根據(jù)題意即可求出y與x的關(guān)系．
【小問1詳解】
證明：四邊形內(nèi)接于，
，即，
又，
．
【小問2詳解】
解：為的直徑，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
解得：，
，，
，
，
，
，
在中，，
的值為．
【小問3詳解】
解：如圖，延長交于點，連接、，
的直徑為4，
，
，
，，
由（1）得，，
，
，
、是的切線，
，，
又，，
，，，
，，
，
，
，
，
是的直徑，的直徑為4，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
，即，
，
y與x的關(guān)系為．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)知識點，結(jié)合圖形找到合適的相似三角形是解題的關(guān)鍵．本題屬于圓綜合，需要較強(qiáng)的幾何知識儲備，適合有能力解決難題的學(xué)生．
視力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
48
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人數(shù)
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